La licence MIASHS (mathématiques et informatique appliquées aux sciences humaines et sociales) t'apprend à traiter une question de société avec des modèles mathématiques et des programmes. Prends la question « Les salaires sont-ils plus élevés dans cette ville que dans sa voisine ? ». L'économie te dit quoi comparer, la statistique comment résumer des milliers de salaires, et la programmation fait le calcul sur le vrai fichier. Les trois volets ne s'empilent pas : ils travaillent sur le même problème.
Modéliser, le geste commun
Modéliser, c'est traduire une question réelle en objets mathématiques (variables, équations, probabilités), calculer sur ces objets, puis revenir à la question pour interpréter le résultat. La fiche nationale du diplôme demande de savoir « traduire un problème simple en langage mathématique ». Sur les salaires, ça donne quatre étapes.
Étape 1 : Préciser la question. Salaire brut ou net, temps plein ou tous les contrats ? Ce choix d'économiste change le résultat.
Étape 2 : Choisir l'outil. Une moyenne seule peut tromper : on la lit avec la médiane, la valeur qui sépare les salaires en deux moitiés.
Étape 3 : Calculer avec un programme, sans erreur de recopie sur des milliers de lignes.
Étape 4 : Interpréter. Un écart entre deux villes peut venir des métiers qu'on y exerce plus que de la ville elle-même.
Ce que fixe le cadre national
Il n'existe pas de programme national de licence comme au lycée : chaque université écrit sa maquette, la liste de ses cours semestre par semestre. C'est elle qu'il faut lire pour savoir ce que tu feras chaque année.
L'arrêté du 30 juillet 2018 relatif au diplôme national de licence fixe le cadre commun : 180 crédits européens (ECTS), au moins 1 500 heures d'enseignement et d'encadrement, et une charge de travail totale de 4 500 à 5 400 heures. Divise par 180 : un crédit vaut 25 à 30 heures de travail, cours compris, et une matière à 6 crédits représente 150 à 180 heures. Le même texte organise la licence en parcours, pour te spécialiser progressivement.
Ce qui ne change pas d'une université à l'autre, ce sont les compétences de fin de licence, décrites dans la fiche nationale RNCP40806 de France compétences, qui tient le répertoire national des certifications professionnelles (RNCP).
Les mathématiques
La fiche te demande de te servir du raisonnement probabiliste, de résoudre des équations de façon exacte ou approchée et d'appliquer la démarche statistique à des données de sciences sociales. Dans une maquette, ça prend la forme de cours d'algèbre linéaire, d'analyse, de probabilités et de statistique.
L'algèbre linéaire travaille sur des tableaux de nombres, les matrices : un tableau de données chiffrées en est un, et un système d'équations s'écrit avec elles (exercice 3).
L'analyse (fonctions, suites, dérivées, intégrales) décrit ce qui évolue et cherche des maximums, comme le prix qui rend une recette la plus grande possible. Les probabilités modélisent le hasard, comme le tirage au sort des personnes interrogées ; la statistique fait le chemin inverse, des données observées vers toute la population.
Piège classique : croire que « appliquées » veut dire « sans démonstration ». La fiche demande aussi de « rédiger une démonstration mathématique synthétique et rigoureuse ». Une formule utilisée hors de ses conditions d'emploi donne un résultat faux, et c'est la démonstration qui te dit ces conditions.
L'informatique
L'informatique sert ici à écrire des programmes qui traitent des données. La fiche cite la programmation dans au moins un langage, sans en imposer un, les tests, les bases de données et une démarche d'intelligence artificielle appliquée aux données.
Tester, c'est faire tourner ton programme sur des cas dont tu connais la réponse : l'exercice 4 montre un programme qui s'exécute sans erreur affichée et donne pourtant un résultat faux.
Définition : une base de données relationnelle est un ensemble de tables reliées entre elles, avec une ligne par individu et une colonne par information. On l'interroge en langage SQL : la requête SELECT ville, AVG(salaire) FROM salaries GROUP BY ville; donne le salaire moyen de chaque ville.
Les sciences humaines et sociales
La fiche associe à la mention l'économie, la gestion, la géographie, la sociologie, les sciences cognitives et les sciences du langage. Les parcours, donc les disciplines étudiées, varient d'une université à l'autre.
En économie, tu croises la microéconomie (les choix d'un ménage ou d'une entreprise) et la macroéconomie (un pays entier : production, chômage, prix). La sociologie t'apprend à construire une enquête ; les sciences cognitives étudient comment on perçoit, apprend et décide ; les sciences du langage, comment fonctionnent les langues. C'est ce volet qui pose la question de départ et qui dit si un calcul a un sens.
Piège classique : une variable codée par des nombres n'est pas forcément une quantité. Si tu numérotes des catégories socioprofessionnelles, la « moyenne » de ces numéros ne veut rien dire. Une telle variable est dite qualitative : on compte des effectifs et des pourcentages, on ne calcule pas de moyenne.
Exercices corrigés
Quatre exercices qui mêlent les trois volets, du plus direct au niveau d'un examen. Toutes les données sont fictives.
Exercice 1 : Les sept salariés d'une petite entreprise touchent, en euros nets par mois : $1\,500$, $1\,600$, $1\,700$, $1\,800$, $1\,900$, $2\,000$ et $9\,100$. Calcule le salaire moyen et le salaire médian. Lequel décrit le mieux le salaire courant dans l'entreprise ?
Correction :
Moyenne : $\dfrac{1\,500 + 1\,600 + 1\,700 + 1\,800 + 1\,900 + 2\,000 + 9\,100}{7} = \dfrac{19\,600}{7} = 2\,800$ €.
Médiane : les sept valeurs sont déjà rangées dans l'ordre croissant, donc la médiane est la quatrième, soit $1\,800$ €.
Six salariés sur sept gagnent moins que la moyenne : le salaire de $9\,100$ € la tire vers le haut. La médiane, $1\,800$ €, décrit mieux le salaire courant. Si le plus haut salaire doublait, elle ne bougerait pas, alors que la moyenne passerait à $4\,100$ €.
Exercice 2 : Dans une ville, 30 % des actifs vont travailler à vélo. Parmi eux, 60 % ont moins de 40 ans ; parmi les autres actifs, 40 % ont moins de 40 ans. On choisit au hasard un actif de moins de 40 ans. Quelle est la probabilité qu'il aille travailler à vélo ?
Correction :
Note $V$ l'événement « va travailler à vélo » et $J$ l'événement « a moins de 40 ans ». L'énoncé donne $P(V) = 0{,}3$, $P(J \mid V) = 0{,}6$ (notée $P_V(J)$ au lycée) et $P(J \mid \overline{V}) = 0{,}4$.
On cherche $P(V \mid J)$, pas $P(J \mid V)$ : répondre $0{,}6$, c'est le piège.
D'après la formule des probabilités totales, $P(J) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}28 = 0{,}46$. Le premier terme, $0{,}18$, est $P(V \cap J)$.
Donc $P(V \mid J) = \dfrac{P(V \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}46} = \dfrac{9}{23} \approx 0{,}39$ : environ 39 % des actifs de moins de 40 ans vont travailler à vélo.
Exercice 3 : Une région compte une ville et une campagne. Chaque année, 10 % des habitants de la ville partent à la campagne et 5 % des habitants de la campagne partent en ville ; il n'y a aucune autre variation de population. Au départ, la ville compte $600\,000$ habitants et la campagne $400\,000$. On note $X_n = \begin{pmatrix} v_n \\ c_n \end{pmatrix}$ les populations de la ville et de la campagne l'année $n$.
a) Trouve la matrice $M$ telle que $X_{n+1} = M X_n$.
b) Calcule les populations au bout d'un an.
c) Quelle répartition ne change plus d'une année sur l'autre ?
Correction :
a) L'année suivante, la ville garde 90 % de ses habitants et reçoit 5 % de ceux de la campagne : $v_{n+1} = 0{,}9\,v_n + 0{,}05\,c_n$. De même, $c_{n+1} = 0{,}1\,v_n + 0{,}95\,c_n$. Donc
$$M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}05 \\ 0{,}1 & 0{,}95 \end{pmatrix}.$$
Contrôle : chaque colonne a pour somme $1$, car chaque habitant reste ou part.
b) $v_1 = 0{,}9 \times 600\,000 + 0{,}05 \times 400\,000 = 560\,000$ et $c_1 = 0{,}1 \times 600\,000 + 0{,}95 \times 400\,000 = 440\,000$. Au bout d'un an, la ville compte $560\,000$ habitants et la campagne $440\,000$ ; le total reste $1\,000\,000$.
c) On cherche $X = \begin{pmatrix} v \\ c \end{pmatrix}$ tel que $MX = X$, avec $v + c = 1\,000\,000$. La première ligne donne $v = 0{,}9\,v + 0{,}05\,c$, soit $0{,}1\,v = 0{,}05\,c$, donc $c = 2v$ (la seconde ligne donne la même égalité). Alors $3v = 1\,000\,000$, d'où $v = \dfrac{1\,000\,000}{3} \approx 333\,333$ et $c \approx 666\,667$ habitants.
Exercice 4 : Cette fonction Python doit renvoyer la médiane d'une liste de nombres. Qu'affiche le programme ? Où est l'erreur ? Corrige la fonction.
def mediane(valeurs):
n = len(valeurs)
return valeurs[n // 2]
print(mediane([1800, 9100, 1500, 2000, 1700, 1600, 1900]))Correction :
La liste a 7 éléments, donc n // 2 (le quotient de la division entière) vaut 3, et Python numérote à partir de 0 : valeurs[3] vaut 2000. Le programme affiche 2000, alors que la médiane de ces salaires (exercice 1) est 1800. L'erreur : la fonction ne trie pas la liste avant de prendre la valeur du milieu.
def mediane(valeurs):
v = sorted(valeurs)
n = len(v)
if n % 2 == 1:
return v[n // 2]
return (v[n // 2 - 1] + v[n // 2]) / 2Le programme affiche maintenant 1800. La dernière ligne traite les listes de longueur paire, dont la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu.
À retenir
À retenir :
- MIASHS : des mathématiques et de l'informatique au service d'une question de sciences sociales.
- Pas de programme national : chaque université a sa maquette. 180 crédits, un crédit valant 25 à 30 heures de travail.
- Mathématiques : algèbre linéaire, analyse, probabilités, statistique, démonstrations comprises.
- Informatique : programmer, tester, interroger une base de données.
- Une moyenne se lit avec la médiane, et $P(V \mid J)$ n'est pas $P(J \mid V)$.
Sources
- Arrêté du 30 juillet 2018 relatif au diplôme national de licence, articles 2, 7 et 8 : texte sur Légifrance.
- Licence MIASHS, fiche nationale RNCP40806, France compétences : fiche sur francecompetences.fr.