Pour montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, ne vérifie pas les huit axiomes un par un : montre que c'est un sous-espace d'un espace vectoriel que tu connais déjà. Le plus court est souvent d'y reconnaître le noyau d'une application linéaire. Exemple : $\{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) = 0\}$ est le noyau de $P \mapsto P(1)$, linéaire puisque $(\lambda P + \mu Q)(1) = \lambda P(1) + \mu Q(1)$ : c'est donc un sous-espace de $\mathbb{R}_3[X]$, et un espace vectoriel. La suite détaille les méthodes possibles, puis la façon de prouver qu'un ensemble n'en est pas un.
Les espaces de référence
Tout repose sur quelques espaces vectoriels que le cours te fournit, munis de leurs opérations habituelles. Ici, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
| Espace | Ses vecteurs | Son vecteur nul |
|---|---|---|
| $\mathbb{K}^n$ | les $n$-uplets $(x_1, \dots, x_n)$ | $(0, \dots, 0)$ |
| $\mathbb{K}[X]$ et $\mathbb{K}_n[X]$ | les polynômes, de degré au plus $n$ dans le second | le polynôme nul |
| $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ | les matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes | la matrice nulle |
| $\mathbb{K}^{\Omega}$ | les fonctions d'un ensemble $\Omega$ dans $\mathbb{K}$ | la fonction nulle |
| $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ | les suites à valeurs dans $\mathbb{K}$ | la suite nulle |
Devant un ensemble nouveau, ton premier geste est de repérer dans lequel il vit : des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ vivent dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, des suites réelles dans $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Les axiomes ne servent que si l'énoncé invente une addition ou une multiplication inhabituelle.
Méthode 1 : le critère de sous-espace
Propriété : une partie $F$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $0_E \in F$ et $\lambda x + \mu y \in F$ pour tous $x, y \in F$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Un sous-espace est lui-même un espace vectoriel.
C'est la méthode passe-partout. Prends $F = \{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mid f(0) = 2f(1)\}$. La fonction nulle y est, puisque $0 = 2 \times 0$. Si $f$ et $g$ sont dans $F$, alors
$$(\lambda f + \mu g)(0) = \lambda f(0) + \mu g(0) = 2\big(\lambda f(1) + \mu g(1)\big) = 2(\lambda f + \mu g)(1)$$
donc $\lambda f + \mu g \in F$ : $F$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.
Méthode 2 : un noyau
Quand l'ensemble est défini par des équations linéaires « $= 0$ », une application linéaire se cache derrière, et l'ensemble est son noyau.
Propriété : si $u : E \to F$ est linéaire, son noyau $\operatorname{Ker} u = \{x \in E \mid u(x) = 0_F\}$ est un sous-espace de $E$, et son image $\operatorname{Im} u = \{u(x) \mid x \in E\}$ est un sous-espace de $F$.
Exemple : les solutions de l'équation différentielle $y'' + 3y' + 2y = 0$. Pose $u(y) = y'' + 3y' + 2y$ pour $y$ dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, le sous-espace de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ formé des fonctions deux fois dérivables à dérivée seconde continue. La dérivation est linéaire, donc $u(\lambda y + \mu z) = \lambda u(y) + \mu u(z)$, et l'ensemble des solutions est $\operatorname{Ker} u$. Une ligne de preuve, sans résoudre l'équation.
Avec plusieurs équations, rassemble-les en une seule application à valeurs dans $\mathbb{K}^p$, ou vois l'ensemble comme une intersection de noyaux : une intersection de sous-espaces est un sous-espace. Et un ensemble décrit comme « tous les $u(x)$ » est une image.
Méthode 3 : un Vect
Quand l'ensemble est décrit par des paramètres libres, écris chacun de ses éléments comme combinaison linéaire de quelques vecteurs fixes $x_1, \dots, x_p$. Tu reconnais alors $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, le sous-espace engendré par ces vecteurs, et le cours garantit que c'en est un.
Exemple : soit $F$ l'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ réels. En notant $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, chacune s'écrit $aI_2 + bJ$, donc $F = \operatorname{Vect}(I_2, J)$ est un sous-espace de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. En prime, $aI_2 + bJ = 0$ force $a = b = 0$ : la famille $(I_2, J)$ est libre, c'est une base de $F$, et $\dim F = 2$.
Équations ou paramètres : ce sont les deux façons de décrire un même sous-espace, et les programmes de MPSI et MP2I comme de PCSI s'appuient sur ces deux représentations pour calculer des dimensions. Si l'énoncé enchaîne sur une base, passe par le Vect : tu tiens déjà une famille génératrice.
Prouver que ce n'est pas un espace vectoriel
Un seul contre-exemple suffit, avec des vecteurs explicites. Teste d'abord le vecteur nul : le polynôme nul n'est pas de degré 3, donc les polynômes de degré exactement 3 ne forment pas un sous-espace de $\mathbb{R}[X]$.
Si le vecteur nul est dedans, cherche une combinaison qui sort. Le demi-plan $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geqslant 0\}$ contient $(0, 0)$ et il est stable par addition, mais il contient $(1, 0)$ et pas $-1 \times (1, 0) = (-1, 0)$.
Piège classique : contenir $0_E$ ne prouve rien. Méfie-toi de toute condition qui n'est pas une équation linéaire égale à zéro : une inégalité, un carré, un déterminant, un « $= 1$ ». Ce n'est pas une preuve d'échec, c'est un signal : cherche le contre-exemple.
Le piège du second membre
Un ensemble défini par $u(x) = a$, avec $u$ linéaire et $a \neq 0_F$, n'est jamais un sous-espace : $u(0_E) = 0_F \neq a$, donc $0_E$ n'en fait pas partie. Ainsi les solutions de $y' + y = 1$, les fonctions $t \mapsto 1 + Ce^{-t}$ avec $C$ réel, ne forment pas un espace vectoriel : la somme de deux solutions vérifie $y' + y = 2$.
Propriété : si $u : E \to F$ est linéaire et $a \in F$, l'ensemble des solutions de $u(x) = a$ est vide, ou de la forme $x_0 + \operatorname{Ker} u$, où $x_0$ est une solution particulière.
Tu connais déjà cette règle sous le nom « solution particulière plus solutions de l'équation homogène », pour les équations différentielles et les systèmes. Dans l'exemple, $u(y) = y' + y$, $x_0$ est la fonction constante égale à 1 et $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}(t \mapsto e^{-t})$.
Exercices corrigés
Trois exercices, de l'application directe au sujet de devoir. Rédige chaque réponse sur ta feuille avant de regarder la correction.
Exercice 1 : Quatre fils arrivent à un nœud d'un circuit électrique. On note $i_1$, $i_2$, $i_3$, $i_4$ leurs intensités en ampères, comptées positivement vers le nœud. La loi des nœuds impose $i_1 + i_2 + i_3 + i_4 = 0$.
a) Montre que l'ensemble $H$ des quadruplets $(i_1, i_2, i_3, i_4)$ possibles est un sous-espace de $\mathbb{R}^4$, et donnes-en une base.
b) Un générateur impose $i_1 = 2$ A. L'ensemble des quadruplets encore possibles est-il un sous-espace ?
Correction :
a) $H$ est le noyau de $\varphi : (i_1, i_2, i_3, i_4) \mapsto i_1 + i_2 + i_3 + i_4$, linéaire de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}$ : c'est un sous-espace. En écrivant $i_4 = -i_1 - i_2 - i_3$, tout vecteur de $H$ vaut
$$i_1(1, 0, 0, -1) + i_2(0, 1, 0, -1) + i_3(0, 0, 1, -1)$$
Ces trois vecteurs engendrent $H$. Ils forment une famille libre : les trois premières coordonnées d'une de leurs combinaisons sont ses coefficients, qui sont donc nuls si elle est nulle. C'est une base, et $\dim H = 3$.
b) Non : le quadruplet nul ne vérifie pas $i_1 = 2$. On résout $u(i) = (0, 2)$ avec $u(i) = (i_1 + i_2 + i_3 + i_4,\ i_1)$, linéaire. Une solution particulière est $(2, 0, 0, -2)$, en ampères, et $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Vect}\big((0, 1, 0, -1), (0, 0, 1, -1)\big)$. Les intensités possibles forment donc $(2, 0, 0, -2) + \operatorname{Ker} u$ : un ensemble de la forme $x_0 + \operatorname{Ker} u$, pas un sous-espace.
Exercice 2 : Un camarade affirme : « l'ensemble $G$ des matrices $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que $M^2 = 0$ est un sous-espace, puisqu'il contient la matrice nulle et que $(\lambda M)^2 = \lambda^2 M^2 = 0$. » Ses deux arguments sont-ils justes ? Et sa conclusion ?
Correction :
Les deux arguments sont justes, mais aucun ne teste l'addition. Prends $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : un calcul direct donne $A^2 = B^2 = 0$, donc $A$ et $B$ sont dans $G$. Pourtant
$$(A + B)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = I_2 \neq 0$$
donc $A + B \notin G$, et la conclusion est fausse. La raison de fond : $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, et les termes croisés $AB + BA$ n'ont aucune raison d'être nuls. La condition $M^2 = 0$ n'est pas linéaire.
Exercice 3 : Soit $E$ l'ensemble des suites réelles $(u_n)$ telles que $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
a) Montre que $E$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.
b) Pour quels réels $r$ non nuls la suite $(r^n)$ est-elle dans $E$ ?
c) Montre que $E = \operatorname{Vect}\big((2^n), ((-1)^n)\big)$, puis donne $u_n$ pour la suite de $E$ telle que $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$.
Correction :
a) $E$ est le noyau de $\Phi : \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, $\Phi(u) = (u_{n+2} - u_{n+1} - 2u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. $\Phi$ est linéaire : chaque terme de $\Phi(\lambda u + \mu v)$ vaut $\lambda$ fois celui de $\Phi(u)$ plus $\mu$ fois celui de $\Phi(v)$.
b) En divisant par $r^n \neq 0$, la relation $r^{n+2} = r^{n+1} + 2r^n$ équivaut à $r^2 - r - 2 = 0$, soit $(r - 2)(r + 1) = 0$ : $r = 2$ ou $r = -1$.
c) $E$ est un sous-espace qui contient $(2^n)$ et $((-1)^n)$, donc il contient leur Vect. Réciproquement, soit $u \in E$. On cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha + \beta = u_0$ et $2\alpha - \beta = u_1$ : $\alpha = \dfrac{u_0 + u_1}{3}$ et $\beta = \dfrac{2u_0 - u_1}{3}$. La suite $v$ de terme général $\alpha 2^n + \beta(-1)^n$ est dans $E$ et a les mêmes deux premiers termes que $u$. Si $v_n = u_n$ et $v_{n+1} = u_{n+1}$, la relation donne $v_{n+2} = u_{n+2}$ : par récurrence, $v = u$. Enfin, si $\alpha 2^n + \beta(-1)^n = 0$ pour tout $n$, les cas $n = 0$ et $n = 1$ donnent $\alpha = \beta = 0$ : la famille est libre, et $\dim E = 2$.
Pour $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$ : $\alpha = 1$ et $\beta = -1$, donc $u_n = 2^n - (-1)^n$. Contrôle : $u_2 = u_1 + 2u_0 = 3$, et $2^2 - (-1)^2 = 3$.
À retenir
À retenir :
- Un ensemble nouveau vit dans un espace de référence : montre que c'est un sous-espace, sans repasser par les axiomes.
- Critère : $0_E \in F$ et $\lambda x + \mu y \in F$ pour tous $x, y \in F$ et tous scalaires $\lambda, \mu$.
- Des équations linéaires « $= 0$ » : c'est un noyau. Des paramètres libres : c'est un Vect, qui fournit en prime une famille génératrice.
- Pour le contraire, un contre-exemple explicite ; contenir $0_E$ ne suffit pas.
- $u(x) = a$ avec $a \neq 0_F$ n'est jamais un sous-espace : ses solutions, s'il y en a, forment $x_0 + \operatorname{Ker} u$.
Sources
- Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, Classes préparatoires MPSI et MP2I, programme de mathématiques (annexe 1), 2021, partie « Espaces vectoriels et applications linéaires » : texte sur education.gouv.fr.
- Même ministère, Classe préparatoire PCSI, programme de mathématiques (annexe 1), 2021, même partie : texte sur education.gouv.fr.