Convergence et Calcul des Séries Numériques en Prépa

Correction :

1. Pour $u_n = \frac{n+1}{2n+3}$ : $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n(1+1/n)}{n(2+3/n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+1/n}{2+3/n} = \frac{1}{2}$$ Puisque $\lim_{n \to \infty} u_n = 1/2 \neq 0$, la condition nécessaire de convergence n'est pas satisfaite.

   Résultat a) : La série $\sum \frac{n+1}{2n+3}$ diverge.

2. Pour $u_n = \frac{1}{n^2}$ : $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$$ La condition nécessaire de convergence est satisfaite.

   Résultat b) : La série $\sum \frac{1}{n^2}$ peut converger (c'est une série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, elle converge effectivement).

   Point méthode : Rappelle-toi que la condition nécessaire de convergence est une condition de divergence : si elle n'est pas vérifiée, la série diverge. Si elle est vérifiée, on ne peut pas conclure sur la convergence sans utiliser d'autres critères.

Correction :

Cette série est une série géométrique de raison $q = 3/4$.

Pour une série géométrique $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$, elle converge si et seulement si $|q| < 1$.

Ici, $|q| = |3/4| = 3/4$, et $3/4 < 1$. Donc la série converge.

La somme d'une série géométrique convergente est donnée par la formule $\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.

Donc, la somme de la série est $\frac{1}{1 - 3/4} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Correction :

La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ est la série harmonique.

On sait que pour une série de Riemann $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$, elle converge si $\alpha > 1$ et diverge si $\alpha \le 1$.

Ici, $\alpha = 1$. Donc la série harmonique diverge.

Correction :

Soit $u_n = \frac{n}{2^n}$. Les termes sont positifs pour $n \ge 1$. Appliquons le critère de d'Alembert.

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :

$$u_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{n} \times \frac{2^n}{2^{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{2}$$

Calcule la limite de ce rapport lorsque $n \to \infty$ :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{2} = (1+0) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Soit $L = 1/2$. Puisque $L = 1/2 < 1$, le critère de d'Alembert indique la série converge.

Correction :

Pour une série télescopique, on calcule d'abord la somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.

Écris les premiers termes de la somme :

$$S_N = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right)$$

Tu peux observer que les termes intermédiaires s'annulent : le $-1/2$ du premier terme s'annule avec le $1/2$ du deuxième, le $-1/3$ avec le $1/3$, et ainsi de suite.

Il ne reste que le premier terme du premier couple et le deuxième terme du dernier couple :

$$S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$$

Maintenant, calcule la limite de la somme partielle quand $N \to \infty$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{N+1}\right) = 1 - 0 = 1$$

Correction :

Cette série n'est pas à termes positifs car $\sin(n)$ peut être positif ou négatif. On ne peut donc pas appliquer directement les critères de comparaison.

Nous allons étudier la convergence absolue de la série, c'est-à-dire la convergence de $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right|$.

On sait que $|\sin(n)| \le 1$ pour tout $n$.

Donc, $\left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right| = \frac{|\sin(n)|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}$.

La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha=2$. Puisque $\alpha=2 > 1$, cette série converge.

Par le critère de comparaison pour les séries à termes positifs, puisque $0 \le \left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$ et que $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, alors la série $\sum \left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right|$ converge.

Puisque la série converge absolument, elle converge également.

Correction :

C'est une série alternée.

1. Convergence absolue :

On étudie la convergence de la série des valeurs absolues : $\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Cette série est une série de Riemann de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha = 1/2$.

Puisque $\alpha = 1/2 \le 1$, la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge.

Donc, la série de départ n'est pas absolument convergente.

2. Semi-convergence (Critère spécial des séries alternées) :

Soit $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$. Pour appliquer le critère spécial des séries alternées, il faut vérifier trois conditions :

1. $(a_n)$ est une suite de termes positifs : $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$ pour tout $n \ge 1$. (Vrai)
2. $(a_n)$ est décroissante : La fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ est décroissante pour $x>0$, donc la suite $(a_n)$ est décroissante. (Vrai)
3. $(a_n)$ tend vers 0 : $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$. (Vrai)

Les trois conditions du critère spécial des séries alternées sont remplies. Par conséquent, la série $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge.

Puisque la série converge mais ne converge pas absolument, elle est semi-convergente.

Correction :

1. Étude de convergence : Soit $u_n = \frac{n^2}{n!}$. Les termes sont positifs pour $n \ge 0$. Utilisons le critère de d'Alembert. $$u_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)n!}$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^2/((n+1)n!)}{n^2/n!} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)n!} \times \frac{n!}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)n^2} = \frac{n+1}{n^2}$$ Maintenant, calculons la limite du rapport : $$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(1+1/n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+1/n}{n} = 0$$ Puisque $L=0 < 1$, la série converge par le critère de d'Alembert.

   Résultat a) : La série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$ converge.

2. Calcul de la somme : On veut calculer $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$. Le terme pour $n=0$ est $\frac{0^2}{0!} = 0$. Donc la somme commence en réalité pour $n=1$. $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!}$. On peut écrire $n = (n-1)+1$. $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)+1}{(n-1)!} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)$. Séparons la somme en deux : $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$. Pour la première somme, le terme pour $n=1$ est $\frac{1-1}{(1-1)!} = 0$. Donc elle commence en réalité pour $n=2$. $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}$. Faisons un changement d'indice $k=n-2$. Quand $n=2, k=0$. $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$. On sait que cette somme est égale à $e$. Pour la deuxième somme : $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$. Faisons un changement d'indice $k=n-1$. Quand $n=1, k=0$. $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$. Cette somme est aussi égale à $e$. Donc $S = e + e = 2e$. Alternativement, on peut utiliser les identités données : On a $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$. Maintenant, pour $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$. Le terme $n=0$ est 0. On commence à $n=1$. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!}$. On sait que $\frac{n}{(n-1)!} = \frac{n-1+1}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!}$. $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$. La deuxième somme est $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$. La première somme : $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!}$. Pour $n=1$, le terme est 0. Donc la somme commence à $n=2$. $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}$. Faisons $k=n-2$. $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$. Donc, la somme totale est $e+e=2e$.

   Résultat b) : La somme de la série est $2e$.

   Point méthode : Pour calculer des sommes de séries avec des factorielles, l'astuce consiste souvent à décomposer le numérateur pour faire apparaître des termes $(n-1)!$, $(n-2)!$ etc., puis à effectuer des changements d'indices pour retrouver la série de l'exponentielle.