Objectif : Ce document est une annale corrigée du Brevet de Mathématiques. Il est conçu pour t'accompagner dans ta préparation, en analysant chaque exercice pour t'aider à comprendre les concepts clés et les méthodes de résolution.
| Information | Détails |
|---|---|
| Examen | Diplôme National du Brevet (DNB) |
| Session | 2024 (Sujet type) |
| Durée indicative | 2 heures |
| Coefficient | 2 (pour la partie Mathématiques) |
| Calculatrice autorisée | Oui (mode examen obligatoire) |
Épreuve de Mathématiques - Sujet type 2024
L'épreuve de mathématiques du Brevet évalue ta compréhension des notions abordées durant le cycle 4. Elle comprend généralement des exercices variés portant sur l'arithmétique, la géométrie, les fonctions, la statistique et les probabilités. Ce sujet type te propose une exploration de ces domaines.
Exercice 1 : Arithmétique et Fractions
Le directeur d'un centre de loisirs souhaite organiser une sortie. Il dispose de 182 élèves et 78 adultes. Pour le transport, il a réservé des bus de 50 places chacun.
- a) Déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 182 et 78.
- b) Le directeur souhaite constituer des groupes de même taille, composés d'élèves et d'adultes, afin que chaque groupe ait le même nombre d'élèves et le même nombre d'adultes. Quelle est la taille maximale de ces groupes ? Combien y aura-t-il de groupes ?
- c) Sachant que 3/7 des élèves sont des filles, quelle est la proportion de garçons ? Donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
Barème indicatif : 5 points
Correction Exercice 1
Analyse du sujet et stratégie :
Cet exercice teste tes compétences en arithmétique (PGCD, décomposition en facteurs premiers) et en calcul de fractions. Il faut bien comprendre la notion de division euclidienne pour le PGCD et la simplification de fractions. La partie sur la composition de groupes utilise directement le résultat du PGCD.
Résolution étape par étape :
1.a) Calcul du PGCD de 182 et 78.
Pour trouver le PGCD, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide.
182 = 2 × 78 + 26
78 = 3 × 26 + 0
Le dernier reste non nul est 26. Donc, PGCD(182, 78) = 26.
1.b) Taille maximale des groupes et nombre de groupes.
La taille maximale de ces groupes est égale au PGCD de 182 et 78, car il faut pouvoir diviser le nombre total d'élèves et le nombre total d'adultes par ce nombre pour avoir des groupes de même taille sans reste.
La taille maximale d'un groupe est de 26 personnes.
Pour trouver le nombre de groupes, on divise le nombre total d'élèves par la taille des groupes et le nombre total d'adultes par la taille des groupes :
Nombre de groupes = (Nombre total d'élèves / taille du groupe) + (Nombre total d'adultes / taille du groupe) -- Attention, cette formulation est incorrecte. Le PGCD donne la taille maximale du groupe pour des sous-groupes d'élèves et d'adultes distincts, pas la taille totale du groupe.
Reprenons : Le PGCD de 182 et 78 est 26. Cela signifie que l'on peut former au maximum 26 groupes de même taille, où chaque groupe est composé d'un certain nombre d'élèves et d'un certain nombre d'adultes.
Nombre d'élèves par groupe = 182 élèves / 26 groupes = 7 élèves par groupe.
Nombre d'adultes par groupe = 78 adultes / 26 groupes = 3 adultes par groupe.
La taille totale de chaque groupe est donc de 7 élèves + 3 adultes = 10 personnes. La question demande la "taille maximale de ces groupes" qui se réfère à combien de groupes on peut faire. Donc, on peut faire 26 groupes.
La taille maximale des groupes est de 26 groupes. Chaque groupe sera composé de 7 élèves et 3 adultes.
1.c) Proportion de garçons.
La proportion de filles est de 3/7.
La proportion totale est représentée par 1 (ou 7/7).
Proportion de garçons = 1 - Proportion de filles
Proportion de garçons = 1 - 3/7 = 7/7 - 3/7 = 4/7.
La fraction 4/7 est déjà irréductible car 4 et 7 n'ont pas de diviseurs communs autres que 1.
Points de barème détaillés :
- 1.a) Calcul correct du PGCD par algorithme d'Euclide ou décomposition en facteurs premiers : 2 points
- 1.b) Interprétation correcte du PGCD comme nombre maximal de groupes : 1 point
- Calcul correct du nombre d'élèves et d'adultes par groupe : 1 point
- 1.c) Calcul correct de la proportion de garçons : 1 point
Astuces et méthodes alternatives :
- Pour le PGCD, tu peux aussi décomposer 182 et 78 en facteurs premiers :
- 182 = 2 × 91 = 2 × 7 × 13
- 78 = 2 × 39 = 2 × 3 × 13
- Les facteurs communs sont 2 et 13. PGCD(182, 78) = 2 × 13 = 26.
- Pour la partie c), pense que le total des proportions (filles + garçons) doit toujours être égal à 1.
Erreurs fréquentes des candidats :
- Confondre le PGCD avec le nombre total de personnes dans chaque groupe. Le PGCD permet ici de déterminer le nombre maximum de sous-groupes identiques.
- Ne pas savoir appliquer l'algorithme d'Euclide ou mal décomposer en facteurs premiers.
- Oublier de simplifier la fraction si elle n'est pas irréductible dans la partie c.
- Faire une erreur de calcul dans la soustraction des fractions.
Exercice 2 : Géométrie dans l'espace
On considère une pyramide régulière à base carrée ABCD de sommet S. Le carré ABCD a pour côté 8 cm. La hauteur de la pyramide est de 10 cm.
- a) Calculer le volume de cette pyramide.
- b) Calculer la longueur de la diagonale AC du carré de base.
- c) On réalise une réduction de cette pyramide par un facteur 0,6. Quelle est le volume de la pyramide réduite ?
Barème indicatif : 5 points
Correction Exercice 2
Analyse du sujet et stratégie :
Cet exercice porte sur la géométrie dans l'espace, spécifiquement le calcul de volume d'une pyramide et les effets d'une homothétie (réduction) sur les volumes. Il faudra connaître la formule du volume d'une pyramide et savoir comment le volume évolue lors d'une réduction.
Résolution étape par étape :
2.a) Volume de la pyramide.
La formule du volume d'une pyramide est : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.
L'aire de la base carrée ABCD est côté × côté = $8 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 64 \text{ cm}^2$.
La hauteur est de 10 cm.
Donc, $V = \frac{1}{3} \times 64 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} = \frac{640}{3} \text{ cm}^3$.
On peut laisser la réponse sous forme de fraction ou la calculer en décimal : $V \approx 213,33 \text{ cm}^3$.
2.b) Longueur de la diagonale AC.
Le triangle ABC est un triangle rectangle en B (car ABCD est un carré). On peut utiliser le théorème de Pythagore.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.
$AC = \sqrt{128}$.
Pour simplifier $\sqrt{128}$, on cherche le plus grand carré parfait qui divise 128. C'est 64 ($128 = 64 \times 2$).
$AC = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm.
2.c) Volume de la pyramide réduite.
Lors d'une réduction de facteur $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$, et les volumes par $k^3$.
Le facteur de réduction est $k = 0,6$.
Le volume de la pyramide réduite sera $V_{\text{réduite}} = V_{\text{originale}} \times k^3$.
$V_{\text{réduite}} = \frac{640}{3} \text{ cm}^3 \times (0,6)^3$.
Calculons $(0,6)^3 = 0,6 \times 0,6 \times 0,6 = 0,36 \times 0,6 = 0,216$.
$V_{\text{réduite}} = \frac{640}{3} \times 0,216 \text{ cm}^3$.
$V_{\text{réduite}} = \frac{640 \times 0,216}{3} = \frac{138,24}{3} = 46,08 \text{ cm}^3$.
Points de barème détaillés :
- 2.a) Formule du volume correcte : 0.5 point
- Calcul de l'aire de base correct : 0.5 point
- Calcul final du volume correct : 1 point
- 2.b) Utilisation correcte du théorème de Pythagore : 1 point
- Calcul et simplification de la diagonale : 1 point
- 2.c) Connaissance de la règle de l'évolution du volume par réduction : 0.5 point
- Calcul final du volume réduit correct : 1 point
Astuces et méthodes alternatives :
- Pour la diagonale d'un carré de côté $c$, tu peux aussi utiliser la formule $d = c\sqrt{2}$. Ici, $d = 8\sqrt{2}$.
- Pour le volume réduit, tu peux d'abord calculer les dimensions réduites (longueur de côté de la base réduite, hauteur réduite) puis appliquer la formule du volume, mais c'est plus long et plus risqué en termes de calculs intermédiaires. La règle $V_{\text{réduite}} = V_{\text{originale}} \times k^3$ est plus directe.
Erreurs fréquentes des candidats :
- Oublier le facteur 1/3 dans la formule du volume de la pyramide.
- Ne pas calculer l'aire de la base ou la calculer incorrectement.
- Erreur dans l'application du théorème de Pythagore (ex: utiliser AC = AB + BC).
- Ne pas simplifier la racine carrée de 128.
- Appliquer le facteur de réduction $k$ directement au volume au lieu de $k^3$.
- Erreur de calcul dans l'élévation au cube du facteur de réduction.
Exercice 3 : Statistiques et Probabilités
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules bleues et 2 boules vertes. Toutes les boules sont identiques au toucher.
- a) Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
- b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ou verte ?
- c) On tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On répète cette opération deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois une boule rouge ?
Barème indicatif : 6 points
Correction Exercice 3
Analyse du sujet et stratégie :
Cet exercice porte sur les bases des probabilités. Il faut comprendre le calcul de probabilité d'un événement simple, d'un événement composé (union d'événements) et la notion de répétition d'expériences indépendantes avec remise.
Résolution étape par étape :
D'abord, calculons le nombre total de boules dans l'urne : 3 (rouges) + 5 (bleues) + 2 (vertes) = 10 boules.
3.a) Probabilité de tirer une boule bleue.
La probabilité d'un événement est : $P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$.
Nombre de boules bleues = 5.
Nombre total de boules = 10.
$P(\text{bleue}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
3.b) Probabilité de tirer une boule rouge ou verte.
Les événements "tirer une boule rouge" et "tirer une boule verte" sont incompatibles (on ne peut pas tirer une boule qui soit rouge et verte en même temps).
Nombre de boules rouges = 3.
Nombre de boules vertes = 2.
Nombre de boules rouges ou vertes = 3 + 2 = 5.
$P(\text{rouge ou verte}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Alternativement, $P(\text{rouge ou verte}) = P(\text{rouge}) + P(\text{verte}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
3.c) Probabilité d'obtenir deux fois une boule rouge (avec remise).
L'expérience est répétée deux fois, et la remise de la boule assure que les deux tirages sont indépendants. La probabilité de tirer une boule rouge à chaque tirage est la même.
Probabilité de tirer une boule rouge lors du premier tirage : $P(\text{rouge au 1er tirage}) = \frac{3}{10}$.
Probabilité de tirer une boule rouge lors du second tirage (grâce à la remise) : $P(\text{rouge au 2ème tirage}) = \frac{3}{10}$.
Pour obtenir deux fois une boule rouge, on multiplie les probabilités de chaque événement indépendant :
$P(\text{deux fois rouge}) = P(\text{rouge au 1er tirage}) \times P(\text{rouge au 2ème tirage}) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$.
Points de barème détaillés :
- Nombre total de boules calculé : 0.5 point
- 3.a) Calcul correct de la probabilité d'une boule bleue : 1.5 points
- 3.b) Calcul correct de la probabilité d'une boule rouge ou verte : 1.5 points
- 3.c) Compréhension de l'indépendance des événements et de la multiplication des probabilités : 1 point
- Calcul final correct : 1.5 points
Astuces et méthodes alternatives :
- Pour la partie b), tu peux aussi calculer la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ou verte (c'est-à-dire tirer une boule bleue), puis faire 1 moins cette probabilité : $P(\text{rouge ou verte}) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- Pour la partie c), visualise un arbre de probabilité pour comprendre la multiplication des branches.
Erreurs fréquentes des candidats :
- Erreur dans le calcul du nombre total de boules.
- Ne pas simplifier la fraction de probabilité.
- Dans la partie b), additionner les probabilités sans vérifier si les événements sont compatibles ou non.
- Dans la partie c), ajouter les probabilités au lieu de les multiplier.
- Oublier que l'expérience se fait avec remise et donc que la probabilité reste la même à chaque tirage.
- Erreur de calcul dans la multiplication des fractions.
Exercice 4 : Fonctions et Représentations Graphiques
Soit une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4; 5]$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous. On a aussi représenté la droite d'équation $y=1$.
[Imaginez ici un graphique de fonction, avec une courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, et une droite horizontale y=1.]
- a) Quel est l'antécédent de 2 par la fonction $f$ ?
- b) Quelles sont les images de -3 et de 4 par la fonction $f$ ?
- c) Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 1$.
- d) Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \ge 0$.
- e) Donner le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4; 5]$ et l'abscisse à laquelle il est atteint.
Barème indicatif : 7 points
Correction Exercice 4
Analyse du sujet et stratégie :
Cet exercice évalue ta capacité à lire et interpréter un graphique de fonction, à comprendre les notions d'image et d'antécédent, à résoudre graphiquement des équations et inéquations, et à identifier les extrema d'une fonction.
Résolution étape par étape :
4.a) Antécédent de 2 par la fonction $f$.
Un antécédent de 2 par $f$ est une valeur $x$ telle que $f(x) = 2$. Sur le graphique, on cherche la valeur de $x$ pour laquelle la courbe coupe la droite horizontale d'ordonnée 2.
En regardant le graphique, on observe que la courbe coupe la droite $y=2$ pour une valeur de $x$ approximativement égale à -2.5.
L'antécédent de 2 par la fonction $f$ est environ -2,5.
4.b) Images de -3 et de 4 par la fonction $f$.
L'image de -3 par $f$ est la valeur de $f(-3)$. On cherche le point sur la courbe d'abscisse -3 et on lit son ordonnée.
Pour $x=-3$, la courbe est à une ordonnée d'environ 3.
L'image de -3 est environ 3.
L'image de 4 par $f$ est la valeur de $f(4)$. On cherche le point sur la courbe d'abscisse 4 et on lit son ordonnée.
Pour $x=4$, la courbe est à une ordonnée d'environ -1.
L'image de 4 est environ -1.
4.c) Résolution graphique de l'équation $f(x) = 1$.
Résoudre $f(x) = 1$ graphiquement revient à trouver les points d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=1$.
En observant le graphique, la droite $y=1$ coupe la courbe de $f$ en deux points. Leurs abscisses sont approximativement $x = -1,5$ et $x = 3,5$.
Les solutions de $f(x)=1$ sont donc approximativement -1,5 et 3,5.
4.d) Résolution graphique de l'inéquation $f(x) \ge 0$.
Résoudre $f(x) \ge 0$ graphiquement revient à trouver les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses (ou sur l'axe des abscisses).
La courbe est au-dessus de l'axe des abscisses entre les points où elle coupe cet axe. Ces points sont approximativement $x = -3,5$ et $x = 0,5$.
L'inéquation $f(x) \ge 0$ est vérifiée sur l'intervalle $[-3,5 ; 0,5]$ (en incluant les bornes car il s'agit de $\ge$).
4.e) Maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4; 5]$.
Le maximum de la fonction $f$ sur un intervalle est la plus grande ordonnée atteinte par la courbe sur cet intervalle.
En examinant le graphique sur l'intervalle $[-4; 5]$, on voit que le point le plus haut de la courbe a une ordonnée de 4 et est atteint pour $x = -3$. Il peut y avoir un autre maximum local plus loin, ou le maximum peut être aux bornes de l'intervalle. Ici, le point le plus haut visible est à (-3, 4).
Le maximum de la fonction $f$ sur $[-4; 5]$ est 4, et il est atteint pour $x = -3$.
Points de barème détaillés :
- 4.a) Lecture correcte d'un antécédent : 1.5 points
- 4.b) Lecture correcte de deux images : 2 points
- 4.c) Identification correcte des points d'intersection avec y=1 : 1.5 points
- 4.d) Identification correcte de l'intervalle où f(x) >= 0 : 1.5 points
- 4.e) Identification correcte du maximum et de son abscisse : 0.5 points
Astuces et méthodes alternatives :
- Dessiner des lignes verticales pour trouver les images et des lignes horizontales pour trouver les antécédents peut aider à visualiser.
- Pour l'inéquation $f(x) \ge 0$, pense à bien regarder si les bornes de l'intervalle sont incluses ou non en fonction du signe de l'inéquation ($\ge$, $\le$, $>$, $<$).
- Le maximum (ou minimum) peut se trouver soit à un "sommet" de la courbe (extremum local), soit aux bornes de l'intervalle étudié. Il faut toujours vérifier ces deux possibilités.
Erreurs fréquentes des candidats :
- Confondre image et antécédent (ex: donner l'abscisse quand on demande l'image, ou l'ordonnée quand on demande l'antécédent).
- Lire des valeurs sur le graphique qui ne correspondent pas exactement aux points demandés.
- Erreur dans la résolution de l'inéquation : ne pas savoir interpréter le signe $\ge$ ou mal identifier les portions de la courbe.
- Ne pas regarder l'ensemble de l'intervalle donné pour trouver le maximum ou le minimum.
- Mal interpréter les axes du graphique.
Exercice 5 : Algorithmique et Programmation (NSI)
Voici un algorithme écrit en langage naturel :
FONCTION somme_carres(n) :
SI n < 0 ALORS
RETOURNER "Erreur : l'entrée doit être un entier positif."
SINON
somme = 0
POUR i DE 1 A n FAISANT
somme = somme + i * i
FIN POUR
RETOURNER somme
FIN SI
FIN FONCTION
- a) Que retourne la fonction `somme_carres(3)` ?
- b) Que fait cet algorithme en langage courant ?
- c) Quel algorithme pourrait générer le nombre 14 ? (Donner un entier $n$ valide).
Barème indicatif : 4 points
Correction Exercice 5
Analyse du sujet et stratégie :
Cet exercice porte sur la compréhension d'un algorithme simple. Il faut savoir le suivre pas à pas pour prédire son résultat, comprendre sa fonctionnalité globale et éventuellement trouver une entrée qui produit une sortie donnée.
Résolution étape par étape :
5.a) Que retourne la fonction `somme_carres(3)` ?
On exécute la fonction avec $n=3$.
- La condition `n < 0` (3 < 0) est fausse.
- `somme` est initialisée à 0.
- La boucle `POUR i DE 1 A 3 FAISANT` s'exécute pour $i=1$, $i=2$, $i=3$.
- $i=1$ : `somme = 0 + 1 * 1 = 1`.
- $i=2$ : `somme = 1 + 2 * 2 = 1 + 4 = 5`.
- $i=3$ : `somme = 5 + 3 * 3 = 5 + 9 = 14`.
- La boucle se termine.
- La fonction retourne la valeur de `somme`, qui est 14.
La fonction `somme_carres(3)` retourne 14.
5.b) Que fait cet algorithme en langage courant ?
L'algorithme calcule la somme des carrés des entiers de 1 jusqu'à l'entier donné en entrée $n$. Il vérifie d'abord que $n$ est positif, sinon il renvoie une erreur.
5.c) Quel algorithme pourrait générer le nombre 14 ?
D'après le calcul effectué en 5.a, on a vu que `somme_carres(3)` retourne 14.
Donc, l'algorithme (ou l'entrée $n$) qui pourrait générer le nombre 14 est $n=3$.
Points de barème détaillés :
- 5.a) Suivi correct de l'algorithme pour n=3 et calcul de la somme : 2 points
- 5.b) Description correcte de la fonction en langage courant : 1 point
- 5.c) Identification correcte de la valeur de n : 1 point
Astuces et méthodes alternatives :
- Pour la partie a), tu peux écrire toutes les étapes sur une feuille de brouillon pour ne pas te perdre.
- Pour la partie b), essaye de reformuler l'objectif de la fonction avec tes propres mots.
- Pour la partie c), si tu n'avais pas fait le calcul en a), tu aurais pu essayer quelques valeurs de $n$ :
- $n=1$: $1^2 = 1$
- $n=2$: $1^2 + 2^2 = 1+4 = 5$
- $n=3$: $1^2 + 2^2 + 3^2 = 1+4+9 = 14$. Bingo !
Erreurs fréquentes des candidats :
- Erreur dans le calcul de la somme des carrés lors du suivi de l'algorithme.
- Ne pas comprendre la condition `SI n < 0` et sa conséquence.
- Ne pas identifier correctement que l'algorithme calcule une somme de carrés.
- Proposer une valeur de $n$ qui ne correspond pas à la sortie demandée.
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