Niveau : Moyen — Durée estimée : 70 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Il se définit comme la limite du taux d'accroissement quand $h$ tend vers 0. L'équation de la tangente est donnée par $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
La fonction dérivée $f'$ permet d'étudier les variations de la fonction $f$. Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle. Si $f'(x) < 0$, elle est décroissante. Les points où $f'(x) = 0$ en changeant de signe correspondent à des extrema locaux (maximum ou minimum).
Il est crucial de connaître les formules de dérivation pour les opérations : produit $(uv)' = u'v + uv'$, quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ et la composition $(g \circ f)' = f' \times (g' \circ f)$.
Formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ ; $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Dérive la fonction $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x - 7$.
Correction :
On applique la règle de dérivation des puissances $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$f'(x) = 4(3x^2) - 5(2x) + 2(1) - 0$.
$f'(x) = 12x^2 - 10x + 2$.
La dérivée est $f'(x) = 12x^2 - 10x + 2$.
Exercice 2 : Soit $g(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$. Détermine $g'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
Correction :
Rappels : $(1/x)' = -1/x^2$ et $(\sqrt{x})' = 1/(2\sqrt{x})$.
En additionnant les deux :
$g'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Exercice 3 : Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $h(x) = x^2$ au point d'abscisse $a = 3$.
Correction :
1. $h(3) = 3^2 = 9$.
2. $h'(x) = 2x$, donc $h'(3) = 2 \times 3 = 6$.
3. Formule : $y = h'(3)(x - 3) + h(3)$.
$y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9$.
L'équation est $y = 6x - 9$.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Dérive la fonction $f(x) = (3x - 2)(x^2 + 1)$.
Correction :
On utilise la forme $(uv)' = u'v + uv'$.
Soit $u(x) = 3x - 2$ alors $u'(x) = 3$.
Soit $v(x) = x^2 + 1$ alors $v'(x) = 2x$.
$f'(x) = 3(x^2 + 1) + (3x - 2)(2x) = 3x^2 + 3 + 6x^2 - 4x$.
$f'(x) = 9x^2 - 4x + 3$.
Exercice 5 : Dérive $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.
Correction :
Forme $(u/v)'$ avec $u = 2x + 1$ ($u' = 2$) et $v = x - 3$ ($v' = 1$).
$g'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2}$.
$g'(x) = \frac{-7}{(x - 3)^2}$.
Exercice 6 : Étudie les variations de $h(x) = x^3 - 3x + 1$.
Correction :
1. $h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
2. Signe de $h'(x)$ : positif sur $]-\infty ; -1[ \cup ]1 ; +\infty[$ et négatif sur $]-1 ; 1[$.
3. Variation : $h$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$.
Exercice 7 : Détermine les extrema de la fonction $f(x) = x + \frac{4}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$.
Correction :
1. $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.
2. $f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (car on est sur $]0 ; +\infty[$).
3. Pour $x < 2$, $f'(x) < 0$ et pour $x > 2$, $f'(x) > 0$.
La fonction admet un minimum local en $x = 2$, valant $f(2) = 2 + 4/2 = 4$.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Dérive la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 5}$.
Correction :
C'est une forme $\sqrt{u}$ dont la dérivée est $u' / (2\sqrt{u})$.
Ici $u(x) = x^2 + 3x + 5$, donc $u'(x) = 2x + 3$.
$f'(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x + 5}}$.
Exercice 9 : Soit $f(x) = x^n$. Démontre par récurrence la formule de la dérivée $(x^n)' = nx^{n-1}$ pour $n \geq 1$.
Correction :
Initialisation : Pour $n=1$, $f(x)=x$, $f'(x)=1$ et la formule donne $1x^0 = 1$. Vrai.
Hérédité : Supposons $(x^n)' = nx^{n-1}$. Considérons $x^{n+1} = x^n \times x$.
C'est un produit $uv$. $(x^{n+1})' = (x^n)' \times x + x^n \times (x)'$.
$= (nx^{n-1})x + x^n(1) = nx^n + x^n = (n+1)x^n$. L'hérédité est prouvée.
La formule est vraie pour tout $n \geq 1$.
Exercice 10 : Un fabricant veut concevoir une boîte de conserve cylindrique d'un volume $V = 1$ litre ($1000 \text{ cm}^3$). Détermine le rayon $R$ qui minimise la surface de métal utilisée.
Correction :
1. Volume $V = \pi R^2 h = 1000 \Rightarrow h = 1000 / (\pi R^2)$.
2. Surface $S = 2\pi R^2 + 2\pi Rh = 2\pi R^2 + 2\pi R(1000 / (\pi R^2)) = 2\pi R^2 + 2000/R$.
3. Dérivée $S'(R) = 4\pi R - 2000/R^2 = \frac{4\pi R^3 - 2000}{R^2}$.
4. $S'(R) = 0 \Rightarrow 4\pi R^3 = 2000 \Rightarrow R^3 = 500/\pi$.
Le rayon optimal est $R = \sqrt[3]{500/\pi} \approx 5,42 \text{ cm}$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La dérivation est un jeu de règles. Identifie d'abord la structure globale de ta fonction (somme, produit, quotient) avant d'appliquer les formules. Vérifie toujours le domaine de dérivabilité, notamment pour les racines carrées et les fractions.
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