Niveau : Moyen — Durée estimée : 70 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La dérivée d'une fonction f, notée f', mesure le taux de variation local de cette fonction. Graphiquement, f'(a) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. C'est l'outil fondamental pour étudier le comportement d'une fonction.
Le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction est direct : si f' est positive sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle. Si f' est négative, f est décroissante. Les points où f' s'annule en changeant de signe correspondent aux extremums locaux (maximum ou minimum).
Pour dériver des fonctions complexes, tu dois connaître les formules de base (puissances, inverse, racine) ainsi que les règles d'opération (somme, produit, quotient). La rigueur dans l'application de ces formules est la clé du succès.
Formules à connaître :
- (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ | (1/x)' = -1/x² | (√x)' = 1/(2√x)
- (uv)' = u'v + uv' | (u/v)' = (u'v - uv') / v²
- Équation tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a)
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Calcule la dérivée de la fonction f(x) = x³ - 5x² + 2x - 7.
Correction :
1. On dérive terme à terme en utilisant la règle (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.
2. Dérivée de x³ : 3x².
3. Dérivée de -5x² : -5 * 2x = -10x.
4. Dérivée de 2x : 2.
5. Dérivée de -7 : 0.
f'(x) = 3x² - 10x + 2.
Exercice 2 : Soit g(x) = (2x + 1)(x - 3). Calcule g'(x) en utilisant la formule du produit (uv)'.
Correction :
1. On pose u(x) = 2x + 1 => u'(x) = 2.
2. On pose v(x) = x - 3 => v'(x) = 1.
3. Formule g' = u'v + uv' : g'(x) = 2(x - 3) + (2x + 1)(1).
4. Développement : g'(x) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5.
g'(x) = 4x - 5.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 3 : Étudie les variations de h(x) = x² - 4x + 5 sur ℝ.
Correction :
1. Dérivée : h'(x) = 2x - 4.
2. Signe de la dérivée : 2x - 4 > 0 => 2x > 4 => x > 2.
3. Conclusion : h'(x) est négative sur ]-∞ ; 2] et positive sur [2 ; +∞[.
4. Variations : h est décroissante sur ]-∞ ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[. Le minimum est h(2) = 1.
Exercice 4 : Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d'abscisse 3.
Correction :
1. Valeur de la fonction : f(3) = 3² = 9.
2. Dérivée : f'(x) = 2x. Donc f'(3) = 2 * 3 = 6.
3. Équation de la tangente : y = f'(3)(x - 3) + f(3).
4. Calcul : y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9.
L'équation est y = 6x - 9.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 5 : Calcule la dérivée de k(x) = (2x - 1) / (x + 3) sur ℝ{-3}.
Correction :
1. Formule du quotient (u/v)'. On pose u = 2x - 1 (u' = 2) et v = x + 3 (v' = 1).
2. k'(x) = [2(x + 3) - (2x - 1)(1)] / (x + 3)².
3. Simplification : k'(x) = (2x + 6 - 2x + 1) / (x + 3)² = 7 / (x + 3)².
k'(x) = 7 / (x + 3)².
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Ne confonds jamais le signe de la dérivée avec le signe de la fonction. C'est le signe de f' qui te donne le sens de variation de f. Pense toujours à vérifier si ta dérivée est cohérente avec l'allure de la courbe.
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