Maîtriser les Séries Entières en Prépa Maths

Correction :

Pour déterminer le rayon de convergence, nous allons utiliser le critère de D'Alembert pour les séries numériques, qui s'applique ici aux coefficients. Soit $a_n = 3^n + 2^n$.

Étape 1 : Calculer le rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

On a :

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{3^n + 2^n} $$

Étape 2 : Factoriser le terme dominant

Factorisons $3^n$ au dénominateur et $3^{n+1}$ au numérateur :

$$ \frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{3^n + 2^n} = \frac{3^{n+1}(1 + (2/3)^{n+1})}{3^n(1 + (2/3)^n)} = 3 \frac{1 + (2/3)^{n+1}}{1 + (2/3)^n} $$

Étape 3 : Calculer la limite du rapport

Quand $n \to +\infty$, $(2/3)^n \to 0$ et $(2/3)^{n+1} \to 0$.

Donc :

$$ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to +\infty} 3 \frac{1 + (2/3)^{n+1}}{1 + (2/3)^n} = 3 \frac{1+0}{1+0} = 3 $$

Étape 4 : Déterminer le rayon de convergence

Le rayon de convergence $R$ est donné par $R = \frac{1}{L}$ où $L$ est cette limite. Ici, $L=3$.

Correction :

C'est un classique qu'il faut absolument maîtriser ! Nous allons utiliser le développement en série entière de la série géométrique.

Étape 1 : Rappeler le DSE de la série géométrique

On sait que pour tout $u$ tel que $|u| < 1$, on a :

$$ \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{+\infty} u^n $$

Étape 2 : Substituer $u$ par $2x$

Dans notre cas, $u=2x$. Il faut donc que $|2x| < 1$, ce qui équivaut à $|x| < \frac{1}{2}$.

On substitue $u$ par $2x$ dans la formule :

$$ \frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} 2^n x^n $$

Étape 3 : Déterminer le rayon de convergence

La condition $|x| < \frac{1}{2}$ nous donne directement le rayon de convergence.

Correction :

Partie a) Rayon de convergence

Soit $a_n = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$. On utilise le critère de D'Alembert.

Étape 1 : Calculer le rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{1/(n+1)}{1/n} \right| = \frac{n}{n+1} $$

Étape 2 : Calculer la limite du rapport

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+1/n} = 1 $$

Étape 3 : Déterminer le rayon de convergence

Donc $R = \frac{1}{1} = 1$.

Partie b) Calcul de la somme $S(x)$

La série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$ est la série des primitives de la série géométrique. On va dériver terme à terme.

Étape 1 : Dériver la série $S(x)$

Pour $|x| < 1$, on peut dériver $S(x)$ terme à terme :

$$ S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d}{dx} \left(\frac{x^n}{n} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} $$

Étape 2 : Reconnaître une série connue

Posons $k = n-1$. Quand $n=1$, $k=0$. La somme devient :

$$ S'(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k $$

C'est la série géométrique de raison $x$. Pour $|x|<1$, sa somme est $\frac{1}{1-x}$.

$$ S'(x) = \frac{1}{1-x} $$

Étape 3 : Intégrer $S'(x)$ pour retrouver $S(x)$

Pour obtenir $S(x)$, il faut intégrer $S'(x)$ :

$$ S(x) = \int \frac{1}{1-x} dx = -\ln|1-x| + C $$

Comme $x \in ]-1, 1[$, $1-x > 0$, donc $-\ln(1-x) + C$.

Étape 4 : Déterminer la constante $C$

On utilise le fait que $S(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{0^n}{n} = 0$.

En substituant $x=0$ dans l'expression de $S(x)$ :

$$ S(0) = -\ln(1-0) + C = -\ln(1) + C = 0 + C = C $$

Donc $C=0$.

Correction :

Ici, la présence de $n!$ et $n^n$ nous oriente vers le critère de D'Alembert.

Étape 1 : Identifier $a_n$ et calculer $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

Soit $a_n = \frac{n!}{n^n}$.

$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{n!} \right| $$

Étape 2 : Simplifier l'expression

Rappelle-toi que $(n+1)! = (n+1) \times n!$ et $(n+1)^{n+1} = (n+1)^n \times (n+1)$.

$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1) n!}{(n+1)(n+1)^n} \times \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1} \right)^n $$

Étape 3 : Calculer la limite

$$ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{1+1/n} \right)^n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} $$

On reconnaît la limite fondamentale $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$.

Donc :

$$ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{e} $$

Étape 4 : Déterminer le rayon de convergence

Le rayon de convergence $R$ est l'inverse de cette limite.

Correction :

Nous allons utiliser le DSE connu de $\operatorname{Arctan}(u)$ et les propriétés des séries entières.

Étape 1 : Rappeler le DSE de $\operatorname{Arctan}(u)$

On sait que pour $|u| < 1$ :

$$ \operatorname{Arctan}(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{u^{2n+1}}{2n+1} $$

Le rayon de convergence de cette série est $R=1$.

Étape 2 : Substituer $u$ par $x^2$

Remplaçons $u$ par $x^2$. La condition de convergence devient $|x^2| < 1$, ce qui équivaut à $|x| < 1$. Le rayon de convergence reste donc $R=1$.

$$ \operatorname{Arctan}(x^2) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{(x^2)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{2n+1} $$

Étape 3 : Multiplier par $x$

Pour obtenir $f(x)$, on multiplie la série par $x$. Cela se fait terme à terme et ne change pas le rayon de convergence.

$$ f(x) = x \operatorname{Arctan}(x^2) = x \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x \cdot x^{4n+2}}{2n+1} $$ $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+3}}{2n+1} $$

Correction :

Partie a) DSE des fonctions usuelles

Pour $e^x$ :

$$ e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} $$

Son rayon de convergence est $R_1 = +\infty$.

Pour $\frac{1}{1-x}$ :

$$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n $$

Son rayon de convergence est $R_2 = 1$.

Partie b) DSE de $f(x)$ par produit de Cauchy

Le rayon de convergence du produit de deux séries entières est $\min(R_1, R_2)$.

Donc, le rayon de convergence de $f(x)$ est $R = \min(+\infty, 1) = 1$.

Le DSE de $f(x) = e^x \cdot \frac{1}{1-x}$ est un produit de Cauchy.

Soit $e^x = \sum a_n x^n$ avec $a_n = \frac{1}{n!}$ et $\frac{1}{1-x} = \sum b_n x^n$ avec $b_n = 1$.

Le coefficient $c_k$ du DSE de $f(x) = \sum c_k x^k$ est donné par $c_k = \sum_{j=0}^k a_j b_{k-j}$.

• Pour $k=0$ (coefficient de $x^0$) :
$$ c_0 = a_0 b_0 = \frac{1}{0!} \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1 $$
• Pour $k=1$ (coefficient de $x^1$) :
$$ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = \frac{1}{0!} \cdot 1 + \frac{1}{1!} \cdot 1 = 1 + 1 = 2 $$
• Pour $k=2$ (coefficient de $x^2$) :
$$ c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = \frac{1}{0!} \cdot 1 + \frac{1}{1!} \cdot 1 + \frac{1}{2!} \cdot 1 = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$
• Pour $k=3$ (coefficient de $x^3$) :
$$ c_3 = a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_0 = \frac{1}{0!} \cdot 1 + \frac{1}{1!} \cdot 1 + \frac{1}{2!} \cdot 1 + \frac{1}{3!} \cdot 1 = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 2 + \frac{3+1}{6} = 2 + \frac{4}{6} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $$

Correction :

Partie a) DSE de $f'(x)$

On sait que $f'(x) = (1-x^2)^{-1/2}$. Nous allons utiliser le DSE généralisé de $(1+u)^\alpha$ :

$$ (1+u)^\alpha = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} u^n $$

où $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}$. Ce DSE est valable pour $|u|<1$.

Ici, $u = -x^2$ et $\alpha = -\frac{1}{2}$. La condition $|-x^2| < 1$ implique $|x| < 1$, donc le rayon de convergence sera $R=1$.

Calculons les coefficients $\binom{-1/2}{n}$ :

$$ \binom{-1/2}{n} = \frac{(-1/2)(-1/2-1)\dots(-1/2-n+1)}{n!} = \frac{(-1)^n (1/2)(3/2)\dots((2n-1)/2)}{n!} = \frac{(-1)^n (1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1))}{2^n n!} $$

Multiplions par $\frac{2^n n!}{2^n n!}$ (ou $2n!$ au numérateur et dénominateur) pour obtenir des factorielles :

$$ 1 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (2n-1) = \frac{(2n)!}{2 \cdot 4 \cdot \dots \cdot (2n)} = \frac{(2n)!}{2^n n!} $$

Donc :

$$ \binom{-1/2}{n} = \frac{(-1)^n (2n)!}{2^n n! 2^n n!} = \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2} $$

Maintenant, on substitue dans le DSE de $(1+u)^\alpha$ avec $u=-x^2$ :

$$ (1-x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{-1/2}{n} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2} (-1)^n x^{2n} $$ $$ f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} x^{2n} $$

Partie b) DSE de $f(x) = \arcsin(x)$

Pour obtenir le DSE de $f(x)$, on intègre terme à terme le DSE de $f'(x)$. La constante d'intégration sera déterminée par $f(0) = \arcsin(0) = 0$.

$$ \arcsin(x) = \int \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} x^{2n} \right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C $$

Pour $x=0$, $\arcsin(0)=0$. Tous les termes de la somme s'annulent pour $x=0$, donc $C=0$.

Correction :

Partie a) Expressions de $y'(x)$ et $y''(x)$

Soit $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. Pour $|x| $$ y'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} $$ $$ y''(x) = \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} $$

Partie b) Relation de récurrence

Substituons ces expressions dans l'équation différentielle $xy'' + y' + xy = 0$.

$$ x \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} + \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} + x \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0 $$ $$ \sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1) a_n x^{n-1} + \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+1} = 0 $$

Nous devons avoir le même exposant de $x$ dans toutes les sommes. On va faire des changements d'indices pour avoir $x^k$.

• Dans la 1ère somme, posons $k = n-1 \implies n=k+1$. Quand $n=2$, $k=1$.
$$ \sum_{k=1}^{+\infty} (k+1)k a_{k+1} x^k $$
• Dans la 2ème somme, posons $k = n-1 \implies n=k+1$. Quand $n=1$, $k=0$.
$$ \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1) a_{k+1} x^k $$
• Dans la 3ème somme, posons $k = n+1 \implies n=k-1$. Quand $n=0$, $k=1$.
$$ \sum_{k=1}^{+\infty} a_{k-1} x^k $$

L'équation devient :

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} (k+1)k a_{k+1} x^k + \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1) a_{k+1} x^k + \sum_{k=1}^{+\infty} a_{k-1} x^k = 0 $$

Isolons le terme pour $k=0$ de la deuxième somme :

$$ (0+1) a_{0+1} x^0 + \sum_{k=1}^{+\infty} (k+1)k a_{k+1} x^k + \sum_{k=1}^{+\infty} (k+1) a_{k+1} x^k + \sum_{k=1}^{+\infty} a_{k-1} x^k = 0 $$ $$ a_1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ (k+1)k a_{k+1} + (k+1) a_{k+1} + a_{k-1} \right] x^k = 0 $$

Regroupons les termes en $a_{k+1}$ :

$$ a_1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ (k+1)(k+1) a_{k+1} + a_{k-1} \right] x^k = 0 $$ $$ a_1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left[ (k+1)^2 a_{k+1} + a_{k-1} \right] x^k = 0 $$

Par unicité des DSE, tous les coefficients doivent être nuls.

• Pour $k=0$ (terme constant) : $a_1 = 0$.
• Pour $k \ge 1$ : $(k+1)^2 a_{k+1} + a_{k-1} = 0$.

On obtient la relation de récurrence :

$$ a_{k+1} = -\frac{a_{k-1}}{(k+1)^2} \quad \text{pour } k \ge 1 $$

Partie c) Calcul des premiers coefficients

On nous donne $y(0)=1$ et $y'(0)=0$.

Rappelle-toi que $y(0) = a_0$ et $y'(0) = a_1$.

Donc, $a_0 = 1$ et $a_1 = 0$. C'est cohérent avec la relation de récurrence pour $k=0$.

• $a_0 = 1$
• $a_1 = 0$

Calculons $a_2$ (pour $k=1$) :

$$ a_2 = -\frac{a_{1-1}}{(1+1)^2} = -\frac{a_0}{2^2} = -\frac{1}{4} $$

Calculons $a_3$ (pour $k=2$) :

$$ a_3 = -\frac{a_{2-1}}{(2+1)^2} = -\frac{a_1}{3^2} = -\frac{0}{9} = 0 $$

Calculons $a_4$ (pour $k=3$) :

$$ a_4 = -\frac{a_{3-1}}{(3+1)^2} = -\frac{a_2}{4^2} = -\frac{-1/4}{16} = \frac{1}{64} $$

Correction :

Partie a) DSE des fonctions usuelles

Pour $\ln(1+x)$ :

$$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} $$

Son rayon de convergence est $R_1 = 1$.

Pour $\frac{1}{1+x}$ :

$$ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n $$

Son rayon de convergence est $R_2 = 1$.

Partie b) DSE de $f(x)$ par produit de Cauchy

Le rayon de convergence de $f(x)$ est $R = \min(R_1, R_2) = 1$.

Soit $\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n$ avec $b_0=0$ et $b_n = (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$.

Soit $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n$ avec $c_n = (-1)^n$.

Le coefficient $a_k$ du DSE de $f(x) = \sum a_k x^k$ est donné par $a_k = \sum_{j=0}^k b_j c_{k-j}$.

Puisque $b_0=0$, le terme $j=0$ de la somme est $b_0 c_k = 0$. Donc la somme commence à $j=1$.

$$ a_k = \sum_{j=1}^k b_j c_{k-j} = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} \frac{1}{j} (-1)^{k-j} $$ $$ a_k = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} (-1)^{k-j} \frac{1}{j} = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1+k-j} \frac{1}{j} $$ $$ a_k = \sum_{j=1}^k (-1)^{k-1} \frac{1}{j} = (-1)^{k-1} \sum_{j=1}^k \frac{1}{j} $$

La somme $\sum_{j=1}^k \frac{1}{j}$ est la $k$-ième série harmonique, notée $H_k$.

Donc $a_k = (-1)^{k-1} H_k$ pour $k \ge 1$.

Pour $k=0$, $f(0) = \frac{\ln(1)}{1} = 0$, donc $a_0 = 0$. La formule $a_k = (-1)^{k-1} H_k$ ne s'applique pas pour $k=0$ puisque $H_0$ n'est pas définie (ou $H_0=0$).