Correction :

Un vecteur $v$ est un vecteur propre de $A$ s'il existe un scalaire $\lambda$ (valeur propre) tel que $Av = \lambda v$ et $v \neq 0$.

1. Calcul de $Av$ : $$ Av = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$
2. Comparaison avec $\lambda v$ : Nous voyons que $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Donc, $Av = 3v$.

Astuce : Le vecteur propre doit être non nul. La valeur propre peut être nulle.

Correction :

Le polynôme caractéristique d'une matrice $A$ est donné par $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$, où $I$ est la matrice identité de même taille que $A$.

1. Formation de $A - \lambda I$ : $$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 0-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & -\lambda \end{pmatrix} $$
2. Calcul du déterminant : Pour une matrice $2 \times 2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$. $$ P_A(\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda) - (2)(3) $$ $$ P_A(\lambda) = -\lambda + \lambda^2 - 6 $$ $$ P_A(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 6 $$

Point méthode : Le polynôme caractéristique est fondamental car ses racines sont les valeurs propres de la matrice.

Correction :

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique $P_B(\lambda) = \det(B - \lambda I) = 0$.

1. Calcul du polynôme caractéristique : $$ B - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 \\ 2 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_B(\lambda) = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-1)(2) $$ $$ P_B(\lambda) = (4 - 4\lambda - \lambda + \lambda^2) + 2 $$ $$ P_B(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 $$ $$ P_B(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 $$
2. Recherche des racines : On résout l'équation $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$. On peut factoriser : $(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$. Les racines sont $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 3$.

Astuce : Pour une matrice $2 \times 2$, les valeurs propres sont souvent entières et faciles à trouver en factorisant le polynôme caractéristique.

Correction :

Le sous-espace propre $E_\lambda$ est l'ensemble des vecteurs $v$ tels que $Av = \lambda v$, ce qui est équivalent à $(A - \lambda I)v = 0$.

1. Sous-espace propre $E_2$ (pour $\lambda_1 = 2$) : On résout $(B - 2I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. $$ B - 2I = \begin{pmatrix} 4-2 & -1 \\ 2 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} 2x - y = 0 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$. La deuxième équation est identique à la première. On a $y = 2x$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ 2x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Une base de $E_2$ est $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$. Donc $\dim(E_2) = 1$.
2. Sous-espace propre $E_3$ (pour $\lambda_2 = 3$) : On résout $(B - 3I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. $$ B - 3I = \begin{pmatrix} 4-3 & -1 \\ 2 & 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} x - y = 0 \\ 2x - 2y = 0 \end{cases}$. Les deux équations sont équivalentes à $x = y$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Une base de $E_3$ est $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$. Donc $\dim(E_3) = 1$.

Point méthode : Pour trouver les vecteurs propres, tu résous un système linéaire homogène. N'oublie pas que les sous-espaces propres sont des droites ou des plans (ou des espaces de dimension plus élevée) et qu'il faut en donner une base.

Correction :

Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace (ici 3), ou de manière équivalente, si pour chaque valeur propre $\lambda$, la dimension de son sous-espace propre $E_\lambda$ est égale à sa multiplicité algébrique.

1. Détermination des valeurs propres : $C$ est une matrice triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont donc ses éléments diagonaux. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ (avec multiplicité 2) et $\lambda_2 = 2$ (avec multiplicité 1).
2. Étude de la valeur propre $\lambda_2 = 2$ : Sa multiplicité algébrique est 1. La dimension de $E_2$ sera nécessairement 1. Donc pas de problème de ce côté.
3. Étude de la valeur propre $\lambda_1 = 1$ (multiplicité algébrique 2) : On doit calculer la dimension de $E_1$. On résout $(C - 1I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. $$ C - 1I = \begin{pmatrix} 1-1 & 1 & 0 \\ 0 & 1-1 & 1 \\ 0 & 0 & 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \\ z = 0 \end{cases}$. Cela implique $y=0$ et $z=0$. Le vecteur $x$ est libre. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Donc, une base de $E_1$ est $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$. La dimension de $E_1$ est 1.
4. Conclusion sur la diagonalisabilité : La multiplicité algébrique de $\lambda_1 = 1$ est 2, mais la dimension de son sous-espace propre $E_1$ est 1. Puisque $\dim(E_1) \neq \text{multiplicité algébrique}(\lambda_1)$, la matrice $C$ n'est pas diagonalisable.

Point méthode : Pour la diagonalisabilité, la condition $\dim(E_\lambda) = \text{multiplicité algébrique}(\lambda)$ doit être vraie pour toutes les valeurs propres. Si une seule ne satisfait pas cette condition, la matrice n'est pas diagonalisable.

Correction :

1. Calcul du polynôme caractéristique : $$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_A(\lambda) = (2-\lambda)^2 - (-1)(-1) = (2-\lambda)^2 - 1 $$ $$ P_A(\lambda) = (2-\lambda-1)(2-\lambda+1) = (1-\lambda)(3-\lambda) $$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 3$.
2. Détermination des sous-espaces propres :
   • Pour $\lambda_1 = 1$ :
   $$ A - 1I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$ Le système $x-y=0$ donne $y=x$. Un vecteur propre est $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. $E_1 = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$.
   • Pour $\lambda_2 = 3$ :
   $$ A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $$ Le système $-x-y=0$ donne $y=-x$. Un vecteur propre est $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. $E_3 = \text{Vect}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$.
3. Construction de $P$ et $D$ : La matrice $A$ est diagonalisable car elle a deux valeurs propres distinctes en dimension 2. La matrice $D$ est la matrice diagonale avec les valeurs propres sur la diagonale (dans l'ordre choisi pour les vecteurs propres). La matrice $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres (dans le même ordre). On choisit $v_1$ pour $\lambda_1=1$ et $v_2$ pour $\lambda_2=3$. $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Point méthode : L'ordre des valeurs propres dans $D$ doit correspondre à l'ordre des vecteurs propres dans $P$. Si tu inverses l'ordre de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ dans $D$, tu dois aussi inverser l'ordre de $v_1$ et $v_2$ dans $P$.

Correction :

Pour calculer $A^n$, la méthode la plus efficace est de diagonaliser $A$ (si elle l'est). Si $A = PDP^{-1}$, alors $A^n = PD^n P^{-1}$.

1. Calcul du polynôme caractéristique et des valeurs propres : $$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 \\ 2 & -\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_A(\lambda) = (3-\lambda)(-\lambda) - (-1)(2) = -3\lambda + \lambda^2 + 2 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 $$ L'équation $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$ donne $(\lambda-1)(\lambda-2)=0$. Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 2$.
2. Détermination des sous-espaces propres et des vecteurs propres :
   • Pour $\lambda_1 = 1$ :
   $$ A - 1I = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ Le système $2x-y=0$ donne $y=2x$. Vecteur propre $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
   • Pour $\lambda_2 = 2$ :
   $$ A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} $$ Le système $x-y=0$ donne $y=x$. Vecteur propre $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
3. Diagonalisation : $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
4. Calcul de $P^{-1}$ : $\det(P) = (1)(1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1$. $$ P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$
5. Calcul de $D^n$ : $$ D^n = \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} $$
6. Calcul de $A^n = PD^n P^{-1}$ : $$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ A^n = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2^n \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n \\ 2 & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ A^n = \begin{pmatrix} 1(-1) + 2^n(2) & 1(1) + 2^n(-1) \\ 2(-1) + 2^n(2) & 2(1) + 2^n(-1) \end{pmatrix} $$ $$ A^n = \begin{pmatrix} -1 + 2^{n+1} & 1 - 2^n \\ -2 + 2^{n+1} & 2 - 2^n \end{pmatrix} $$

Astuce : La puissance d'une matrice diagonale est simplement la puissance de ses éléments diagonaux. C'est l'un des grands avantages de la diagonalisation !

Correction :

1. a) Détermination des valeurs propres : Le polynôme caractéristique est $P_M(\lambda) = \det(M - \lambda I)$. $$ M - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ Développons par rapport à la deuxième ligne (qui contient beaucoup de zéros) : $$ P_M(\lambda) = (2-\lambda) \det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(\lambda) = (2-\lambda) [ (3-\lambda)^2 - 1 \cdot 1 ] $$ $$ P_M(\lambda) = (2-\lambda) [ (3-\lambda-1)(3-\lambda+1) ] $$ $$ P_M(\lambda) = (2-\lambda) [ (2-\lambda)(4-\lambda) ] $$ $$ P_M(\lambda) = (2-\lambda)^2 (4-\lambda) $$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 2$ (multiplicité algébrique 2) et $\lambda_2 = 4$ (multiplicité algébrique 1).
2. b) Diagonalisabilité de $M$ : Pour que $M$ soit diagonalisable, il faut que pour chaque valeur propre $\lambda$, la dimension de son sous-espace propre $E_\lambda$ soit égale à sa multiplicité algébrique.
   • Pour $\lambda_2 = 4$ : Sa multiplicité algébrique est 1. Donc $\dim(E_4) = 1$. Pas de problème.
   • Pour $\lambda_1 = 2$ : Sa multiplicité algébrique est 2. On doit vérifier si $\dim(E_2) = 2$.
   On résout $(M - 2I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. $$ M - 2I = \begin{pmatrix} 3-2 & -1 & 1 \\ 0 & 2-2 & 0 \\ 1 & -1 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 0 = 0 \\ x - y + z = 0 \end{cases}$. La première et la troisième équation sont identiques. On a donc $x - y + z = 0$. Cette équation lie $x, y, z$. Par exemple, on peut exprimer $x = y - z$. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} y-z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ sont linéairement indépendants et engendrent $E_2$. Donc, $\dim(E_2) = 2$. Puisque $\dim(E_2) = \text{multiplicité algébrique}(\lambda_1) = 2$ et $\dim(E_4) = \text{multiplicité algébrique}(\lambda_2) = 1$, la matrice $M$ est diagonalisable.

Point méthode : Développer le déterminant le long d'une ligne ou d'une colonne avec des zéros (ici la ligne 2) simplifie grandement les calculs du polynôme caractéristique.

Correction :

1. a) Valeurs propres et multiplicités : La matrice $N$ est triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux. Ainsi, l'unique valeur propre est $\lambda = 1$. Sa multiplicité algébrique est 3 (car elle apparaît trois fois sur la diagonale).
2. b) Diagonalisabilité et trigonalisabilité :
   • Diagonalisabilité :
   Pour que $N$ soit diagonalisable, il faudrait que la dimension de son sous-espace propre $E_1$ soit égale à sa multiplicité algébrique, c'est-à-dire 3. Calculons $\dim(E_1)$ : on résout $(N - 1I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. $$ N - 1I = \begin{pmatrix} 1-1 & 1 & 0 \\ 0 & 1-1 & 1 \\ 0 & 0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \\ 0 = 0 \end{cases}$. Cela implique $y=0$ et $z=0$, et $x$ est une variable libre. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Une base de $E_1$ est $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$. Donc $\dim(E_1) = 1$. Puisque $\dim(E_1) = 1 \neq \text{multiplicité algébrique}(\lambda) = 3$, la matrice $N$ n'est pas diagonalisable.
   • Trigonalisabilité :
   Une matrice est trigonalisable sur $\mathbb{C}$ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{C}$ (c'est-à-dire que toutes ses racines sont dans $\mathbb{C}$). Ici, le polynôme caractéristique est $P_N(\lambda) = (1-\lambda)^3$. Ses racines sont toutes égales à 1, qui est un nombre réel (et donc complexe). Le polynôme est scindé sur $\mathbb{R}$ (et donc sur $\mathbb{C}$). Ainsi, la matrice $N$ est trigonalisable. En fait, elle est déjà sous forme triangulaire, donc par définition elle est trigonalisable.

Point méthode : Toute matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est trigonalisable. C'est une condition plus faible que la diagonalisabilité, et c'est toujours possible sur $\mathbb{C}$.

Correction :

1. a) Valeurs propres de $f$ (ou de $A$) : $$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & -1 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ Développons par rapport à la troisième colonne : $$ P_A(\lambda) = (1-\lambda) \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_A(\lambda) = (1-\lambda) [ (1-\lambda)(2-\lambda) - (-1)(0) ] $$ $$ P_A(\lambda) = (1-\lambda)^2 (2-\lambda) $$ Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ (multiplicité algébrique 2) et $\lambda_2 = 2$ (multiplicité algébrique 1).
2. b) Dimensions des sous-espaces propres :
   • Pour $\lambda_2 = 2$ : Multiplicité algébrique 1. Donc $\dim(E_2) = 1$.
   • Pour $\lambda_1 = 1$ : Multiplicité algébrique 2. On doit calculer $\dim(E_1)$.
   On résout $(A - 1I)v = 0$ avec $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. $$ A - 1I = \begin{pmatrix} 1-1 & -1 & 0 \\ 0 & 2-1 & 0 \\ 1 & -1 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$ Le système est $\begin{cases} -y = 0 \\ y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$. Cela implique $y=0$. Puis, $x-0=0 \implies x=0$. La variable $z$ est libre. Les vecteurs propres sont de la forme $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Une base de $E_1$ est $\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$. Donc $\dim(E_1) = 1$.
3. c) Diagonalisabilité et trigonalisabilité de $f$ :
   • Diagonalisabilité :
   Pour $\lambda_1 = 1$, la multiplicité algébrique est 2, mais la dimension de $E_1$ est 1. Puisque $\dim(E_1) \neq \text{multiplicité algébrique}(\lambda_1)$, l'endomorphisme $f$ (et donc la matrice $A$) n'est pas diagonalisable.
   • Trigonalisabilité :
   Le polynôme caractéristique est $P_A(\lambda) = (1-\lambda)^2 (2-\lambda)$. Toutes ses racines (1 et 2) sont réelles. Puisque le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$, l'endomorphisme $f$ (et la matrice $A$) est trigonalisable sur $\mathbb{R}$.

Point méthode : La condition de trigonalisabilité est plus souple que celle de diagonalisabilité. Tant que toutes les valeurs propres sont dans le corps considéré (ici $\mathbb{R}$), la matrice est trigonalisable. La diagonalisabilité requiert en plus que les sous-espaces propres soient "assez grands".