Niveau : Moyen — Durée estimée : 65 min — 10 exercices avec corrections détaillées
Rappel des notions clés
Un vecteur représente un déplacement défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Dans un repère, un vecteur est caractérisé par ses coordonnées (x ; y). C'est l'outil de base pour étudier les positions relatives de points et de droites sans avoir besoin de faire des dessins précis à chaque fois.
La relation de Chasles est la règle d'or : vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC. Elle permet de décomposer n'importe quel mouvement. Pour le calcul, si tu as les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB), les coordonnées du vecteur AB sont (xB - xA ; yB - yA).
La colinéarité de deux vecteurs indique qu'ils ont la même direction (ils sont parallèles). Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui se traduit par la condition : xy' - x'y = 0.
Formules à connaître :
- Coordonnées AB : (xB - xA ; yB - yA)
- Distance AB : √((xB - xA)² + (yB - yA)²)
- Condition colinéarité : xy' - x'y = 0
- Milieu I de [AB] : ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2)
Exercices — Niveau Facile
Exercice 1 : Soient les points A(2 ; 3) et B(5 ; -1). Calcule les coordonnées du vecteur AB.
Correction :
1. Formule : AB(xB - xA ; yB - yA).
2. Calcul : x = 5 - 2 = 3 et y = -1 - 3 = -4.
Le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; -4).
Exercice 2 : Calcule la distance entre les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6).
Correction :
1. Formule : AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²).
2. Calcul des écarts : xB - xA = 3 et yB - yA = 4.
3. Application : AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
La distance AB est égale à 5.
Exercice 3 : Trouve les coordonnées du milieu M du segment [AB] avec A(-2 ; 4) et B(6 ; 8).
Correction :
1. Formule : xM = (xA + xB)/2 et yM = (yA + yB)/2.
2. Calcul : xM = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2. yM = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6.
Le point M a pour coordonnées (2 ; 6).
Exercices — Niveau Moyen
Exercice 4 : Les vecteurs u(2 ; 3) et v(4 ; 6) sont-ils colinéaires ? Justifie.
Correction :
1. On vérifie le critère de colinéarité : xy' - x'y.
2. Calcul : 2 6 - 4 3 = 12 - 12 = 0.
3. Conclusion : Le résultat est nul, donc les vecteurs u et v sont colinéaires.
Exercice 5 : Soient A(1 ; 1), B(3 ; 5) et C(7 ; 13). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Correction :
1. On calcule les coordonnées des vecteurs AB et AC.
2. AB(3 - 1 ; 5 - 1) = AB(2 ; 4). AC(7 - 1 ; 13 - 1) = AC(6 ; 12).
3. Vérification colinéarité : 2 12 - 6 4 = 24 - 24 = 0.
4. Conclusion : Les vecteurs sont colinéaires et ont le point A en commun, donc les points A, B et C sont alignés.
Exercices — Niveau Difficile
Exercice 6 : Détermine la valeur de k pour que les vecteurs u(k ; 3) et v(2 ; 4) soient colinéaires.
Correction :
1. Condition : k 4 - 2 3 = 0.
2. Résolution : 4k - 6 = 0 => 4k = 6 => k = 6/4 = 1,5.
La valeur cherchée est k = 1,5.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : Fais toujours attention à l'ordre des points dans le calcul des coordonnées : c'est "Arrivée - Départ". La colinéarité est ton outil principal pour prouver que deux droites sont parallèles ou que trois points sont alignés.
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