Niveau : Moyen — Durée estimée : 65 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $P(X=x_i)$. L'espérance $E(X)$ représente la moyenne que l'on peut attendre sur un grand nombre d'expériences.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès ($p$) et échec ($q = 1-p$). Si on répète $n$ fois cette épreuve de manière indépendante, la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
Le calcul des probabilités binomiales repose sur les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$, qui représentent le nombre de chemins menant à $k$ succès dans un arbre de $n$ répétitions. La formule générale est $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.
Formule : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ ; $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Un jeu consiste à lancer un dé. Tu gagnes 5€ si tu fais 6, tu perds 2€ sinon. Soit $X$ le gain. Donne la loi de probabilité de $X$.
Correction :
Les valeurs possibles de $X$ sont $\{5 ; -2\}$.
$P(X=5) = 1/6$ (une seule face 6).
$P(X=-2) = 5/6$ (les cinq autres faces).
La loi est : $X=5$ avec $p=1/6$ et $X=-2$ avec $p=5/6$.
Exercice 2 : Calcule l'espérance du jeu de l'exercice 1. Est-il favorable au joueur ?
Correction :
$E(X) = 5 \times (1/6) + (-2) \times (5/6) = 5/6 - 10/6 = -5/6 \approx -0,83€$.
L'espérance est négative, le jeu est donc défavorable au joueur.
Exercice 3 : On lance 3 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de "Pile". Quelle est la loi suivie par $X$ ? Précise ses paramètres.
Correction :
On répète 3 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli (Pile ou Face) avec $p=0,5$.
$X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3 ; 0,5)$.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Avec $X \sim \mathcal{B}(4 ; 0,3)$, calcule $P(X=2)$.
Correction :
On applique la formule : $P(X=2) = \binom{4}{2} \times 0,3^2 \times 0,7^{4-2}$.
$\binom{4}{2} = 6$.
$P(X=2) = 6 \times 0,09 \times 0,49 = 0,54 \times 0,49 = 0,2646$.
La probabilité est 0,2646.
Exercice 5 : Dans une urne, il y a 2 boules rouges et 8 boules noires. On tire 5 boules avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 1 boule rouge ?
Correction :
$X$ suit $\mathcal{B}(5 ; 0,2)$ car $p = 2/10 = 0,2$.
$P(X=1) = \binom{5}{1} \times 0,2^1 \times 0,8^4 = 5 \times 0,2 \times 0,4096 = 0,4096$.
La probabilité est 0,4096.
Exercice 6 : Soit $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0,5)$. Calcule son espérance et son écart-type.
Correction :
Espérance : $E(X) = n \times p = 10 \times 0,5 = 5$.
Variance : $V(X) = n \times p \times (1-p) = 10 \times 0,5 \times 0,5 = 2,5$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{2,5} \approx 1,58$.
$E(X) = 5$ et $\sigma(X) \approx 1,58$.
Exercice 7 : Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$, que vaut $P(X \geq 1)$ en fonction de $n$ et $p$ ?
Correction :
L'événement contraire de "au moins un succès" est "zéro succès" ($X=0$).
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
$P(X=0) = \binom{n}{0} p^0 (1-p)^n = (1-p)^n$.
Donc $P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Une machine produit 5% de pièces défectueuses. On contrôle un lot de 50 pièces. Quelle est la probabilité qu'il y ait au plus 1 pièce défectueuse ?
Correction :
$X \sim \mathcal{B}(50 ; 0,05)$. On cherche $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = 0,95^{50} \approx 0,0769$.
$P(X=1) = 50 \times 0,05 \times 0,95^{49} \approx 0,2025$.
$P(X \leq 1) \approx 0,0769 + 0,2025 = 0,2794$.
La probabilité est environ 0,2794.
Exercice 9 : On lance un dé jusqu'à obtenir un 6. Est-ce une loi binomiale ? Justifie.
Correction :
Non, ce n'est pas une loi binomiale. Dans une loi binomiale, le nombre de répétitions $n$ est fixé à l'avance.
Ici, le nombre de lancers est une variable. C'est ce qu'on appelle une loi géométrique.
Exercice 10 : Un archer a une probabilité 0,8 de toucher une cible. Combien de flèches doit-il tirer au minimum pour que la probabilité de toucher la cible au moins une fois soit supérieure à 0,99 ?
Correction :
On cherche $n$ tel que $P(X \geq 1) > 0,99$.
$1 - 0,2^n > 0,99 \Rightarrow 0,01 > 0,2^n$.
On teste les valeurs de $n$ :
$0,2^2 = 0,04$ ; $0,2^3 = 0,008$.
Dès $n=3$, la condition est remplie ($0,008 < 0,01$).
Il doit tirer au moins 3 flèches.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : La clé des probabilités est l'identification du modèle. Si tu as des répétitions indépendantes avec deux issues, c'est du binomial. Pour les calculs complexes de type "au moins", passe toujours par l'événement contraire pour simplifier ton travail.
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