Au QCM de maths du Geipi Polytech, tu ne choisis pas entre quatre réponses : tu déclares chaque affirmation vraie ou fausse, sans calculatrice, et une erreur te coûte des points. La règle qui fait gagner du temps : une affirmation « pour tout » tombe avec un seul contre-exemple, alors qu'il faut un calcul ou une propriété du cours pour la déclarer vraie. Dans le sujet 2026, « pour tout réel $x > 0$, $\ln(x^3 + x^2) = \ln(x^2) \times \ln(x^3)$ » se réglait avec $x = 1$ : à gauche $\ln 2$, à droite $0 \times 0 = 0$, donc c'est faux. Ici, tu apprends ces réflexes, puis tu les appliques sur quatre exercices au format du concours.
Ce que contient l'épreuve de maths
L'épreuve écrite dure 3 h, sans calculatrice ni document. Tout le monde traite le QCM de maths, puis deux sujets au choix parmi mathématiques, physique-chimie, SVT ou biologie-écologie, NSI et sciences de l'ingénieur. Le sujet conseille une heure pour chacune de ces trois parties. Si tu as gardé la spécialité maths en Terminale avec une spécialité non scientifique, tu peux ne traiter que le QCM et le sujet de maths.
Le QCM porte sur le programme commun à la spécialité maths et à l'option maths complémentaires. Pour l'épreuve du mercredi 28 avril 2027, le concours annonce des sujets « majoritairement sur le programme de Terminale, y compris les notions vues après le mois de mars » (page officielle du concours).
En 2025 comme en 2026, le QCM valait 40 points. Chaque affirmation se coche vraie ou fausse, sans justification. Une réponse fausse retire des points, une case vide n'en retire aucun, et le total d'un exercice ne descend jamais sous zéro. Le sujet 2026 comptait 27 affirmations, rangées en cinq parties : calculs, fonctions, suites, probabilités, géométrie dans le plan. En une heure, cela laisse un peu plus de deux minutes par affirmation.
Le sujet de spécialité maths compte, lui, trois exercices en 2026, avec des réponses à écrire dans des cadres. Quand une question précise « Aucune justification n'est attendue », seul le résultat compte : ne rédige pas.
Conseil : une erreur ne peut te faire perdre que les points de son propre exercice, et une case vide ne coûte rien. Coche donc seulement ce que tu as établi par un calcul ou un contre-exemple. Après deux minutes d'hésitation, laisse la case vide et passe à la suivante.
Trancher vrai ou faux
Avant tout calcul, repère le mot qui commande l'affirmation : c'est lui qui te dit quoi chercher. Un contre-exemple est une valeur précise pour laquelle l'affirmation ne tient pas.
| L'affirmation dit | Pour cocher « faux » | Pour cocher « vrai » |
|---|---|---|
| « pour tout » | un seul contre-exemple | un calcul valable pour toutes les valeurs |
| « il existe » | montrer qu'aucune valeur ne convient | une seule valeur qui convient |
| « si…, alors… » | un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse | partir de l'hypothèse et arriver à la conclusion |
Prends « soient $x$ et $y$ deux réels ; si $x^2 = y^2$, alors $x = y$ ». Avec $x = 1$ et $y = -1$, l'hypothèse est vraie mais la conclusion est fausse : l'affirmation est fausse. Dans l'autre sens, « si $x = y$, alors $x^2 = y^2$ » est vraie. Regarde donc toujours dans quel sens va le « si ».
Pour trouver un contre-exemple, essaie d'abord les valeurs $0$, $1$, $-1$ et $2$ : elles allègent souvent le calcul, puisque $\ln 1 = 0$ et $e^0 = 1$. Si aucun de ces tests ne casse l'affirmation, alors seulement tu calcules dans le cas général.
Piège classique : une valeur qui marche ne prouve rien. Avec $a = 5$ et $b = 0$, l'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ tient, puisque $25 = 25$. Avec $a = b = 1$, elle donne $4$ d'un côté et $2$ de l'autre. Un test réussi t'autorise à chercher une preuve, pas à cocher « vrai ».
Calculer sans calculatrice
Sans calculatrice, les nombres d'un sujet sont en général choisis pour se simplifier. Si ton calcul enfle, il te manque la transformation qui le raccourcit. Voici celles qui reviennent.
| Ce que tu vois | Le réflexe |
|---|---|
| une racine au dénominateur, comme $\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$ | multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée $\sqrt{2} - 1$ (la même somme, signe du milieu changé) : le dénominateur devient $2 - 1 = 1$ |
| $\sqrt{a^2}$ | c'est $\lvert a \rvert$, qui vaut $-a$ quand $a$ est négatif |
| le $\ln$ d'un produit ou d'un quotient | pour $a > 0$ et $b > 0$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ |
| des grands nombres voisins | les écrire autour d'un même nombre, puis développer avec les identités remarquables |
Exemple : le sujet 2026 demandait si $\dfrac{2026^2}{2025^2 + 2027^2 - 2} = \dfrac{1}{2}$. Pose $a = 2026$. Le dénominateur devient $(a - 1)^2 + (a + 1)^2 - 2 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + 2a + 1 - 2 = 2a^2$, et le quotient vaut $\dfrac{a^2}{2a^2} = \dfrac{1}{2}$. Vrai, sans avoir calculé un seul carré.
Piège classique : diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens. Pour résoudre $-3e^x < -3e^2$, on divise par $-3$ : $e^x > e^2$, donc $x > 2$ car l'exponentielle est strictement croissante. L'ensemble des solutions est $]2\,;+\infty[$, et non $]-\infty\,;2[$.
Exercices corrigés au format du QCM
Quatre exercices, du plus direct au plus proche du concours. Pour chaque affirmation, réponds vrai ou faux sur ta feuille, sans calculatrice, avant d'ouvrir la correction. Les sujets officiels, avec les corrigés du QCM, sont sur la page des annales du concours.
Exercice 1 : Calculs.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$.
B. $\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = 1 - \sqrt{5}$.
C. Pour tout entier naturel $n$, $4^n + 4^n = 8^n$.
D. $\ln 12 - \ln 3 = 2\ln 2$.
Correction :
A. Vrai. Avec la quantité conjuguée : $\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$.
B. Faux. $\sqrt{(1 - \sqrt{5})^2} = \lvert 1 - \sqrt{5} \rvert$. Or $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, donc $1 - \sqrt{5}$ est négatif et le résultat vaut $\sqrt{5} - 1$.
C. Faux. $n = 1$ marche, mais $n = 0$ donne $1 + 1 = 2$ à gauche et $8^0 = 1$ à droite. En fait $4^n + 4^n = 2 \times 2^{2n} = 2^{2n+1}$ et $8^n = 2^{3n}$ : l'égalité n'a lieu que si $2n + 1 = 3n$, donc pour $n = 1$ seulement.
D. Vrai. $\ln 12 - \ln 3 = \ln\dfrac{12}{3} = \ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$.
Exercice 2 : Fonctions. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)e^x$.
A. Pour tout réel $x$, $f'(x) = (2x + 1)e^x$.
B. $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
C. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
D. L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 0$ est $\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$.
Correction :
A. Vrai. $f$ est le produit de $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^x$, donc $f' = u'v + uv'$ : $f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$.
B. Faux. Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $2x + 1$. Contre-exemple : $f'(-1) = -e^{-1} < 0$. En fait, $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right]$.
C. Vrai. $f(x) = 2xe^x - e^x$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$, et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, donc $f(x)$ tend vers $0$.
D. Vrai. Comme $e^x > 0$, $f(x) > 0$ équivaut à $2x - 1 > 0$, soit $x > \dfrac{1}{2}$.
Exercice 3 : Suites. On lâche une balle d'une hauteur de 2 m. On suppose qu'après chaque rebond, elle remonte aux trois quarts de sa hauteur précédente. On note $h_0 = 2$ et, pour tout entier $n \geqslant 1$, $h_n$ la hauteur en mètres atteinte après le $n$-ième rebond.
A. Pour tout entier naturel $n$, $h_n = 2 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
B. La suite $(h_n)$ est décroissante.
C. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} h_n = 0$.
D. Il existe un entier naturel $n$ tel que $h_0 + h_1 + \dots + h_n > 8$.
Correction :
A. Vrai. Chaque hauteur est la précédente multipliée par $\dfrac{3}{4}$ : $(h_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $h_0 = 2$.
B. Vrai. Pour tout $n$, $h_{n+1} = \dfrac{3}{4}h_n < h_n$, car $h_n > 0$.
C. Vrai. Comme $0 < \dfrac{3}{4} < 1$, $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$ tend vers $0$, donc $h_n$ aussi.
D. Faux. Avec la somme des termes d'une suite géométrique :
$$h_0 + h_1 + \dots + h_n = 2 \times \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}}{1 - \frac{3}{4}} = 8\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}\right)$$
Comme $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1} > 0$, cette somme reste strictement inférieure à 8 m, même si elle s'en approche autant qu'on veut. « Il existe » demandait une seule valeur de $n$ : il n'y en a aucune.
Exercice 4 : Probabilités. Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 rouges et 3 noires. On tire au hasard deux boules successivement, sans remise. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.
A. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $2$ et $\dfrac{2}{5}$.
B. $P(X = 2) = \dfrac{1}{10}$.
C. $P(X = 0) = \dfrac{9}{25}$.
D. $P(X = 1) = \dfrac{3}{5}$.
Correction :
A. Faux. Sans remise, le second tirage dépend du premier : après une rouge, il ne reste qu'une rouge parmi quatre boules. Les deux tirages ne sont pas indépendants, donc la loi binomiale ne s'applique pas.
B. Vrai. $P(X = 2) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$.
C. Faux. $P(X = 0) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$. La valeur $\dfrac{9}{25} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ serait celle d'un tirage avec remise : c'est le piège de l'énoncé.
D. Vrai. $P(X = 1) = 1 - P(X = 2) - P(X = 0) = 1 - \dfrac{1}{10} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
À retenir
À retenir :
- Le QCM de maths est obligatoire : des affirmations à juger vraies ou fausses, sans calculatrice, en une heure conseillée.
- Repère d'abord le mot qui commande : « pour tout », « il existe » ou « si…, alors… ».
- Un seul contre-exemple suffit pour « faux » ; un test réussi ne prouve jamais « vrai ».
- Teste $0$, $1$, $-1$ et $2$ avant de calculer dans le cas général.
- Quantité conjuguée, $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$, règles du $\ln$ et identités remarquables raccourcissent les calculs.
- Une case vide ne coûte rien ; une erreur coûte des points dans son exercice.
Sources
- Concours Geipi Polytech, page « Concours Bac général » sur l'épreuve écrite 2027 : geipi-polytech.org.
- Concours Geipi Polytech, sujets des épreuves du 28 avril 2026, dont le QCM et le sujet de spécialité mathématiques : sujet en PDF.
- Concours Geipi Polytech, annales du concours avec les corrigés du QCM : page des annales.