Niveau : Moyen — Durée estimée : 45 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une équation du second degré se présente sous la forme générale ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels avec a différent de zéro. La première étape consiste toujours à identifier ces coefficients pour calculer le discriminant, noté par la lettre grecque Delta.
Le calcul du discriminant est l'outil universel pour déterminer le nombre de solutions. Si le résultat est positif, l'équation possède deux solutions distinctes. S'il est nul, il n'y a qu'une seule solution (dite double). S'il est négatif, il n'existe aucune solution réelle.
Une fois le signe de Delta connu, on applique les formules spécifiques pour extraire les racines. Il est crucial de faire attention aux signes des coefficients, notamment lorsqu'ils sont négatifs, car c'est la source principale d'erreurs de calcul lors de l'élévation au carré ou de la multiplication.
Formule : Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, x = (-b ± √Δ) / 2a. Si Δ = 0, x = -b / 2a.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Résous dans l'ensemble des réels l'équation suivante : x² - 5x + 6 = 0. Identifie d'abord les coefficients a, b et c.
Correction :
Étape 1 : Identification des coefficients. Ici, a = 1, b = -5 et c = 6.
Étape 2 : Calcul du discriminant. Δ = (-5)² - 4 1 6 = 25 - 24 = 1.
Étape 3 : Analyse du résultat. Δ > 0, il y a donc deux solutions réelles distinctes.
Étape 4 : Calcul des racines. x1 = (-(-5) - √1) / (2 1) = (5 - 1) / 2 = 2. x2 = (-(-5) + √1) / (2 1) = (5 + 1) / 2 = 3. Les solutions sont {2, 3}.
Exercice 2 : Résous l'équation x² + 2x + 1 = 0. Utilise la méthode du discriminant ou une identité remarquable si tu la reconnais.
Correction :
Étape 1 : Coefficients. a = 1, b = 2, c = 1.
Étape 2 : Calcul de Δ. Δ = 2² - 4 1 1 = 4 - 4 = 0.
Étape 3 : Solution unique. Puisque Δ = 0, il y a une solution double.
Étape 4 : Calcul. x = -b / 2a = -2 / (2 * 1) = -1. La solution est {-1}. (Note : On pouvait reconnaître (x + 1)² = 0).
Exercice 3 : Détermine les solutions de l'équation 2x² + 3x + 5 = 0.
Correction :
Étape 1 : Coefficients. a = 2, b = 3, c = 5.
Étape 2 : Calcul de Δ. Δ = 3² - 4 2 5 = 9 - 40 = -31.
Étape 3 : Conclusion. Δ < 0. Dans l'ensemble des réels, cette équation n'admet aucune solution.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Résous l'équation -x² + 4x - 4 = 0. Fais attention au signe de a.
Correction :
Coefficients : a = -1, b = 4, c = -4.
Calcul de Δ : Δ = 4² - 4 (-1) (-4) = 16 - 16 = 0.
Solution double : x = -b / 2a = -4 / (2 * -1) = -4 / -2 = 2. La solution est {2}.
Exercice 5 : Résous 3x² - 10x + 3 = 0. Donne les résultats sous forme de fractions simplifiées.
Correction :
Δ = (-10)² - 4 3 3 = 100 - 36 = 64.
√Δ = 8. Δ > 0 donc deux solutions.
x1 = (10 - 8) / 6 = 2 / 6 = 1/3. x2 = (10 + 8) / 6 = 18 / 6 = 3. Les solutions sont {1/3, 3}.
Exercice 6 : Résous l'équation suivante en la mettant d'abord sous la forme ax² + bx + c = 0 : 2x(x - 1) = 3x - 2.
Correction :
Développement : 2x² - 2x = 3x - 2. On ramène tout à gauche : 2x² - 5x + 2 = 0.
Δ = (-5)² - 4 2 2 = 25 - 16 = 9.
x1 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 0,5. x2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2. Les solutions sont {0,5 ; 2}.
Exercice 7 : Trouve les racines de x² - 2√2x + 2 = 0.
Correction :
a = 1, b = -2√2, c = 2.
Δ = (-2√2)² - 4 1 2 = (4 * 2) - 8 = 8 - 8 = 0.
Solution double : x = -(-2√2) / 2 = 2√2 / 2 = √2. La solution est {√2}.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Résous l'équation x² + x - 1 = 0. Cette équation est liée au nombre d'or.
Correction :
Δ = 1² - 4 1 (-1) = 1 + 4 = 5.
Comme Δ > 0, les solutions sont x1 = (-1 - √5) / 2 et x2 = (-1 + √5) / 2. Ce sont les valeurs exactes.
Exercice 9 : Résous l'équation (2x + 1)² = (x - 3)². Ne développe pas forcément, essaie de tout passer d'un côté pour obtenir une forme de différence de carrés.
Correction :
On a (2x + 1)² - (x - 3)² = 0. C'est une forme A² - B² = (A-B)(A+B).
[(2x + 1) - (x - 3)] [(2x + 1) + (x - 3)] = 0.
(x + 4)(3x - 2) = 0. Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
Soit x + 4 = 0 => x = -4. Soit 3x - 2 = 0 => x = 2/3. Les solutions sont {-4, 2/3}.
Exercice 10 : Soit l'équation m x² - 4x + 2 = 0, où m est un paramètre réel. Pour quelles valeurs de m l'équation possède-t-elle au moins une solution réelle ?
Correction :
L'équation possède au moins une solution si Δ ≥ 0 (et si m ≠ 0 pour rester au second degré).
Δ = (-4)² - 4 m 2 = 16 - 8m.
On cherche 16 - 8m ≥ 0, ce qui donne 16 ≥ 8m, donc m ≤ 2.
Si m = 0, l'équation devient -4x + 2 = 0, soit x = 0,5 (une solution). L'équation admet donc au moins une solution pour tout m appartenant à ]-∞, 2].
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La rigueur est ton alliée. Identifie toujours clairement a, b et c avant de calculer Delta. Si Delta est négatif, ne cherche pas plus loin : il n'y a pas de solution réelle. Simplifie toujours tes racines carrées et tes fractions pour obtenir un résultat propre.
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