Niveau : du facile au difficile. Durée estimée : 75 min. 9 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour chiffrer par décalage, remplace chaque lettre par son rang (A vaut 0, Z vaut 25), ajoute la clé et garde le reste de la division par 26. Avec la clé 3, Y donne $24 + 3 = 27 \equiv 1 \ [26]$ (« 27 est congru à 1 modulo 26 ») : Y devient B. Pour déchiffrer, retire la clé et ajoute 26 si le résultat est négatif.
En chiffrement symétrique (César, Vigenère, AES), la même clé secrète chiffre et déchiffre. En asymétrique (RSA), chacun a une clé publique, connue de tous, et une clé privée, qu'il garde. Un hachage ne chiffre rien : il calcule une empreinte, un résumé de taille fixe, dont on ne peut pas remonter au message.
Formules à retenir :
- César de clé $k$ : $c \equiv m + k \ [26]$ et $m \equiv c - k \ [26]$, avec $m$ et $c$ les rangs des lettres claire et chiffrée.
- Vigenère : même calcul, mais $k$ change à chaque lettre, selon le mot-clé répété.
- RSA : $n = pq$, $\varphi(n) = (p-1)(q-1)$, $e$ premier avec $\varphi(n)$ et $ed \equiv 1 \ [\varphi(n)]$ ; on chiffre par $c \equiv m^e \ [n]$, on déchiffre par $m \equiv c^d \ [n]$.
- Diffie-Hellman : $A \equiv g^a \ [p]$, $B \equiv g^b \ [p]$, et la clé commune $K \equiv B^a \equiv A^b \ [p]$.
Piège classique : pour écrire en secret à Bob, Alice chiffre avec la clé publique de Bob, jamais avec sa propre clé privée, qui sert à signer.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : On utilise le chiffrement de César de clé 3.
a) Chiffre le mot BONJOUR.
b) Déchiffre le mot CHUR, obtenu avec la même clé.
Correction :
a) Chaque lettre avance de 3 : B → E, O → R, N → Q, J → M, U → X, R → U. Le mot chiffré est ERQMRXU.
b) Chaque lettre recule de 3. Pour C, $2 - 3 = -1$ et $-1 + 26 = 25$ : c'est Z. Puis H → E, U → R, R → O. Le mot clair est ZERO.
Exercice 2 : Alice veut écrire en secret à Bob avec un chiffrement asymétrique. Léa lui conseille : « Chiffre avec ta clé privée, toi seule la connais. »
a) Pourquoi ce conseil ne protège-t-il pas le message ?
b) Avec quelle clé Alice doit-elle chiffrer, et avec quelle clé Bob déchiffre-t-il ?
Correction :
a) Avec RSA, ce qu'Alice chiffre avec sa clé privée se déchiffre avec sa clé publique, que tout le monde connaît : n'importe qui pourrait lire le message.
b) Alice chiffre avec la clé publique de Bob, et Bob déchiffre avec sa clé privée, que lui seul possède.
Exercice 3 : Tu as oublié ton mot de passe. Le site ne te le renvoie pas : il ne garde que l'empreinte de ton mot de passe, calculée par une fonction de hachage.
a) Pourquoi le site ne peut-il pas te renvoyer ton mot de passe ?
b) Comment vérifie-t-il ton mot de passe quand tu te connectes ?
c) « Soleil » et « soleil » ont-ils des empreintes proches ?
Correction :
a) Le hachage est à sens unique : de l'empreinte, on ne peut pas remonter au mot de passe. Le site ne peut donc pas le retrouver.
b) Il calcule l'empreinte de ce que tu tapes et la compare à l'empreinte enregistrée.
c) Non : un seul caractère changé donne une empreinte totalement différente.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Tu interceptes ce message chiffré avec César, sans connaître la clé : YLUKLG CVBZ KLCHUA SL SFJLL.
a) Combien d'essais faut-il au plus pour tester toutes les clés (attaque par force brute) ?
b) En français, la lettre la plus fréquente est E. Repère la lettre la plus fréquente du message, déduis-en la clé, puis déchiffre.
Correction :
a) 26 décalages existent, dont 25 qui modifient le texte : 25 essais au plus, ce qui rend César très fragile.
b) L apparaît 6 fois, bien plus que toute autre lettre. Si L (rang 11) code E (rang 4), la clé vaut $11 - 4 = 7$. On recule chaque lettre de 7 (G donne Z) : RENDEZ VOUS DEVANT LE LYCEE.
Exercice 5 : Avec Vigenère, chaque lettre est décalée du rang de la lettre du mot-clé placée sous elle, le mot-clé étant répété.
a) Chiffre ATTAQUEZ avec le mot-clé CLE.
b) Pourquoi les deux T donnent-ils des lettres différentes, et les deux A la même lettre C ?
Correction :
a) On écrit CLECLECL sous ATTAQUEZ et on additionne les rangs, modulo 26 :
$$\begin{array}{l|cccccccc} \text{Clair} & A & T & T & A & Q & U & E & Z \\ \text{Rang} & 0 & 19 & 19 & 0 & 16 & 20 & 4 & 25 \\ \text{Clé} & 2 & 11 & 4 & 2 & 11 & 4 & 2 & 11 \\ \text{Reste} & 2 & 4 & 23 & 2 & 1 & 24 & 6 & 10 \\ \text{Chiffré} & C & E & X & C & B & Y & G & K \end{array}$$
Le message chiffré est CEXCBYGK.
b) Les T sont sous L puis sous E, donc décalés de 11 puis de 4. Les A, aux places 1 et 4, sont espacés de 3, la longueur de la clé : ils tombent tous deux sous C. Ces répétitions peuvent trahir la longueur de la clé, point faible de Vigenère.
Exercice 6 : Alice envoie à Bob « Rendez-vous à 14 h », avec sa signature numérique. Bob connaît la clé publique d'Alice.
a) Que fait Alice pour signer, et que fait Bob pour vérifier ?
b) Ève remplace 14 h par 16 h sans toucher à la signature. Que constate Bob ?
c) La signature empêche-t-elle Ève de lire le message ?
Correction :
a) Alice calcule l'empreinte du message et la chiffre avec sa clé privée (principe de RSA) : c'est la signature. Bob calcule l'empreinte du message reçu, déchiffre la signature avec la clé publique d'Alice et compare les deux empreintes.
b) Les empreintes ne correspondent plus : la signature est rejetée. Pour en refaire une, Ève aurait besoin de la clé privée d'Alice.
c) Non : la signature prouve l'auteur et l'intégrité du message, pas son secret. Pour le cacher, il faut aussi le chiffrer.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : On fabrique des clés RSA avec les nombres premiers $p = 3$ et $q = 11$.
a) Calcule $n$ et $\varphi(n)$.
b) Justifie que $e = 3$ convient, puis trouve l'entier $d$, entre 1 et $\varphi(n) - 1$, tel que $ed \equiv 1 \ [\varphi(n)]$.
c) Chiffre le message $m = 4$ avec la clé publique $(e, n)$.
d) Déchiffre le résultat avec la clé privée $(d, n)$.
Correction :
a) $n = 3 \times 11 = 33$ et $\varphi(n) = 2 \times 10 = 20$.
b) $\text{PGCD}(3, 20) = 1$, donc $e = 3$ convient. Comme $3 \times 7 = 21 \equiv 1 \ [20]$, on obtient $d = 7$.
c) $4^3 = 64 = 33 + 31$, donc $c = 31$.
d) Comme $31 \equiv -2 \ [33]$, on a $31^7 \equiv (-2)^7 = -128 \ [33]$, et $-128 + 4 \times 33 = 4$ : on retrouve $m = 4$.
Ici, $n = 33$ se factorise de tête ; avec des nombres premiers immenses, retrouver $p$ et $q$ devient hors de portée.
Exercice 8 : Avec le protocole de Diffie-Hellman, Alice et Bob fabriquent une clé secrète commune sans jamais l'envoyer. Ils annoncent publiquement $p = 11$ et $g = 2$ ; Alice choisit en secret $a = 3$, Bob $b = 4$.
a) Calcule les restes $A$ et $B$ qu'ils s'envoient.
b) Calcule la clé obtenue par Alice, puis celle obtenue par Bob.
c) Ève a vu passer $p$, $g$, $A$ et $B$. Que lui manque-t-il pour trouver la clé ?
Correction :
a) $A \equiv 2^3 = 8 \ [11]$ et $B \equiv 2^4 = 16 \equiv 5 \ [11]$, donc $A = 8$ et $B = 5$.
b) Alice calcule $B^a = 5^3 = 125 = 11 \times 11 + 4$. Bob calcule $8^2 = 64 \equiv 9 \ [11]$, puis $8^4 \equiv 9^2 = 81 \equiv 4 \ [11]$. Tous deux obtiennent $K = 4$, car $B^a$ et $A^b$ sont congrus à $g^{ab}$ modulo $p$.
c) Il lui faudrait $a$ ou $b$, donc retrouver $a$ à partir de $2^a \equiv 8 \ [11]$. Ici, quelques essais suffisent ; avec un $p$ immense, on ne sait pas le faire en un temps raisonnable.
Exercice 9 : Tu ouvres un site en https. Le navigateur et le serveur chiffreront leurs échanges en symétrique, un chiffrement bien plus rapide que l'asymétrique.
a) Comment peuvent-ils obtenir une clé symétrique commune sans l'envoyer en clair ?
b) Le serveur envoie aussi son certificat : un document qui associe le nom du site à la clé publique du serveur, signé par une autorité de certification dont le navigateur connaît la clé publique. Ève, placée entre toi et le serveur, remplace la clé publique du serveur par la sienne (attaque de l'homme du milieu). Pourquoi le navigateur s'en aperçoit-il ?
Correction :
a) Le navigateur tire une clé symétrique au hasard, la chiffre avec la clé publique du serveur et l'envoie : seul le serveur peut la déchiffrer, avec sa clé privée. Ensuite, tout est chiffré en symétrique avec cette clé. Un échange de Diffie-Hellman (exercice 8) le permet aussi.
b) Le navigateur vérifie la signature du certificat avec la clé publique de l'autorité, comme Bob à l'exercice 6. Ève ne peut pas signer un certificat qui associe ce site à sa clé : il lui faudrait la clé privée de l'autorité. Sa clé n'est couverte par aucun certificat valide : le navigateur affiche une alerte.
Bilan et conseils
Dans les calculs, travaille avec les rangs et les restes : un nombre se vérifie, une lettre mal décalée passe inaperçue. Dans les questions de cours, demande-toi qui possède quelle clé.
Au programme de terminale (Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019) : en NSI, les chiffrements symétrique et asymétrique et l'échange d'une clé pour HTTPS ; en mathématiques expertes, les congruences et l'étude de problèmes de chiffrement, avec Vigenère et RSA parmi les exemples proposés.
Ce qu'il faut retenir : une clé symétrique se partage ; une clé publique chiffre pour son propriétaire, qui déchiffre et signe avec sa clé privée ; un hachage ne se déchiffre pas.
Sources
- Programme de numérique et sciences informatiques de terminale générale, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019.
- Programme de mathématiques expertes de terminale générale, même Bulletin officiel.