Niveau : Moyen — Durée estimée : 50 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Le théorème de Thalès s'utilise dans des configurations où deux droites parallèles coupent deux droites sécantes. On distingue généralement deux formes : la configuration "classique" (triangles emboîtés) et la configuration "papillon". Le principe fondamental est que les longueurs des côtés des deux triangles formés sont proportionnelles.
Pour appliquer Thalès, tu dois toujours commencer par citer les droites sécantes et les droites parallèles. L'égalité des trois rapports s'écrit en partant du sommet commun aux deux triangles. Par exemple, si (BC) // (DE) dans un triangle ADE où B appartient à [AD] et C à [AE], alors : AB/AD = AC/AE = BC/DE.
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Si les rapports de longueurs sont égaux et que les points sont alignés dans le même ordre, alors les droites sont parallèles. Si les rapports sont différents, on utilise la contraposée pour dire qu'elles ne sont pas parallèles.
Formule : $\frac{Petit Côté}{Grand Côté} = \frac{Petit Côté}{Grand Côté} = \frac{Troisième Côté}{Troisième Côté}$
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Dans un triangle ABC, on a M sur [AB] et N sur [AC] tels que (MN) // (BC). On donne AB = 10 cm, AM = 2 cm et AC = 15 cm. Calcule AN.
Correction :
Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en A. Comme (MN) // (BC), on peut appliquer le théorème de Thalès : $AM/AB = AN/AC = MN/BC$.
On utilise le rapport $AM/AB = AN/AC$, soit $2/10 = AN/15$.
Par un produit en croix : $AN = (2 \times 15) / 10 = 30 / 10$.
La longueur AN est de 3 cm.
Exercice 2 : Configuration papillon. Les droites (AB) et (CD) se coupent en O. (AC) // (BD). On a OA = 3, OB = 9 et OC = 4. Calcule OD.
Correction :
Les droites (AD) et (CB) sont sécantes en O. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : $OA/OD = OC/OB = AC/BD$.
Attention à l'ordre des points ! On a $OA/OD = OC/OB$, soit $3/OD = 4/9$.
Produit en croix : $4 \times OD = 3 \times 9$, d'où $4 \times OD = 27$.
$OD = 27 / 4 = 6,75$.
La longueur OD est de 6,75.
Exercice 3 : Un triangle rectangle A'B'C' est une réduction d'un triangle ABC de rapport 0,5. Si l'aire de ABC est de 20 cm², quelle est l'aire de A'B'C' ?
Correction :
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^{2}$.
Ici $k = 0,5$. L'aire de A'B'C' est égale à $Aire(ABC) \times k^{2}$.
$20 \times 0,5^{2} = 20 \times 0,25 = 5$.
L'aire du triangle réduit est de 5 cm².
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Soit un triangle RST. M est un point de [RS] et N un point de [RT]. On donne RM = 4 cm, RS = 12 cm, RN = 5 cm et RT = 15 cm. Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles ?
Correction :
Calculons les rapports séparément :
$RM/RS = 4/12 = 1/3 \approx 0,33$.
$RN/RT = 5/15 = 1/3 \approx 0,33$.
On constate que $RM/RS = RN/RT$. De plus, les points R, M, S et R, N, T sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (ST) sont parallèles.
Exercice 5 : Un bâton de 1,5 m de haut placé verticalement projette une ombre de 2 m sur le sol. Au même moment, un clocher projette une ombre de 16 m. Quelle est la hauteur du clocher ?
Correction :
Les rayons du soleil étant parallèles, on est dans une situation de Thalès (triangles emboîtés). Soit $H$ la hauteur du clocher.
Le rapport des hauteurs est égal au rapport des ombres : $1,5 / H = 2 / 16$.
$2 \times H = 1,5 \times 16$.
$2 \times H = 24$.
$H = 24 / 2 = 12$.
Le clocher mesure 12 mètres.
Exercice 6 : Dans la figure ci-contre (configuration papillon), les points A, O, E d'une part et B, O, D d'autre part sont alignés. On a OA = 5, OE = 8, OB = 6, OD = 10. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
Correction :
Comparons les rapports $OA/OE$ et $OB/OD$ :
$OA/OE = 5/8 = 0,625$.
$OB/OD = 6/10 = 0,6$.
On voit que $0,625 \neq 0,6$. Comme les rapports ne sont pas égaux, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée. Les droites (AB) et (DE) ne sont pas parallèles.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 7 : Un cône de révolution a un rayon de base de 10 cm et une hauteur de 25 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base à 10 cm du sommet. Quel est le rayon du petit cône ainsi formé ?
Correction :
La section d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction du disque de base. On utilise Thalès dans le triangle formé par la hauteur et le rayon.
Le rapport de réduction est $k = 10/25 = 0,4$.
Le nouveau rayon $r$ est donc $10 \times 0,4 = 4$.
Le rayon du petit cône est de 4 cm.
Exercice 8 : Dans un triangle ABC, (DE) // (BC) avec D sur [AB] et E sur [AC]. On donne AD = x, AB = x + 3, DE = 2 et BC = 5. Calcule x.
Correction :
D'après Thalès : $AD/AB = DE/BC$, donc $x / (x+3) = 2 / 5$.
Produit en croix : $5x = 2(x + 3)$.
$5x = 2x + 6$.
$3x = 6$, donc $x = 2$.
La valeur de x est 2.
Exercice 9 : Une sphère a un volume de 100 cm³. On multiplie son rayon par 3. Quel est le volume de la nouvelle sphère ?
Correction :
Dans un agrandissement de rapport $k$, les volumes sont multipliés par $k^{3}$.
Ici $k = 3$, donc $k^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$.
Nouveau volume = $100 \times 27 = 2700$.
Le volume de la nouvelle sphère est de 2700 cm³.
Exercice 10 : Un triangle ABC a pour aire 12 cm². On construit un triangle A'B'C' dont les côtés sont 2,5 fois plus grands. Calcule l'aire de A'B'C'.
Correction :
Le rapport d'agrandissement est $k = 2,5$.
L'aire est multipliée par $k^{2} = 2,5^{2} = 6,25$.
Nouvelle aire = $12 \times 6,25 = 75$.
L'aire du triangle A'B'C' est de 75 cm².
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Thalès est une histoire de proportionnalité. Toujours identifier le sommet commun et vérifier le parallélisme. Pour les agrandissements-réductions : les longueurs suivent $k$, les aires $k^{2}$ et les volumes $k^{3}$.
Comment ORBITECH Peut T'aider
ORBITECH AI Academy met à ta disposition des outils concrets pour réviser plus efficacement et progresser à ton rythme.
- Générateur de Quiz : crée des quiz personnalisés pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.
- Générateur d'Exercices : crée des exercices d'entraînement adaptés à ton niveau avec corrections détaillées.
- Calculatrice Scientifique : effectue des calculs avancés avec historique et graphiques de fonctions.
- Générateur de Résumés : transforme tes cours en fiches de révision claires et structurées.
Tous ces outils sont disponibles sur ta plateforme ORBITECH. Connecte-toi et explore ceux qui correspondent le mieux à tes besoins !