Niveau : Moyen — Durée estimée : 40 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Pour les fractions, l'addition et la soustraction nécessitent impérativement le même dénominateur. La multiplication s'effectue en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Concernant les puissances, les règles de calcul sont strictes : $a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}$, $(a^{n})^{m} = a^{n \times m}$, et $a^{n}/a^{m} = a^{n-m}$. Ces règles permettent de simplifier des expressions complexes rapidement.
L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme $a \times 10^{n}$ où $a$ est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu). C'est le format standard utilisé en sciences pour manipuler des nombres très grands ou très petits.
Formule : $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ ; $a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Calcule et donne le résultat sous forme de fraction simplifiée : $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{12}$.
Correction :
On doit mettre au même dénominateur. 12 est un multiple de 4 ($4 \times 3 = 12$).
$A = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} + \frac{5}{12}$.
$A = \frac{9+5}{12} = \frac{14}{12}$.
On simplifie par 2 : $A = \frac{7}{6}$.
Le résultat est 7/6.
Exercice 2 : Calcule $B = \frac{7}{5} \times \frac{10}{21}$.
Correction :
On multiplie directement : $B = \frac{7 \times 10}{5 \times 21}$.
Astuce : simplifions avant de calculer. $B = \frac{7 \times 5 \times 2}{5 \times 7 \times 3}$.
En barrant les 7 et les 5, il reste $B = 2/3$.
Le résultat simplifié est 2/3.
Exercice 3 : Écris sous la forme d'une seule puissance de 10 : $C = 10^{3} \times 10^{4} \times 10^{-2}$.
Correction :
On additionne les exposants : $C = 10^{3 + 4 + (-2)}$.
$C = 10^{7 - 2} = 10^{5}$.
Le résultat est $10^{5}$.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Calcule $D = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \div \frac{4}{7}$. N'oublie pas les priorités opératoires !
Correction :
La division est prioritaire. On multiplie par l'inverse : $\frac{2}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$.
Ensuite, on soustrait : $D = \frac{3}{5} - \frac{7}{10}$.
Mise au même dénominateur : $D = \frac{6}{10} - \frac{7}{10} = \frac{-1}{10}$.
Le résultat est -1/10.
Exercice 5 : Donne l'écriture scientifique de $E = 450 \times 10^{6}$.
Correction :
On transforme d'abord 450 en nombre entre 1 et 10 : $450 = 4,5 \times 10^{2}$.
Puis on combine : $E = 4,5 \times 10^{2} \times 10^{6} = 4,5 \times 10^{2+6}$.
L'écriture scientifique est $4,5 \times 10^{8}$.
Exercice 6 : Simplifie l'expression $F = \frac{(10^{2})^{3} \times 10^{-4}}{10^{5}}$.
Correction :
Numérateur : $(10^{2})^{3} = 10^{2 \times 3} = 10^{6}$. Puis $10^{6} \times 10^{-4} = 10^{2}$.
L'expression devient : $F = 10^{2} / 10^{5}$.
On soustrait les exposants : $F = 10^{2-5} = 10^{-3}$.
Le résultat est $10^{-3}$.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Calcule $G = \frac{7 \times 10^{15} \times 8 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}$. Donne le résultat en écriture scientifique.
Correction :
On regroupe les nombres et les puissances : $G = \frac{7 \times 8}{5} \times \frac{10^{15} \times 10^{-8}}{10^{-4}}$.
$G = \frac{56}{5} \times \frac{10^{7}}{10^{-4}} = 11,2 \times 10^{7 - (-4)} = 11,2 \times 10^{11}$.
On met en forme scientifique : $G = 1,12 \times 10^{1} \times 10^{11}$.
Le résultat est $1,12 \times 10^{12}$.
Exercice 8 : Calcule $H = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \div \left(2 - \frac{3}{4}\right)$.
Correction :
Parenthèse 1 : $2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6$.
Parenthèse 2 : $2 - 3/4 = 8/4 - 3/4 = 5/4$.
Division : $\frac{5}{6} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
Le résultat est 2/3.
Exercice 9 : Une bactérie mesure $2 \times 10^{-6}$ m. On en aligne 50 millions. Quelle longueur cela représente-t-il en mètres ?
Correction :
50 millions = $50 \times 10^{6} = 5 \times 10^{7}$.
Longueur totale = $(2 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{7})$.
$L = 2 \times 5 \times 10^{-6+7} = 10 \times 10^{1} = 100$.
La longueur totale est de 100 mètres. (Impressionnant pour des bactéries !)
Exercice 10 : Quel est le signe de $(-3)^{14} \times (-5)^{21} \times (-2)^{-4}$ ? Justifie.
Correction :
$(-3)^{14}$ est positif car l'exposant 14 est pair.
$(-5)^{21}$ est négatif car l'exposant 21 est impair.
$(-2)^{-4}$ est positif car l'exposant -4 est pair (le signe de l'exposant ne change pas le signe du résultat, seul son caractère pair/impair compte pour la base négative).
Produit d'un positif, d'un négatif et d'un positif : le résultat est négatif.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Respecte toujours les priorités opératoires (parenthèses, puis puissances, puis multiplication/division). En cas de doute sur une puissance de 10, déplace la virgule : exposant positif = vers la droite, exposant négatif = vers la gauche.
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