Pour dériver une fonction qui n'est pas dérivable, on ne regarde plus ses valeurs : on la teste sur des fonctions $\varphi$ très régulières, et on fait porter la dérivée sur $\varphi$ avec un signe moins : si $\langle T,\varphi\rangle$ est le résultat du test, $\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$. Pour l'échelon de Heaviside $H = \mathbf{1}_{[0\,;\,+\infty[}$, cela donne $\langle H',\varphi\rangle = -\int_0^{+\infty}\varphi'(x)\,dx = \varphi(0)$ : la dérivée de $H$ est la masse de Dirac $\delta_0$. Ces objets qui prolongent les fonctions sont les distributions, qu'on appelle aussi fonctions généralisées.
Une distribution se lit sur des fonctions tests
Une fonction test est une fonction $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ de classe $C^\infty$ et à support compact, c'est-à-dire nulle hors d'un segment. Leur ensemble se note $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
Une fonction $f$ localement intégrable (intégrable sur tout segment) agit sur elles par $\varphi \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\varphi$. Ces nombres la déterminent : deux fonctions qui donnent les mêmes sont égales presque partout. On remplace donc $f$ par cette action, notée $T_f$, sans rien perdre.
Définition : une distribution sur $\mathbb{R}$ est une forme linéaire $T : \mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$, notée $\varphi \mapsto \langle T,\varphi\rangle$, telle que pour tout segment $K$ il existe $C > 0$ et un entier $k$ avec $|\langle T,\varphi\rangle| \leqslant C\sum_{j=0}^{k}\sup|\varphi^{(j)}|$ pour toute $\varphi$ nulle hors de $K$. Leur ensemble se note $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Cette inégalité est la continuité de $T$. Elle revient à dire que $\langle T,\varphi_n\rangle \to \langle T,\varphi\rangle$ dès que les $\varphi_n$ sont nulles hors d'un même segment et que chacune de leurs dérivées converge uniformément vers celle de $\varphi$. Ces définitions suivent le cours de master 1 de D. Hulin à l'université Paris-Saclay.
Premier objet qui n'est pas une fonction : la masse de Dirac en $a$, définie par $\langle\delta_a,\varphi\rangle = \varphi(a)$. C'est une distribution, car $|\varphi(a)| \leqslant \sup|\varphi|$. Aucune fonction $f$ localement intégrable ne vérifie $T_f = \delta_a$ : elle donnerait $\int f\varphi = 0$ pour toute $\varphi$ nulle près de $a$, donc $f = 0$ presque partout, puis $\varphi(a) = 0$ pour toute $\varphi$, ce qui est faux. C'est pour cette théorie, motivée par la « fonction » $\delta$ des physiciens, que Laurent Schwartz a reçu la médaille Fields en 1950.
Dériver en passant la dérivée à la fonction test
La règle sort d'une intégration par parties. Si $f$ est de classe $C^1$, le terme de bord s'annule puisque $\varphi$ est nulle hors d'un segment, et il reste
$$\int_{\mathbb{R}} f'\varphi = -\int_{\mathbb{R}} f\varphi'.$$
Le membre de droite garde un sens quand $f$ n'est pas dérivable, et même quand on remplace $T_f$ par n'importe quelle distribution. On le prend comme définition.
Règle : la dérivée d'une distribution $T$ est la distribution $T'$ définie par $\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$, et plus généralement $\langle T^{(k)},\varphi\rangle = (-1)^k\langle T,\varphi^{(k)}\rangle$. Si $f$ est de classe $C^1$, on retrouve la dérivée usuelle : $(T_f)' = T_{f'}$.
Comme $\varphi'$ est encore une fonction test, cette formule a toujours un sens : toute distribution se dérive autant de fois que tu veux. La fonction ne devient pas lisse pour autant, c'est sa dérivée qui peut cesser d'être une fonction, comme $H' = \delta_0$. Pour une fonction, on parle aussi de dérivée faible.
Appliquée à la masse de Dirac, la règle donne $\langle\delta_0',\varphi\rangle = -\langle\delta_0,\varphi'\rangle = -\varphi'(0)$.
Piège classique : le signe. On a $\langle\delta_0',\varphi\rangle = -\varphi'(0)$, pas $\varphi'(0)$, et une seconde dérivation le rend positif : $\langle\delta_0'',\varphi\rangle = \varphi''(0)$. En cas de doute, refais l'intégration par parties sur une fonction $C^1$ : le signe en sort tout seul.
La formule des sauts
C'est l'outil des calculs courants : une fonction régulière par morceaux se dérive morceau par morceau, et chaque saut ajoute une masse de Dirac.
Propriété : soit $f$ de classe $C^1$ sur $]-\infty\,;\,a[$ et sur $]a\,;\,+\infty[$, telle que $f$ et $f'$ aient une limite finie à gauche et à droite en $a$. On note $\{f'\}$ sa dérivée usuelle, définie sauf en $a$, et $\sigma = f(a^+) - f(a^-)$ son saut. Alors
$$(T_f)' = T_{\{f'\}} + \sigma\,\delta_a.$$
Avec un nombre fini de sauts $\sigma_i$ aux points $a_i$, on ajoute un terme $\sigma_i\,\delta_{a_i}$ par point.
On coupe l'intégrale en $a$ et on intègre par parties sur chaque morceau :
$$-\int_{-\infty}^{a} f\varphi' = -f(a^-)\,\varphi(a) + \int_{-\infty}^{a} f'\varphi$$
$$-\int_{a}^{+\infty} f\varphi' = f(a^+)\,\varphi(a) + \int_{a}^{+\infty} f'\varphi$$
La somme donne $\langle (T_f)',\varphi\rangle = \langle T_{\{f'\}},\varphi\rangle + \sigma\,\varphi(a)$.
Exemple avec la valeur absolue. Elle est continue en $0$ (saut nul) et sa dérivée usuelle vaut $-1$ à gauche, $1$ à droite : au sens des distributions, $|x|' = \operatorname{sgn}$, la fonction signe. Celle-ci saute de $1 - (-1) = 2$ en $0$ et sa dérivée usuelle est nulle, donc $\operatorname{sgn}' = 2\,\delta_0$ et $|x|'' = 2\,\delta_0$.
Piège classique : la dérivée usuelle ne suffit pas. Celle de $H$ est nulle partout sauf en $0$, et pourtant $H' = \delta_0$. L'autre piège est le sens du saut : toujours la limite à droite moins la limite à gauche.
Multiplier par une fonction lisse
Pour $\psi$ de classe $C^\infty$, on pose $\langle\psi T,\varphi\rangle = \langle T,\psi\varphi\rangle$, ce qui a un sens parce que $\psi\varphi$ est encore une fonction test. On en tire $\psi\,\delta_a = \psi(a)\,\delta_a$, et la formule de Leibniz reste vraie : $(\psi T)' = \psi' T + \psi T'$.
Deux distributions, en revanche, ne se multiplient pas en général. Prends $\rho_n = n\,\mathbf{1}_{[0\,;\,1/n]}$, qui tend vers $\delta_0$ (exercice 4) : $\int\rho_n^2\varphi = n^2\int_0^{1/n}\varphi$ se comporte comme $n\,\varphi(0)$ et explose dès que $\varphi(0) \neq 0$. Le carré $\delta_0^2$ ne peut donc pas s'obtenir comme limite de $\rho_n^2$.
Une équation typique : trouver les $T$ telles que $xT = 0$. Comme $x\,\delta_0 = 0 \cdot \delta_0 = 0$, toutes les distributions $c\,\delta_0$ conviennent, et ce sont les seules.
Fixe $\chi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ égale à $1$ près de $0$. Pour $\varphi$ test, $g = \varphi - \varphi(0)\,\chi$ est une fonction test nulle en $0$, donc $g(x) = x\,\theta(x)$ avec $\theta(x) = \int_0^1 g'(tx)\,dt$, encore une fonction test. Alors $\langle T,g\rangle = \langle xT,\theta\rangle = 0$, d'où $\langle T,\varphi\rangle = \varphi(0)\,\langle T,\chi\rangle$ : $T = c\,\delta_0$ avec $c = \langle T,\chi\rangle$.
Converger au sens des distributions
On dit que $T_n \to T$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ si $\langle T_n,\varphi\rangle \to \langle T,\varphi\rangle$ pour toute fonction test $\varphi$. Cette convergence est très faible, et c'est sa force. Ainsi $\sin(nx) \to 0$ au sens des distributions, car une intégration par parties donne
$$\int_{\mathbb{R}}\sin(nx)\,\varphi(x)\,dx = \frac{1}{n}\int_{\mathbb{R}}\cos(nx)\,\varphi'(x)\,dx,$$
qui tend vers $0$ puisque $|\cos| \leqslant 1$. Pourtant, en $x = \dfrac{\pi}{2}$, la suite $\sin(nx)$ vaut $1, 0, -1, 0, \dots$ et ne converge pas.
Et la dérivation passe à la limite sans condition : si $T_n \to T$, alors $T_n' \to T'$, puisque $\langle T_n',\varphi\rangle = -\langle T_n,\varphi'\rangle \to -\langle T,\varphi'\rangle$. En dérivant l'exemple précédent, $n\cos(nx) \to 0$ au sens des distributions, alors que cette fonction vaut $n$ en $0$.
Exercices corrigés
Du plus direct au niveau d'un partiel. Cherche chacun sur ta feuille avant d'ouvrir la correction.
Exercice 1 : Calcule, au sens des distributions, la dérivée de l'indicatrice $\mathbf{1}_{[0\,;\,1]}$, qui vaut $1$ sur $[0\,;\,1]$ et $0$ ailleurs.
Correction :
La fonction est constante par morceaux, donc sa dérivée usuelle est nulle. Saut en $0$ : $1 - 0 = 1$. Saut en $1$ : $0 - 1 = -1$. La formule des sauts donne $(\mathbf{1}_{[0\,;\,1]})' = \delta_0 - \delta_1$.
Vérification directe : $-\int_0^1\varphi'(x)\,dx = \varphi(0) - \varphi(1)$.
Exercice 2 : Quand on ferme à l'instant $t = 0$ un circuit où un condensateur chargé se décharge dans une résistance, l'intensité est nulle avant $0$, saute, puis décroît exponentiellement. Avec des unités où le saut et la constante de temps valent $1$, elle s'écrit $f(t) = H(t)\,e^{-t}$. Calcule $f'$ au sens des distributions, puis $f' + f$.
Correction :
Avant $0$, $f$ est nulle ; après $0$, $f(t) = e^{-t}$, de dérivée $-e^{-t}$. Le saut en $0$ vaut $f(0^+) - f(0^-) = 1 - 0 = 1$.
La formule des sauts donne $f' = -H(t)\,e^{-t} + \delta_0 = -f + \delta_0$, donc $f' + f = \delta_0$.
Autrement dit, $f$ résout $y' + y = \delta_0$ : c'est une solution fondamentale de l'opérateur $\dfrac{d}{dt} + 1$, sa réponse à une impulsion.
Exercice 3 : On sait que $x\,\delta_0 = 0$. Calcule $x\,\delta_0'$. Est-ce aussi la distribution nulle ?
Correction :
Par définition du produit, $\langle x\,\delta_0',\varphi\rangle = \langle\delta_0',x\varphi\rangle = -(x\varphi)'(0)$. Or $(x\varphi)' = \varphi + x\varphi'$, qui vaut $\varphi(0)$ en $0$.
Donc $\langle x\,\delta_0',\varphi\rangle = -\varphi(0)$, soit $x\,\delta_0' = -\delta_0$, qui n'est pas nulle. Remplacer $x$ par sa valeur en $0$ ne marche que devant $\delta_0$, pas devant ses dérivées.
Contrôle avec Leibniz : $0 = (x\,\delta_0)' = \delta_0 + x\,\delta_0'$.
Exercice 4 : Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $T_n = n\,\mathbf{1}_{[0\,;\,1/n]}$.
a) Montre que $T_n \to \delta_0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
b) Calcule $T_n'$, puis la limite de $n\,(\delta_0 - \delta_{1/n})$.
Correction :
a) Comme $n\int_0^{1/n} dx = 1$, on a $\langle T_n,\varphi\rangle - \varphi(0) = n\int_0^{1/n}\big(\varphi(x) - \varphi(0)\big)\,dx$. Par l'inégalité des accroissements finis, $|\varphi(x) - \varphi(0)| \leqslant x\sup|\varphi'|$, d'où
$$\big|\langle T_n,\varphi\rangle - \varphi(0)\big| \leqslant n\sup|\varphi'|\int_0^{1/n}x\,dx = \frac{\sup|\varphi'|}{2n} \longrightarrow 0.$$
b) $T_n$ est constante par morceaux, avec un saut de $+n$ en $0$ et de $-n$ en $\dfrac{1}{n}$ : $T_n' = n\,(\delta_0 - \delta_{1/n})$. La dérivation passe à la limite, donc $n\,(\delta_0 - \delta_{1/n}) \to \delta_0'$.
Vérification : $n\big(\varphi(0) - \varphi(\tfrac{1}{n})\big) \to -\varphi'(0) = \langle\delta_0',\varphi\rangle$, car c'est l'opposé du taux d'accroissement de $\varphi$ en $0$.
À retenir
À retenir :
- Une distribution est une forme linéaire continue sur les fonctions tests ; une fonction localement intégrable $f$ en définit une, $T_f$.
- $\langle T',\varphi\rangle = -\langle T,\varphi'\rangle$ : toute distribution se dérive, autant de fois qu'on veut.
- Formule des sauts : dérivée usuelle, plus $\sigma\,\delta_a$ pour chaque saut $\sigma = f(a^+) - f(a^-)$.
- $\psi\,\delta_a = \psi(a)\,\delta_a$, mais $x\,\delta_0' = -\delta_0$ ; deux distributions ne se multiplient pas en général.
- $T_n \to T$ se teste sur chaque $\varphi$, et la dérivée passe à la limite.
Sources
- D. Hulin, « Théorie des distributions, analyse de Fourier et un peu d'analyse fonctionnelle », polycopié de master 1, université Paris-Saclay, 2024-2025 (définitions 2.2 et 3.23, proposition 3.2, formule des sauts 4.20) : texte en PDF.
- Union mathématique internationale, médailles Fields 1950 : page officielle.