Niveau : de la première à la terminale. Durée estimée : 90 min. 10 exercices avec corrections détaillées : les exercices 1 à 6 suivent le programme de spécialité de première, les exercices 7 à 10 celui de terminale.
Rappel des notions clés
Face à une suite $(u_n)$, calcule d'abord $u_{n+1} - u_n$. Si ce nombre ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison $r$ ; s'il est toujours positif, elle est croissante, toujours négatif, décroissante. Exemple : pour $u_n = 5n + 2$, $u_{n+1} - u_n = 5(n+1) + 2 - (5n + 2) = 5$, donc la suite est arithmétique de raison $5$, et croissante. Une suite est géométrique quand chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre $q$, sa raison : augmenter de 3 % revient à multiplier par $1,03$.
En terminale, on cherche aussi la limite, le nombre dont $u_n$ se rapproche quand $n$ devient très grand ; une suite qui a une limite finie est dite convergente. Pour une fraction, factorise en haut et en bas par le terme de plus haut degré. Pour une suite coincée entre deux suites de même limite, le théorème des gendarmes lui donne cette limite. Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout $n$, raisonne par récurrence : vérifie-la au premier rang (initialisation), montre que si elle est vraie à un rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ (hérédité), puis conclus.
Formules à retenir :
- Arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_n = u_0 + nr$.
- Géométrique de raison $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$ et $u_n = u_0 \times q^n$.
- Sommes : $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ et, si $q \neq 1$, $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
- Terminale : si $-1 < q < 1$, alors $q^n \to 0$ ; si $q > 1$, alors $q^n \to +\infty$.
- Terminale : une suite croissante et majorée (tous ses termes sont inférieurs ou égaux à un même nombre) converge.
Piège classique : de $u_0$ à $u_n$, il y a $n + 1$ termes, pas $n$. C'est pour cela que la somme $1 + q + \dots + q^n$ fait apparaître $q^{n+1}$. Avant d'appliquer une formule de somme, compte les termes.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 3n - 2$. Calcule $u_0$, $u_{10}$ et $u_{100}$, puis montre que la suite est arithmétique.
Correction :
La formule est explicite : on remplace $n$ par sa valeur. $u_0 = 3 \times 0 - 2 = -2$, $u_{10} = 30 - 2 = 28$ et $u_{100} = 300 - 2 = 298$.
Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 2 - (3n - 2) = 3$, un nombre qui ne dépend pas de $n$.
$u_0 = -2$, $u_{10} = 28$, $u_{100} = 298$ ; la suite est arithmétique de raison $3$.
Exercice 2 : La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$. Calcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$. La suite est-elle arithmétique ? Justifie.
Correction :
Chaque terme se calcule à partir du précédent, avec la valeur de $n$ du terme de départ. $u_1 = u_0 + 2 \times 0 + 1 = 3$, $u_2 = u_1 + 2 \times 1 + 1 = 6$ et $u_3 = u_2 + 2 \times 2 + 1 = 11$.
Or $u_1 - u_0 = 1$ et $u_2 - u_1 = 3$ : l'écart entre deux termes consécutifs change.
$u_1 = 3$, $u_2 = 6$, $u_3 = 11$ ; la suite n'est pas arithmétique.
Erreur à éviter : pour calculer $u_1$, on prend $n = 0$, pas $n = 1$.
Exercice 3 : La suite $(v_n)$ est arithmétique, de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $r = -3$. Exprime $v_n$ en fonction de $n$, calcule $v_{20}$, puis donne le sens de variation de la suite.
Correction :
On applique $v_n = v_0 + nr$ : $v_n = 5 - 3n$, donc $v_{20} = 5 - 60 = -55$.
Pour tout $n$, $v_{n+1} - v_n = r = -3 < 0$.
$v_n = 5 - 3n$, $v_{20} = -55$ ; la suite est strictement décroissante.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Calcule la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 1024$.
Correction :
Chaque terme est le double du précédent : ce sont les puissances de $2$, de $2^0 = 1$ à $2^{10} = 1024$. On utilise la somme $1 + q + \dots + q^n$ avec $q = 2$ et $n = 10$, soit $11$ termes.
$S = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047$.
$S = 2047$.
Erreur à éviter : compter $10$ termes donne $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 1023$, qui n'est que la somme jusqu'à $512$.
Exercice 5 : On compare deux placements fictifs de 1000 euros. Avec le placement A, le capital augmente de 50 euros chaque année. Avec le placement B, il augmente de 3 % chaque année. On note $a_n$ et $b_n$ les capitaux, en euros, au bout de $n$ années ($a_0 = b_0 = 1000$).
1. Exprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
2. Compare les deux capitaux au bout de 10 ans, arrondis au centime.
3. Avec le tableau de valeurs de ta calculatrice, détermine au bout de combien d'années le capital B dépasse pour la première fois le capital A.
Correction :
1. Ajouter 50 euros chaque année donne une suite arithmétique de raison $50$ : $a_n = 1000 + 50n$. Augmenter de 3 % revient à multiplier par $1,03$ : suite géométrique de raison $1,03$, donc $b_n = 1000 \times 1,03^n$.
2. $a_{10} = 1500$ et $b_{10} = 1000 \times 1,03^{10} \approx 1343,92$ : au bout de 10 ans, A est devant.
3. La calculatrice donne $a_{32} = 2600$ et $b_{32} \approx 2575,08$, puis $a_{33} = 2650$ et $b_{33} \approx 2652,34$.
Le capital B dépasse le capital A au bout de 33 ans.
Avec une raison plus grande que $1$ et un premier terme positif, une suite géométrique finit toujours par dépasser une suite arithmétique. Erreur à éviter : la raison de B est $1,03$, pas $0,03$ (multiplier par $0,03$ ferait fondre le capital).
Exercice 6 : Étudie le sens de variation de la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $a_n = \dfrac{n}{n+1}$.
Correction :
On étudie le signe de $a_{n+1} - a_n$ en mettant au même dénominateur :
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$.
Au numérateur, $n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n = 1$, donc $a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$, qui est strictement positif puisque $n \geqslant 0$.
La suite $(a_n)$ est strictement croissante.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Détermine la limite de la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}$.
Correction :
Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers $+\infty$ : on ne peut pas conclure directement. On factorise par $n^2$, pour $n \geqslant 1$ :
$u_n = \dfrac{n^2\left(2 + \frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{2 + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}$.
Quand $n \to +\infty$, $\dfrac{3}{n^2} \to 0$ et $\dfrac{1}{n^2} \to 0$, donc $u_n \to \dfrac{2}{1} = 2$.
La suite converge vers $2$.
Exercice 8 : Étudie la convergence de la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}$.
Correction :
$(-1)^n$ vaut $1$ ou $-1$ : on encadre, puis on applique le théorème des gendarmes.
Pour tout $n$, $-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1$. En divisant par $n + 1 > 0$, on obtient $-\dfrac{1}{n+1} \leqslant v_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
Les deux suites qui encadrent $v_n$ tendent vers $0$.
La suite $(v_n)$ converge vers $0$.
Erreur à éviter : $(-1)^n$ n'a pas de limite, mais cela ne prouve rien pour le quotient, car le dénominateur grandit sans fin.
Exercice 9 : La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.
1. Montre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
2. Déduis-en que la suite $(u_n)$ converge.
3. On admet que sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{2 + \ell}$. Calcule $\ell$.
Correction :
1. On raisonne par récurrence sur la propriété « $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ ».
Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{3} \approx 1,73$, donc $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 2$.
Hérédité : on suppose $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ pour un entier $n$. En ajoutant $2$, $2 \leqslant 2 + u_n \leqslant 2 + u_{n+1} \leqslant 4$. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $\sqrt{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 2$, et comme $\sqrt{2} \geqslant 0$, la propriété est vraie au rang $n + 1$.
Conclusion : elle est vraie pour tout entier naturel $n$.
2. Pour tout $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$ : la suite est croissante. Et $u_n \leqslant 2$ : elle est majorée par $2$. Croissante et majorée, elle converge.
3. En élevant au carré, $\ell^2 = 2 + \ell$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, c'est-à-dire $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Une racine carrée est positive, donc $\ell \geqslant 0$ et $\ell = 2$.
La suite $(u_n)$ converge vers $2$.
Erreur à éviter : c'est la question 3 qui prouve que la limite vaut $2$, pas la majoration. La suite $(a_n)$ de l'exercice 6 est croissante, majorée par $2$, et pourtant elle tend vers $1$, puisque $a_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$.
Exercice 10 : La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,5\,u_n + 3$. On pose $v_n = u_n - 6$ pour tout $n$.
1. Montre que $(v_n)$ est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
2. Exprime $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
3. Déduis-en la limite de $(u_n)$.
Correction :
1. On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0,5\,u_n - 3 = 0,5\,(u_n - 6) = 0,5\,v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,5$, de premier terme $v_0 = 1 - 6 = -5$.
2. $v_n = -5 \times 0,5^n$, donc $u_n = v_n + 6 = 6 - 5 \times 0,5^n$. Vérification : $u_1 = 6 - 2,5 = 3,5$, et on trouve bien $0,5 \times 1 + 3 = 3,5$.
3. Comme $-1 < 0,5 < 1$, $0,5^n \to 0$, donc $u_n \to 6$.
La suite $(u_n)$ converge vers $6$.
Bilan et conseils
Si les exercices 1 à 6 t'ont résisté, reviens au calcul de $u_{n+1} - u_n$ et aux deux formules du terme général : presque tout en découle. Les exercices 7 à 10 sont du niveau d'un contrôle de terminale. Refais-les quelques jours plus tard, sans regarder la correction : c'est là que tu verras ce qui est acquis.
Ce qu'il faut retenir : pour le sens de variation, étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ ; pour une somme, compte d'abord les termes. En terminale, quand une limite résiste, factorise par le terme de plus haut degré ou encadre la suite.
Sources
Ministère de l'Éducation nationale, programme de spécialité de mathématiques de première générale (partie « Suites numériques, modèles discrets »).
Bulletin officiel de l'Éducation nationale, programme de spécialité de mathématiques de terminale générale (partie « Suites »).