Niveau : Moyen — Durée estimée : 75 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels. Elle peut être définie de façon explicite ($u_n = f(n)$) ou par récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$). Pour étudier son sens de variation, on étudie généralement le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
Une suite est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que $u_{n+1} = u_n + r$. Une suite est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que $u_{n+1} = q \times u_n$. Ces suites possèdent des formules spécifiques pour le calcul du terme général et de la somme des termes.
La convergence d'une suite concerne son comportement quand $n$ tend vers l'infini. Une suite peut converger vers un réel $L$, diverger vers l'infini, ou n'avoir aucune limite. Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est nécessairement convergente.
Formules : $u_n = u_0 + nr$ (Arith.) ; $u_n = u_0 \times q^n$ (Géo.) ; $\sum q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3n - 2$. Calcule $u_0$, $u_{10}$ et $u_{100}$.
Correction :
C'est une définition explicite. On remplace $n$ par la valeur souhaitée.
$u_0 = 3(0) - 2 = -2$.
$u_{10} = 3(10) - 2 = 30 - 2 = 28$.
$u_{100} = 3(100) - 2 = 300 - 2 = 298$.
Les termes sont -2, 28 et 298.
Exercice 2 : La suite $(v_n)$ est arithmétique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $r = -3$. Exprime $v_n$ en fonction de $n$.
Correction :
On applique la formule du cours : $v_n = v_0 + n \times r$.
$v_n = 5 + n \times (-3) = 5 - 3n$.
L'expression est $v_n = 5 - 3n$.
Exercice 3 : Détermine si la suite $w_n = 2 \times 3^n$ est croissante ou décroissante.
Correction :
Calculons le rapport $w_{n+1} / w_n$ (car tous les termes sont positifs) :
$w_{n+1} / w_n = (2 \times 3^{n+1}) / (2 \times 3^n) = 3$.
Comme $3 > 1$ et $w_0 > 0$, la suite est strictement croissante.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$. Calcule $u_1, u_2, u_3$. La suite est-elle arithmétique ?
Correction :
$u_1 = u_0 + 2(0) + 1 = 2 + 1 = 3$.
$u_2 = u_1 + 2(1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6$.
$u_3 = u_2 + 2(2) + 1 = 6 + 4 + 1 = 11$.
Test de la raison : $u_1 - u_0 = 1$ alors que $u_2 - u_1 = 3$.
La différence $u_{n+1} - u_n$ n'est pas constante, donc la suite n'est pas arithmétique.
Exercice 5 : Étudie les variations de la suite $a_n = \frac{n}{n+1}$.
Correction :
Étudions le signe de $a_{n+1} - a_n$ :
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)}$.
Dénominateur : $(n+1)^2 - (n^2 + 2n) = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n = 1$.
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$. Comme $n \geq 0$, ce résultat est toujours positif.
La suite est donc strictement croissante.
Exercice 6 : Calcule la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 1024$.
Correction :
C'est une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q = 2$.
$1024 = 2^{10}$. Il y a donc 11 termes (de $2^0$ à $2^{10}$).
Formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \frac{1 - 2048}{-1} = 2047$.
La somme est 2047.
Exercice 7 : Détermine la limite de la suite $u_n = \frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}$.
Correction :
On factorise par le terme de plus haut degré :
$u_n = \frac{n^2(2 + 3/n^2)}{n^2(1 + 1/n^2)} = \frac{2 + 3/n^2}{1 + 1/n^2}$.
Quand $n \to +\infty$, $3/n^2 \to 0$ et $1/n^2 \to 0$.
La limite est donc $2/1 = 2$. La suite converge vers 2.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$. Montre par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Correction :
Initialisation : $u_0 = 1$, donc $u_0 < 2$. Vrai.
Hérédité : Supposons que $u_n < 2$. Alors $2 + u_n < 4$.
En prenant la racine (la fonction racine est croissante), on a $\sqrt{2 + u_n} < \sqrt{4}$.
D'où $u_{n+1} < 2$. L'hérédité est prouvée.
Conclusion : Par récurrence, $u_n < 2$ pour tout $n$.
Exercice 9 : Étudie la convergence de la suite $v_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$.
Correction :
On utilise le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes).
On sait que $-1 \leq (-1)^n \leq 1$.
En divisant par $n+1 > 0$, on obtient : $\frac{-1}{n+1} \leq v_n \leq \frac{1}{n+1}$.
Or $\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n+1} = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$.
D'après le théorème des gendarmes, la suite $(v_n)$ converge vers 0.
Exercice 10 : Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$. Montre que $(u_n)$ est croissante et convergente (on admet qu'elle est majorée par 2).
Correction :
1. Variation : $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)^2}$. Comme un carré est toujours positif, $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite est strictement croissante.
2. Convergence : La suite est croissante et on admet qu'elle est majorée. D'après le théorème de la limite monotone, toute suite croissante et majorée converge.
La suite est donc convergente.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Pour les suites, identifie immédiatement si elles sont arithmétiques ou géométriques. Pour les variations, le réflexe $u_{n+1}-u_n$ est indispensable. Enfin, garde en tête que la récurrence est l'outil ultime pour prouver des propriétés sur les suites définies par récurrence.
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