Une série $\sum u_n$ n'est rien d'autre qu'une suite : celle de ses sommes partielles $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$, et la série converge quand $(S_n)$ a une limite finie. Dans l'autre sens, toute suite est une série, car $u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)$ : la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série de ses écarts $\sum(u_{n+1}-u_n)$ converge. Exemple : pour $u_n=\ln n$, les écarts $\ln(n+1)-\ln n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ tendent vers 0, et pourtant leur série diverge, puisque la somme des $n$ premiers vaut $\ln(n+1)$.
Toute la page tient sur ce pont à double sens, avec trois exercices corrigés à la fin.
Trois suites à ne pas confondre
Derrière l'écriture $\sum u_n$ se cachent trois suites. Avant de calculer, demande-toi de laquelle parle chaque phrase de ton énoncé.
| Suite | Notation | Ce que tu sais d'elle |
|---|---|---|
| Terme général | $u_n$ | Si la série converge, $u_n\to0$. La réciproque est fausse. |
| Somme partielle | $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$ | Si elle a une limite finie $S$, la série converge et $S=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k$ est sa somme. |
| Reste | $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ | Défini seulement si la série converge. Comme $R_n=S-S_n$, il tend vers 0. |
La règle de la première ligne se démontre aussitôt : si $S_n\to S$, alors $u_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$.
Exemple : pour $n\geqslant1$, $u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$. En sommant de $k=1$ à $n$, tout se simplifie sauf le premier et le dernier terme : $S_n=1-\dfrac{1}{n+1}$. La série converge, sa somme vaut 1 et son reste vaut $R_n=\dfrac{1}{n+1}$. Trois suites, trois comportements : $u_n$ et $R_n$ tendent vers 0, $S_n$ tend vers 1.
Piège classique : « la suite $(u_n)$ converge » et « la série $\sum u_n$ converge » sont deux affirmations différentes. La suite constante égale à 1 converge, mais sa série diverge, car $S_n=n+1$. Quand $u_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge : on parle de divergence grossière, et c'est le premier test à faire. Quand $u_n\to0$, en revanche, tu ne sais encore rien, l'exemple de $\ln(n+1)-\ln n$ l'a montré.
Une série est une suite
Puisqu'une série est la suite $(S_n)$, tout ce que tu sais sur les suites s'applique. Le cas le plus utile : si $u_n\geqslant0$ pour tout $n$, alors $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}\geqslant0$, donc $(S_n)$ est croissante. Le théorème de la limite monotone fait le reste : croissante et majorée, elle converge ; croissante et non majorée, elle tend vers $+\infty$.
Propriété : une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Tu prouves ainsi qu'une série converge sans connaître sa somme : un majorant suffit. Prends $\sum_{k\geqslant1}\frac{1}{k^2}$. Pour $k\geqslant2$, on a $k^2\geqslant k(k-1)$, donc
$$\frac{1}{k^2}\leqslant\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}.$$
En sommant de $k=2$ à $n$, le télescopage donne $S_n\leqslant1+\left(1-\frac{1}{n}\right)<2$. Croissante et majorée par 2, la suite $(S_n)$ converge : la série aussi, et sa somme ne dépasse pas 2.
Les théorèmes de comparaison viennent de là : si $0\leqslant u_n\leqslant v_n$ et si $\sum v_n$ converge, chaque somme partielle de $\sum u_n$ est majorée par la somme de $\sum v_n$.
Piège classique : sans l'hypothèse $u_n\geqslant0$, des sommes partielles majorées ne prouvent rien. Pour $u_n=(-1)^n$, elles valent tour à tour 1 et 0, et pourtant la série diverge, car $u_n$ ne tend pas vers 0.
Une suite est une série
Retourne le pont. Pour toute suite $(u_n)$, les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux :
$$u_n=u_0+\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k).$$
La série $\sum(u_{n+1}-u_n)$ s'appelle une série télescopique. La somme de ses $n$ premiers termes vaut $u_n-u_0$ : l'une a une limite finie exactement quand l'autre en a une. Le programme de MPSI et MP2I l'énonce sous ce nom :
Propriété (lien suite-série) : la suite $(u_n)$ et la série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n)$ sont de même nature : elles convergent toutes les deux, ou divergent toutes les deux.
L'intérêt : l'écart $u_{n+1}-u_n$ est souvent bien plus simple à étudier que $u_n$. L'exemple type : $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n$ pour $n\geqslant1$.
Étape 1 : calcule l'écart. Dans la somme, tout se simplifie sauf le dernier terme : $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\dfrac{1}{n+1}-\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$.
Étape 2 : cherche un équivalent par développement limité à l'ordre 2 en $\frac{1}{n}$ : $\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ et $\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$. Donc $u_n-u_{n+1}\sim\dfrac{1}{2n^2}$.
Étape 3 : compare. Le théorème d'équivalence demande des termes positifs : c'est pour ça qu'on regarde $u_n-u_{n+1}$, positif à partir d'un certain rang puisqu'un équivalent garde le signe. Or la série de Riemann $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, donc $\sum\frac{1}{2n^2}$ converge. Par équivalence, $\sum(u_n-u_{n+1})$ converge, et son opposée $\sum(u_{n+1}-u_n)$ aussi.
Étape 4 : conclus avec le lien suite-série : $(u_n)$ converge. Sa limite s'appelle la constante d'Euler, notée $\gamma$, et vaut environ $0{,}577$.
Tu gagnes au passage $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\ln n+\gamma+o(1)$. Les sommes partielles de la série harmonique tendent vers $+\infty$, mais à la vitesse de $\ln n$ : après un million de termes, elles valent environ $14{,}4$.
Le reste, c'est l'erreur commise
Quand une série converge, $S_n$ est une valeur approchée de sa somme $S$, et l'erreur commise est exactement le reste $R_n=S-S_n$. Majorer le reste, c'est garantir une précision.
Pour une série à termes positifs, le télescopage sert encore. Reprends $\sum\frac{1}{k^2}$ avec $n\geqslant1$ : pour $k\geqslant n+1$, $\frac{1}{k^2}\leqslant\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$. De $k=n+1$ à $N$, la somme de droite vaut $\frac{1}{n}-\frac{1}{N}$, qui reste sous $\frac{1}{n}$. En faisant tendre $N$ vers $+\infty$, tu obtiens $R_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Avec 100 termes, l'erreur est donc au plus $0{,}01$. Une série peut converger lentement, et seul le reste te le dit.
Pour une série alternée $\sum(-1)^na_n$, où $(a_n)$ décroît et tend vers 0, le théorème des séries alternées, lui aussi au programme, donne directement $|R_n|\leqslant a_{n+1}$ : l'erreur ne dépasse pas, en valeur absolue, le premier terme oublié.
Exercices corrigés
Trois exercices, du télescopage pur au niveau d'un devoir surveillé. Cherche chacun avant d'ouvrir sa correction.
Exercice 1 : Montre que la série $\sum_{n\geqslant2}\ln\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)$ converge et calcule sa somme.
Correction :
Factorise : $1-\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{(n-1)(n+1)}{n^2}$, donc $\ln\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)=\big(\ln(n+1)-\ln n\big)-\big(\ln n-\ln(n-1)\big)$.
Pose $v_n=\ln n-\ln(n-1)=\ln\dfrac{n}{n-1}$ pour $n\geqslant2$ : le terme général s'écrit $v_{n+1}-v_n$, la série est télescopique. Ses sommes partielles valent $S_N=\sum_{n=2}^{N}(v_{n+1}-v_n)=v_{N+1}-v_2=\ln\dfrac{N+1}{N}-\ln2$.
Quand $N\to+\infty$, $\dfrac{N+1}{N}\to1$, donc $S_N\to-\ln2$. La série converge et sa somme vaut $-\ln2$. Contrôle : chaque terme est négatif, la somme aussi.
Exercice 2 : Un camarade affirme : « comme $u_{n+1}-u_n\to0$, la suite $(u_n)$ converge ». Montre qu'il a tort avec $u_n=\sqrt{n}$, puis explique son erreur grâce au lien suite-série.
Correction :
Avec la quantité conjuguée, $u_{n+1}-u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$. Cet écart tend vers 0, et pourtant $\sqrt{n}\to+\infty$ : l'affirmation est fausse.
L'explication : $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum(u_{n+1}-u_n)$ converge, et une série ne converge jamais du seul fait que son terme général tend vers 0. Ici, $u_{n+1}-u_n\sim\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$, terme positif, et la série de Riemann d'exposant $\alpha=\dfrac{1}{2}\leqslant1$ diverge. Par équivalence, la série des écarts diverge, donc la suite aussi.
Exercice 3 : Tu fais calculer à l'ordinateur les sommes partielles $S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$ pour approcher la somme $S$ de cette série. On note $R_n=S-S_n$ et on admet que $R_n\leqslant\dfrac{1}{n}$ pour $n\geqslant1$, comme vu plus haut.
a) Montre que $R_n\geqslant\dfrac{1}{n+1}$.
b) Combien de termes garantissent une erreur d'au plus $10^{-4}$ ?
c) Montre que $S_n+\dfrac{1}{n}$ approche $S$ à $\dfrac{1}{n(n+1)}$ près. Combien de termes suffisent alors ?
Correction :
a) Comme $k^2\leqslant k(k+1)$, on a $\dfrac{1}{k^2}\geqslant\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$. De $k=n+1$ à $N$, la somme de droite vaut $\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{N+1}$, qui tend vers $\dfrac{1}{n+1}$. Par passage à la limite, $R_n\geqslant\dfrac{1}{n+1}$.
b) L'erreur commise est $R_n$. Avec $n=10\,000$, $R_n\leqslant10^{-4}$ : c'est garanti. Avec $n\leqslant9\,998$, $R_n\geqslant\dfrac{1}{n+1}\geqslant\dfrac{1}{9\,999}>10^{-4}$ : ça ne suffit pas. Il faut donc de l'ordre de dix mille termes.
c) $S-\left(S_n+\dfrac{1}{n}\right)=R_n-\dfrac{1}{n}$. D'après a), ce nombre est compris entre $\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=-\dfrac{1}{n(n+1)}$ et 0 : l'erreur est au plus $\dfrac{1}{n(n+1)}$. Avec $n=100$, elle vaut au plus $\dfrac{1}{10\,100}<10^{-4}$. Cent termes et une correction de $\dfrac{1}{n}$ font mieux que dix mille termes bruts.
À retenir
À retenir :
- Derrière $\sum u_n$, trois suites : le terme général $u_n$, la somme partielle $S_n$ et, si la série converge, le reste $R_n=S-S_n$.
- Si la série converge, $u_n\to0$ ; la réciproque est fausse.
- Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
- Lien suite-série : $(u_n)$ et $\sum(u_{n+1}-u_n)$ sont de même nature. C'est l'outil pour montrer qu'une suite converge à partir de son écart.
- Majorer le reste, c'est garantir la précision d'une valeur approchée.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, 2021, partie « Procédés sommatoires discrets » : texte sur education.gouv.fr.