Niveau : Moyen — Durée estimée : 45 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Le théorème de Pythagore s'applique exclusivement dans un triangle rectangle. Il permet de calculer la longueur d'un troisième côté lorsque l'on connaît déjà les deux autres. L'élément le plus important à identifier est l'hypoténuse, qui est le côté le plus long situé face à l'angle droit.
La réciproque du théorème de Pythagore sert, quant à elle, à démontrer qu'un triangle est rectangle. Si l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors le triangle possèd'un angle droit. Si l'égalité n'est pas vérifiée, on utilise alors la contraposée pour affirmer que le triangle n'est pas rectangle.
Pour réussir tes calculs, tu dois maîtriser les carrés parfaits et l'utilisation de la racine carrée sur ta calculatrice. Pense toujours à bien rédiger ton raisonnement en précisant le nom du triangle et l'endroit où se situe l'angle droit avant d'énoncer le théorème.
Formule : Dans un triangle ABC rectangle en A, l'égalité est : $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calcule la longueur de l'hypoténuse BC.
Correction :
Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité suivante : $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$.
Remplaçons par les valeurs connues : $BC^{2} = 3^{2} + 4^{2}$.
Calculons les carrés : $BC^{2} = 9 + 16$, ce qui donne $BC^{2} = 25$.
Pour trouver BC, on utilise la racine carrée : $BC = \sqrt{25}$.
La longueur BC est donc de 5 cm.
Exercice 2 : Un triangle DEF est rectangle en D. On sait que DE = 6 cm et DF = 8 cm. Calcule la longueur EF.
Correction :
Dans le triangle DEF rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore : $EF^{2} = DE^{2} + DF^{2}$.
En remplaçant par les nombres : $EF^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64$.
On obtient $EF^{2} = 100$.
Par conséquent, $EF = \sqrt{100}$.
Le côté EF mesure 10 cm.
Exercice 3 : Calcule la longueur du côté manquant dans un triangle GHI rectangle en G, sachant que l'hypoténuse HI mesure 13 cm et que GH mesure 5 cm.
Correction :
Attention, ici on cherche un côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse. Le triangle GHI est rectangle en G, donc : $HI^{2} = GH^{2} + GI^{2}$.
On remplace : $13^{2} = 5^{2} + GI^{2}$, soit $169 = 25 + GI^{2}$.
Pour isoler $GI^{2}$, on soustrait : $GI^{2} = 169 - 25 = 144$.
On termine avec la racine carrée : $GI = \sqrt{144}$.
Le côté GI mesure 12 cm.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Un mur vertical de 3 mètres de haut est perpendiculaire au sol. Une échelle de 3,5 mètres est posée contre ce mur. À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle au sol ? Arrondis au centimètre.
Correction :
On peut modéliser la situation par un triangle rectangle où l'échelle est l'hypoténuse (3,5 m) et le mur est un côté de l'angle droit (3 m). Soit $d$ la distance recherchée.
D'après le théorème de Pythagore : $3,5^{2} = 3^{2} + d^{2}$.
$12,25 = 9 + d^{2}$.
$d^{2} = 12,25 - 9 = 3,25$.
$d = \sqrt{3,25} \approx 1,8027$ m.
La distance est d'environ 1,80 m (ou 180 cm).
Exercice 5 : Le triangle JKL a pour dimensions : JK = 7 cm, KL = 24 cm et JL = 25 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Correction :
On identifie le côté le plus long : JL = 25 cm. Calculons son carré : $JL^{2} = 25^{2} = 625$.
D'autre part, calculons la somme des carrés des deux autres côtés : $JK^{2} + KL^{2} = 7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625$.
On constate que $JL^{2} = JK^{2} + KL^{2}$.
L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle JKL est rectangle en K d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Exercice 6 : Un triangle MNO tel que MN = 4 cm, NO = 7 cm et MO = 8 cm est-il rectangle ?
Correction :
Le côté le plus long est MO = 8 cm. Son carré est $MO^{2} = 64$.
Calculons $MN^{2} + NO^{2} = 4^{2} + 7^{2} = 16 + 49 = 65$.
On remarque $64 \neq 65$, donc $MO^{2} \neq MN^{2} + NO^{2}$.
L'égalité de Pythagore n'est pas respectée. Le triangle MNO n'est pas rectangle.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Calcule la longueur de la diagonale d'un carré de côté 5 cm. Donne la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
Correction :
La diagonale divise le carré en deux triangles rectangles isocèles. Soit $d$ la diagonale. D'après Pythagore : $d^{2} = 5^{2} + 5^{2}$.
$d^{2} = 25 + 25 = 50$.
Valeur exacte : $d = \sqrt{50}$ cm (ce qui peut s'écrire $5\sqrt{2}$ cm).
Valeur approchée : 7,1 cm.
Exercice 8 : Une pyramide à base carrée de côté 6 cm a une hauteur de 4 cm. Calcule la longueur d'une apothème (la hauteur d'une face latérale).
Correction :
Considérons le triangle rectangle formé par la hauteur de la pyramide (4 cm), la moitié du côté de la base (3 cm) et l'apothème $a$.
$a^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$.
$a = \sqrt{25} = 5$.
L'apothème mesure 5 cm.
Exercice 9 : Dans un rectangle ABCD, AB = 8 cm et BC = 6 cm. Soit H le projeté orthogonal de A sur la diagonale [BD]. Calcule la longueur BD, puis utilise l'aire du triangle pour trouver AH.
Correction :
1. Dans le triangle ABD rectangle en A : $BD^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$. Donc $BD = 10$ cm.
2. L'aire du triangle ABD est $\frac{AB \times AD}{2} = \frac{8 \times 6}{2} = 24$ cm².
3. L'aire est aussi égale à $\frac{BD \times AH}{2}$. Donc $24 = \frac{10 \times AH}{2}$, soit $24 = 5 \times AH$.
On en déduit AH = 4,8 cm.
Exercice 10 : Un écran de télévision a un format 16/9. Sa diagonale mesure 82 cm. Quelles sont sa largeur et sa hauteur ?
Correction :
Soit $16k$ la largeur et $9k$ la hauteur. D'après Pythagore : $(16k)^{2} + (9k)^{2} = 82^{2}$.
$256k^{2} + 81k^{2} = 6724$, donc $337k^{2} = 6724$.
$k^{2} \approx 19,95$ donc $k \approx 4,466$.
Largeur $\approx 16 \times 4,466 \approx 71,5$ cm. Hauteur $\approx 9 \times 4,466 \approx 40,2$ cm.
Dimensions : 71,5 cm x 40,2 cm.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Pour calculer une longueur, utilise le théorème direct. Pour prouver qu'un triangle est rectangle, utilise la réciproque. N'oublie jamais de mettre les longueurs au carré avant de les additionner ou de les soustraire !
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