Pour trouver la limite d'une suite ou la nature d'une série (convergente ou divergente) en maths sup, remplace le terme général $u_n$ par une suite plus simple $v_n$ qui lui est équivalente, c'est-à-dire telle que $\dfrac{u_n}{v_n}\to1$. Les deux suites ont alors la même limite et, si leurs termes sont positifs, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature. Exemple : $u_n=\dfrac{n+3}{n^3+1}$ est équivalent à $\dfrac{n}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}$, terme d'une série de Riemann convergente, donc $\sum u_n$ converge. Ce remplacement obéit à des règles strictes : voici lesquelles, les endroits où il casse, puis quatre exercices corrigés.
Négligeable, dominée, équivalente
Les programmes de première année (MPSI et MP2I, PCSI) comparent deux suites par trois relations. Toutes se lisent sur le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$, avec $v_n\neq0$ à partir d'un certain rang.
Définition : quand $n\to+\infty$,
$u_n=o(v_n)$, « $u_n$ est négligeable devant $v_n$ », si $\dfrac{u_n}{v_n}\to0$ ;
$u_n=O(v_n)$, « $u_n$ est dominée par $v_n$ », si la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée ;
$u_n\sim v_n$, « $u_n$ est équivalente à $v_n$ », si $\dfrac{u_n}{v_n}\to1$, ce qui revient à $u_n=v_n+o(v_n)$.
Retiens surtout cette dernière écriture : un équivalent, c'est la suite elle-même à une erreur négligeable près. C'est elle qui sert dans les calculs.
Les croissances comparées se disent avec ce vocabulaire. Pour tous réels $\alpha>0$, $\beta>0$ et $\gamma>0$ :
$$(\ln n)^\beta=o(n^\alpha)\qquad\text{et}\qquad n^\alpha=o\left(e^{\gamma n}\right).$$
Ce qu'un équivalent garde, et ce qu'il perd
Propriété : si $u_n\sim v_n$, les deux suites ont le même signe à partir d'un certain rang, et si l'une a une limite, l'autre a la même. Si de plus $a_n\sim b_n$, alors $u_na_n\sim v_nb_n$ et $\dfrac{u_n}{a_n}\sim\dfrac{v_n}{b_n}$.
Pour trouver un équivalent, factorise par le terme prépondérant, celui qui l'emporte sur les autres. Ou bien sers-toi des équivalents usuels, tirés des développements limités : si $x_n\to0$ avec $x_n\neq0$, alors
$$\ln(1+x_n)\sim x_n,\quad e^{x_n}-1\sim x_n,\quad \sin x_n\sim x_n,\quad 1-\cos x_n\sim\frac{x_n^2}{2}.$$
Piège classique : les équivalents ne s'additionnent pas, et ne passent pas dans une fonction comme l'exponentielle. On a $n+1\sim n$ et $-n\sim-n$, mais la somme $(n+1)+(-n)=1$ n'est pas équivalente à $n+(-n)=0$. De même, $n+1\sim n$ alors que $\dfrac{e^{n+1}}{e^n}=e$ : $e^{n+1}$ n'est pas équivalent à $e^n$. Devant une somme, écris chaque terme sous la forme $v_n+o(v_n)$ et regroupe. Devant une exponentielle, souviens-toi que $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ exige $u_n-v_n\to0$.
Un exemple de somme : $\tan\dfrac{1}{n}$ et $\sin\dfrac{1}{n}$ sont tous deux équivalents à $\dfrac{1}{n}$, et tu n'en tires rien sur leur différence. Pousse les développements limités à l'ordre 3 : $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$ et $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$. Les termes en $x$ s'annulent, et il reste $\tan\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\sim\dfrac{1}{2n^3}$.
Trancher la nature d'une série à termes positifs
Une série $\sum u_n$ converge quand la suite de ses sommes partielles $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$ a une limite finie. Premier réflexe : si $u_n$ ne tend pas vers 0, elle diverge sans autre calcul. Sinon, pour des termes positifs, le programme donne deux comparaisons.
Propriété : soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites positives. Si $u_n\leqslant v_n$ pour tout $n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. Si $u_n\sim v_n$, alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature.
Il te faut ensuite des séries dont la nature est connue. La série géométrique $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, la série de Riemann $\sum\dfrac{1}{n^\alpha}$ si et seulement si $\alpha>1$. D'où la méthode : cherche un équivalent de $u_n$ de la forme $Cq^n$ ou $\dfrac{C}{n^\alpha}$, avec $C>0$, puis lis la nature. La constante $C$ ne change rien, les premiers termes non plus.
Exemple : $u_n=\dfrac{2^n+n^3}{3^n-n}$. Par croissances comparées, $n^3=o(2^n)$ et $n=o(3^n)$ : le numérateur est équivalent à $2^n$, le dénominateur à $3^n$, donc $u_n\sim\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Les termes sont positifs et $\dfrac{2}{3}<1$ : la série converge.
Parfois, aucun équivalent de cette forme n'existe. Avec $u_n=e^{-\sqrt{n}}$, montre plutôt que $u_n$ est négligeable devant une référence convergente. En posant $t=\sqrt{n}$, on a $n^2e^{-\sqrt{n}}=t^4e^{-t}\to0$ par croissances comparées, donc $u_n=o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$. À partir d'un certain rang, $0\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n^2}$, et la majoration conclut : $\sum e^{-\sqrt{n}}$ converge.
Dans l'autre sens, si $nu_n\to+\infty$, alors $u_n\geqslant\dfrac{1}{n}$ à partir d'un certain rang, et $\sum u_n$ diverge : sinon, l'inégalité $\dfrac{1}{n}\leqslant u_n$ ferait converger la série harmonique $\sum\dfrac{1}{n}$, qui diverge.
Quand le signe du terme change
Les deux comparaisons précédentes exigent des termes positifs. Pour un terme de signe quelconque, regarde d'abord sa valeur absolue : si $\sum|u_n|$ converge, on dit que $\sum u_n$ converge absolument, et alors elle converge.
Propriété : si $u_n=O(v_n)$, où $(v_n)$ est positive et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge absolument, donc converge.
Par exemple, $\left|\dfrac{\cos n}{n\sqrt{n}}\right|\leqslant\dfrac{1}{n^{3/2}}$, donc $\dfrac{\cos n}{n\sqrt{n}}=O\left(\dfrac{1}{n^{3/2}}\right)$ et la série $\sum\dfrac{\cos n}{n\sqrt{n}}$ converge absolument.
Quand $\sum|u_n|$ diverge, le programme de MPSI et MP2I garde un seul outil, le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ tend vers 0 en décroissant, alors $\sum(-1)^na_n$ converge. Ainsi $\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, sans converger absolument. En PCSI, ce cas, appelé semi-convergence, est hors programme.
Piège classique : quand le signe change, deux termes équivalents peuvent donner des séries de natures opposées. Prends $u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$. Alors $\dfrac{v_n}{u_n}=1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\to1$, donc $u_n\sim v_n$. Pourtant $\sum u_n$ converge, alors que $\sum v_n$, somme d'une série convergente et de la série harmonique, diverge. Avant d'utiliser un équivalent sur une série, vérifie que le signe est constant.
Exercices corrigés
Du calcul de limite au piège de devoir surveillé. Cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Une banque verse un intérêt de 3 % par an, capitalisé $n$ fois dans l'année : à chaque période, le capital est multiplié par $1+\dfrac{0{,}03}{n}$ (données fictives). Placés un an, 1 000 € deviennent $C_n=1\,000\left(1+\dfrac{0{,}03}{n}\right)^n$ euros. Un camarade affirme : « $1+\dfrac{0{,}03}{n}\to1$, donc $C_n\to1\,000$ ». Trouve son erreur, puis calcule la limite de $C_n$ au centime près.
Correction :
Son erreur : l'exposant $n$ grandit pendant que la base s'approche de 1, et on ne passe pas à la limite dans la base seule. Passe au logarithme : $\ln C_n=\ln 1\,000+n\ln\left(1+\dfrac{0{,}03}{n}\right)$.
Comme $\dfrac{0{,}03}{n}\to0$, l'équivalent usuel donne $\ln\left(1+\dfrac{0{,}03}{n}\right)\sim\dfrac{0{,}03}{n}$, donc $n\ln\left(1+\dfrac{0{,}03}{n}\right)\sim0{,}03$ : ce produit tend vers $0{,}03$. L'exponentielle est continue, d'où $C_n\to1\,000\,e^{0{,}03}\approx1\,030{,}45$ €.
On a cherché la limite de l'exposant, pas un équivalent de $C_n$ : c'est la règle des exponentielles.
Exercice 2 : Donne la nature des séries $\sum_{n\geqslant1}\left(1-\cos\dfrac{\pi}{n}\right)$ et $\sum_{n\geqslant1}\left(e^{1/n}-1\right)$.
Correction :
Les deux termes sont positifs, puisque $\cos\dfrac{\pi}{n}\leqslant1$ et $e^{1/n}\geqslant1$. Comme $\dfrac{\pi}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$ tendent vers 0, les équivalents usuels s'appliquent.
$1-\cos\dfrac{\pi}{n}\sim\dfrac{\pi^2}{2n^2}$ : une constante fois le terme d'une série de Riemann d'exposant $2>1$, donc la première série converge.
$e^{1/n}-1\sim\dfrac{1}{n}$ : comme la série harmonique, la seconde série diverge. Les deux termes tendent vers 0, mais pas à la même vitesse, et c'est la vitesse qui décide.
Exercice 3 : Montre que la série $\sum_{n\geqslant1}\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}$ converge. Explique pourquoi comparer son terme à $\dfrac{1}{n^2}$ ne suffit pas.
Correction :
Les termes sont positifs. Pour $n\geqslant3$, $\ln n\geqslant1$, donc $\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}\geqslant\dfrac{1}{n^2}$ : être plus grand que le terme d'une série convergente ne prouve rien.
Il faut une référence entre $\dfrac{1}{n^2}$ et $\dfrac{1}{n}$, par exemple $\dfrac{1}{n^{3/2}}$. On a $n^{3/2}\times\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}=\dfrac{(\ln n)^3}{n^{1/2}}\to0$ par croissances comparées, donc $\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}=o\left(\dfrac{1}{n^{3/2}}\right)$.
La série de Riemann d'exposant $\dfrac{3}{2}>1$ converge, donc $\sum\dfrac{(\ln n)^3}{n^2}$ converge aussi. Tout exposant $\alpha$ de l'intervalle $]1\,;\,2[$ conviendrait.
Exercice 4 : (MPSI, MP2I) Pour $n\geqslant2$, on pose $u_n=\ln\left(1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$. On a $u_n\sim\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, terme général d'une série convergente. Montre pourtant que $\sum u_n$ diverge.
Correction :
Le signe de $u_n$ alterne : l'équivalent ne dit rien de la nature. Pousse le développement limité à l'ordre 2. Avec $x=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\to0$ et $x^2=\dfrac{1}{n}$, la formule $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$ donne
$$u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$
Pose $w_n=u_n-\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. Alors $w_n\sim-\dfrac{1}{2n}$ : $-w_n$ est positif à partir d'un certain rang et équivalent à $\dfrac{1}{2n}$, donc $\sum w_n$ diverge, comme la série harmonique.
Or $\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge, par le théorème des séries alternées. Si $\sum u_n$ convergeait, $\sum w_n$, différence de deux séries convergentes, convergerait aussi : c'est impossible. Donc $\sum u_n$ diverge.
À retenir
À retenir :
- $u_n\sim v_n$ signifie $\dfrac{u_n}{v_n}\to1$, soit $u_n=v_n+o(v_n)$ : même limite, même signe à partir d'un certain rang.
- Produits et quotients d'équivalents : permis. Sommes et passage dans une exponentielle : interdits.
- Termes positifs : un équivalent en $Cq^n$ ou $\dfrac{C}{n^\alpha}$ donne la nature de la série.
- Sans équivalent simple, montre $u_n=o\left(\dfrac{1}{n^\alpha}\right)$ avec $\alpha>1$ pour conclure à la convergence.
- Signe variable : convergence absolue d'abord, et jamais d'équivalent sans signe constant.
Sources
- Programme de mathématiques des classes préparatoires MPSI et MP2I, annexe 1, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, parties « Analyse asymptotique » et « Procédés sommatoires discrets » : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de mathématiques de la classe préparatoire PCSI, annexe 1, même ministère, 2021, parties « Analyse asymptotique » et « Séries numériques » : texte sur education.gouv.fr.