Niveau : moyen. Première, spécialité mathématiques. Durée estimée : 60 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Un polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, s'écrit de trois façons, et chacune répond vite à une question précise. La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ donne le sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$ de sa courbe, une parabole : c'est son point le plus bas ou le plus haut. La forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$, quand elle existe, donne les racines, c'est-à-dire les valeurs de $x$ qui annulent $f$, et le signe. La forme développée sert aux calculs directs, comme $f(0)=c$.
Exemple : pour $f(x)=x^2+2x-8=(x+1)^2-9=(x-2)(x+4)$, le sommet est $S(-1\,;\,-9)$, les racines sont $2$ et $-4$, et $f(0)=-8$.
Pour obtenir la forme canonique, complète le carré avec l'identité ci-dessous ; dans le cas général, $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Pour factoriser, teste d'abord une racine évidente, un petit entier comme $1$ ou $-1$ que tu essaies de tête : le produit des racines donne alors l'autre. Sinon, le discriminant $\Delta$ fait le travail, comme pour résoudre une équation : deux racines s'il est positif, une seule (dite double) s'il est nul, aucune s'il est négatif.
Le signe se lit sur la forme factorisée : $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Avec deux racines rangées dans l'ordre, $x_1<x_2$, le tableau de signes est toujours celui-ci.
| $x$ | $x<x_1$ | $x_1$ | $x_1<x<x_2$ | $x_2$ | $x>x_2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | signe de $a$ | $0$ | signe contraire | $0$ | signe de $a$ |
Sans racine, $f(x)$ garde le signe de $a$ partout. Avec une racine double, il garde ce signe et ne s'annule qu'en cette racine.
Formules à retenir :
- Complétion du carré : $x^2+2kx=(x+k)^2-k^2$
- Sommet : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$
- Discriminant : $\Delta=b^2-4ac$ ; si $\Delta>0$, $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
- Somme et produit des racines : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
Piège classique : le signe moins fait partie de la forme canonique. Avec $(x+3)^2$, on lit $x+3=x-(-3)$, donc $\alpha=-3$, et non $3$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3(x+4)^2+7$. Donne les coordonnées du sommet de sa parabole, puis dis si $f$ admet un minimum ou un maximum, et sa valeur.
Correction :
On lit la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a=-3$ : $x+4=x-(-4)$, donc $\alpha=-4$ et $\beta=7$.
Comme $-3(x+4)^2\leq0$, on a $f(x)\leq7$ pour tout $x$ : la parabole est tournée vers le bas.
$S(-4\,;\,7)$ ; $f$ admet un maximum égal à $7$, atteint en $x=-4$.
Exercice 2 : Soit $g(x)=-2(x-1)(x+3)$. Sans développer ni calculer $\Delta$, donne les racines de $g$, puis le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
Correction :
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x-1=0$ ou $x+3=0$. Les racines sont $1$ et $-3$.
Ici $a=-2<0$ : $g(x)$ est négatif à l'extérieur des racines, positif entre elles. Contrôle : $g(0)=-2\times(-1)\times3=6>0$, et $0$ est bien entre $-3$ et $1$.
$g(x)>0$ sur $]-3\,;\,1[$, $g(x)<0$ sur $]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$, et $g$ s'annule en $-3$ et en $1$.
Exercice 3 : Soit $h(x)=x^2-10x+21$. Écris $h(x)$ sous forme canonique en complétant le carré, puis déduis-en une forme factorisée sans calculer $\Delta$.
Correction :
Ici $2k=-10$, soit $k=-5$ : $x^2-10x=(x-5)^2-25$, donc $h(x)=(x-5)^2-25+21=(x-5)^2-4$.
Comme $4=2^2$, on reconnaît $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ avec $A=x-5$ et $B=2$ : $h(x)=(x-5-2)(x-5+2)$.
$h(x)=(x-5)^2-4=(x-7)(x-3)$. En développant $(x-7)(x-3)$, tu retrouves bien $x^2-10x+21$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $p(x)=3x^2+4x-7$. Vérifie que $1$ est une racine de $p$, trouve l'autre racine à l'aide du produit des racines, puis factorise $p(x)$.
Correction :
$p(1)=3+4-7=0$, donc $1$ est racine.
Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a}=-\dfrac{7}{3}$. Avec $x_1=1$, on obtient $x_2=-\dfrac{7}{3}$.
Donc $p(x)=3(x-1)\left(x+\dfrac{7}{3}\right)$, et $3\left(x+\dfrac{7}{3}\right)=3x+7$.
$p(x)=(x-1)(3x+7)$. L'erreur à éviter : écrire $(x-1)\left(x+\dfrac{7}{3}\right)$ en oubliant le coefficient $a=3$.
Exercice 5 : Détermine la fonction polynôme du second degré $f$ qui s'annule en $-1$ et en $5$ et qui vérifie $f(0)=10$. Donne-la sous forme développée.
Correction :
Une fonction du second degré qui s'annule en $-1$ et en $5$ s'écrit $f(x)=a(x+1)(x-5)$, avec $a\neq0$ à trouver.
$f(0)=a\times1\times(-5)=-5a$, et $-5a=10$ donne $a=-2$.
$f(x)=-2(x+1)(x-5)=-2(x^2-4x-5)$.
$f(x)=-2x^2+8x+10$.
Exercice 6 : Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x^2+x+6\geq0$.
Correction :
On cherche les racines, puis on applique la règle du signe.
$\Delta=1^2-4\times(-2)\times6=1+48=49$, donc $\sqrt{\Delta}=7$.
Les racines sont $\dfrac{-1-7}{-4}=2$ et $\dfrac{-1+7}{-4}=-\dfrac{3}{2}$.
Comme $a=-2<0$, le polynôme est positif entre les racines. Les bornes sont comprises, car $\geq$ accepte l'égalité.
$S=\left[-\dfrac{3}{2}\,;\,2\right]$.
Exercice 7 : Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $4x^2-12x+9>0$.
Correction :
$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=144-144=0$ : une racine double, $x_0=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$.
D'ailleurs $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$ : un carré, positif partout et nul seulement en $\dfrac{3}{2}$.
L'inégalité est stricte, donc on retire la valeur qui annule le polynôme.
$S=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$. Répondre $S=\mathbb{R}$ est l'erreur à éviter.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Avec $40\text{ m}$ de grillage, on ferme un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, les trois autres sont en grillage. On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur, avec $0<x<20$. Exprime l'aire $A(x)$ de l'enclos, écris-la sous forme canonique, puis donne les dimensions qui rendent l'aire maximale et cette aire.
Correction :
Le côté parallèle au mur mesure $40-2x$ mètres, donc $A(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$.
$A(x)=-2(x^2-20x)=-2\left[(x-10)^2-100\right]=-2(x-10)^2+200$.
Comme $-2(x-10)^2\leq0$, l'aire vaut au plus $200\text{ m}^2$, valeur atteinte pour $x=10$, qui est bien entre $0$ et $20$.
Côtés perpendiculaires au mur : $10\text{ m}$ ; côté parallèle : $20\text{ m}$ ; aire maximale : $200\text{ m}^2$.
Exercice 9 : Étudie la position relative de la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2+3x-1$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x+1$, puis donne les coordonnées de leurs points d'intersection.
Correction :
On étudie le signe de la différence $d(x)=(x^2+3x-1)-(2x+1)=x^2+x-2$.
$1$ est une racine évidente : $1+1-2=0$. Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a}=-2$, donc l'autre racine est $-2$ et $d(x)=(x-1)(x+2)$.
Comme $a=1>0$, $d(x)<0$ entre $-2$ et $1$, et $d(x)>0$ à l'extérieur. Pour les ordonnées, on remplace dans $y=2x+1$.
$\mathcal{P}$ est sous $\mathcal{D}$ sur $]-2\,;\,1[$ et au-dessus sur $]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[$ ; elles se coupent en $(-2\,;\,-3)$ et $(1\,;\,3)$.
Exercice 10 : Soit $f(x)=2x^2-8x+6$.
1. Vérifie que $f(x)=2(x-2)^2-2$ et que $f(x)=2(x-1)(x-3)$.
2. En choisissant chaque fois la forme la plus adaptée, détermine le minimum de $f$, puis résous $f(x)=6$, puis $f(x)<0$.
Correction :
1. $2(x-2)^2-2=2(x^2-4x+4)-2=2x^2-8x+6$ et $2(x-1)(x-3)=2(x^2-4x+3)=2x^2-8x+6$.
2. La forme canonique donne le sommet, de coordonnées $(2\,;\,-2)$, avec $a=2>0$ : le minimum vaut $-2$, atteint en $x=2$.
Pour $f(x)=6$, la forme développée fait disparaître la constante : $f(x)=6\iff2x^2-8x=0\iff2x(x-4)=0$, donc $S=\{0\,;\,4\}$.
Pour $f(x)<0$, la forme factorisée donne le signe : avec $a>0$, $f(x)$ est négatif strictement entre les racines, donc $S=]1\,;\,3[$.
Bilan et conseils
Avant de calculer, regarde ce qu'on te demande. Un sommet, un minimum ou un maximum appelle la forme canonique. Un signe ou une inéquation appelle la forme factorisée. Une valeur comme $f(0)$, ou une équation $f(x)=c$, se règle souvent sur la forme développée.
Et contrôle chaque factorisation en la redéveloppant : dix secondes qui évitent une erreur de signe.
Ce qu'il faut retenir : lis $\alpha$ avec son signe, garde le coefficient $a$ devant la forme factorisée, et dans une inéquation stricte, retire les racines de l'ensemble des solutions.
Ces exercices visent un élève de première qui suit la spécialité mathématiques, dont le programme est fixé par l'arrêté du 26 février 2026, en application à la rentrée 2026-2027.
Sources
- Arrêté du 26 février 2026 fixant le programme d'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale, Légifrance.