Niveau : moyen. Durée estimée : 45 min pour 10 exercices corrigés, rangés du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Pour additionner deux fractions, mets-les au même dénominateur, puis additionne les numérateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Pour multiplier deux fractions, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, multiplie par son inverse, c'est-à-dire la fraction retournée. Simplifie toujours jusqu'à la fraction irréductible, celle qu'on ne peut plus simplifier. Les priorités restent celles des nombres entiers : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.
Une puissance est un produit de facteurs égaux : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Un exposant négatif donne un inverse : $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01$. Pour multiplier ou diviser des puissances d'un même nombre, compte les facteurs : $10^3 \times 10^4$, c'est trois facteurs 10 suivis de quatre autres, donc $10^7$. Enfin, un nombre positif s'écrit en notation scientifique (on dit aussi écriture scientifique) sous la forme $a \times 10^n$, avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier : $4\,500 = 4,5 \times 10^3$.
Formules à retenir :
- $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$
- $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ et $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ ($b$, $c$ et $d$ non nuls)
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $a^n \times a^m = a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ et $(a^n)^m = a^{n \times m}$ ($a$ non nul)
- Un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif ; à une puissance impaire, un résultat négatif.
Piège classique : $-3^2$ et $(-3)^2$ ne sont pas égaux. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 3 : $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Avec les parenthèses, il porte sur $-3$ : $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Calcule $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{12}$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
Correction :
On met les deux fractions sur le dénominateur 12, qui est un multiple de 4 : $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$.
$A = \frac{9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{14}{12}$, puis on simplifie par 2.
$A = \frac{7}{6}$
Erreur à éviter : additionner aussi les dénominateurs. $\frac{3+5}{4+12} = \frac{8}{16}$ est faux.
Exercice 2 : Calcule $B = \frac{7}{5} \times \frac{10}{21}$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
Correction :
On décompose avant de multiplier, pour simplifier tout de suite : $B = \frac{7 \times 10}{5 \times 21} = \frac{7 \times 2 \times 5}{5 \times 3 \times 7}$.
Le 7 et le 5 sont à la fois en haut et en bas : on les barre.
$B = \frac{2}{3}$
Multiplier d'abord donne $\frac{70}{105}$ : c'est juste, mais la simplification par 35 est plus difficile à voir.
Exercice 3 : Sans calculatrice, calcule $(-3)^2$, puis $-3^2$, puis $2^{-3}$ sous forme de fraction.
Correction :
On revient à la définition de la puissance.
$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. Dans $-3^2$, l'exposant ne porte que sur 3 : $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Enfin, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(-3)^2 = 9$, $-3^2 = -9$ et $2^{-3} = \frac{1}{8}$
Erreur à éviter : croire que $2^{-3}$ est négatif. Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Calcule $C = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \div \frac{4}{7}$ en respectant les priorités opératoires. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
Correction :
La division passe avant la soustraction : $\frac{2}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{4} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$.
Puis on soustrait sur le dénominateur 10 : $C = \frac{6}{10} - \frac{7}{10}$.
$C = -\frac{1}{10}$
Erreur à éviter : calculer d'abord $\frac{3}{5} - \frac{2}{5}$. On trouve alors $\frac{7}{20}$, qui est faux.
Exercice 5 : Donne la notation scientifique de $450 \times 10^{6}$, puis celle de $0,000\,72$.
Correction :
On cherche d'abord le nombre compris entre 1 et 10, puis la puissance de 10 qui va avec.
$450 = 4,5 \times 10^2$, donc $450 \times 10^6 = 4,5 \times 10^{2+6}$.
$7,2$ est $10\,000$ fois plus grand que $0,000\,72$, donc $0,000\,72 = \frac{7,2}{10^4} = 7,2 \times 10^{-4}$.
$450 \times 10^6 = 4,5 \times 10^8$ et $0,000\,72 = 7,2 \times 10^{-4}$
Erreur à éviter : laisser $450 \times 10^6$ tel quel. Cette écriture est juste, mais ce n'est pas une notation scientifique, car $450 > 10$.
Exercice 6 : Écris $D = \frac{(10^{2})^{3} \times 10^{-4}}{10^{5}}$ sous la forme d'une seule puissance de 10, puis en écriture décimale.
Correction :
On compte les facteurs 10, de gauche à droite.
$(10^2)^3 = 10^2 \times 10^2 \times 10^2 = 10^6$, puis $10^6 \times 10^{-4} = 10^{6+(-4)} = 10^2$.
Il reste $D = \frac{10^2}{10^5} = 10^{2-5}$.
$D = 10^{-3} = 0,001$
Erreur à éviter : écrire $(10^2)^3 = 10^5$. Ici, les exposants se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Calcule $E = \frac{7 \times 10^{15} \times 8 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}$ et donne le résultat en notation scientifique.
Correction :
On sépare les nombres et les puissances de 10 : $E = \frac{7 \times 8}{5} \times \frac{10^{15} \times 10^{-8}}{10^{-4}}$.
$\frac{56}{5} = 11,2$ et $\frac{10^{7}}{10^{-4}} = 10^{7-(-4)} = 10^{11}$, donc $E = 11,2 \times 10^{11}$.
Comme $11,2 > 10$, on écrit $11,2 = 1,12 \times 10^{1}$.
$E = 1,12 \times 10^{12}$
Erreur à éviter : calculer $7 - 4$ au lieu de $7 - (-4)$ dans l'exposant.
Exercice 8 : Calcule $F = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \div \left(2 - \frac{3}{4}\right)$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
Correction :
On calcule chaque parenthèse, puis on divise en multipliant par l'inverse.
$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ et $2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.
$F = \frac{5}{6} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{6}$, après avoir barré les 5.
$F = \frac{2}{3}$
Erreur à éviter : écrire $2 - \frac{3}{4} = \frac{-1}{4}$. Le 2 doit d'abord s'écrire en quarts : $2 = \frac{8}{4}$.
Exercice 9 : Une bactérie mesure $2\ \mu\text{m}$ de long, avec $1\ \mu\text{m} = 10^{-6}\ \text{m}$ (le micromètre). On en aligne 50 millions, bout à bout. Calcule la longueur obtenue, en mètres (données fictives).
Correction :
On écrit chaque nombre avec une puissance de 10, puis on multiplie.
50 millions $= 5 \times 10^7$ et $2\ \mu\text{m} = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}$.
$L = 5 \times 10^7 \times 2 \times 10^{-6} = 10 \times 10^{1} = 10^2$.
$L = 100$ m
Erreur à éviter : écrire 50 millions $= 5 \times 10^6$. Compte les zéros : $50\,000\,000$ en a sept.
Exercice 10 : Sans faire le calcul, trouve le signe de $G = (-3)^{14} \times (-5)^{21} \times (-2)^{-4}$. Justifie ta réponse.
Correction :
On cherche le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.
$(-3)^{14}$ est positif, car 14 est pair. $(-5)^{21}$ est négatif, car 21 est impair. $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$ est positif.
Le produit contient un seul facteur négatif.
$G$ est négatif.
Erreur à éviter : croire que $(-2)^{-4}$ est négatif à cause du signe moins de l'exposant.
Bilan et conseils
Si tu as réussi les exercices 1 à 6, tes bases sont solides. Les exercices 7 à 10 sont au niveau d'un contrôle : refais le lendemain ceux qui t'ont résisté, sans regarder la correction.
Avant de rendre une copie, contrôle l'ordre de grandeur, c'est-à-dire une valeur approchée du résultat calculée de tête. Dans l'exercice 7, $7 \times 8$ fait environ 50, et $50 \div 5 = 10$ ; les exposants donnent $10^{15-8+4} = 10^{11}$. Le résultat est donc proche de $10 \times 10^{11} = 10^{12}$ : $1,12 \times 10^{12}$ est cohérent.
Ce qu'il faut retenir : avant d'additionner deux fractions, cherche un dénominateur commun. Devant une puissance, reviens à la définition et compte les facteurs. En notation scientifique, vérifie que le nombre devant $10^n$ est compris entre 1 et 10.
Conseil : sur ta copie, écris une étape par ligne en recopiant le nom du calcul ($A = \dots$). Ton professeur voit ainsi ta méthode, même si un calcul déraille.
Ces calculs suivent le programme de mathématiques du cycle 4 en vigueur en 4e et en 3e pour l'année 2026-2027, qui demande de calculer avec des fractions, avec des puissances d'exposants entiers « positifs ou négatifs » et en notation scientifique.
Sources
- Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 3 de l'arrêté du 17 juillet 2020 : texte publié au Bulletin officiel.
- Arrêté du 18 février 2026 fixant le nouveau programme du cycle 4, applicable en 4e à partir de l'année scolaire 2027-2028 et en 3e à partir de 2028-2029 : texte sur Légifrance.