Pour dériver $x^n$, tu multiplies par l'exposant puis tu le baisses de 1 : la dérivée de $x^3$ est $3x^2$. Une primitive fait le chemin inverse : $\dfrac{x^4}{4}$ est une primitive de $x^3$, puisque sa dérivée vaut $\dfrac{4x^3}{4} = x^3$. Tu trouves ici les formules du lycée en tableaux, d'où elles viennent, comment les retrouver, et quatre exercices corrigés.
Dérivées des fonctions de référence
Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. On l'obtient avec le taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$, qui est la pente de la droite joignant les points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$ : quand $h$ se rapproche de 0, cette pente se rapproche de $f'(a)$. En physique, si $y = f(x)$, tu croiseras aussi l'écriture $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ pour $f'(x)$.
Pour $f(x) = x^2$ et $h \neq 0$ : $\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$. Quand $h$ se rapproche de 0, ce quotient se rapproche de $2a$. Donc $f'(a) = 2a$ pour tout réel $a$ : la dérivée de $x^2$ est $2x$.
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Pour |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $x^2$ | $2x$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n$ entier, $n \geqslant 1$) | $nx^{n-1}$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $x \neq 0$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ ($n$ entier, $n \geqslant 1$) | $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ | $x \neq 0$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x > 0$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $e^{ax}$ ($a$ réel) | $ae^{ax}$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x > 0$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $x \in \mathbb{R}$ |
Le programme de spécialité de Première couvre tout ce tableau sauf $\ln$, $\cos$ et $\sin$, qui arrivent en Terminale avec la composée et les primitives (programme de Terminale).
Inutile d'apprendre deux règles pour les puissances : $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$, et $(x^n)' = nx^{n-1}$ marche aussi avec un exposant négatif. Par exemple $\left(x^{-1}\right)' = -1 \times x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$. Pour le cosinus et le sinus, retiens le cycle : dériver fait passer de $\sin$ à $\cos$, puis à $-\sin$, puis à $-\cos$, puis de nouveau à $\sin$.
La racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0, car sa tangente y est verticale : d'où la condition $x > 0$.
Le signe de la dérivée donne les variations : sur un intervalle, si $f'(x) \geqslant 0$, alors $f$ est croissante ; si $f'(x) \leqslant 0$, elle est décroissante. C'est pour ça qu'on calcule une dérivée dans une étude de fonction.
Le nombre dérivé donne aussi la tangente : au point d'abscisse $a$, elle a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$, on a $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$, donc la tangente a pour équation $y = 6(x - 3) + 9$, soit $y = 6x - 9$.
Les règles de calcul
Les fonctions des exercices combinent ces fonctions de référence. Pour $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle et $k$ un réel :
Formule :
$$(u+v)' = u' + v'$$ $$(ku)' = ku'$$ $$(uv)' = u'v + uv'$$
et, là où $v$ ne s'annule pas :
$$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
Le quotient se retrouve avec les deux autres : $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac{1}{v}$, donc $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v} - \dfrac{uv'}{v^2} = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Exemple : $f(x) = xe^x$ est un produit, avec $u(x) = x$, $u'(x) = 1$, $v(x) = e^x$ et $v'(x) = e^x$. Donc $f'(x) = 1 \times e^x + xe^x = (1+x)e^x$.
Avec un quotient : pour $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ sur $]3\,;+\infty[$, on prend $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x - 3$ et $v'(x) = 1$. Donc $f'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1) \times 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$.
Piège classique : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Pour $xe^x$, répondre $1 \times e^x$ oublie le terme $uv'$. Dans le quotient, c'est $u'v$ qui vient en premier : inverser l'ordre change le signe du résultat.
En Terminale s'ajoute la composée. La fonction $x \mapsto e^{x^2}$ applique l'exponentielle à $u(x) = x^2$ : c'est la composée $v \circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ ») avec $v = \exp$.
Règle : pour deux fonctions dérivables, $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : la dérivée de $v(u(x))$ est $v'(u(x)) \times u'(x)$.
En clair, tu dérives la fonction extérieure en laissant $u(x)$ à l'intérieur, puis tu multiplies par la dérivée de l'intérieur : $\left(e^{x^2}\right)' = 2xe^{x^2}$. Les cas qui reviennent sans cesse :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $e^u$ | $u'e^u$ | aucune |
| $u^n$ ($n$ entier non nul) | $nu'u^{n-1}$ | $u \neq 0$ si $n < 0$ |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ | $u > 0$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ | $u > 0$ |
| $\cos u$ | $-u'\sin u$ | aucune |
| $\sin u$ | $u'\cos u$ | aucune |
| $g(ax+b)$ | $ag'(ax+b)$ | $g$ dérivable en $ax+b$ |
Piège classique : le facteur $u'$ s'oublie vite. $\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}$, pas $e^{-x}$. Et $\left((2x+1)^3\right)' = 3 \times 2 \times (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$, pas $3(2x+1)^2$.
Les primitives, la dérivation à l'envers
Définition : une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$.
Si $F$ convient, $F + 3$ aussi, puisqu'une constante a une dérivée nulle. Réciproquement, deux primitives d'une même fonction continue (sa courbe se trace sans lever le crayon) sur un intervalle diffèrent d'une constante. Une fonction a donc une infinité de primitives $F(x) + C$, avec $C$ réel, et une condition comme $F(0) = 5$ en désigne une seule.
Pour en trouver une, lis le tableau des dérivées de droite à gauche et ajuste le coefficient : la dérivée de $x^4$ est $4x^3$, donc une primitive de $x^3$ est $\dfrac{x^4}{4}$. Vérifie toujours en dérivant ton résultat : tu dois retomber exactement sur $f$.
| Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Sur |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $kx$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n$ entier, $n \geqslant 1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $]0\,;+\infty[$ ou $]-\infty\,;0[$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ ($n$ entier, $n \geqslant 2$) | $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$ | $]0\,;+\infty[$ ou $]-\infty\,;0[$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $e^{ax}$ ($a \neq 0$) | $\dfrac{1}{a}e^{ax}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
Le cycle du cosinus et du sinus se parcourt alors à l'envers : une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$, pas $\cos x$.
En Terminale, les primitives servent à calculer des intégrales : pour $f$ continue sur $[a\,;b]$ et $F$ une primitive de $f$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$. Quand $f$ est positive, ce nombre est l'aire, en unités d'aire, entre sa courbe et l'axe des abscisses, de $a$ à $b$. Par exemple, $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{1^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{1}{3}$.
Primitives des formes composées
La règle de la composée, lue à l'envers, traite les cas plus riches : une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ a pour primitive $v \circ u$. En pratique, tu repères une fonction $u$ dont la dérivée $u'$ apparaît en facteur.
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| $u'u^n$ ($n$ entier, $n \neq -1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | $u \neq 0$ si $n < 0$ |
| $\dfrac{u'}{u^2}$ | $-\dfrac{1}{u}$ | $u \neq 0$ |
| $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ | $u > 0$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln u$ | $u > 0$ |
| $u'e^u$ | $e^u$ | aucune |
| $u'\cos u$ | $\sin u$ | aucune |
| $u'\sin u$ | $-\cos u$ | aucune |
Exemple : sur $\mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1$, toujours strictement positif, et $u'(x) = 2x$. Une primitive est donc $F(x) = \ln(x^2+1)$.
Piège classique : si $u'$ n'est pas exactement là, tu peux le fabriquer, mais seulement avec une constante. $e^{2x} = \dfrac{1}{2} \times 2e^{2x}$, donc une primitive est $\dfrac{1}{2}e^{2x}$. Pour $e^{x^2}$, il manquerait un facteur $2x$, qu'aucune constante ne fabrique : cette fonction n'a pas de primitive qui s'écrive avec les fonctions du lycée.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un contrôle. Cherche chaque exercice sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Dérive $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x - 1$ sur $\mathbb{R}$, puis $g(x) = \dfrac{3}{x} + 2\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
Correction :
On dérive la somme terme à terme : $f'(x) = 4 \times 3x^2 - 6 \times 2x + 5 = 12x^2 - 12x + 5$.
De même, $g'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) + 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
Exercice 2 : Trouve une primitive de $h(x) = x(x^2+1)^3$ sur $\mathbb{R}$.
Correction :
Le réflexe « primitive de $x$ fois primitive de $(x^2+1)^3$ » est faux : la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives.
On pose $u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. Il manque un facteur 2, qu'on fabrique : $h(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x(x^2+1)^3$, de la forme $\dfrac{1}{2}u'u^3$.
Une primitive est $H(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x^2+1)^4}{4} = \dfrac{(x^2+1)^4}{8}$.
Vérification : $H'(x) = \dfrac{4 \times 2x(x^2+1)^3}{8} = x(x^2+1)^3$.
Exercice 3 : Une voiture freine (données fictives). À l'instant $t$, en secondes depuis le début du freinage, sa vitesse vaut $v(t) = 20 - 4t$, en m/s, jusqu'à l'arrêt. La distance parcourue depuis le début du freinage, $d(t)$ en mètres, vérifie $d' = v$ et $d(0) = 0$. Au bout de combien de temps la voiture s'arrête-t-elle ? Exprime $d(t)$, puis donne la distance de freinage.
Correction :
Arrêt quand $v(t) = 0$ : $20 - 4t = 0$, soit $t = 5$. La voiture s'arrête au bout de 5 s.
La fonction $d$ est une primitive de $v$ : $d(t) = 20t - 2t^2 + C$. Comme $d(0) = 0$, on a $C = 0$, donc $d(t) = 20t - 2t^2$.
Distance de freinage : $d(5) = 20 \times 5 - 2 \times 5^2 = 100 - 50 = 50$, soit 50 m.
Exercice 4 : Soit $g(x) = (2x - 1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. Montre que $g'(x) = (3 - 2x)e^{-x}$, puis déduis-en les variations de $g$ et son maximum.
Correction :
La fonction $g$ est un produit $uv$ avec $u(x) = 2x - 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = e^{-x}$ et $v'(x) = -e^{-x}$ (ligne $e^{ax}$ du tableau, avec $a = -1$).
$$g'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)\left(-e^{-x}\right) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = (3 - 2x)e^{-x}$$
Comme $e^{-x} > 0$ pour tout réel $x$, $g'(x)$ a le signe de $3 - 2x$ : positif pour $x < 1{,}5$, nul en $1{,}5$, négatif après. Donc $g$ est croissante sur $]-\infty\,;1{,}5]$ et décroissante sur $[1{,}5\,;+\infty[$.
Son maximum vaut $g(1{,}5) = (3 - 1)e^{-1{,}5} = 2e^{-1{,}5} \approx 0{,}45$.
À retenir
À retenir :
- $(x^n)' = nx^{n-1}$ vaut aussi pour un exposant négatif, avec $x \neq 0$.
- $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$.
- $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : n'oublie pas le facteur $u'$.
- Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
- Pour une forme composée, repère $u'$ en facteur et n'ajuste qu'avec une constante.
- Une primitive se vérifie en la dérivant.
Sources
- Programme de spécialité de mathématiques de première générale : texte sur education.gouv.fr.
- Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, annexe du Bulletin officiel : texte sur eduscol.