Niveau : Facile / Moyen — Durée estimée : 40 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne peut pas en prédire le résultat avec certitude, mais qu'on en connaît toutes les issues possibles. La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance de se produire), la probabilité se calcule par le rapport : nombre de cas favorables / nombre de cas total. Pour les expériences à deux étapes, on utilise souvent un arbre de probabilité pour visualiser tous les chemins possibles.
La fréquence est le résultat d'une observation réelle sur un grand nombre d'essais. Plus on répète l'expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique : c'est la loi des grands nombres.
Formule : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues total}}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Correction :
Les issues possibles sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, soit 6 issues au total.
Les issues favorables (nombres pairs) sont {2 ; 4 ; 6}, soit 3 issues.
La probabilité est donc $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ou 0,5.
Exercice 2 : Dans une urne contenant 3 boules rouges, 5 boules bleues et 2 boules vertes, on tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ?
Correction :
Nombre total de boules = $3 + 5 + 2 = 10$.
L'événement "ne pas tirer une rouge" correspond à tirer une bleue ou une verte. Nombre de cas favorables = $5 + 2 = 7$.
La probabilité est $\frac{7}{10}$ (soit 0,7).
Exercice 3 : Un événement a une probabilité de 0,4. Quelle est la probabilité de son événement contraire ?
Correction :
La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est toujours égale à 1.
Probabilité de l'événement contraire = $1 - 0,4 = 0,6$.
La réponse est 0,6.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Construis l'arbre des possibles et donne la probabilité d'obtenir au moins une fois "Pile".
Correction :
Issues possibles : (P,P), (P,F), (F,P), (F,F). Il y a 4 issues équiprobables.
Les issues avec au moins un "Pile" sont (P,P), (P,F) et (F,P), soit 3 issues.
La probabilité est $\frac{3}{4}$ ou 0,75.
Exercice 5 : Un sachet contient des bonbons : 12 au citron, 8 à la fraise et 10 à l'orange. On tire un bonbon, on le mange, puis on en tire un deuxième. Est-ce une expérience avec ou sans remise ? Quelle est la probabilité que le premier soit au citron ?
Correction :
1. Le bonbon est mangé, il n'est pas remis dans le sachet : c'est un tirage sans remise.
2. Nombre total de bonbons au départ = $12 + 8 + 10 = 30$.
3. Probabilité que le premier soit au citron = $\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$.
La probabilité est 0,4.
Exercice 6 : Dans une classe de 25 élèves, 15 étudient l'anglais, 10 l'espagnol et 5 étudient les deux. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il étudie uniquement l'anglais ?
Correction :
Piège : Il faut soustraire ceux qui font les deux langues !
Nombre d'élèves faisant uniquement l'anglais = $15 - 5 = 10$.
La probabilité est $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$.
La réponse est 0,4.
Exercice 7 : On fait tourner une roue de loterie divisée en 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre premier ?
Correction :
Les nombres premiers entre 1 et 8 sont {2 ; 3 ; 5 ; 7}. Il y en a 4.
Nombre total de secteurs = 8.
La probabilité est $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$.
La réponse est 0,5.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : On lance deux dés à 6 faces et on fait la somme des deux résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?
Correction :
Il y a $6 \times 6 = 36$ issues possibles.
Les combinaisons donnant 7 sont : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Soit 6 cas favorables.
La probabilité est $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
La réponse est $\frac{1}{6}$ (environ 0,167).
Exercice 9 : Une usine produit des pièces. La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est de 0,02. On prélève deux pièces au hasard (tirage avec remise). Quelle est la probabilité qu'aucune des deux ne soit défectueuse ?
Correction :
La probabilité qu'une pièce soit saine est $1 - 0,02 = 0,98$.
Pour que les deux soient saines, il faut que la première soit saine ET la deuxième soit saine.
$P = 0,98 \times 0,98 = 0,9604$.
La probabilité est 0,9604.
Exercice 10 : On a simulé 10 000 lancers d'une pièce truquée. On a obtenu 6 500 fois "Face". Quelle estimation peut-on donner de la probabilité d'obtenir "Pile" avec cette pièce ?
Correction :
La fréquence de "Face" est $f(Face) = \frac{6500}{10000} = 0,65$.
D'après la loi des grands nombres, on peut estimer que $P(Face) \approx 0,65$.
L'événement "Pile" est le contraire de "Face", donc $P(Pile) = 1 - P(Face) \approx 1 - 0,65 = 0,35$.
L'estimation est 0,35.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : En probabilités, lis bien si le tirage est "avec remise" ou "sans remise", car cela change tout le calcul du deuxième événement. Dessine toujours un arbre pour les expériences à plusieurs étapes, cela t'évitera d'oublier des issues.
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