L'essentiel à connaître
Une porte logique reçoit des bits (des 0 et des 1) et renvoie un seul bit, selon une règle fixe. ET sort 1 seulement si toutes ses entrées valent 1, OU sort 1 dès qu'une entrée vaut 1, et NON inverse son entrée. Avec $A = 1$ et $B = 0$ : $A$ ET $B$ vaut 0, $A$ OU $B$ vaut 1, NON $A$ vaut 0.
Le OU exclusif (XOR) sort 1 quand ses deux entrées sont différentes. NON-ET (NAND) et NON-OU (NOR) sont un ET et un OU suivis d'un NON. Une table de vérité donne la sortie pour chaque combinaison d'entrées : avec $n$ entrées, elle compte $2^n$ lignes.
| $A$ | $B$ | ET $A \cdot B$ | OU $A + B$ | XOR $A \oplus B$ | NON-ET $\overline{A \cdot B}$ | NON-OU $\overline{A + B}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Le programme de NSI (numérique et sciences informatiques) de première, fixé par l'arrêté du 17 janvier 2019, écrit ces opérateurs comme Python : and, or, not. Les manuels et les schémas de circuits notent souvent $A \cdot B$, $A + B$, $\overline{A}$ et $A \oplus B$. ET passe avant OU, comme la multiplication avant l'addition, et NON passe avant les deux : une barre agit sur ce qu'elle couvre, rien de plus. Python suit le même ordre : not, puis and, puis or.
Un circuit combinatoire enchaîne des portes, et sa sortie ne dépend que des entrées du moment. Le programme le résume ainsi : « Les circuits combinatoires réalisent des fonctions booléennes. » Il cite l'addition binaire comme application. Le demi-additionneur additionne deux bits : somme $S = A \oplus B$, retenue $R = A \cdot B$. Pour $1 + 1$, il donne $S = 0$ et $R = 1$, soit $10$ en binaire.
À retenir : $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ et $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ (lois de De Morgan). Quand la barre se coupe, ET devient OU et OU devient ET. Dans le doute, dresse la table : quatre lignes suffisent.
Piège classique : pour $A = B = 1$, OU sort 1 mais OU exclusif sort 0. Et une barre longue ne vaut pas deux barres courtes : $\overline{A \cdot B}$ n'est pas $\overline{A} \cdot \overline{B}$.
Quiz : teste tes connaissances
Les questions montent en difficulté : les trois dernières sont les plus piégeuses.
Question 1 : Avec $A = 1$ et $B = 0$, que valent $A$ ET $B$, puis $A$ OU $B$ ?
Réponse : C. ET demande que toutes les entrées valent 1 : avec $B = 0$, il sort 0. OU sort 1 dès qu'une entrée vaut 1, ici $A$. Le piège D échange les deux règles.
Question 2 : Que vaut $\overline{\overline{A}}$, c'est-à-dire NON (NON $A$) ?
Réponse : A. Deux inversions s'annulent : 0 devient 1 puis redevient 0, et 1 devient 0 puis redevient 1. Le piège B ne compte qu'une seule barre.
Question 3 : Combien de lignes compte la table de vérité d'un circuit à 3 entrées ?
Réponse : D. Chaque entrée vaut 0 ou 1, d'où $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ combinaisons. Le piège B vient de $2 \times 3$, le piège C de $3^2$.
Question 4 : Quelle porte sort 1 exactement quand ses deux entrées sont différentes ?
Réponse : B. Le OU exclusif sort 1 quand une seule entrée vaut 1, et 0 quand les deux sont égales. Le OU sort lui aussi 1 quand les entrées diffèrent, mais aussi pour $A = B = 1$, ce que la question exclut.
Question 5 : Dans la notation des circuits, où $+$ désigne OU, que vaut $A + 1$ ?
Réponse : B. Une entrée à 1 suffit pour que OU sorte 1, quelle que soit la valeur de $A$ : $A + 1 = 1$. Le piège D confond OU avec l'addition binaire, où $1 + 1$ s'écrit $10$.
Question 6 : Pour quelles entrées la porte NON-ET sort-elle 0 ?
Réponse : D. NON-ET inverse ET, et ET ne vaut 1 que pour $A = B = 1$ : c'est le seul cas où NON-ET sort 0. Le piège B donne l'inverse : dès qu'une entrée vaut 0, NON-ET sort 1.
Question 7 : Un circuit envoie $A$ et $B$ dans une porte ET, puis la sortie de cette porte dans une porte NON. Quelle porte unique fait le même travail ?
Réponse : C. Un ET suivi d'un NON, c'est la définition de NON-ET : $S = \overline{A \cdot B}$. Le piège A mélange les noms : NON-OU, c'est un OU suivi d'un NON.
Question 8 : Quelle écriture a le même sens que $A + B \cdot C$ ?
Réponse : B. ET passe avant OU : on calcule $B \cdot C$ d'abord. Le piège A lit de gauche à droite ; avec $A = 1$, $B = 0$ et $C = 0$, il donne 0 alors que $A + B \cdot C = 1$.
Question 9 : Pour quelles entrées la sortie $S = A \cdot \overline{B}$ vaut-elle 1 ?
Réponse : A. ET sort 1 seulement si ses deux entrées valent 1 : il faut $A = 1$ et $\overline{B} = 1$, donc $B = 0$. Le piège C oublie la barre sur $B$.
Question 10 : En Python, avec deux booléens A et B, quelle expression calcule $\overline{A} + B$ ?
Réponse : D. En Python, not passe avant or : not A or B se lit (NON $A$) OU $B$. Le piège A met la barre sur toute l'expression : il calcule $\overline{A + B}$, c'est-à-dire NON-OU.
Question 11 : Un demi-additionneur reçoit $A = 1$ et $B = 1$. Que valent la somme $S = A \oplus B$ et la retenue $R = A \cdot B$ ?
Réponse : C. Le OU exclusif de deux entrées égales donne 0, et le ET de deux 1 donne 1 : $1 + 1$ s'écrit bien $10$ en binaire. Le piège D calcule la somme avec un OU au lieu d'un OU exclusif.
Question 12 : Quelle expression vaut 1 exactement quand $A$ et $B$ sont égaux ?
Réponse : B. $A \oplus B$ vaut 1 quand les entrées diffèrent, donc son inverse vaut 1 quand elles sont égales, toutes deux à 0 ou toutes deux à 1. Le piège C ne repère que $A = B = 1$, et D que $A = B = 0$.
Question 13 : Avec $A = 1$ et $B = 0$, que valent $\overline{A} \cdot B$, puis $\overline{A \cdot B}$ ?
Réponse : D. Dans $\overline{A} \cdot B$, la barre ne couvre que $A$ : $0 \cdot 0 = 0$. Dans $\overline{A \cdot B}$, on calcule d'abord $A \cdot B = 0$, puis on inverse, ce qui donne 1. Le piège B lit la barre longue comme une barre courte sur $A$.
Question 14 : Quelle porte réalise $\overline{A} \cdot \overline{B}$, c'est-à-dire un ET sur les deux entrées inversées ?
Réponse : A. D'après De Morgan, $\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$ : c'est NON-OU, qui ne sort 1 que pour $A = B = 0$. Le piège B vient de la ressemblance d'écriture, mais NON-ET sort 1 dès qu'une entrée vaut 0.
Question 15 : Dans la table de vérité de $A + B + C$ (trois entrées reliées par OU), combien de lignes donnent une sortie égale à 1 ?
Réponse : C. La table compte $2^3 = 8$ lignes, et OU sort 1 dès qu'une entrée vaut 1 : seule la ligne $A = B = C = 0$ donne 0, il en reste $8 - 1 = 7$. Le piège A compte une ligne par entrée, comme si une seule entrée pouvait valoir 1 à la fois.
Sources
Programme de numérique et sciences informatiques de première générale (arrêté du 17 janvier 2019) : texte du programme sur eduscol.
Documentation officielle de Python, priorités des opérateurs : docs.python.org.