Niveau : Moyen — Durée estimée : 55 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
La moyenne est le centre de gravité d'une série. On l'obtient en additionnant toutes les valeurs et en divisant par l'effectif total. La médiane, elle, est la valeur qui sépare la série en deux groupes d'effectifs égaux. Elle est plus "robuste" que la moyenne car elle n'est pas influencée par les valeurs extrêmes (les valeurs très grandes ou très petites).
Les quartiles (Q1 et Q3) découpent la série en quatre. Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales, et Q3 pour 75%. L'écart interquartile (Q3 - Q1) mesure la dispersion du cœur de la série.
Enfin, l'écart-type mesure la dispersion globale autour de la moyenne. Plus l'écart-type est grand, plus les données sont étalées. L'étendue est simplement la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Formule : Moyenne pondérée = (Somme des n_i * x_i) / Effectif Total. Écart-type = racine carrée de la Variance.
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Voici les notes d'un élève : 12, 15, 8, 10, 15. Calcule la moyenne.
Correction :
On additionne les notes : 12 + 15 + 8 + 10 + 15 = 60.
On divise par l'effectif (5 notes) : 60 / 5 = 12.
La moyenne est 12.
Exercice 2 : Trouve la médiane de la série suivante : 4, 12, 7, 15, 9, 20, 11.
Correction :
Étape 1 : On range par ordre croissant : 4, 7, 9, 11, 12, 15, 20.
Étape 2 : L'effectif est 7 (impair). La médiane est la (7+1)/2 = 4ème valeur.
La médiane est 11.
Exercice 3 : Calcule l'étendue de cette série de températures : -5, 2, 8, 15, -1, 4.
Correction :
Valeur max = 15. Valeur min = -5.
Étendue = 15 - (-5) = 15 + 5 = 20.
L'étendue est de 20 degrés.
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Dans une classe, 10 élèves ont eu 8/20, 5 élèves ont eu 12/20 et 5 élèves ont eu 15/20. Calcule la moyenne pondérée.
Correction :
Effectif total = 10 + 5 + 5 = 20.
Somme des points = (10 8) + (5 12) + (5 * 15) = 80 + 60 + 75 = 215.
Moyenne = 215 / 20 = 10,75. La moyenne est 10,75.
Exercice 5 : Détermine les quartiles Q1 et Q3 de la série : 1, 3, 5, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18.
Correction :
Effectif N = 11.
Q1 : 11 * 0,25 = 2,75. On prend la 3ème valeur : Q1 = 5.
Q3 : 11 * 0,75 = 8,25. On prend la 9ème valeur : Q3 = 14.
Exercice 6 : Une série a une moyenne de 10 et un écart-type de 0. Que peut-on dire des valeurs de cette série ?
Correction :
Un écart-type de 0 signifie qu'il n'y a aucune dispersion. Toutes les valeurs sont identiques à la moyenne. Toutes les valeurs de la série sont égales à 10.
Exercice 7 : Soit la série 2, 4, 6, 8, 10. Calcule la variance puis l'écart-type.
Correction :
1. Moyenne = (2+4+6+8+10)/5 = 6.
2. Variance = [(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²] / 5 = [16+4+0+4+16] / 5 = 40 / 5 = 8.
3. Écart-type = racine(8) ≈ 2,83.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 8 : On ajoute 2 points à toutes les notes d'un contrôle. Comment évoluent la moyenne et l'écart-type ? Justifie.
Correction :
La moyenne va augmenter de 2 points car chaque terme de la somme augmente de 2.
L'écart-type ne change pas. L'écart-type mesure la dispersion (l'écart entre les notes). Si tout le monde augmente de la même valeur, l'écart entre les élèves reste le même.
Exercice 9 : Une entreprise compte 40 employés payés en moyenne 2000€. Une autre compte 60 employés payés en moyenne 2500€. Quelle est la moyenne globale des 100 employés ?
Correction :
Somme des salaires entreprise 1 = 40 * 2000 = 80 000€.
Somme des salaires entreprise 2 = 60 * 2500 = 150 000€.
Somme totale = 230 000€. Moyenne globale = 230 000 / 100 = 2300€.
Exercice 10 : On considère une série de 100 données dont la médiane est 50. Si on remplace la plus grande valeur (par exemple 500) par 1000, la médiane change-t-elle ? Et la moyenne ?
Correction :
La médiane ne change pas car elle dépend de la position centrale, pas de la valeur exacte des extrêmes.
La moyenne augmente car la somme totale des valeurs augmente alors que l'effectif reste constant.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Ne confonds pas moyenne (calculée) et médiane (positionnelle). En statistiques, il faut toujours trier tes données avant de chercher la médiane ou les quartiles. L'écart-type est l'outil ultime pour comparer la régularité de deux groupes.
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