À l'écrit de maths du CCINP, une réponse rapporte ses points quand elle nomme le théorème utilisé, vérifie ses hypothèses une à une sur la copie et conclut avec les mots de la question. Exemple tiré du sujet de Mathématiques 1 MP 2026 : pour montrer que $G_X(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X=n)\,t^n$ est bien définie sur $[-1\,;1]$, il suffit d'écrire que, pour $|t| \leqslant 1$, $|P(X=n)\,t^n| \leqslant P(X=n)$, terme général d'une série convergente de somme 1, donc que la série converge absolument. Deux lignes, et le rapport du jury note que de nombreux candidats ont perdu du temps à étudier une série entière aux bords de l'intervalle. Voici, question type par question type, la rédaction qui rapporte.
Le gabarit d'une réponse qui rapporte
Les deux rapports de l'écrit MP 2026 se terminent par les mêmes conseils. Le plus utile pour la forme : citer tous les théorèmes utilisés et rappeler sur le moment leurs hypothèses, même si elles figurent quelques lignes plus haut. Juste après : chaque hypothèse de la question doit servir, et ta copie dit à quel moment. Certaines réponses, ajoutent-ils, tiennent en une ou deux lignes.
Étape 1 : Annonce l'outil, par exemple « par comparaison de séries à termes positifs ». Le correcteur sait aussitôt ce qu'il doit contrôler.
Étape 2 : Vérifie ses hypothèses une par une, sur les objets du sujet : continue en quelle variable, majorée par quoi, intégrable pourquoi.
Étape 3 : Conclus avec les mots de la question. Si elle dit « en déduire », appuie-toi sur la question d'avant et écris-le : le jury de Mathématiques 2 relève des copies qui l'oublient.
Le sujet de Mathématiques 1 MP 2026 demande en première page une rédaction claire, précise et concise. Concise ne veut pas dire elliptique : pour le correcteur, une hypothèse que tu n'as pas écrite n'a pas été vérifiée. Les deux rapports demandent aussi de numéroter les copies, et celui de Mathématiques 2 de traiter les questions dans l'ordre de l'énoncé.
Convergences : majorer par ce qu'il faut
« Montrer que la série converge », « montrer que $f$ est intégrable sur $I$ » : derrière ces formulations, il y a le plus souvent une comparaison avec une série ou une fonction de référence. Choisis celle qui sert la question, pas la plus générale : dans l'exemple du début, majorer $|t|$ par 1 suffisait.
Piège classique : ta fonction de référence doit être intégrable sur tout l'intervalle, aux deux bornes. En 2026, des candidats ont majoré par $\dfrac{1}{t^2}$ sur $]0\,;+\infty[$ : intégrable en $+\infty$, pas en $0$. Le jury relève aussi la confusion entre intégrable et bornée. La fonction $t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable sur $]0\,;1]$ sans être bornée, et son carré $t \mapsto \dfrac{1}{t}$ n'y est pas intégrable : le produit de deux fonctions intégrables ne l'est pas toujours.
Pour une série de fonctions, la convergence uniforme se prouve le plus souvent par la convergence normale : tu majores $\|f_n\|_\infty$, la borne supérieure de $|f_n|$ sur l'intervalle, par le terme général d'une série convergente. L'erreur classique relevée en 2026 : conclure à la convergence uniforme de $\sum f_n$ parce que $\|f_n\|_\infty \to 0$. Cette limite est nécessaire, pas suffisante, et l'exercice 2 le montre. Même vigilance pour les limites : on prouve qu'une limite existe avant de l'écrire, pas l'inverse.
Intégrales à paramètre : dominer sur un segment
Pour la continuité de $F(x) = \displaystyle\int_I h(x,t)\,\mathrm{d}t$, il te faut la continuité de $h$ en $x$ pour chaque $t$, sa continuité par morceaux en $t$ pour chaque $x$, et une domination $|h(x,t)| \leqslant g(t)$ avec $g$ intégrable sur $I$, indépendante de $x$. La question 12 de Mathématiques 1 MP 2026 a été très peu réussie : il fallait dominer sur tout segment, pas sur l'intervalle entier.
Exemple : $F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t}\,\mathrm{d}t$ pour $x > 0$. Dominer pour tous les $x > 0$ à la fois demanderait $g(t) \geqslant \dfrac{1}{1+t}$ (la limite quand $x$ tend vers 0), qui n'est pas intégrable sur $[0\,;+\infty[$. La rédaction qui marche :
« Soit $[a\,;b]$ un segment inclus dans $]0\,;+\infty[$. Pour $x \in [a\,;b]$ et $t \geqslant 0$, $\left|\dfrac{e^{-xt}}{1+t}\right| \leqslant e^{-at}$, intégrable sur $[0\,;+\infty[$ car $a > 0$. La fonction sous l'intégrale est continue en $x$ pour tout $t$ et continue en $t$ pour tout $x$. Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre, $F$ est continue sur tout segment de $]0\,;+\infty[$, donc sur $]0\,;+\infty[$. »
Algèbre : justifier avant de calculer
Le rapport de Mathématiques 2 MP 2026 décrit une question « bien traitée en termes de résultats mais pas en termes de rédaction » : la matrice avait souvent été diagonalisée sans justifier que c'était possible. Une justification suffit, mais il en faut une. Pour la matrice $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent 1 (avec $n \geqslant 2$), deux rédactions au choix :
« $J$ est symétrique réelle, donc diagonalisable d'après le théorème spectral. »
« $J^2 = nJ$, donc $X(X-n)$ annule $J$. Ce polynôme est scindé à racines simples car $n \neq 0$, donc $J$ est diagonalisable. »
Ce « scindé à racines simples », le même rapport dit l'avoir très souvent trouvé sans justification. Pour « montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ », même discipline : $F \subset E$, puis $0 \in F$, puis $\lambda u + v \in F$ pour $u, v \in F$ et $\lambda$ réel. Le jury a vu l'inclusion oubliée, et la combinaison linéaire montrée dans $E$ au lieu de $F$.
Piège classique : avant la formule du binôme pour $(A+B)^m$, écris que $A$ et $B$ commutent ; ici $I_n$ commute avec $J$. Surveille ensuite le terme $k = 0$ : $J^k = n^{k-1}J$ ne vaut que pour $k \geqslant 1$, car $J^0 = I_n$. Sors-le de la somme :
$$(I_n + J)^m = I_n + \sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k}n^{k-1}J = I_n + \frac{(n+1)^m - 1}{n}\,J$$
Le même rapport relève justement l'oubli de la condition $k \geqslant 1$.
Quand le calcul ne tombe pas juste
Tu trouves $-2$ là où l'énoncé annonce $2$, et la tentation est de forcer une ligne. Les deux rapports 2026 ouvrent leurs conseils là-dessus : ne pas essayer d'« escroquer » les correcteurs en « trafiquant les calculs », ce qui « indispose fortement le correcteur ». Celui de Mathématiques 2 cite des calculs de déterminants « manifestement truqués ».
Conseil : écris « je ne retrouve pas le résultat annoncé, je poursuis avec celui de l'énoncé », puis continue avec ce résultat. Si c'est l'énoncé qui te semble faux, la première page du sujet de Mathématiques 1 MP 2026 dit quoi faire : le signaler sur ta copie et expliquer les initiatives que tu prends. En 2026, la question 15 de Mathématiques 2 MP contenait une erreur, reconnue dans le rapport, et le barème a été adapté.
Exercices corrigés
Rédige chaque réponse en entier, comme le jour de l'écrit, puis compare-la ligne à ligne avec la correction.
Exercice 1 : Montre que $f : x \mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Correction :
Pour $n \geqslant 1$, posons $f_n(x) = \dfrac{\cos(nx)}{n^2}$ : chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $|f_n(x)| \leqslant \dfrac{1}{n^2}$, donc $\|f_n\|_\infty \leqslant \dfrac{1}{n^2}$, terme général d'une série de Riemann convergente ($2 > 1$).
La série $\sum f_n$ converge donc normalement, donc uniformément sur $\mathbb{R}$ : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, et comme limite uniforme de sommes partielles continues, elle est continue sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2 : Un candidat écrit : « Pour $n \geqslant 1$ et $x \in [0\,;1]$, posons $f_n(x) = x^n(1-x)$. On a $\|f_n\|_\infty \to 0$, donc $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0\,;1]$. » Trouve l'erreur, puis montre que la convergence n'est pas uniforme.
Correction :
La limite est juste : $f_n$ atteint son maximum en $\dfrac{n}{n+1}$, et $\|f_n\|_\infty = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \dfrac{1}{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n+1}$. L'erreur est la conclusion : cette limite est nécessaire à la convergence uniforme d'une série, pas suffisante.
Calculons la somme $S$. Pour $x \in [0\,;1[$, la série géométrique donne $S(x) = (1-x)\dfrac{x}{1-x} = x$. Pour $x = 1$, tous les termes sont nuls, donc $S(1) = 0$. Ainsi $S$ n'est pas continue en 1, alors que chaque somme partielle, polynomiale, l'est. Une limite uniforme de fonctions continues étant continue, la convergence n'est pas uniforme sur $[0\,;1]$.
Exercice 3 : Un standard reçoit $X$ appels entre 9 h et 10 h, puis $Y$ appels entre 10 h et 11 h. On suppose $X$ et $Y$ indépendantes, de lois de Poisson de paramètres $\lambda = 3$ et $\mu = 5$ (données fictives). Détermine la loi de $Z = X + Y$ en écrivant où sert l'indépendance, puis calcule $P(Z = 0)$.
Correction :
$Z$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$. Soit $n \in \mathbb{N}$. L'événement $(Z = n)$ est la réunion disjointe des $(X = k) \cap (Y = n-k)$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$. Par additivité, puis par indépendance de $X$ et $Y$ :
$$P(Z = n) = \sum_{k=0}^{n} P(X = k)\,P(Y = n-k) = \sum_{k=0}^{n} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}$$
En factorisant par $\dfrac{e^{-(\lambda+\mu)}}{n!}$, il reste $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\lambda^k\mu^{n-k} = (\lambda+\mu)^n$ par la formule du binôme. Donc $P(Z = n) = e^{-(\lambda+\mu)}\dfrac{(\lambda+\mu)^n}{n!}$ : $Z$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda + \mu = 8$, et $P(Z = 0) = e^{-8} \approx 3{,}4 \times 10^{-4}$.
Sans la ligne « par indépendance », la première égalité n'a aucune raison d'être vraie : le jury de Mathématiques 1 MP 2026 relève des oublis de cette justification.
À retenir
À retenir :
- Une réponse : le théorème nommé, ses hypothèses vérifiées sur les objets du sujet, une conclusion avec les mots de la question.
- Une fonction de référence s'examine aux deux bornes, et intégrable ne veut pas dire bornée.
- $\|f_n\|_\infty \to 0$ ne prouve pas la convergence uniforme de $\sum f_n$ ; la convergence normale, si.
- Intégrale à paramètre : quand l'intervalle entier résiste, domine sur tout segment.
- Diagonaliser, c'est d'abord justifier que c'est possible ; le binôme demande des matrices qui commutent.
- Un calcul qui ne tombe pas se signale, il ne se force jamais.
Sources
- Concours Commun INP, rapport de l'épreuve écrite de Mathématiques 1, filière MP, session 2026 : rapport sur concours-commun-inp.fr.
- Concours Commun INP, rapport de l'épreuve écrite de Mathématiques 2, filière MP, session 2026 : rapport sur concours-commun-inp.fr.
- Concours Commun INP, sujet de Mathématiques 1, filière MP, session 2026 (consignes de première page) : sujet sur concours-commun-inp.fr.