Niveau : Moyen — Durée estimée : 60 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Un polynôme du second degré s'écrit sous la forme développée $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Pour étudier ses variations ou ses racines, on utilise souvent la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\alpha = -b/(2a)$ et $\beta = f(\alpha)$. Cette forme permet d'identifier immédiatement le sommet de la parabole.
Pour trouver les racines de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes. Si $\Delta = 0$, il y a une racine double $x_0 = -b/(2a)$. Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racine réelle dans l'ensemble des réels.
Le signe du polynôme dépend du signe de $a$ et de l'existence des racines. Entre les racines (si elles existent), le polynôme est du signe opposé de $a$. À l'extérieur des racines, il est du signe de $a$. Si aucune racine n'existe, le polynôme est toujours du signe de $a$.
Formule : $\Delta = b^2 - 4ac$ ; $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $\alpha = -\frac{b}{2a}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Détermine la forme canonique de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$ en identifiant les coefficients $a$, $b$ et $c$.
Correction :
On identifie $a = 1$, $b = -6$ et $c = 5$.
1. Calcul de $\alpha$ : $\alpha = -b/(2a) = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3$.
2. Calcul de $\beta$ : $\beta = f(\alpha) = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
3. On remplace dans la formule $a(x - \alpha)^2 + \beta$. On obtient $f(x) = 1(x - 3)^2 - 4$.
La forme canonique est $f(x) = (x - 3)^2 - 4$.
Exercice 2 : Calcule le discriminant $\Delta$ et détermine le nombre de racines de $g(x) = 2x^2 + 4x + 2$.
Correction :
Ici $a = 2$, $b = 4$ et $c = 2$.
On applique la formule $\Delta = b^2 - 4ac$.
$\Delta = 4^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0$.
Puisque $\Delta = 0$, la fonction $g$ possède une seule racine réelle double.
Exercice 3 : Trouve les racines de $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Correction :
Coefficients : $a=1, b=-5, c=6$.
$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$.
$\Delta > 0$, il y a deux racines :
$x_1 = (5 - \sqrt{1}) / 2 = 4 / 2 = 2$.
$x_2 = (5 + \sqrt{1}) / 2 = 6 / 2 = 3$.
Les racines sont 2 et 3.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Dresse le tableau de signe de $f(x) = -x^2 + 3x + 4$.
Correction :
1. On cherche les racines : $\Delta = 3^2 - 4(-1)(4) = 9 + 16 = 25$.
Racines : $x_1 = (-3 - 5) / (-2) = 4$ et $x_2 = (-3 + 5) / (-2) = -1$.
2. Signe de $a$ : $a = -1$, donc $a < 0$. La parabole est tournée vers le bas.
3. Règle du signe : Le polynôme est du signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ (positif) entre les racines.
$f(x) \leq 0$ sur $]-\infty ; -1] \cup [4 ; +\infty[$ et $f(x) \geq 0$ sur $[-1 ; 4]$.
Exercice 5 : Résous l'inéquation $3x^2 - 2x + 1 > 0$.
Correction :
Calcul du discriminant : $\Delta = (-2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$.
$\Delta < 0$, il n'y a pas de racine réelle. Le polynôme ne s'annule jamais.
Comme $a = 3$ ($a > 0$), le polynôme est toujours positif pour tout $x$ réel.
L'ensemble des solutions est $S = \mathbb{R}$.
Exercice 6 : Détermine l'expression d'une fonction du second degré dont le sommet est $S(2 ; -1)$ et qui passe par le point $A(0 ; 3)$.
Correction :
On utilise la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$. Ici $\alpha = 2$ et $\beta = -1$.
$f(x) = a(x - 2)^2 - 1$.
On utilise le point $A(0 ; 3)$ pour trouver $a$ : $f(0) = 3$.
$a(0 - 2)^2 - 1 = 3 \Rightarrow 4a - 1 = 3 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
L'expression est $f(x) = (x - 2)^2 - 1$.
Exercice 7 : Factorise, si possible, le polynôme $P(x) = 2x^2 - 7x + 3$.
Correction :
On cherche les racines : $\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$.
$\sqrt{\Delta} = 5$. Racines : $x_1 = (7-5)/4 = 0,5$ et $x_2 = (7+5)/4 = 3$.
La formule de factorisation est $a(x - x_1)(x - x_2)$.
$P(x) = 2(x - 0,5)(x - 3)$ (ou $(2x - 1)(x - 3)$).
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Détermine les valeurs du réel $m$ pour lesquelles l'équation $x^2 + mx + 4 = 0$ possède exactement une solution réelle.
Correction :
L'équation possèd'une seule solution si et seulement si son discriminant est nul.
$\Delta = m^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16$.
On résout $m^2 - 16 = 0 \Rightarrow m^2 = 16$.
Les valeurs possibles pour $m$ sont $m = 4$ ou $m = -4$.
Exercice 9 : Un rectangle a un périmètre de 20 cm. On souhaite que son aire soit de 24 cm². Détermine les dimensions de ce rectangle en utilisant une équation du second degré.
Correction :
Soit $L$ la longueur et $l$ la largeur. Demi-périmètre $L + l = 10$, donc $l = 10 - L$.
Aire $L \times l = 24 \Rightarrow L(10 - L) = 24$.
$-L^2 + 10L - 24 = 0$ ou $L^2 - 10L + 24 = 0$.
$\Delta = (-10)^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4$.
$L_1 = (10 - 2) / 2 = 4$ et $L_2 = (10 + 2) / 2 = 6$.
Les dimensions sont 6 cm et 4 cm.
Exercice 10 : Étudie, selon les valeurs de $x$, la position relative de la parabole d'équation $y = x^2 + 2x + 1$ et de la droite d'équation $y = 3x + 3$.
Correction :
On étudie le signe de la différence $d(x) = (x^2 + 2x + 1) - (3x + 3) = x^2 - x - 2$.
$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.
Racines : $x_1 = (1-3)/2 = -1$ et $x_2 = (1+3)/2 = 2$.
Sur $]-1 ; 2[$, $d(x) < 0$, donc la parabole est en dessous de la droite.
Sur $]-\infty ; -1[ \cup ]2 ; +\infty[$, $d(x) > 0$, la parabole est au-dessus de la droite.
Elles se coupent aux points d'abscisses -1 et 2.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Pour réussir, identifie toujours tes coefficients $a, b, c$ avec leurs signes. N'oublie pas que la forme canonique donne le sommet et que le signe de $a$ indique l'orientation de la courbe. Entraîne-toi à résoudre des inéquations, c'est le piège classique des examens.
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