Sur un arbre pondéré, tu multiplies les probabilités le long d'un chemin, puis tu additionnes les chemins qui mènent au même résultat. La formule de Bayes, c'est l'arbre lu à l'envers : pour obtenir $P_B(A)$, tu divises la probabilité du chemin qui passe par $A$ puis $B$ par la somme des probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $B$. Exemple : Léo prend le bus 7 jours sur 10, et ces jours-là il arrive en retard une fois sur 10 ; à vélo, il est en retard 4 fois sur 100. Un matin, il arrive en retard. La probabilité qu'il soit venu en bus vaut $\dfrac{0,7\times 0,1}{0,7\times 0,1+0,3\times 0,04}=\dfrac{0,07}{0,082}\approx 0,85$.
Objectifs du cours :
- Construire l'arbre pondéré d'un énoncé, chaque donnée sur la bonne branche.
- Calculer la probabilité d'un chemin, puis celle d'un événement atteint par plusieurs chemins.
- Calculer $P_B(A)$ à partir de $P_A(B)$ avec la formule de Bayes.
Prérequis : savoir ce que sont un événement, son contraire $\overline{A}$ et l'intersection $A\cap B$ (« $A$ et $B$ à la fois »), et calculer avec des décimaux.
I. Construire l'arbre à partir de l'énoncé
Un arbre pondéré représente une expérience en deux étapes. « Pondéré » veut dire que chaque branche porte un nombre : la probabilité de l'emprunter. Les branches du premier niveau portent les probabilités de la première étape, celles du second niveau des probabilités conditionnelles.
Rappel : $P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». C'est la probabilité de $B$ quand on sait que $A$ est réalisé ; elle vaut $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ si $P(A)\neq 0$.
Reprenons Léo. On choisit un jour de lycée au hasard et on note $A$ : « Léo prend le bus », $\overline{A}$ : « Léo vient à vélo », et $R$ : « Léo arrive en retard ».
Étape 1 : Repérer les deux étapes dans l'ordre de l'énoncé : d'abord le moyen de transport, ensuite le retard. L'arbre part d'un point, la racine, se sépare en $A$ et $\overline{A}$, puis chacune de ces branches se sépare en $R$ et $\overline{R}$.
Étape 2 : Traduire chaque donnée. Une proportion calculée sur tous les cas donne une probabilité sans condition, comme $P(A)$ : si elle porte sur la première étape, elle va au premier niveau. Une proportion calculée dans un seul groupe (« ces jours-là », « à vélo ») est une probabilité conditionnelle : elle va sur la branche qui part de ce groupe.
Étape 3 : Compléter avec les contraires : les branches qui partent d'un même point ont une somme égale à $1$.
| Dans l'énoncé | En probabilité | Sur l'arbre |
|---|---|---|
| « Il prend le bus 7 jours sur 10 » | $P(A)=0,7$ | de la racine vers $A$ |
| « Ces jours-là, il est en retard une fois sur 10 » | $P_A(R)=0,1$ | de $A$ vers $R$ |
| « À vélo, il est en retard 4 fois sur 100 » | $P_{\overline{A}}(R)=0,04$ | de $\overline{A}$ vers $R$ |
| Les contraires (étape 3) | $P(\overline{A})=0,3$, $P_A(\overline{R})=0,9$, $P_{\overline{A}}(\overline{R})=0,96$ | les trois branches restantes |
L'arbre complet :
$$\begin{array}{ccccc} & & & \overset{0,1}{\nearrow} & R \\ & & A & & \\ & \overset{0,7}{\nearrow} & & \underset{0,9}{\searrow} & \overline{R} \\ \bullet & & & & \\ & \underset{0,3}{\searrow} & & \overset{0,04}{\nearrow} & R \\ & & \overline{A} & & \\ & & & \underset{0,96}{\searrow} & \overline{R} \end{array}$$
Piège classique : écrire $P(R)=0,1$. Le « une fois sur 10 » ne concerne que les jours de bus : c'est $P_A(R)$, sur la branche qui part de $A$. La probabilité d'être en retard un jour quelconque, $P(R)$, n'est écrite nulle part sur l'arbre : elle se calcule (partie III).
II. Lire l'arbre : trois probabilités à ne pas confondre
Un chemin va de la racine au bout d'une branche du second niveau. Le chemin « $A$ puis $R$ » représente l'événement $A\cap R$ : Léo prend le bus et arrive en retard.
Règle : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
Inutile de l'apprendre à part : c'est la définition de $P_A(B)$, multipliée des deux côtés par $P(A)$. Le jour où tu l'oublies, tu la retrouves en une ligne.
| Chemin | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| $A$ puis $R$ | $0,7\times 0,1$ | $0,07$ |
| $A$ puis $\overline{R}$ | $0,7\times 0,9$ | $0,63$ |
| $\overline{A}$ puis $R$ | $0,3\times 0,04$ | $0,012$ |
| $\overline{A}$ puis $\overline{R}$ | $0,3\times 0,96$ | $0,288$ |
Contrôle : la somme de tous les chemins vaut $1$. Ici, $0,07+0,63+0,012+0,288=1$. Si tu trouves autre chose, une branche est fausse.
Trois nombres se ressemblent et ne disent pas la même chose. Le tableau les range selon l'endroit où tu les trouves.
| Notation | Ce qu'elle mesure | Où la trouver | Valeur |
|---|---|---|---|
| $P_A(R)$ | parmi les jours de bus, la part des jours de retard | une branche, lue directement | $0,1$ |
| $P(A\cap R)$ | parmi tous les jours, la part des jours « bus et retard » | un chemin entier, par produit | $0,07$ |
| $P_R(A)$ | parmi les jours de retard, la part des jours de bus | nulle part : il faut remonter l'arbre | partie IV |
Le piège ici : répondre $0,1$ à « quelle est la probabilité que Léo prenne le bus et arrive en retard ? ». Le « et » demande le chemin entier, donc $0,07$.
L'arbre montre aussi l'indépendance. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants quand savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ : $P_A(B)=P(B)$, ce qui revient à $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Si $P(A)$ ne vaut ni $0$ ni $1$, cela se voit sur l'arbre : les deux branches qui mènent à $B$, après $A$ et après $\overline{A}$, portent le même nombre. Pour Léo, $0,1\neq 0,04$ : le retard dépend du moyen de transport, $A$ et $R$ ne sont pas indépendants.
III. Additionner les chemins : les probabilités totales
Quelle est la probabilité que Léo soit en retard un jour pris au hasard ? Deux chemins mènent à $R$ : « bus puis retard » et « vélo puis retard ». Un même jour, Léo ne vient pas à la fois en bus et à vélo : les deux chemins ne se produisent jamais ensemble, donc leurs probabilités s'additionnent. C'est la formule des probabilités totales.
Formule : pour tout événement $B$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$. Si $P(A)$ et $P(\overline{A})$ sont non nulles :
$$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$$
Pour Léo : $$P(R)=0,7\times 0,1+0,3\times 0,04=0,07+0,012=0,082.$$ Léo arrive donc en retard environ 8 jours sur 100.
La formule marche avec plus de deux branches au premier niveau, à une condition : les événements du premier niveau doivent former une partition de l'univers (l'ensemble des issues possibles), c'est-à-dire que chaque issue appartient à l'un d'eux, et à un seul. Avec trois branches $A_1$, $A_2$, $A_3$, tu additionnes trois chemins (exercice 1).
Piège classique : additionner les branches du second niveau, $0,1+0,04=0,14$. Ce nombre ne représente rien : on additionne des chemins entiers, chacun multiplié de la racine jusqu'au bout.
IV. Remonter l'arbre : la formule de Bayes
Changeons la question. Ce matin, Léo est en retard : quelle est la probabilité qu'il ait pris le bus ? On cherche $P_R(A)$. L'information connue, $R$, est au bout de l'arbre, et on veut remonter vers $A$. Aucune branche ne porte ce nombre.
On part de la définition : $P_R(A)=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)}$. Le numérateur est un chemin (partie II), le dénominateur une somme de chemins (partie III). En remplaçant les deux, on obtient la formule.
Formule de Bayes : si $P(B)\neq 0$,
$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P_A(B)}{P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)}$$
Sur l'arbre : en haut, le chemin qui passe par $A$ et finit en $B$ ; en bas, tous les chemins qui finissent en $B$. $P_B(A)$ est la part du chemin par $A$ parmi les chemins qui mènent à $B$.
Pour Léo : $$P_R(A)=\frac{0,07}{0,082}=\frac{35}{41}\approx 0,854.$$
Les jours où Léo est en retard, il a pris le bus dans environ 85 % des cas. C'est plus que $P(A)=0,7$, et c'est logique : le bus mène plus souvent au retard que le vélo, donc apprendre que Léo est en retard rend le bus plus probable.
Le programme de spécialité de première, en vigueur depuis la rentrée 2026, ne demande pas cette formule par son nom : il demande de distinguer $P(A\cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$, et de calculer des probabilités conditionnelles sur un arbre pondéré. C'est exactement ce calcul.
Piège classique : répondre $0,1$. $P_A(R)$ se calcule parmi les jours de bus, $P_R(A)$ parmi les jours de retard. Ce ne sont pas les mêmes jours, donc pas le même nombre.
V. Exercices corrigés
Pour chaque exercice, commence par traduire l'énoncé et dessiner l'arbre.
Exercice 1 : Pour réviser un contrôle, Inès utilise une seule méthode : des fiches dans 50 % des cas, des exercices dans 30 % des cas, une relecture du cours dans 20 % des cas. Elle obtient au moins 12 sur 20 dans 70 % des cas avec les fiches, 80 % avec les exercices, 40 % avec la relecture (données fictives). On note $F$, $E$, $L$ la méthode utilisée et $N$ : « Inès obtient au moins 12 ».
1. Calcule $P(N)$.
2. Inès a obtenu au moins 12. Quelle méthode a-t-elle le plus probablement utilisée ?
Correction :
1. Inès utilise une méthode et une seule : $F$, $E$, $L$ forment une partition. Trois chemins mènent à $N$ :
$$P(N)=0,5\times 0,7+0,3\times 0,8+0,2\times 0,4=0,35+0,24+0,08=0,67.$$
2. On remonte l'arbre pour chaque méthode : $P_N(F)=\dfrac{0,35}{0,67}\approx 0,522$, $P_N(E)=\dfrac{0,24}{0,67}\approx 0,358$ et $P_N(L)=\dfrac{0,08}{0,67}\approx 0,119$. La méthode la plus probable est celle des fiches, alors que les exercices réussissent mieux ($0,8$ contre $0,7$) : Inès utilise les fiches bien plus souvent, et ce poids entre dans le calcul.
Exercice 2 : Dans un magasin, 1 % des clients sortent avec un article non payé. Le portique antivol sonne pour 95 % de ces clients et pour 2 % des autres (données fictives). On note $V$ : « le client a un article non payé » et $S$ : « le portique sonne ».
1. Donne les probabilités des six branches de l'arbre.
2. Calcule $P(S)$.
3. Le portique sonne. Calcule la probabilité que le client ait un article non payé, puis commente.
Correction :
1. Premier niveau : $P(V)=0,01$ et $P(\overline{V})=0,99$. Après $V$ : $P_V(S)=0,95$ et $P_V(\overline{S})=0,05$. Après $\overline{V}$ : $P_{\overline{V}}(S)=0,02$ et $P_{\overline{V}}(\overline{S})=0,98$.
2. $P(S)=0,01\times 0,95+0,99\times 0,02=0,0095+0,0198=0,0293$.
3. $P_S(V)=\dfrac{0,0095}{0,0293}=\dfrac{95}{293}\approx 0,324$. Quand le portique sonne, le client a un article non payé dans moins d'un cas sur trois. Les clients en règle sont si nombreux que leurs 2 % de fausses alertes pèsent plus lourd que les vraies alertes : $0,0198$ contre $0,0095$.
Exercice 3 : Dans une médiathèque, 40 % des inscrits ont moins de 18 ans, et 75 % d'entre eux empruntent des mangas. Sur l'ensemble des inscrits, 36 % empruntent des mangas (données fictives). On note $J$ : « l'inscrit a moins de 18 ans » et $M$ : « il emprunte des mangas ».
1. Calcule $P_{\overline{J}}(M)$, la branche qui manque.
2. Un inscrit emprunte des mangas. Quelle est la probabilité qu'il ait moins de 18 ans ?
3. $J$ et $M$ sont-ils indépendants ?
Correction :
1. $P(M)=0,36$ ne va sur aucune branche : c'est la somme des deux chemins qui mènent à $M$. On note $x=P_{\overline{J}}(M)$. La formule des probabilités totales donne $0,36=0,4\times 0,75+0,6\times x$, soit $0,36=0,3+0,6x$. Donc $0,6x=0,06$ et $x=0,1$.
2. $P_M(J)=\dfrac{0,4\times 0,75}{0,36}=\dfrac{0,3}{0,36}=\dfrac{5}{6}\approx 0,833$.
3. Non : les deux branches qui mènent à $M$ portent $0,75$ après $J$ et $0,1$ après $\overline{J}$. On peut aussi remarquer que $P_J(M)=0,75$ est différente de $P(M)=0,36$.
À retenir
À retenir :
- Premier niveau de l'arbre : les probabilités de la première étape. Second niveau : des probabilités conditionnelles, sachant l'événement d'où part la branche.
- Les branches qui partent d'un même point ont une somme égale à $1$.
- Sur un chemin, on multiplie : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
- Pour un événement atteint par plusieurs chemins, on additionne ces chemins : c'est la formule des probabilités totales.
- Pour remonter l'arbre : $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, le chemin par $A$ divisé par tous les chemins qui mènent à $B$.
Sources
Programme de spécialité de mathématiques de la classe de première générale, annexe de l'arrêté du 26 février 2026 publiée au Bulletin officiel du 2 avril 2026 : le texte du programme (education.gouv.fr).
Arrêté du 26 février 2026, applicable à la rentrée 2026 : le texte sur Légifrance.