Niveau : prépa, première année. Durée estimée : 75 min. 8 exercices avec corrections détaillées, du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Pour calculer un déterminant, fais d'abord apparaître des zéros par des opérations sur les lignes, puis lis le résultat sur la diagonale d'une matrice triangulaire (que des zéros sous la diagonale, ou au-dessus) ou développe selon une colonne. Exemple, avec $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \times 1 \times 3 = 3.$$Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne ne change pas le déterminant. Échanger deux lignes change son signe, multiplier une ligne par $\lambda$ le multiplie par $\lambda$. Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ ; le système $AX = B$ a alors une unique solution, $X = A^{-1}B$.
Pour le produit, le coefficient $(i,j)$ de $AB$ s'obtient en multipliant la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ : il faut donc que $A$ ait autant de colonnes que $B$ a de lignes. En général $AB \neq BA$ ; quand $AB = BA$, on dit que $A$ et $B$ commutent. Une matrice $N$ est nilpotente quand l'une de ses puissances est la matrice nulle. Ces notions sont au programme de première année de MPSI, MP2I et PCSI (programmes officiels de mathématiques de 2021).
Formules à retenir :
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ et, si $ad - bc \neq 0$ : $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
- Développement selon la colonne $j$ : $\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}$, où $\Delta_{ij}$ est le déterminant obtenu en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$.
- Matrice triangulaire : le déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
- Pour $A$ et $B$ carrées de taille $n$ : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ et $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ ; si $A$ est inversible, $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$.
- Si $AB = BA$ : $(A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}$ (formule du binôme).
Piège classique : le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne, pas par rapport à la matrice entière. Pour une matrice $A$ de taille 3, $\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8\det(A)$, et non $2\det(A)$ : chacune des trois lignes est multipliée par 2. De même, $\det(A+B)$ n'est pas $\det(A) + \det(B)$ en général.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$. Calcule $C = A + B$ et $D = 3A - 2B$.
Correction :
On calcule coefficient par coefficient : $C = \begin{pmatrix} 2-1 & 1+4 \\ 0+2 & 3+5 \end{pmatrix}$, donc $C = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$.
Avec $3A = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ et $2B = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$, on obtient $D = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$.
Exercice 2 : Soient $E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $F = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. Calcule $EF$ et $FE$, puis compare-les.
Correction :
Chaque coefficient est une ligne de la première matrice multipliée par une colonne de la seconde. Par exemple, le coefficient en haut à gauche de $EF$ vaut $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, celui de $FE$ vaut $5 \times 1 + 6 \times 3 = 23$.
$$EF = \begin{pmatrix} 5+14 & 6+16 \\ 15+28 & 18+32 \end{pmatrix}, \quad FE = \begin{pmatrix} 5+18 & 10+24 \\ 7+24 & 14+32 \end{pmatrix}.$$Résultat : $EF = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ et $FE = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$, deux matrices différentes.
L'erreur à éviter : changer l'ordre des facteurs en cours de calcul. Le produit matriciel n'est pas commutatif.
Exercice 3 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcule $\det(A)$, justifie que $A$ est inversible, détermine $A^{-1}$, puis vérifie que $AA^{-1} = I_2$, la matrice identité de taille 2.
Correction :
Le déterminant décide de l'inversibilité, puis la formule du rappel donne l'inverse. Ici $\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$, donc $A$ est inversible et
$$A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$Vérification : $AA^{-1} = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = I_2$.
Résultat : $\det(A) = -2$ et $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$. L'erreur à éviter : échanger $a$ et $d$ sans changer le signe de $b$ et de $c$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 8 & 11 \\ 3 & 6 & 15 \end{pmatrix}$. Calcule $\det(A)$, puis $\det(B)$ à l'aide d'opérations sur les lignes.
Correction :
Une matrice triangulaire se lit sur sa diagonale, et on ramène $B$ à une matrice triangulaire. D'abord, $\det(A) = 1 \times 4 \times 6 = 24$.
Dans $B$, les opérations $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$ donnent les lignes $(0, 4, 5)$ et $(0, 0, 6)$ : on retrouve exactement $A$. Ces opérations ne changent pas le déterminant, donc $\det(A) = \det(B) = 24$.
Contrôle en développant $B$ selon la première colonne : $1 \times (120 - 66) - 2 \times (30 - 18) + 3 \times (22 - 24) = 54 - 24 - 6 = 24$.
Exercice 5 : Un atelier fabrique des chaises et des tables (données fictives). Une chaise demande 2 h de découpe et 1 h de finition, une table 3 h de découpe et 2 h de finition. En une semaine, l'atelier a utilisé exactement 35 h de découpe et 20 h de finition. On note $x$ le nombre de chaises et $y$ le nombre de tables fabriquées. Écris le système vérifié par $x$ et $y$ sous la forme $AX = B$, puis calcule $x$ et $y$ à l'aide de $A^{-1}$.
Correction :
Chaque poste de travail donne une équation : $2x + 3y = 35$ pour la découpe et $x + 2y = 20$ pour la finition. D'où
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 35 \\ 20 \end{pmatrix}.$$$\det(A) = 4 - 3 = 1 \neq 0$, donc $A$ est inversible et $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Alors
$$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \times 35 - 3 \times 20 \\ -35 + 2 \times 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}.$$Résultat : l'atelier a fabriqué 10 chaises et 5 tables. Contrôle : $2 \times 10 + 3 \times 5 = 35$ h de découpe et $10 + 2 \times 5 = 20$ h de finition.
Exercice 6 : Soit $A$ une matrice carrée de taille 3 telle que $\det(A) = 2$. Calcule $\det(2A)$, $\det(-A)$, $\det(A^3)$ et $\det(A^{-1})$. Puis, pour $M = N = I_2$, compare $\det(M+N)$ et $\det(M) + \det(N)$.
Correction :
On applique $\det(\lambda A) = \lambda^3 \det(A)$, valable en taille 3, et $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
$\det(2A) = 2^3 \times 2$, $\det(-A) = (-1)^3 \times 2$ et $\det(A^3) = (\det A)^3 = 2^3$. Comme $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible et $\det(A)\det(A^{-1}) = \det(I_3) = 1$.
Résultats : $\det(2A) = 16$, $\det(-A) = -2$, $\det(A^3) = 8$ et $\det(A^{-1}) = \frac{1}{2}$.
Pour la somme, $\det(M+N) = \det(2I_2) = 2^2 = 4$, alors que $\det(M) + \det(N) = 1 + 1 = 2$ : $\det(M+N) \neq \det(M) + \det(N)$. L'erreur à éviter : répondre $\det(2A) = 4$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Soient $a$, $b$, $c$ trois réels et $M = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$ (matrice de Vandermonde). Calcule $\det(M)$ sous forme factorisée, puis donne une condition nécessaire et suffisante sur $a$, $b$, $c$ pour que $M$ soit inversible.
Correction :
On fait apparaître des zéros dans la première colonne avec $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$, puis on développe selon cette colonne :
$$\det(M) = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b-a & (b-a)(b+a) \\ c-a & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}.$$On factorise $b-a$ dans la première ligne et $c-a$ dans la seconde, grâce à la linéarité par rapport à chaque ligne :
$$\det(M) = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).$$Résultat : $\det(M) = (b-a)(c-a)(c-b)$, donc $M$ est inversible si et seulement si $a$, $b$, $c$ sont deux à deux distincts. Cette condition garantit qu'un unique polynôme de degré au plus 2 prend trois valeurs imposées en trois réels distincts. Contrôle : si $a = b$, les deux premières lignes de $M$ sont égales et la formule donne bien $0$.
Exercice 8 : Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Écris $A = 2I_2 + N$ en précisant $N$, calcule $N^2$, puis déduis-en $A^n$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
Correction :
On applique la formule du binôme, permise car $2I_2$ commute avec toute matrice. Ici $N = A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $N^2 = 0$ : $N$ est nilpotente, donc tous les termes contenant $N^k$ avec $k \geqslant 2$ sont nuls.
$$A^n = (2I_2)^n + \binom{n}{1}(2I_2)^{n-1}N = 2^n I_2 + n\,2^{n-1} N.$$Résultat : $A^n = \begin{pmatrix} 2^n & n\,2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ pour tout $n \geqslant 1$. Contrôle pour $n = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.
L'erreur à éviter : appliquer le binôme à deux matrices qui ne commutent pas. En général, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : pour un déterminant, des zéros d'abord, puis la diagonale ou un développement. Pour un produit ou une puissance, l'ordre compte : $AB \neq BA$ en général, et la formule du binôme exige $AB = BA$.
Avant d'inverser une matrice, calcule son déterminant : s'il est nul, inutile d'aller plus loin. Pour développer, choisis la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros : chaque zéro t'épargne un déterminant à calculer. Et contrôle tes résultats quand c'est rapide, comme dans les corrections des exercices 3 et 8 : un produit $AA^{-1}$ ou une petite puissance suffit à repérer une erreur de signe.
Sources
- Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MPSI et MP2I (annexe 1, 2021).
- Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques de la classe PCSI (annexe 1, 2021).