Correction :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre homogène, de la forme $y'(x) + a(x)y(x) = 0$. Ici, $a(x) = 2$ (une constante).

1. Identification : L'équation est de la forme $y' + ay = 0$ avec $a=2$.
2. Formule générale : Les solutions d'une telle équation sont de la forme $y(x) = C e^{-ax}$, où $C$ est une constante réelle.
3. Application : En remplaçant $a$ par 2, on obtient la solution.

Astuce : Pense toujours à vérifier ta solution en la dérivant et en la substituant dans l'équation originale. Ici, $y'(x) = -2C e^{-2x}$, donc $y'(x) + 2y(x) = -2C e^{-2x} + 2(C e^{-2x}) = 0$. La solution est correcte.

Correction :

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre constant.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène associée est $y'(x) - 3y(x) = 0$. Sa solution est $y_h(x) = C e^{3x}$, où $C \in \mathbb{R}$.
2. Recherche d'une solution particulière ($y_p$) : Puisque le second membre est une constante (6), on cherche une solution particulière $y_p(x)$ qui est également une constante, disons $y_p(x) = A$. Alors $y_p'(x) = 0$. En substituant dans l'équation originale : $0 - 3A = 6 \implies A = -2$. Donc, une solution particulière est $y_p(x) = -2$.
3. Solution générale : La solution générale est la somme de la solution homogène et d'une solution particulière : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.

Point méthode : Pour un second membre polynomial de degré $n$, on cherche une solution particulière polynomiale de degré $n$. Si le second membre est une constante, on cherche une solution particulière constante.

Correction :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et homogène.

1. Équation caractéristique : On associe à cette EDL l'équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$.
2. Résolution de l'équation caractéristique : On calcule le discriminant $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. Les racines sont $r_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $r_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = 3$. Nous avons deux racines réelles distinctes.
3. Forme de la solution générale : Dans ce cas, la solution générale est de la forme $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.
4. Application :

Astuce : Les racines de l'équation caractéristique sont cruciales. Si $\Delta > 0$, deux racines réelles distinctes. Si $\Delta = 0$, une racine réelle double. Si $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées.

Correction :

C'est une EDL du premier ordre avec un second membre non constant et une condition initiale.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène associée est $y'(x) + y(x) = 0$. Sa solution est $y_h(x) = C e^{-x}$, où $C \in \mathbb{R}$.
2. Recherche d'une solution particulière ($y_p$) : Le second membre est un polynôme de degré 1 ($x$). On cherche donc une solution particulière de la forme $y_p(x) = Ax + B$. Alors $y_p'(x) = A$. En substituant dans l'équation originale : $A + (Ax + B) = x$. $Ax + (A+B) = x$. Par identification des coefficients : Pour $x^1$: $A = 1$. Pour $x^0$: $A+B = 0 \implies 1+B=0 \implies B=-1$. Donc, une solution particulière est $y_p(x) = x - 1$.
3. Solution générale : La solution générale est $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{-x} + x - 1$.
4. Utilisation de la condition initiale : On a $y(0) = 1$. En substituant $x=0$ dans la solution générale : $y(0) = C e^{-0} + 0 - 1 = C - 1$. On doit avoir $C - 1 = 1$, ce qui implique $C = 2$.

Point méthode : Toujours déterminer la constante $C$ après avoir trouvé la solution générale, jamais avant !

Correction :

C'est une EDL du second ordre homogène à coefficients constants.

1. Équation caractéristique : L'équation caractéristique est $r^2 + 4r + 13 = 0$.
2. Résolution de l'équation caractéristique : On calcule le discriminant $\Delta = 4^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36$. Puisque $\Delta < 0$, les racines sont complexes conjuguées. $r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$. On a donc $\alpha = -2$ et $\beta = 3$.
3. Forme de la solution générale : Pour des racines complexes $r = \alpha \pm i\beta$, la solution générale est de la forme $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.
4. Application :

Astuce : Ne confonds pas $\beta$ avec $i\beta$. $\beta$ est la partie imaginaire positive de la racine complexe.

Correction :

EDL du second ordre à coefficients constants avec second membre polynomial.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène est $y'' - 2y' + y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r-1)^2 = 0$. Racine double : $r_0 = 1$. La solution homogène est $y_h(x) = (C_1 x + C_2)e^{x}$.
2. Recherche d'une solution particulière ($y_p$) : Le second membre est $P(x) = x+1$, un polynôme de degré 1. Puisque $r=0$ (racine associée à $P(x)$) n'est pas une racine de l'équation caractéristique, on cherche $y_p(x)$ sous la forme d'un polynôme de même degré : $y_p(x) = Ax + B$. $y_p'(x) = A$ $y_p''(x) = 0$ Substitution dans l'équation : $0 - 2(A) + (Ax+B) = x+1$. $Ax + (B-2A) = x+1$. Par identification : $A = 1$ $B-2A = 1 \implies B-2(1)=1 \implies B=3$. Donc, $y_p(x) = x+3$.
3. Solution générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.

Point méthode : Si $0$ était une racine de l'équation caractéristique (ce n'est pas le cas ici), on chercherait $y_p(x)$ sous la forme $x^k(Ax+B)$ où $k$ est la multiplicité de $0$ comme racine.

Correction :

EDL du second ordre à coefficients constants avec second membre exponentiel.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène est $y'' + y' - 2y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 + r - 2 = 0$. $\Delta = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$. Racines : $r_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ et $r_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$. La solution homogène est $y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$.
2. Recherche d'une solution particulière ($y_p$) : Le second membre est $f(x) = 3e^{-x}$. Le coefficient de $x$ dans l'exponentielle est $-1$. Puisque $-1$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique ($r_1=-2, r_2=1$), on cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = A e^{-x}$. $y_p'(x) = -A e^{-x}$ $y_p''(x) = A e^{-x}$ Substitution dans l'équation : $A e^{-x} + (-A e^{-x}) - 2(A e^{-x}) = 3 e^{-x}$. $A e^{-x} - A e^{-x} - 2A e^{-x} = 3 e^{-x}$. $-2A e^{-x} = 3 e^{-x}$. Par identification des coefficients de $e^{-x}$ : $-2A = 3 \implies A = -\frac{3}{2}$. Donc, $y_p(x) = -\frac{3}{2} e^{-x}$.
3. Solution générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.

Point méthode : Si le coefficient de l'exponentielle dans le second membre avait été une racine de l'équation caractéristique (par exemple, si le second membre avait été $3e^{-2x}$), on aurait cherché $y_p(x)$ sous la forme $Ax^k e^{-2x}$ où $k$ est la multiplicité de $-2$ comme racine.

Correction :

EDL du second ordre avec second membre trigonométrique et conditions initiales.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène est $y'' - 4y' + 4y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 4r + 4 = 0 \implies (r-2)^2 = 0$. Racine double : $r_0 = 2$. La solution homogène est $y_h(x) = (C_1 x + C_2)e^{2x}$.
2. Recherche d'une solution particulière ($y_p$) : Le second membre est $f(x) = 2 \cos(2x)$. Le terme $i\omega = 2i$ (car $\cos(2x)$ est la partie réelle de $e^{2ix}$). $2i$ n'est pas une racine de l'équation caractéristique (qui a pour seule racine 2). On cherche $y_p(x)$ sous la forme $A \cos(2x) + B \sin(2x)$. $y_p'(x) = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)$ $y_p''(x) = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)$ Substitution dans l'équation : $(-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) - 4(-2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)) + 4(A \cos(2x) + B \sin(2x)) = 2 \cos(2x)$ Regroupons les termes en $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ : $\cos(2x) (-4A - 8B + 4A) + \sin(2x) (-4B + 8A + 4B) = 2 \cos(2x)$ $\cos(2x) (-8B) + \sin(2x) (8A) = 2 \cos(2x)$ Par identification : $-8B = 2 \implies B = -\frac{1}{4}$ $8A = 0 \implies A = 0$ Donc, $y_p(x) = -\frac{1}{4} \sin(2x)$.
3. Solution générale : $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 x + C_2)e^{2x} - \frac{1}{4} \sin(2x)$.
4. Utilisation des conditions initiales : D'abord, calculons $y'(x)$ : $y'(x) = C_1 e^{2x} + 2(C_1 x + C_2)e^{2x} - \frac{1}{4} (2 \cos(2x))$ $y'(x) = e^{2x}(C_1 + 2C_1 x + 2C_2) - \frac{1}{2} \cos(2x)$. Condition $y(0) = 1$ : $y(0) = (C_1 \cdot 0 + C_2)e^{0} - \frac{1}{4} \sin(0) = C_2$. Donc $C_2 = 1$. Condition $y'(0) = 0$ : $y'(0) = e^{0}(C_1 + 2C_1 \cdot 0 + 2C_2) - \frac{1}{2} \cos(0) = C_1 + 2C_2 - \frac{1}{2}$. Donc $C_1 + 2C_2 - \frac{1}{2} = 0$. En remplaçant $C_2 = 1$ : $C_1 + 2(1) - \frac{1}{2} = 0 \implies C_1 + 2 - \frac{1}{2} = 0 \implies C_1 + \frac{3}{2} = 0 \implies C_1 = -\frac{3}{2}$.

Astuce : Lorsque tu dérives pour $y'(0)$, fais attention à appliquer la règle du produit pour la partie $e^{2x}(C_1 x + C_2)$.

Correction :

EDL du premier ordre avec un coefficient variable et un second membre. La méthode de variation des constantes est demandée.

1. Résolution de l'équation homogène ($y_h$) : L'équation homogène est $y'(x) + \frac{1}{x} y(x) = 0$. On a $\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x}$. En intégrant : $\ln|y| = -\ln|x| + K' = \ln\left(\frac{1}{|x|}\right) + K'$. Donc $y_h(x) = C \frac{1}{x}$ pour $x>0$.
2. Variation de la constante : On cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = C(x) \frac{1}{x}$. Calculons $y_p'(x)$ : $y_p'(x) = C'(x) \frac{1}{x} + C(x) \left(-\frac{1}{x^2}\right)$. Substituons $y_p(x)$ et $y_p'(x)$ dans l'équation originale : $\left(C'(x) \frac{1}{x} - C(x) \frac{1}{x^2}\right) + \frac{1}{x} \left(C(x) \frac{1}{x}\right) = \cos(x)$. $C'(x) \frac{1}{x} - \frac{C(x)}{x^2} + \frac{C(x)}{x^2} = \cos(x)$. Les termes en $C(x)$ s'annulent, ce qui est caractéristique de la méthode de variation des constantes. On obtient $C'(x) \frac{1}{x} = \cos(x)$. Donc $C'(x) = x \cos(x)$.
3. Intégration de $C'(x)$ pour trouver $C(x)$ : On intègre $x \cos(x)$ par parties : $\int u dv = uv - \int v du$. Posons $u = x \implies du = dx$. Posons $dv = \cos(x) dx \implies v = \sin(x)$. $C(x) = \int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) + K = x \sin(x) + \cos(x) + K$. Pour une solution particulière, on peut prendre $K=0$. Donc $C(x) = x \sin(x) + \cos(x)$.
4. Solution particulière et solution générale : $y_p(x) = C(x) \frac{1}{x} = (x \sin(x) + \cos(x)) \frac{1}{x} = \sin(x) + \frac{\cos(x)}{x}$. La solution générale est $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.

Point méthode : La méthode de variation des constantes est très puissante car elle fonctionne pour n'importe quel second membre, contrairement à la méthode par coefficients indéterminés qui exige une forme particulière du second membre.

Correction :

1. a) Solution de l'équation homogène : L'équation homogène est $y'' + y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 + 1 = 0 \implies r^2 = -1 \implies r = \pm i$. Ici, $\alpha = 0$ et $\beta = 1$. La solution homogène est $y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$.
2. b) Solution particulière par variation des constantes : On cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = C_1(x) \cos(x) + C_2(x) \sin(x)$. Les fonctions $y_1(x) = \cos(x)$ et $y_2(x) = \sin(x)$ forment un système fondamental de solutions. Le système d'équations pour $C_1'(x)$ et $C_2'(x)$ est : $$ \begin{cases} C_1'(x) y_1(x) + C_2'(x) y_2(x) = 0 \\ C_1'(x) y_1'(x) + C_2'(x) y_2'(x) = f(x) \end{cases} $$ Avec $y_1(x) = \cos(x)$, $y_2(x) = \sin(x)$, $y_1'(x) = -\sin(x)$, $y_2'(x) = \cos(x)$ et $f(x) = \frac{1}{\cos(x)}$. $$ \begin{cases} C_1'(x) \cos(x) + C_2'(x) \sin(x) = 0 \quad (L_1) \\ C_1'(x) (-\sin(x)) + C_2'(x) \cos(x) = \frac{1}{\cos(x)} \quad (L_2) \end{cases} $$ Multiplions $(L_1)$ par $\cos(x)$ et $(L_2)$ par $\sin(x)$ et additionnons pour trouver $C_2'(x)$ : $C_1'(x) \cos^2(x) + C_2'(x) \sin(x)\cos(x) = 0$ $-C_1'(x) \sin^2(x) + C_2'(x) \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ Soustraire la première de la deuxième : $C_1'(x)(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ $C_1'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Multiplions $(L_1)$ par $\sin(x)$ et $(L_2)$ par $\cos(x)$ et additionnons pour trouver $C_2'(x)$ : $C_1'(x) \cos(x)\sin(x) + C_2'(x) \sin^2(x) = 0$ $-C_1'(x) \sin(x)\cos(x) + C_2'(x) \cos^2(x) = 1$ Additionnons : $C_2'(x)(\sin^2(x) + \cos^2(x)) = 1$ $C_2'(x) = 1$. Intégrons $C_1'(x)$ et $C_2'(x)$ : $C_1(x) = \int -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx$. Posons $u = \cos(x)$, $du = -\sin(x)dx$. $C_1(x) = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + K_1 = \ln|\cos(x)| + K_1$. Pour $x \in (-\pi/2, \pi/2)$, $\cos(x)>0$, donc $C_1(x) = \ln(\cos(x))$. (On prend $K_1=0$ pour une solution particulière). $C_2(x) = \int 1 dx = x + K_2$. Pour une solution particulière, on prend $K_2=0$, donc $C_2(x) = x$. La solution particulière est $y_p(x) = \ln(\cos(x)) \cos(x) + x \sin(x)$.

Point méthode : La méthode de variation des constantes est plus complexe pour le second ordre, mais elle est très efficace pour des seconds membres qui ne se prêtent pas à la méthode des coefficients indéterminés.