En probabilités d'ECG, tout part de la loi : une fois la loi reconnue, l'espérance et la variance se lisent dans le cours. Si $X$ compte les succès de $n$ épreuves indépendantes qui réussissent chacune avec la probabilité $p$, alors $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ (lire « $X$ suit la loi binomiale »), $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. Exemple : on tire avec remise 20 pièces dans un stock où 5 % des pièces sont défectueuses ; le nombre $X$ de pièces défectueuses suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)$, donc $E(X)=1$ et $P(X=2)=\binom{20}{2}\times 0{,}05^2\times 0{,}95^{18}\approx 0{,}189$.
Objectifs du cours :
- Reconnaître une loi usuelle et en déduire l'espérance et la variance.
- Calculer une probabilité par conditionnement, avec une densité ou avec la table de $\Phi$.
- Construire un intervalle de confiance avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou le théorème limite central.
Prérequis : les probabilités sur un univers fini, les séries (convergence absolue) et les intégrales sur un intervalle quelconque.
Ce cours suit la partie commune aux options mathématiques appliquées et mathématiques approfondies de la classe ECG (programmes fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021) ; ce qui est propre aux approfondies est signalé.
I. Conditionner : probabilités totales et formule de Bayes
Si $P(A)\neq 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Sur un arbre, c'est le nombre écrit sur la branche qui va de $A$ vers $B$. On en tire la formule des probabilités composées, $P(A\cap B)=P(A)\,P_A(B)$ : on multiplie le long d'un chemin.
Un système complet d'événements est une famille, finie ou indexée par $\mathbb{N}$, d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ : ce sont les premières branches de l'arbre.
Règle : si $(A_n)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles, alors pour tout événement $B$, $P(B)=\sum_n P(A_n)\,P_{A_n}(B)$. C'est la formule des probabilités totales : on additionne les chemins qui mènent à $B$.
La formule de Bayes retourne ensuite le conditionnement : $P_B(A_k)=\dfrac{P(A_k)\,P_{A_k}(B)}{P(B)}$, où $P(B)$ vient de la formule des probabilités totales.
Exemple (données fictives) : une maladie touche 1 % d'une population, et un test est positif chez 99 % des malades et chez 2 % des personnes saines. On note $M$ « être malade » et $T$ « avoir un test positif ». Alors $P(T)=0{,}01\times 0{,}99+0{,}99\times 0{,}02=0{,}0297$ et $P_T(M)=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0297}=\dfrac{1}{3}$. Avec un test positif, on n'a qu'une chance sur trois d'être malade.
Le piège est là : $P_M(T)=0{,}99$ alors que $P_T(M)=\frac{1}{3}$. Avant de calculer, écris quel événement est « sachant ». Enfin, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ce qui n'a rien à voir avec « incompatibles » : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
II. Variables discrètes et lois usuelles
Une variable aléatoire discrète $X$ prend ses valeurs dans un ensemble $X(\Omega)$ fini ou indexé par une partie de $\mathbb{N}$ ; sa loi est la donnée des nombres $P(X=x)$ pour $x\in X(\Omega)$, dont la somme vaut 1.
L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : $E(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}x\,P(X=x)$. Si $X(\Omega)$ est infini, elle existe seulement si cette série converge absolument : c'est à vérifier sur ta copie. Le théorème de transfert donne $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)}g(x)\,P(X=x)$, sous la même condition, sans chercher la loi de $g(X)$.
La variance $V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$ mesure la dispersion autour de la moyenne, et l'écart-type vaut $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$. On la calcule par la formule de Koenig-Huygens, $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$, et on retient $V(aX+b)=a^2V(X)$.
| Loi | Situation | $P(X=k)$ | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|---|
| Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ | succès (1) ou échec (0) | $P(X=1)=p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ | succès en $n$ épreuves indépendantes | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $k\in[\![0\,;\,n]\!]$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| Uniforme $\mathcal{U}([\![1\,;\,n]\!])$ | $n$ valeurs équiprobables | $\frac{1}{n}$ | $\frac{n+1}{2}$ | $\frac{n^2-1}{12}$ |
| Géométrique $\mathcal{G}(p)$ | rang du premier succès | $p(1-p)^{k-1}$, $k\in\mathbb{N}^*$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ | nombre d'événements rares | $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k\in\mathbb{N}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
Piège classique : la loi géométrique donne le rang du premier succès, elle commence donc à 1. Si $Y$ compte les échecs avant le premier succès, c'est $Y+1$ qui suit $\mathcal{G}(p)$, et $E(Y)=\frac{1}{p}-1$.
Exercice 1 : On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6, et on note $X$ le nombre de lancers effectués. Donne la loi de $X$, son espérance, sa variance, puis $P(X>3)$.
Correction :
Les lancers sont indépendants et chacun donne 6 avec la probabilité $\frac{1}{6}$ : $X$ est le rang du premier succès, donc $X\hookrightarrow\mathcal{G}\left(\frac{1}{6}\right)$, $E(X)=6$ et $V(X)=\dfrac{5/6}{1/36}=30$.
L'événement $[X>3]$ signifie « aucun 6 lors des trois premiers lancers », donc $P(X>3)=\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}\approx 0{,}579$.
III. Variables à densité
Quand $X$ peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (une durée, un temps d'attente), chaque valeur isolée a une probabilité nulle. On travaille alors avec la fonction de répartition $F_X(x)=P(X\leqslant x)$ et avec sa dérivée, la densité.
Définition : $X$ est à densité si $F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ sauf éventuellement en un nombre fini de points. Toute fonction positive $f_X$ égale à $F_X'$ sauf en un nombre fini de points est une densité de $X$, et $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)\,\mathrm{d}t$.
Les probabilités deviennent des aires : $P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b f_X(t)\,\mathrm{d}t=F_X(b)-F_X(a)$. Comme $P(X=a)=0$, inégalités larges ou strictes donnent le même résultat. Une densité n'est pas une probabilité : celle de la loi uniforme sur $[0\,;\,\frac{1}{2}]$ vaut 2 sur cet intervalle.
L'espérance $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ existe si cette intégrale converge absolument. Par transfert, si $f_X$ est nulle hors de $]a\,;\,b[$ et $g$ continue sur $]a\,;\,b[$, $E(g(X))=\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous la même condition. La formule de Koenig-Huygens reste vraie.
| Loi | Densité | $E(X)$ | $V(X)$ |
|---|---|---|---|
| Uniforme $\mathcal{U}([a\,;\,b])$ | $\frac{1}{b-a}$ sur $[a\,;\,b]$, 0 ailleurs | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ | $\lambda e^{-\lambda t}$ si $t\geqslant 0$, 0 sinon | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
| Normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ | $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
Pour l'exponentielle, $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ pour $x\geqslant 0$, d'où l'absence de mémoire : $P_{[X>s]}(X>s+t)=P(X>t)$ pour $s,t\geqslant 0$. Pour la normale, tout passe par $\mathcal{N}(0,1)$, dont la fonction de répartition $\Phi$ se lit dans une table : $X\hookrightarrow\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ équivaut à $\frac{X-\mu}{\sigma}\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$, et $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$. En approfondies s'ajoutent les lois $\gamma(\nu)$.
Piège classique : dans $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le second paramètre est la variance, pas l'écart-type. Si $X\hookrightarrow\mathcal{N}(10\,;\,4)$, on réduit en divisant par $\sigma=2$ : $P(X\leqslant 12)=\Phi(1)\approx 0{,}841$, et non $\Phi(0{,}5)$.
Exercice 2 : La durée de vie $T$ d'un composant, en années, suit la loi $\mathcal{E}(0{,}2)$. Calcule $E(T)$ et $P(T>5)$, puis la probabilité qu'un composant qui a fonctionné 5 ans fonctionne encore 5 ans de plus.
Correction :
$E(T)=\frac{1}{0{,}2}=5$ ans, et $P(T>5)=e^{-0{,}2\times 5}=e^{-1}\approx 0{,}368$.
Comme $[T>10]\subset[T>5]$, on a $P_{[T>5]}(T>10)=\dfrac{P(T>10)}{P(T>5)}=\dfrac{e^{-2}}{e^{-1}}=e^{-1}\approx 0{,}368$ : le composant ne vieillit pas, c'est l'absence de mémoire.
IV. Loi des grands nombres et théorème limite central
Deux inégalités bornent une probabilité sans connaître la loi. Inégalité de Markov (non exigible en appliquées) : si $X$ est positive et admet une espérance, $P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}$ pour tout $a>0$. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $X$ admet une variance, $P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{V(X)}{\varepsilon^2}$ pour tout $\varepsilon>0$.
Applique la seconde à la moyenne empirique $\overline{X}_n=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}$ de variables indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$ : $E(\overline{X}_n)=m$ et, par indépendance, $V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$. Donc $P(|\overline{X}_n-m|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$, qui tend vers 0 : c'est la loi faible des grands nombres. Appliquée à des variables de Bernoulli, elle dit que la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité. En approfondies, on l'écrit $\overline{X}_n\xrightarrow{P}m$ (convergence en probabilité).
Retiens le facteur $\sqrt{n}$ : l'écart-type de $\overline{X}_n$ vaut $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donc diviser l'erreur typique par 2 demande 4 fois plus d'observations.
La convergence en loi compare les fonctions de répartition : $X_n\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ si $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$ en tout point $x$ où $F_X$ est continue. Pour des variables à valeurs entières, il suffit que $P(X_n=k)\to P(X=k)$ pour tout entier $k$. Exemple : si $X_n\hookrightarrow\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$, $(X_n)$ converge en loi vers une variable de loi $\mathcal{P}(\lambda)$, d'où l'approximation d'une binomiale de grand $n$ et de petit $p$ par une loi de Poisson.
Théorème limite central : si $(X_n)$ est une suite de variables indépendantes de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$ non nulle, alors $\overline{X}_n^*=\sqrt{n}\,\dfrac{\overline{X}_n-m}{\sigma}$ converge en loi vers une variable de loi $\mathcal{N}(0,1)$ : pour tous $a\leqslant b$, $\lim\limits_{n\to+\infty}P(a\leqslant\overline{X}_n^*\leqslant b)=\Phi(b)-\Phi(a)$.
En pratique, tu centres et tu réduis (tu retranches l'espérance, puis tu divises par l'écart-type), et tu remplaces la loi obtenue par $\mathcal{N}(0,1)$. Une binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, donc le théorème s'y applique. Aucun seuil du type « $n\geqslant 30$ » n'est à apprendre : le programme demande que l'énoncé fournisse les indications qui justifient l'approximation.
Exemple : on lance 100 fois une pièce équilibrée ; le nombre $S$ de piles suit $\mathcal{B}\left(100\,;\,\frac{1}{2}\right)$, avec $E(S)=50$ et $\sigma(S)=\sqrt{25}=5$. Si l'énoncé dit d'approcher la loi de $S^*=\frac{S-50}{5}$ par $\mathcal{N}(0,1)$, alors $P(40\leqslant S\leqslant 60)=P(-2\leqslant S^*\leqslant 2)\approx 2\Phi(2)-1\approx 0{,}954$, avec $\Phi(2)\approx 0{,}9772$.
V. Estimation et intervalles de confiance
On observe un phénomène dont la loi dépend d'un paramètre inconnu $\theta$, par exemple une proportion $p$ de clients satisfaits. Un $n$-échantillon est une suite $(X_1,\dots,X_n)$ de variables indépendantes de même loi que $X$. Un estimateur de $\theta$ est une variable $T_n=\varphi(X_1,\dots,X_n)$ qui ne dépend pas de $\theta$ ; sa valeur $\varphi(x_1,\dots,x_n)$ sur les données observées est une estimation. Pour une loi de Bernoulli, $\overline{X}_n$ est un estimateur de $p$, et la fréquence observée en est une estimation.
En approfondies, $T_n$ est sans biais si $E(T_n)=\theta$ pour tout $\theta$, et convergent si $T_n\xrightarrow{P}\theta$, ce qui est vrai dès que $E(T_n)\to\theta$ et $V(T_n)\to 0$. Ainsi $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais et convergent de $m$.
Définition : si $U_n$ et $V_n$ sont des estimateurs, $[U_n\,;\,V_n]$ est un intervalle de confiance de $\theta$ au niveau de confiance $1-\alpha$ si $P(U_n\leqslant\theta\leqslant V_n)\geqslant 1-\alpha$. Il est asymptotique si cette probabilité est minorée par une suite qui tend vers $1-\alpha$.
C'est l'intervalle qui est aléatoire, pas $\theta$ : une fois calculé sur tes données, il contient $\theta$ ou non, et le niveau de confiance décrit la méthode. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne des intervalles valables pour tout $n$, mais larges. Le théorème limite central donne des intervalles asymptotiques plus étroits. Comme $\Phi(1{,}96)\approx 0{,}975$, on a $P(-1{,}96\leqslant Z\leqslant 1{,}96)\approx 0{,}95$ pour $Z\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$. Pour une moyenne $m$ avec un écart-type $\sigma$ connu, on obtient ainsi l'intervalle $\left[\overline{X}_n-1{,}96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\overline{X}_n+1{,}96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ au niveau 95 % : asymptotique en général, valable pour tout $n$ si les $X_i$ suivent une loi normale.
Exercice 3 : Sur 400 clients interrogés au hasard, 240 se disent satisfaits (données fictives). On modélise les réponses par un 400-échantillon de loi $\mathcal{B}(p)$, et on rappelle que $p(1-p)\leqslant\frac{1}{4}$.
1. Avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, trouve $\varepsilon$ tel que $[\overline{X}_{400}-\varepsilon\,;\,\overline{X}_{400}+\varepsilon]$ soit un intervalle de confiance de $p$ au niveau 95 %, puis donne sa réalisation.
2. On admet que $\left[\overline{X}_n-\frac{1{,}96}{2\sqrt{n}}\,;\,\overline{X}_n+\frac{1{,}96}{2\sqrt{n}}\right]$ est un intervalle de confiance asymptotique de $p$ au niveau 95 %. Donne sa réalisation et compare.
Correction :
1. $E(\overline{X}_{400})=p$ et $V(\overline{X}_{400})=\frac{p(1-p)}{400}\leqslant\frac{1}{1600}$, donc $P(|\overline{X}_{400}-p|\geqslant\varepsilon)\leqslant\frac{1}{1600\,\varepsilon^2}$. Ce majorant vaut $0{,}05$ pour $\varepsilon=\frac{1}{\sqrt{80}}\approx 0{,}112$ ; alors $P(\overline{X}_{400}-\varepsilon 2. C'est l'intervalle précédent avec $\sigma=\sqrt{p(1-p)}$ majoré par $\frac{1}{2}$. Ici $\frac{1{,}96}{2\sqrt{400}}=0{,}049$, d'où $[0{,}551\,;\,0{,}649]$. Cet intervalle est plus de deux fois plus étroit : Bienaymé-Tchebychev vaut pour tout $n$, mais il est prudent.
À retenir
À retenir :
- Probabilités totales : on additionne les chemins de l'arbre ; Bayes retourne le conditionnement, et $P_A(B)$ n'est pas $P_B(A)$.
- Reconnaître la loi donne l'espérance et la variance ; sur un ensemble infini, l'espérance exige la convergence absolue.
- À densité, les probabilités sont des intégrales, et on réduit $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ en divisant par $\sigma$, pas par $\sigma^2$.
- Bienaymé-Tchebychev donne la loi faible des grands nombres et des intervalles prudents ; le théorème limite central donne des approximations normales et des intervalles asymptotiques, avec $1{,}96$ au niveau 95 %.
Sources
Banque commune d'épreuves (BCE), Programme des classes préparatoires, concours 2026 : programmes de mathématiques appliquées et approfondies de la classe ECG, fixés par l'arrêté du 5 janvier 2021.