Voici le sujet de mathématiques du brevet 2024 (série générale, France métropolitaine), en entier, tel que le ministère de l'Éducation nationale l'a publié, avec un corrigé question par question. Fais chaque exercice sur une feuille, chronomètre en main, avant d'ouvrir sa correction. Règle-toi sur les points : 2 heures pour 100 points, c'est $120 \div 100 = 1{,}2$ minute par point, donc environ 26 minutes pour l'exercice 3, noté sur 22 points.
Chaque correction donne la méthode, les étapes qu'un correcteur attend sur ta copie, puis le résultat en gras.
L'épreuve : diplôme national du brevet (DNB), session 2024, mathématiques, série générale, sujet de France métropolitaine. Durée : 2 heures. Épreuve notée sur 100 points.
Matériel autorisé : la calculatrice avec mode examen actif, ou la calculatrice sans mémoire « type collège ». Le dictionnaire est interdit.
Barème officiel : exercice 1 sur 20 points, exercice 2 sur 20, exercice 3 sur 22, exercice 4 sur 18, exercice 5 sur 20.
Consigne du sujet : « Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation. »
Exercice 1 : probabilités à la roulette (20 points)
Exercice 1 : Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros. On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.
Figure du sujet, non reproduite : une roue de roulette dont les cases noires portent les numéros 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33 et 35 ; la case du 0 n'est pas noire.
1. Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $\dfrac{1}{37}$.
2. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
3. a. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
b. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
c. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?
Correction :
1. Quand toutes les issues (les résultats possibles) ont la même probabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre d'issues possibles. De 0 à 36, il y a $36 + 1 = 37$ numéros, et un seul d'entre eux est le 7. La probabilité vaut bien $\dfrac{1}{37}$.
Piège : compter 36 numéros en oubliant le 0.
2. On lit sur la roue les cases à la fois noires et paires : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28. Cela fait 10 issues favorables sur 37. La probabilité vaut $\dfrac{10}{37}$.
Piège : compter le 0, qui est pair mais dont la case n'est pas noire.
3. a. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a 7. La probabilité vaut $\dfrac{7}{37}$.
Piège : oublier encore le 0 et trouver $\dfrac{6}{37}$.
b. « Supérieur ou égal à 7 » est l'événement contraire de « inférieur ou égal à 6 » : la bille tombe toujours dans l'un des deux cas, jamais dans les deux. Sa probabilité est donc $1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{37}{37} - \dfrac{7}{37}$. La probabilité vaut $\dfrac{30}{37}$.
c. On compare les deux nombres en écriture décimale : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ et $\dfrac{30}{37} \approx 0{,}81$. Comme $0{,}81 > 0{,}75$, le joueur a raison.
Piège : donner les deux nombres sans écrire la phrase qui répond à la question.
Exercice 2 : deux programmes de calcul (20 points)
Exercice 2 : Programme A :
- Choisir un nombre.
- Prendre le carré du nombre choisi.
- Multiplier le résultat par 2.
- Ajouter le double du nombre de départ.
- Soustraire 4 au résultat.
Programme B : un script Scratch, donné en image dans le sujet. Voici ses six blocs, recopiés ligne par ligne.
1 Quand le drapeau est cliqué
2 demander (Choisir un nombre) et attendre
3 mettre [Nombre choisi] à (réponse)
4 mettre [Résultat 1] à ((Nombre choisi) + (2))
5 mettre [Résultat 2] à ((Nombre choisi) - (1))
6 Dire (regrouper (Le résultat est) et ((Résultat 1) * (Résultat 2)))1. a. Vérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.
b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?
2. On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.
a. Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l'expression qui donne le résultat obtenu par le programme B ?
$E_1 = (x + 2) - 1$ ; $E_2 = (x + 2) \times (x - 1)$ ; $E_3 = x + 2 \times x - 1$
b. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A
3. Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.
Correction :
1. a. On applique les étapes du programme A à 5, dans l'ordre : $5^2 = 25$, puis $25 \times 2 = 50$, puis $50 + 2 \times 5 = 60$, puis $60 - 4 = 56$. On obtient bien 56.
Piège : ajouter le double du résultat au lieu du double du nombre de départ.
b. Le programme B calcule deux nombres, puis dit leur produit (en Scratch, le signe * veut dire « multiplié par »). Résultat 1 : $-9 + 2 = -7$. Résultat 2 : $-9 - 1 = -10$. Produit : $(-7) \times (-10) = 70$. Le programme B donne 70.
Piège : oublier que le produit de deux nombres négatifs est positif.
2. a. Avec $x$ au départ, Résultat 1 vaut $x + 2$, Résultat 2 vaut $x - 1$, et le programme dit leur produit. C'est l'expression $E_2 = (x + 2) \times (x - 1)$.
Piège : choisir $E_3$. Sans parenthèses, la multiplication passe avant l'addition, et $E_3$ vaut $x + 2x - 1 = 3x - 1$.
b. On traduit chaque étape : $x$, puis $x^2$, puis $2x^2$, puis $2x^2 + 2x$, puis $2x^2 + 2x - 4$. Le programme A donne $2x^2 + 2x - 4$.
Piège : écrire $(2x)^2$ ; on prend d'abord le carré, puis on multiplie par 2.
3. On développe le résultat du programme B (développer, c'est transformer un produit en somme), puis on le multiplie par 2. D'abord $(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$. Ensuite $2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4$, qui est exactement le résultat du programme A. Pour tout nombre $x$ choisi au départ, le résultat du programme A est le double de celui du programme B.
Piège : tester deux ou trois nombres ; des exemples ne démontrent rien, il faut le calcul avec $x$.
Exercice 3 : cercle, Pythagore et Thalès (22 points)
Exercice 3 : Sur la figure ci-dessous, on a :
- $\mathscr{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $4{,}5$ cm ;
- $[AB]$ est un diamètre de ce cercle et $D$ est un point du cercle ;
- les points $B$, $E$, $A$ sont alignés, ainsi que les points $D$, $F$, $A$ ;
- les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
- $BD = 5{,}4$ cm ; $DA = 7{,}2$ cm et $AE = 2{,}7$ cm.
Figure du sujet, non reproduite : $E$ est sur le segment $[AB]$, entre $O$ et $A$, et $F$ est sur le segment $[AD]$.
1. Justifier que le diamètre $[AB]$ mesure 9 cm.
2. Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
3. Calculer $AF$.
4. a. Justifier que l'aire du triangle $ABD$ est égale à $19{,}44$ cm².
b. Calculer l'aire du disque, arrondie au centième.
Rappel : l'aire du disque est égale à $\pi \times R^2$, où $R$ est le rayon du disque.
5. Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle $ABD$ ?
Correction :
1. Un diamètre mesure deux fois le rayon : $AB = 2 \times 4{,}5 = 9$. Le diamètre $[AB]$ mesure 9 cm.
2. On utilise la réciproque du théorème de Pythagore : on compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres. Le plus long côté est $[AB]$. D'une part, $AB^2 = 9^2 = 81$. D'autre part, $BD^2 + DA^2 = 5{,}4^2 + 7{,}2^2 = 29{,}16 + 51{,}84 = 81$. Les deux résultats sont égaux, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
Piège : écrire « d'après le théorème de Pythagore » ; le théorème part d'un triangle déjà rectangle, c'est sa réciproque qui le prouve.
3. Les points $A$, $E$, $B$ sont alignés, ainsi que $A$, $F$, $D$, et les droites $(EF)$ et $(BD)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{EF}{BD}$. Avec les deux premiers rapports : $\dfrac{2{,}7}{9} = \dfrac{AF}{7{,}2}$, donc $AF = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = \dfrac{19{,}44}{9} = 2{,}16$. $AF = 2{,}16$ cm.
Piège : mélanger les deux triangles dans un rapport ; garde les longueurs du petit triangle $AEF$ en haut de chaque fraction.
4. a. Le triangle $ABD$ est rectangle en $D$, donc les côtés $[BD]$ et $[DA]$ sont perpendiculaires : l'un sert de base, l'autre de hauteur. Aire $= \dfrac{BD \times DA}{2} = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = \dfrac{38{,}88}{2} = 19{,}44$. L'aire du triangle $ABD$ est bien $19{,}44$ cm².
Piège : oublier de diviser par 2.
b. On applique la formule avec le rayon $R = 4{,}5$ cm : $\pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}617$. On arrondit au centième. L'aire du disque vaut environ $63{,}62$ cm².
Piège : prendre le diamètre 9 à la place du rayon, ce qui donne une aire quatre fois trop grande.
5. Un pourcentage se calcule en divisant la partie par le tout, puis en multipliant par 100 : $\dfrac{19{,}44}{63{,}62} \times 100 \approx 30{,}6$. L'aire du triangle représente environ $30{,}6\,\%$ de l'aire du disque.
Piège : diviser dans l'autre sens, $63{,}62 \div 19{,}44 \approx 3{,}27$, ce qui donnerait plus de $300\,\%$.
Exercice 4 : QCM (18 points)
Exercice 4 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$. Quelle est l'image de $-4$ par cette fonction ? Réponse A : $-14$. Réponse B : $-10$. Réponse C : $-3$.
2. Combien vaut $(-5)^3$ ? Réponse A : $-125$. Réponse B : $-15$. Réponse C : $125$.
3. Quelle est l'image du point $J$ par la translation qui transforme $C$ en $A$ ? Réponse A : $H$. Réponse B : $E$. Réponse C : $D$.
Figure du sujet, non reproduite : douze points aux nœuds d'un quadrillage régulier, sur trois lignes ; de gauche à droite, $B$, $C$, $G$, $H$ sur la ligne du haut, $A$, $D$, $J$, $I$ sur celle du milieu, $F$, $E$, $L$, $K$ sur celle du bas.
4. Quel est l'antécédent de 3 par la fonction $f$ ? Réponse A : $3$. Réponse B : $-3$. Réponse C : $0$.
Figure du sujet, non reproduite : la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ de cette question est une droite qui descend et passe par le point de coordonnées $(0\,;\,3)$.
5. On a mesuré les tailles, en m, de sept élèves : $1{,}46$ ; $1{,}65$ ; $1{,}6$ ; $1{,}72$ ; $1{,}7$ ; $1{,}67$ ; $1{,}75$. Quelle est la médiane, en m, de ces tailles ? Réponse A : $1{,}72$. Réponse B : $1{,}67$. Réponse C : $1{,}65$.
6. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, quelle est la valeur de $\cos \alpha$ ? Réponse A : $0{,}8$. Réponse B : $0{,}75$. Réponse C : $0{,}6$.
Figure du sujet, non reproduite : $AC = 3$, $AB = 4$, $BC = 5$, et $\alpha$ est l'angle de sommet $B$.
Correction :
1. On remplace $x$ par $-4$ : $f(-4) = 3 \times (-4) - 2 = -12 - 2 = -14$. Réponse A.
2. $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125$. Réponse A.
Piège : calculer $-5 \times 3 = -15$ ; la puissance 3 veut dire trois facteurs égaux, pas une multiplication par 3.
3. La translation qui transforme $C$ en $A$ fait glisser chaque point d'un cran vers la gauche et d'un cran vers le bas. Partant de $J$, on arrive au point situé un cran à gauche et un cran plus bas : $E$. Réponse B.
4. Un antécédent de 3 est un nombre $x$ tel que $f(x) = 3$. On part de 3 sur l'axe des ordonnées (l'axe vertical) et on lit l'abscisse (la coordonnée sur l'axe horizontal) du point de la droite à cette hauteur. La droite passe par le point $(0\,;\,3)$, donc $f(0) = 3$. Réponse C.
Piège : confondre avec l'image de 3, qu'on lit en partant de 3 sur l'axe horizontal.
5. La médiane partage la série rangée en deux groupes de même effectif. On range les sept tailles dans l'ordre croissant : $1{,}46$ ; $1{,}6$ ; $1{,}65$ ; $1{,}67$ ; $1{,}7$ ; $1{,}72$ ; $1{,}75$. Avec 7 valeurs, la médiane est la quatrième, soit $1{,}67$ m. Réponse B.
Piège : prendre la valeur du milieu de la liste non rangée, $1{,}72$.
6. Dans un triangle rectangle, $\cos \alpha = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Pour l'angle $\alpha$ de sommet $B$, le côté adjacent est $[AB]$, de longueur 4, et l'hypoténuse est $[BC]$, de longueur 5 : $\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. Réponse A.
Piège : prendre le côté opposé, 3, ce qui donne $0{,}6$, le sinus de $\alpha$.
Exercice 5 : sachets et piscine (20 points)
Exercice 5 : Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.
PARTIE A
La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté 330 autocollants et 132 drapeaux et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d'autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.
1. Pourquoi n'est-il pas possible de faire 15 sachets ?
2. a. Décomposer 330 et 132 en produits de facteurs premiers.
b. En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.
c. Dans ce cas, combien mettra-t-elle d'autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?
PARTIE B
La piscine a la forme d'un pavé droit représenté ci-dessous. Elle est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ du volume. 1 m³ d'eau coûte $4{,}14$ €. Combien coûte le remplissage de la piscine ?
Figure du sujet, non reproduite : les arêtes du pavé droit mesurent 25 m, 15 m et, à la verticale, 2 m.
Correction :
Partie A, 1. Pour faire 15 sachets identiques, il faudrait que 15 divise à la fois 330 et 132. On a $330 \div 15 = 22$, mais $132 \div 15 = 8{,}8$, qui n'est pas un nombre entier. 15 ne divise pas 132, donc on ne peut pas faire 15 sachets.
2. a. Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. On divise par les nombres premiers dans l'ordre (2, 3, 5, 7, 11...) : $330 = 2 \times 165 = 2 \times 3 \times 55 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$ et $132 = 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 33 = 2 \times 2 \times 3 \times 11$. $330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11$ et $132 = 2^2 \times 3 \times 11$.
Piège : s'arrêter sur un facteur qui n'est pas premier, comme 15 ou 33.
b. Le nombre de sachets doit diviser 330 et 132. Le plus grand diviseur commun est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions : $2 \times 3 \times 11 = 66$. La présidente peut faire au plus 66 sachets.
Piège : garder $2^2$, alors que 330 ne contient qu'une seule fois le facteur 2.
c. $330 \div 66 = 5$ et $132 \div 66 = 2$. Chaque sachet contient 5 autocollants et 2 drapeaux.
Partie B. On calcule le volume du pavé droit, on en prend les neuf dixièmes, puis on multiplie par le prix d'un mètre cube. Volume : $25 \times 15 \times 2 = 750$ m³. Eau versée : $\dfrac{9}{10} \times 750 = 675$ m³. Prix : $675 \times 4{,}14 = 2\,794{,}5$. Le remplissage coûte $2\,794{,}50$ €.
Piège : payer le volume entier, 750 m³, soit $3\,105$ €.
Conseils pour le jour de l'épreuve
Lis tout le sujet avant d'écrire. Tu repères ainsi les questions rapides, comme le QCM de l'exercice 4, où aucune justification n'est demandée.
Partout ailleurs, justifie : le sujet l'exige. Si tu bloques, écris quand même ce que tu as essayé, car la consigne précise que la trace de recherche compte dans la note.
Sers-toi des questions « Vérifier que » comme d'un contrôle. À l'exercice 2, le programme A donne 56 pour 5 : si ton expression de la question 2.b ne donne pas 56 quand tu remplaces $x$ par 5, elle est fausse.
Respecte l'arrondi demandé et écris les unités. « Arrondie au centième » veut dire deux chiffres après la virgule, comme $63{,}62$ cm².
Enfin, garde la calculatrice avec laquelle tu t'es entraîné : le sujet autorise une calculatrice en mode examen ou une calculatrice « type collège » sans mémoire.
Sources
Sujet officiel : Diplôme national du brevet, session 2024, mathématiques, série générale (sujet 24GENMATMEAG1), ministère de l'Éducation nationale, education.gouv.fr.