Niveau : moyen. Première, spécialité mathématiques. Durée estimée : 75 min. 10 exercices avec corrections détaillées, du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Pour trouver les variations d'une fonction $f$ dérivable, tu suis toujours le même chemin : tu calcules $f'(x)$, tu étudies son signe, puis tu conclus. Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f'(x) \leq 0$, elle y est décroissante. Exemple : pour $f(x) = x^2 - 6x + 1$, on trouve $f'(x) = 2x - 6$, négatif avant $3$ et positif après, donc $f$ descend puis remonte et son minimum vaut $f(3) = -8$.
| $x$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| Variations de $f$ | $\searrow$ | $-8$ | $\nearrow$ |
Le signe de $f'(x)$ se lit facteur par facteur dans un tableau de signes, ou avec le discriminant quand $f'(x)$ est un trinôme (un polynôme du second degré). Un extremum local, c'est-à-dire un maximum ou un minimum atteint autour d'un point, se repère à un changement de signe de $f'$ : la tangente y est horizontale.
Formules à retenir :
- $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$ ; $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$
- $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- Tangente au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Piège classique : le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$, pas le signe de $f$. Une fonction peut monter tout en restant négative. Autre réflexe faux : croire que $f'(a) = 0$ suffit pour avoir un extremum en $a$. Il faut en plus que $f'$ change de signe en $a$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Une fonction $f$ est dérivable sur $[-4\,;\,6]$. On sait que $f'(x) > 0$ sur $]-4\,;\,-1[$, $f'(-1) = 0$, $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;\,3[$, $f'(3) = 0$ et $f'(x) > 0$ sur $]3\,;\,6[$.
1. Donne le sens de variation de $f$ sur $[-4\,;\,6]$.
2. Que se passe-t-il en $-1$ et en $3$ ?
3. Peut-on affirmer que $f(x) > 0$ sur $[-4\,;\,-1]$ ? Justifie.
Correction :
Le sens de variation de $f$ se lit directement dans le signe de $f'$.
1. $f$ est croissante sur $[-4\,;\,-1]$, décroissante sur $[-1\,;\,3]$, puis croissante sur $[3\,;\,6]$.
2. En $-1$, $f'$ s'annule et passe de $+$ à $-$ : maximum local en $x = -1$. En $3$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local en $x = 3$.
3. Non. $f' > 0$ dit seulement que $f$ monte. Elle peut très bien passer de $-10$ à $-2$ en restant négative.
Exercice 2 : Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ pour tout réel $x$. Étudie les variations de $f$, puis donne son extremum. Vérifie que ton résultat concorde avec le signe du coefficient de $x^2$.
Correction :
On dérive, puis on étudie le signe d'une expression affine.
$f'(x) = -4x + 8$, et $-4x + 8 > 0 \iff x < 2$.
$f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,+\infty[$, avec $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$.
Maximum : $f(2) = 5$. C'est cohérent : le coefficient de $x^2$ est négatif, la parabole est tournée vers le bas et son sommet est un maximum.
Exercice 3 : Soit $f(x) = 3 - \dfrac{2}{x}$ pour $x \neq 0$.
1. Calcule $f'(x)$ et donne son signe.
2. Un élève écrit : « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^*$ » ($\mathbb{R}^*$ désigne l'ensemble des réels non nuls). Compare $f(-1)$ et $f(1)$, puis corrige sa phrase.
Correction :
1. Avec $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, on obtient $f'(x) = -2 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{2}{x^2}$, strictement positif pour tout $x \neq 0$.
2. $f(-1) = 3 + 2 = 5$ et $f(1) = 3 - 2 = 1$. On a $-1 < 1$ mais $f(-1) > f(1)$ : $f$ n'est donc pas croissante sur $\mathbb{R}^*$.
$f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, chaque intervalle pris séparément. Le lien entre le signe de $f'$ et les variations ne vaut que sur un intervalle.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 5$ pour tout réel $x$.
1. Montre que $f'(x) = 3(x - 1)^2$.
2. On a $f'(1) = 0$. La fonction $f$ admet-elle un extremum en $1$ ? Justifie.
Correction :
1. $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$.
2. Un carré est toujours positif ou nul, donc $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ : $f'$ s'annule en $1$ sans changer de signe.
$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et n'a pas d'extremum en $1$. Sa courbe a seulement une tangente horizontale au point $(1\,;\,-4)$.
Exercice 5 : Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ sur $]1\,;\,+\infty[$. Calcule $f'(x)$, étudie son signe et donne le minimum de $f$ sur cet intervalle.
Correction :
On applique la formule du quotient avec $u = x^2 + 3$, $u' = 2x$, $v = x - 1$ et $v' = 1$ :
$f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$.
Le dénominateur est un carré non nul, donc strictement positif, et $x + 1 > 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$ : $f'(x)$ a le signe de $x - 3$.
$f$ décroît sur $]1\,;\,3]$ et croît sur $[3\,;\,+\infty[$. Minimum : $f(3) = \dfrac{12}{2} = 6$.
Exercice 6 : Soit $f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^x$ pour tout réel $x$. Montre que $f'(x) = (2x + 1)\mathrm{e}^x$, étudie les variations de $f$ et donne la valeur exacte de son minimum.
Correction :
C'est un produit $uv$ avec $u = 2x - 1$, $u' = 2$, $v = \mathrm{e}^x$ et $v' = \mathrm{e}^x$ :
$f'(x) = 2\mathrm{e}^x + (2x - 1)\mathrm{e}^x = (2x + 1)\mathrm{e}^x$.
Comme $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$, $f'(x)$ a le signe de $2x + 1$ : négatif avant $-\tfrac{1}{2}$, positif après.
$f$ décroît sur $]-\infty\,;\,-\tfrac{1}{2}]$ et croît sur $[-\tfrac{1}{2}\,;\,+\infty[$. Minimum : $f(-\tfrac{1}{2}) = -2\mathrm{e}^{-1/2}$, soit environ $-1{,}21$.
Exercice 7 : Soit $f(x) = x - 2\sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
1. Calcule $f'(x)$ pour $x > 0$ et écris-le sous la forme d'un seul quotient.
2. Déduis-en les variations de $f$ et son minimum.
Correction :
1. $f'(x) = 1 - 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$.
2. Pour $x > 0$, $\sqrt{x} > 0$ : $f'(x)$ a le signe de $\sqrt{x} - 1$, négatif si $0 < x < 1$ et positif si $x > 1$.
$f$ décroît sur $[0\,;\,1]$ et croît sur $[1\,;\,+\infty[$. Minimum : $f(1) = 1 - 2 = -1$.
On ne calcule pas $f'(0)$ : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.
1. Détermine l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
2. Soit $g(x) = \mathrm{e}^x - (x + 1)$. Étudie les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déduis-en que $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$, puis la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $T$.
Correction :
1. $\mathrm{e}^0 = 1$ et la dérivée de l'exponentielle en $0$ vaut aussi $\mathrm{e}^0 = 1$, donc $T : y = 1 \times (x - 0) + 1$, soit $y = x + 1$.
2. $g'(x) = \mathrm{e}^x - 1$. L'exponentielle est strictement croissante et $\mathrm{e}^0 = 1$, donc $g'(x) < 0$ si $x < 0$ et $g'(x) > 0$ si $x > 0$. Ainsi $g$ décroît sur $]-\infty\,;\,0]$, croît sur $[0\,;\,+\infty[$, et son minimum vaut $g(0) = 1 - 1 = 0$.
3. Le minimum de $g$ est $0$, donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$. La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $T$ et ne la touche qu'au point $(0\,;\,1)$.
Exercice 9 : Dans une feuille de carton carrée de $30~\text{cm}$ de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.
1. Justifie que $0 \leq x \leq 15$ et que le volume de la boîte, en $\text{cm}^3$, vaut $V(x) = x(30 - 2x)^2$.
2. Montre que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$.
3. Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Donne ce volume.
Correction :
1. Le fond est un carré de côté $30 - 2x$ (on retire $x$ à chaque bout) et la hauteur vaut $x$. Une longueur est positive : $x \geq 0$ et $30 - 2x \geq 0$, soit $x \leq 15$. D'où $V(x) = x(30 - 2x)^2$.
2. En développant, $V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$, donc $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)$. Les nombres $5$ et $15$ ont pour somme $20$ et pour produit $75$ : ce sont les racines, et $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$.
3. Sur $[0\,;\,15]$, $x - 15 \leq 0$ : $V'(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,5]$ et $V'(x) \leq 0$ sur $[5\,;\,15]$. $V$ croît puis décroît.
Volume maximal : $V(5) = 5 \times 20^2 = 2\,000~\text{cm}^3$, avec des carrés de $5~\text{cm}$ de côté.
Exercice 10 : Soit $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$, où $a$ et $b$ sont deux réels. La courbe de $f$ admet une tangente horizontale aux points d'abscisses $1$ et $3$.
1. Détermine $a$ et $b$.
2. Vérifie que $f$ admet bien un extremum en $1$ et en $3$, puis donne leur nature et leur valeur.
Correction :
1. Une tangente horizontale signifie un nombre dérivé nul. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$, donc $f'(1) = 0$ donne $3 + 2a + b = 0$ et $f'(3) = 0$ donne $27 + 6a + b = 0$.
En soustrayant : $24 + 4a = 0$, d'où $a = -6$, puis $b = -3 - 2a = 9$. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.
2. $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ : positif hors de $[1\,;\,3]$, négatif entre $1$ et $3$. $f'$ change donc de signe en $1$ et en $3$.
Maximum local : $f(1) = 4$. Minimum local : $f(3) = 0$. Cette vérification est obligatoire : l'exercice 4 montre qu'une tangente horizontale ne suffit pas.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : ton tableau de variations part toujours du signe de $f'$, jamais de celui de $f$. Factorise $f'(x)$ : un facteur toujours positif, comme $\mathrm{e}^x$, un carré ou $\sqrt{x}$, se met de côté et le signe se lit sur le reste. Enfin, la valeur d'un extremum se calcule avec $f$, jamais avec $f'$.
Ces exercices restent dans le programme de spécialité de première, publié au Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026 et appliqué depuis la rentrée 2026.
Sources
Programme de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, partie « Analyse ».