Un sujet de mathématiques du concours Mines-Ponts est une suite de questions numérotées, souvent plus de vingt, et la plupart relèvent de quelques familles qui reviennent d'un sujet à l'autre, chacune avec son réflexe. Devant « justifier l'existence de $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ », tu écris que la fonction est continue et positive sur $[0\,;+\infty[$, que $e^{-t^2} = o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ en $+\infty$ car $t^2 e^{-t^2} \to 0$, et que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge. Oublier la continuité coûte des points : les rapports du jury le relèvent en 2025 comme en 2026. Voici ces familles une par une, d'après ces rapports, puis trois exercices.
Justifier qu'un objet existe
Le rapport du jury 2026 le dit dès ses remarques générales : on attend « la vérification de l'existence des objets manipulés ». Intégrale généralisée, somme de série, espérance, inverse : tu prouves que l'objet existe avant de t'en servir.
Pour une intégrale généralisée, deux temps. D'abord la régularité sur tout l'intervalle : continue, ou continue par morceaux. Ensuite chaque borne qui pose problème, séparément, par comparaison à une intégrale de référence, avec une fonction de signe constant près de cette borne.
Exemple : $f : t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t}\,(1+t)}$ est continue et positive sur $]0\,;+\infty[$. En 0, $f(t) \sim \dfrac{1}{t^{1/2}}$, intégrable près de 0 car $\frac{1}{2} \lt 1$. En $+\infty$, $f(t) \sim \dfrac{1}{t^{3/2}}$, intégrable car $\frac{3}{2} \gt 1$. Les deux bornes sont réglées : l'intégrale converge.
Pour une espérance, un argument court suffit souvent : une variable aléatoire bornée admet une espérance. Dans son rapport 2025, le jury de PSI juge cet argument « pleinement suffisant ».
Convergence et équivalents
Pour une série, la rédaction attendue tient en une ligne : « $u_n = O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ avec $\sum \frac{1}{n^2}$ absolument convergente d'après le cours ». C'est l'argument que le jury de PSI donnait en modèle en 2026. Les séries géométriques de raison $q$, avec $|q| \lt 1$, sont aussi des références du cours : $\sum 2^{-n}$ se passe de comparaison.
Piège classique : on ne compose pas un équivalent par une fonction. On a $n + 1 \sim n$, et pourtant $\dfrac{e^{n+1}}{e^n} = e$ ne tend pas vers 1. Pour le logarithme, $\ln(n+1) \sim \ln n$ est vrai, mais se démontre : $\ln(n+1) = \ln n + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$, puis tu divises par $\ln n$. Le jury de PC 2025 a sanctionné cette affirmation faite sans factorisation.
Ne sors pas non plus un théorème lourd quand une majoration suffit. Pour $\int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\,\mathrm{d}t$, l'encadrement $0 \leqslant \frac{t^n}{1+t} \leqslant t^n$, vrai sur $[0\,;1]$, place l'intégrale entre 0 et $\frac{1}{n+1}$ : elle tend vers 0, sans convergence dominée. Le même jury a été « exaspéré » par le recours quasi systématique à des théorèmes sophistiqués là où une majoration immédiate concluait.
Pour une comparaison série-intégrale, ce rapport attend que tu écrives toi-même l'encadrement, à partir de la monotonie de la fonction (exercice 3).
Algèbre : ensembles, sous-espaces, similitude
« Montrer que $F = G$ », ou « les éléments de $F$ sont les fonctions de la forme… » : c'est une égalité d'ensembles, donc deux inclusions. En 2026, le jury de PC a lu des copies qui prouvaient une inclusion puis concluaient à l'égalité, et d'autres qui prenaient la seconde formulation pour une seule implication.
Pour un sous-espace vectoriel, montre d'abord qu'il est non vide (il contient en général le vecteur nul), puis qu'il est stable par combinaison linéaire. En MP 2026, oublier de vérifier que la matrice nulle en faisait partie a été sanctionné.
Pour la similitude, pense aux invariants : les quantités qui ne changent pas quand on remplace $A$ par $PAP^{-1}$, comme le rang, la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique ou le rang de $A - \lambda I_n$. Un invariant qui diffère prouve que deux matrices ne sont pas semblables.
Piège classique : même polynôme caractéristique ne veut pas dire semblables, le jury de PC le rappelle en 2026. L'exercice 1 te le montre sur une matrice $2 \times 2$.
Garde aussi en tête la nature de chaque objet. Deux matrices ne commutent pas en général : $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, et l'identité remarquable appliquée sans commutativité figure parmi les erreurs relevées en 2026, en PC comme en PSI. Et $\det(\lambda I_n) = \lambda^n$ : en MP 2026, le candidat qui écrivait $\lambda$ était « très fortement pénalisé ».
Résultat donné et « en déduire »
Quand l'énoncé donne le résultat, le correcteur note le chemin. Recopier le résultat après une étape fausse ne sert à rien : il est « bien plus pertinent de reprendre son calcul et de se corriger », écrit le jury de PC en 2026. Et si tu obtiens plus fort que ce qui est demandé, relis-toi : c'est le conseil du jury de MP en 2025.
Pour « en déduire », cite le numéro de la question utilisée : « d'après ce qui précède » ne suffit pas (rapport 2025, MP). Quand l'énoncé glisse « en remarquant que… », la remarque se démontre aussi (rapport 2026, PC).
« Déterminer une solution » te permet d'en proposer une directement, puis de vérifier par le calcul qu'elle convient (jury de PSI 2026) ; « déterminer les solutions » demande en plus de prouver qu'il n'y en a pas d'autre.
Traite enfin à part les cas que ta méthode exclut, comme une quantité nulle par laquelle tu divises : en Mathématiques 1 MP 2025, chacune des trois premières questions en cachait un. Et un cas particulier ne remplace pas une preuve : le jury de MP 2026 « rappelle avec force qu'un exemple ne prouve rien ».
Probabilités : tester avant de rendre
Conseil : une probabilité est entre 0 et 1. Avant de rendre une formule qui dépend d'un paramètre $p$, remplace $p$ par 0 puis par 1 au brouillon et regarde si le résultat a un sens. C'est le test que propose le jury de MP 2026, qui a lu de nombreuses probabilités négatives. Le même réflexe marche avec $n = 1$ ou $n = 2$.
Distingue les issues (les éléments de $\Omega$), les événements (des ensembles d'issues) et les variables aléatoires (des fonctions définies sur $\Omega$). Le jury de PSI 2026 juge qu'une confusion entre issues et événements empêche tout raisonnement.
Pour une variable qui compte quelque chose, écris-la comme une somme d'indicatrices ($\mathbf{1}_A$ vaut 1 si $A$ est réalisé, 0 sinon, et $E(\mathbf{1}_A) = P(A)$), puis utilise la linéarité de l'espérance. Le même rapport qualifie cet outil d'« incontournable » pour les variables de comptage, et le trouve trop peu utilisé (exercice 2).
Exercices corrigés
Rédige chaque réponse comme sur ta copie avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Vérifie que $A$ et $I_2$ ont la même trace, le même déterminant et le même polynôme caractéristique. Sont-elles semblables ?
Correction :
On a $\operatorname{tr} A = 2 = \operatorname{tr} I_2$, $\det A = 1 = \det I_2$ et $\chi_A = (X-1)^2 = \chi_{I_2}$. Pourtant, $A$ et $I_2$ ne sont pas semblables.
Si $A = P I_2 P^{-1}$ avec $P$ inversible, alors $A = PP^{-1} = I_2$, ce qui est faux. Seule $I_2$ est semblable à $I_2$.
Un invariant le montre aussi, et l'argument marche en toute taille : $\operatorname{rg}(A - I_2) = 1$ alors que $\operatorname{rg}(I_2 - I_2) = 0$. Or si $N = PMP^{-1}$, alors $N - I_2 = P(M - I_2)P^{-1}$, de même rang que $M - I_2$.
Exercice 2 : À la sortie d'un vestiaire, on rend au hasard leurs $n$ manteaux à $n \geqslant 1$ personnes : les $n!$ répartitions sont équiprobables. On note $X$ le nombre de personnes qui repartent avec leur propre manteau. Calcule $E(X)$.
Correction :
Note $A_i$ l'événement « la personne $i$ repart avec son manteau ». Alors $X = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{A_i}$.
Les répartitions où la personne $i$ a son manteau sont celles des $n-1$ autres manteaux entre les $n-1$ autres personnes : il y en a $(n-1)!$, donc $P(A_i) = \dfrac{(n-1)!}{n!} = \dfrac{1}{n}$.
Par linéarité de l'espérance, $E(X) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) = n \times \dfrac{1}{n} = 1$. En moyenne, une personne repart avec son manteau, quel que soit $n$.
Pour $n \geqslant 2$, les $A_i$ ne sont pas indépendants, et cela ne gêne pas : la linéarité n'exige aucune indépendance. Contrôle avec $n = 2$ : soit chacun a son manteau ($X = 2$), soit ils sont échangés ($X = 0$), d'où $E(X) = 1$.
Exercice 3 : Pour $n \geqslant 1$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$. Montre que $\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant 1 + \ln n$, puis que $H_n \sim \ln n$.
Correction :
La fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Pour $k \geqslant 1$ et $t \in [k\,;k+1]$, on a donc $\frac{1}{k+1} \leqslant \frac{1}{t} \leqslant \frac{1}{k}$, et en intégrant sur ce segment de longueur 1 :
$$\frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \leqslant \frac{1}{k}.$$
La somme des inégalités de droite pour $k$ de 1 à $n$ donne $\ln(n+1) \leqslant H_n$. Celle des inégalités de gauche pour $k$ de 1 à $n-1$ donne $H_n - 1 \leqslant \ln n$.
Pour $n \geqslant 2$, $\ln n \gt 0$ et on divise : $\dfrac{\ln(n+1)}{\ln n} \leqslant \dfrac{H_n}{\ln n} \leqslant 1 + \dfrac{1}{\ln n}$. À gauche, factorise dans le logarithme : $\dfrac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \dfrac{\ln(1 + 1/n)}{\ln n}$, qui tend vers 1. À droite aussi. Par encadrement, $\dfrac{H_n}{\ln n} \to 1$, c'est-à-dire $H_n \sim \ln n$.
Contrôle avec $n = 1$ : $\ln 2 \approx 0{,}69 \leqslant 1 \leqslant 1$. L'encadrement $\ln(n+1) \leqslant H_n \leqslant \ln n$, lu par le jury de PC en 2025, est faux dès $n = 1$.
À retenir
À retenir :
- Existence d'abord : régularité sur l'intervalle, puis chaque borne par comparaison.
- Convergence : une comparaison écrite en toutes lettres, à $\sum \frac{1}{n^2}$ ou à une série géométrique ; jamais d'équivalent composé par une fonction.
- Égalité d'ensembles : deux inclusions. Sous-espace : non vide, puis stable.
- Similitude : un invariant différent prouve la non-similitude, des invariants égaux ne prouvent rien.
- Résultat donné ou « en déduire » : chaque étape écrite, les numéros de questions cités.
- Probabilités : test avec $p = 0$, $p = 1$ ou $n = 1$, indicatrices pour compter.
Sources
- Concours commun Mines-Ponts, rapport sur les épreuves écrites, concours 2026 (observations des correcteurs) : texte sur concoursminesponts.fr.
- Concours commun Mines-Ponts, rapport sur les épreuves écrites, concours 2025 : texte sur concoursminesponts.fr.