Introduction aux Matrices et Déterminants
Salut, jeune talent ! Bienvenue dans cette série d'exercices dédiée aux matrices et déterminants, des outils fondamentaux de l'algèbre linéaire en prépa. Que ce soit pour résoudre des systèmes d'équations, modéliser des transformations géométriques ou manipuler des données complexes, la maîtrise de ces concepts est indispensable. Prépare-toi à structurer ta pensée et à affûter ta logique, car la précision est reine ici !
Compétences travaillées :
- Effectuer des opérations de base sur les matrices (addition, multiplication par un scalaire, produit matriciel).
- Calculer le déterminant d'une matrice (2x2, 3x3).
- Déterminer l'inverse d'une matrice.
- Utiliser les propriétés des déterminants.
- Résoudre des systèmes linéaires à l'aide des matrices.
- Comprendre le rang d'une matrice et ses implications.
Erreurs fréquentes à éviter :
- Ordre de multiplication : La multiplication matricielle n'est pas commutative ($AB \neq BA$ en général). L'ordre des matrices est crucial.
- Dimensions des matrices : Vérifie toujours la compatibilité des dimensions avant de multiplier des matrices (nombre de colonnes de la première = nombre de lignes de la seconde).
- Erreurs de calcul : Les calculs de déterminants et de produits matriciels sont sources d'erreurs d'inattention, surtout avec les signes.
- Inverse d'une matrice : Une matrice n'est inversible que si son déterminant est non nul.
- Confusion scalaire/matrice : Ne confonds pas la multiplication par un scalaire et le produit matriciel.
Série d'Exercices : Matrices et Déterminants
Exercice 1 : (Barème indicatif : 2 points)
Soient les matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.
- Calcule la matrice $C = A + B$.
- Calcule la matrice $D = 3A - 2B$.
Correction :
- Pour additionner deux matrices, tu additionnes leurs éléments correspondants :
$$C = A + B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+(-1) & 1+4 \\ 0+2 & 3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$$
Résultat a) : $C = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$.
- Pour la soustraction et la multiplication par un scalaire :
$$3A = 3 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$$
$$2B = 2 \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$$
$$D = 3A - 2B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-(-2) & 3-8 \\ 0-4 & 9-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$$
Résultat b) : $D = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$.
Exercice 2 : (Barème indicatif : 2 points)
Calcule le produit des matrices $E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $F = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$.
Correction :
Pour le produit matriciel $EF$, l'élément $(i,j)$ de la matrice résultat est la somme des produits des éléments de la ligne $i$ de $E$ par les éléments de la colonne $j$ de $F$.
$$EF = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 5) + (2 \times 7) & (1 \times 6) + (2 \times 8) \\ (3 \times 5) + (4 \times 7) & (3 \times 6) + (4 \times 8) \end{pmatrix}$$ $$EF = \begin{pmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$Résultat : $EF = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.
Astuce : La dimension de la matrice résultante d'un produit $M \times N$ est (lignes de $M$) x (colonnes de $N$). Ici, $2 \times 2$ par $2 \times 2$ donne $2 \times 2$.
Exercice 3 : (Barème indicatif : 2 points)
Calcule le déterminant de la matrice $M = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.
Correction :
Pour une matrice $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant est $ad - bc$.
$$\det(M) = (3 \times 5) - (-2 \times 4) = 15 - (-8) = 15 + 8 = 23$$Résultat : $\det(M) = 23$.
Exercice 4 : (Barème indicatif : 3 points)
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
- Calcule $\det(A)$.
- Détermine la matrice inverse $A^{-1}$, si elle existe.
Correction :
- Le déterminant de $A$ est :
$\det(A) = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$.
Résultat a) : $\det(A) = -2$.
- Puisque $\det(A) = -2 \neq 0$, la matrice $A$ est inversible.
Pour une matrice $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, l'inverse est $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$
Résultat b) : $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Exercice 5 : (Barème indicatif : 3 points)
Calcule le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$.
Correction :
Il s'agit d'une matrice triangulaire supérieure. Pour une telle matrice, le déterminant est simplement le produit des éléments de sa diagonale principale.
$$\det(A) = 1 \times 4 \times 6 = 24$$Résultat : $\det(A) = 24$.
Point méthode : Pour une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), le déterminant est le produit des termes diagonaux. Cela simplifie grandement les calculs !
Exercice 6 : (Barème indicatif : 3 points)
Résous le système linéaire suivant en utilisant l'écriture matricielle et l'inverse de matrice :
$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x + 2y = 4 \end{cases} $$Correction :
Écris le système sous forme matricielle $AX = B$ :
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$$Pour résoudre $AX=B$, tu dois calculer $X = A^{-1}B$.
- Calcule $\det(A)$ : $\det(A) = (2 \times 2) - (3 \times 1) = 4 - 3 = 1$. Puisque $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible.
- Calcule $A^{-1}$ : $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$
- Calcule $X = A^{-1}B$ : $$X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 7) + (-3 \times 4) \\ (-1 \times 7) + (2 \times 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 - 12 \\ -7 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Donc $x=2$ et $y=1$.
Résultat : La solution du système est $(x,y) = (2,1)$.
Exercice 7 : (Barème indicatif : 4 points)
Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$. Calcule $\det(M)$. (Cette matrice est appelée matrice de Vandermonde).
Correction :
Utilisons la méthode de Sarrus ou le développement par cofacteurs. Développons par rapport à la première colonne.
$$\det(M) = 1 \times \det \begin{pmatrix} b & b^2 \\ c & c^2 \end{pmatrix} - 1 \times \det \begin{pmatrix} a & a^2 \\ c & c^2 \end{pmatrix} + 1 \times \det \begin{pmatrix} a & a^2 \\ b & b^2 \end{pmatrix}$$ $$= 1 \times (bc^2 - cb^2) - 1 \times (ac^2 - ca^2) + 1 \times (ab^2 - ba^2)$$ $$= bc^2 - cb^2 - ac^2 + ca^2 + ab^2 - ba^2$$Factorisons les termes pour obtenir une forme plus simple. Regroupons par $a, b, c$ :
$$= a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)$$C'est une expression symétrique. On peut la factoriser davantage. Notons que si $a=b$, $\det(M)=0$ (deux lignes identiques). Donc $(a-b)$ est un facteur. De même $(b-c)$ et $(c-a)$. Vérifions :
$$(a-b)(b-c)(c-a) = (ab - ac - b^2 + bc)(c-a)$$ $$= abc - a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2 - abc$$ $$= - a^2b - ac^2 + a^2c - b^2c + ab^2 + bc^2$$ $$= a^2(c-b) + b^2(a-c) + c^2(b-a)$$C'est bien la même chose.
Résultat : $\det(M) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
Point méthode : Le déterminant de Vandermonde est un résultat à connaître ou savoir retrouver. Ses racines sont les valeurs $a, b, c$ pour lesquelles la matrice n'est pas inversible (quand deux lignes sont identiques).
Exercice 8 : (Barème indicatif : 4 points)
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcule $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. (Suggestion : utilise l'induction ou écris $A = I + N$ où $I$ est la matrice identité et $N$ une matrice nilpotente).
Correction :
Utilisons la suggestion $A = I + N$.
$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$Remarque $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Donc $N$ est une matrice nilpotente d'ordre 2.
Puisque $I$ et $N$ commutent ($IN = NI = N$), on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer $A^n = (I+N)^n$ :
$$(I+N)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} N^k$$Puisque $N^2 = 0$, tous les termes pour $k \ge 2$ sont nuls.
$$(I+N)^n = \binom{n}{0} I^n N^0 + \binom{n}{1} I^{n-1} N^1$$ $$A^n = 1 \times I + n \times N$$ $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$Vérifions pour quelques valeurs :
- $A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, la formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ok.
- $A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, la formule donne $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ok.
Résultat : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Point méthode : La décomposition $A = I+N$ est très utile pour calculer des puissances de matrices si $N$ est nilpotente et $I$ et $N$ commutent. C'est une application directe de la formule du binôme de Newton.
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