Niveau : moyen. Terminale, spécialité mathématiques. Durée estimée : 60 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Devant un exercice de probabilités, reconnais d'abord le modèle, puis applique sa formule. Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience ; sa loi donne la probabilité de chaque valeur, et ces probabilités ont pour somme $1$. Son espérance $E(X)$ est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : un ticket qui rapporte 10 € avec la probabilité $0{,}1$, et rien sinon, a pour espérance $10\times0{,}1+0\times0{,}9=1$, soit 1 € rapporté en moyenne par ticket sur un grand nombre de tickets. La variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ mesurent la dispersion des valeurs autour de $E(X)$.
Dans un arbre pondéré, chaque branche porte une probabilité, et $P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». Tu multiplies les probabilités le long d'un chemin, puis tu additionnes les chemins qui mènent au même événement : c'est la formule des probabilités totales. Une épreuve à deux issues, succès de probabilité $p$ ou échec, s'appelle une épreuve de Bernoulli. Si tu la répètes $n$ fois de façon indépendante (les résultats ne s'influencent pas), le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$, lu « $k$ parmi $n$ », compte les chemins de l'arbre qui contiennent exactement $k$ succès ; ta calculatrice le donne.
Formules à retenir :
- Espérance : $E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\dots+x_mP(X=x_m)$
- Arbre : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ et $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
- Probabilités totales : $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$
- Événement contraire ($\overline{A}$ : « $A$ ne se réalise pas ») : $P(\overline{A})=1-P(A)$
- Loi binomiale : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
- Si $X$ suit $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
Piège classique : « exactement $k$ succès » ne correspond pas à un seul chemin de l'arbre. Le produit $p^k(1-p)^{n-k}$ donne la probabilité d'un seul chemin ; il faut le multiplier par $\binom{n}{k}$, le nombre de chemins qui mènent à $k$ succès.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Tu lances un dé équilibré à six faces. Tu gagnes 5 € si tu obtiens 6, sinon tu perds 2 €. On note $X$ ton gain en euros, une perte comptant en négatif. Donne la loi de probabilité de $X$.
Correction :
Le dé est équilibré, donc chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$. $X$ vaut $5$ pour une seule face et $-2$ pour les cinq autres.
$P(X=5)=\frac{1}{6}$ et $P(X=-2)=\frac{5}{6}$. Contrôle : $\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$.
Exercice 2 : Calcule l'espérance du gain $X$ de l'exercice 1. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
Correction :
On applique la formule de l'espérance à la loi trouvée à l'exercice 1 :
$E(X)=5\times\frac{1}{6}+(-2)\times\frac{5}{6}=\frac{5-10}{6}=-\frac{5}{6}\approx-0{,}83$.
$E(X)\approx-0{,}83$ €. L'espérance est négative, donc le jeu est défavorable au joueur : sur un grand nombre de parties, il perd en moyenne environ 83 centimes par partie.
Exercice 3 : On lance trois fois une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de Pile obtenus. a) À l'aide d'un arbre, donne la loi de $X$. b) Quelle loi reconnais-tu ? Précise ses paramètres.
Correction :
a) L'arbre compte $2^3=8$ chemins, chacun de probabilité $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$. En notant P pour Pile et F pour Face, un chemin ne contient aucun Pile (FFF), trois en contiennent un (PFF, FPF, FFP), trois en contiennent deux et un seul en contient trois (PPP).
$P(X=0)=\frac{1}{8}$, $P(X=1)=\frac{3}{8}$, $P(X=2)=\frac{3}{8}$, $P(X=3)=\frac{1}{8}$.
b) On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=0{,}5$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;\,0{,}5)$. Le 3 de $P(X=1)=\frac{3}{8}$ est le nombre de chemins : $\binom{3}{1}=3$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Dans un club de sport (données fictives), 30 % des adhérents pratiquent la natation, les autres le tennis. Parmi les nageurs, 60 % viennent le week-end ; parmi les joueurs de tennis, 20 %. On choisit un adhérent au hasard et on note $N$ l'événement « il pratique la natation », $W$ l'événement « il vient le week-end ». a) Calcule $P(W)$. b) L'adhérent choisi vient le week-end : calcule la probabilité qu'il pratique la natation.
Correction :
On construit l'arbre : $P(N)=0{,}3$, $P_N(W)=0{,}6$, $P(\overline{N})=0{,}7$ et $P_{\overline{N}}(W)=0{,}2$.
a) Par la formule des probabilités totales, $P(W)=0{,}3\times0{,}6+0{,}7\times0{,}2=0{,}18+0{,}14$, donc $P(W)=0{,}32$.
b) $P_W(N)=\dfrac{P(N\cap W)}{P(W)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}32}$, donc $P_W(N)=0{,}5625$.
Ne confonds pas $P_W(N)$ avec $P_N(W)=0{,}6$, lue sur l'arbre : ce n'est pas la même question.
Exercice 5 : Une urne contient 2 boules rouges et 8 boules noires. On tire 5 boules, une par une, avec remise, et on note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. Calcule la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge.
Correction :
Avec remise, les 5 tirages sont identiques et indépendants, avec une probabilité de succès $p=\frac{2}{10}=0{,}2$ : $X$ suit $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$.
$P(X=1)=\binom{5}{1}\times0{,}2^1\times0{,}8^4=5\times0{,}2\times0{,}4096$, donc $P(X=1)=0{,}4096$.
Le calcul $0{,}2\times0{,}8^4\approx0{,}082$ ne compte qu'un chemin, celui où la boule rouge sort en premier ; or elle peut sortir à n'importe lequel des 5 tirages.
Exercice 6 : Un élève répond au hasard aux 10 questions d'un QCM ; chaque question a deux réponses possibles, dont une seule est juste. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit la loi $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5)$. Calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$, puis interprète $E(X)$.
Correction :
On applique les formules de la loi binomiale avec $n=10$ et $p=0{,}5$ :
$E(X)=10\times0{,}5=5$ ; $V(X)=10\times0{,}5\times0{,}5=2{,}5$ ; $\sigma(X)=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}58$.
$E(X)=5$, $V(X)=2{,}5$ et $\sigma(X)\approx1{,}58$. En répondant au hasard, un élève obtient en moyenne 5 bonnes réponses sur 10.
Exercice 7 : Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. Exprime $P(X\geq1)$ en fonction de $n$ et de $p$.
Correction :
L'événement « au moins un succès » a pour contraire « aucun succès », c'est-à-dire $X=0$.
$P(X=0)=\binom{n}{0}p^0(1-p)^n=(1-p)^n$, car $\binom{n}{0}=1$ et $p^0=1$.
Donc $P(X\geq1)=1-(1-p)^n$. Additionner $P(X=1)+\dots+P(X=n)$ mènerait au même résultat, en beaucoup plus long.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Une machine produit 5 % de pièces défectueuses. On prélève un lot de 50 pièces ; la production est assez grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot. a) Calcule la probabilité qu'il y ait au plus une pièce défectueuse. b) Déduis-en la probabilité qu'il y en ait au moins deux. Arrondis à $10^{-4}$.
Correction :
Le prélèvement revient à 50 épreuves de Bernoulli indépendantes, le succès étant « pièce défectueuse », avec $p=0{,}05$ : $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}05)$.
a) $P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}95^{50}+50\times0{,}05\times0{,}95^{49}\approx0{,}0769+0{,}2025$, donc $P(X\leq1)\approx0{,}2794$.
b) « Au moins deux » est le contraire de « au plus une », donc $P(X\geq2)=1-P(X\leq1)\approx0{,}7206$.
Garde les valeurs exactes dans ta calculatrice et n'arrondis qu'à la fin.
Exercice 9 : On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6, et on note $N$ le nombre de lancers effectués. a) $N$ suit-elle une loi binomiale ? Justifie. b) Calcule $P(N=3)$.
Correction :
a) Non. Une loi binomiale compte les succès sur un nombre de répétitions fixé à l'avance ; ici, le nombre de lancers n'est pas fixé, c'est justement lui qu'on mesure. Sa loi s'appelle loi géométrique ; le programme de terminale ne la propose qu'en approfondissement facultatif.
b) $N=3$ correspond à un seul chemin : pas de 6, pas de 6, puis 6. Les lancers sont indépendants, donc $P(N=3)=\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{25}{216}$.
$P(N=3)=\frac{25}{216}\approx0{,}1157$.
Exercice 10 : Un archer touche la cible avec la probabilité $0{,}8$ à chaque tir, et ses tirs sont indépendants. Combien de flèches doit-il tirer, au minimum, pour que la probabilité de toucher la cible au moins une fois dépasse $0{,}99$ ? Justifie par le calcul.
Correction :
Sur $n$ tirs, le nombre $X$ de tirs réussis suit $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}8)$, et l'exercice 7 donne $P(X\geq1)=1-0{,}2^n$.
On résout $1-0{,}2^n>0{,}99$, c'est-à-dire $0{,}2^n<0{,}01$. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $\ln(0{,}2^n)<\ln(0{,}01)$, soit $n\ln(0{,}2)<\ln(0{,}01)$. Comme $\ln(0{,}2)<0$, diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité : $n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}2)}\approx2{,}86$.
Contrôle : $0{,}2^2=0{,}04$ ne convient pas, $0{,}2^3=0{,}008$ convient. L'archer doit tirer au moins 3 flèches.
Si tu oublies de retourner l'inégalité, tu obtiens $n<2{,}86$, ce qui n'a pas de sens ici.
Bilan et conseils
Avant de calculer, nomme le modèle et écris-le sur ta copie, par exemple « $X$ suit $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}05)$ » : c'est ce qui justifie la formule que tu appliques. Pour une loi binomiale, vérifie que le nombre de répétitions est fixé d'avance et que les répétitions sont indépendantes ; l'exercice 9 montre ce qui se passe sinon.
Ce qu'il faut retenir : « exactement $k$ succès » demande le coefficient $\binom{n}{k}$, « au moins un » passe par l'événement contraire, et $P_A(B)$ n'est pas $P_B(A)$.
La loi binomiale, avec son espérance et sa variance, figure au programme de spécialité mathématiques de terminale fixé par l'arrêté du 19 juillet 2019 ; un nouveau programme de terminale s'applique à partir de la rentrée 2027-2028 (arrêté du 26 février 2026).
Sources
Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, annexe de l'arrêté du 19 juillet 2019 : eduscol.
Arrêté du 26 février 2026 fixant le programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale : Légifrance.