Niveau : prépa scientifique, première et deuxième année. Durée estimée : 1 h 30. 9 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour trouver la nature d'une série $\sum u_n$ (convergente ou divergente), regarde d'abord $u_n$ : s'il ne tend pas vers $0$, la série diverge (on dit qu'elle diverge grossièrement). Si $u_n \to 0$ et $u_n \ge 0$, compare $u_n$ à une série de référence, géométrique ou de Riemann : par exemple $\frac{1}{n^2+1} \sim \frac{1}{n^2}$ (leur quotient tend vers $1$), donc $\sum \frac{1}{n^2+1}$ converge. Si le signe de $u_n$ change, étudie d'abord $\sum |u_n|$.
Pour calculer une somme, écris la somme partielle $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$, simplifie-la, puis fais tendre $N$ vers $+\infty$. Deux familles se calculent ainsi : les séries géométriques et les séries télescopiques, de la forme $\sum (a_{n+1} - a_n)$, où presque tous les termes de $S_N$ s'annulent.
Formules à retenir :
- Série géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q| \lt 1$, et alors $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$.
- Série de Riemann : $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
- Télescopage : $\sum_{n=0}^{N} (a_{n+1} - a_n) = a_{N+1} - a_0$, donc $\sum (a_{n+1} - a_n)$ converge si et seulement si la suite $(a_n)$ converge.
- Exponentielle : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e$.
- Termes positifs : si $0 \le u_n \le v_n$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. Si $u_n \sim v_n$, les deux séries ont la même nature.
- Convergence absolue : si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
- Théorème des séries alternées : si $(a_n)$ décroît vers $0$, $\sum (-1)^n a_n$ converge ; sa somme a le signe de son premier terme et ne le dépasse pas en valeur absolue.
- Règle de d'Alembert : si $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$, la série converge si $\ell \lt 1$ et diverge si $\ell > 1$ ; si $\ell = 1$, on ne peut pas conclure.
Piège classique : $u_n \to 0$ ne prouve jamais qu'une série converge. La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge, alors que $\frac{1}{n} \to 0$. Le test du terme général sert seulement à prouver une divergence.
Tout ce rappel figure au programme de première année MPSI et MP2I, sauf la règle de d'Alembert, qui arrive en deuxième année MP et MPI (programmes officiels de 2021, liens en bas de page).
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Pour chaque série, dis si le test de divergence grossière permet de conclure, puis donne sa nature.
a) $\sum_{n \ge 0} \frac{n+1}{2n+3}$ ; b) $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$.
Correction :
On calcule la limite du terme général.
a) Pour $n \ge 1$, $\frac{n+1}{2n+3} = \frac{1 + 1/n}{2 + 3/n} \to \frac{1}{2} \neq 0$ : la série diverge grossièrement.
b) $\frac{1}{n^2} \to 0$ : le test ne dit rien. C'est une série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$ : elle converge.
Exercice 2 : On lâche une balle d'une hauteur de $2$ m. On modélise ses rebonds ainsi : après chaque rebond, elle remonte aux $\frac{3}{4}$ de la hauteur d'où elle est tombée. En admettant qu'elle rebondisse indéfiniment, calcule la distance verticale totale qu'elle parcourt.
Correction :
On écrit la distance comme une série géométrique. Après le $k$-ième rebond, la balle monte à $h_k = 2\left(\frac{3}{4}\right)^k$ m, puis redescend d'autant : elle parcourt $2h_k$. Avec la première chute de $2$ m :
$$D = 2 + \sum_{k=1}^{+\infty} 4\left(\frac{3}{4}\right)^k = 2 + 4 \times \frac{3/4}{1 - 3/4} = 2 + 4 \times 3 = 14.$$
La raison vérifie $\left|\frac{3}{4}\right| \lt 1$, donc la série converge : $D = 14$ m.
Erreur à éviter : la somme part de $k = 1$, pas de $k = 0$. Ici $\sum_{k=1}^{+\infty} q^k = \frac{q}{1-q}$, et non $\frac{1}{1-q}$.
Exercice 3 : On pose $u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$ pour $n \ge 1$.
a) Vérifie que $u_n \to 0$, puis calcule la somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n$. Quelle est la nature de $\sum u_n$ ?
b) On admet que $\ln(1+x) \le x$ pour tout $x > -1$. Déduis-en la nature de la série harmonique $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n}$.
Correction :
a) $u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to \ln 1 = 0$. Comme $u_n = \ln(n+1) - \ln n$, la somme est télescopique :
$$S_N = \ln(N+1) - \ln 1 = \ln(N+1) \to +\infty.$$
La série $\sum u_n$ diverge, alors que son terme général tend vers $0$.
b) Pour $n \ge 1$, $0 \le \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \le \frac{1}{n}$. Si $\sum \frac{1}{n}$ convergeait, $\sum u_n$ convergerait par comparaison, ce qui contredit a). La série harmonique diverge, et même $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \ge \ln(N+1)$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Trouve deux réels $a$ et $b$ tels que $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1}$ pour tout $n \ge 1$. Justifie ensuite la convergence de $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)}$ et calcule sa somme.
Correction :
On décompose, puis on télescope. En multipliant par $n(n+1)$ : $1 = (a+b)n + a$ pour tout $n \ge 1$, donc $a + b = 0$ et $a = 1$, soit $b = -1$. Alors :
$$S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1.$$
La série converge et sa somme vaut $1$.
Erreur à éviter : écrire $\sum \frac{1}{n} - \sum \frac{1}{n+1}$. Ces deux séries divergent, on ne peut pas soustraire leurs sommes : on passe par $S_N$.
Exercice 5 : On pose $u_n = \frac{1}{n^2 - n + 1}$ pour $n \ge 1$.
a) Justifie que $u_n$ est bien défini et strictement positif.
b) Compare $u_n$ à $\frac{1}{n^2}$. Cette inégalité permet-elle de conclure ?
c) Détermine la nature de $\sum u_n$.
Correction :
a) $n^2 - n + 1 = \left(n - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ : le dénominateur ne s'annule pas et $u_n > 0$.
b) Pour $n \ge 1$, $n^2 - n + 1 \le n^2$, donc $u_n \ge \frac{1}{n^2}$. Minorer par le terme d'une série convergente ne prouve rien : on ne peut pas conclure.
c) On passe aux équivalents. $n^2 - n + 1 \sim n^2$, donc $u_n \sim \frac{1}{n^2}$, avec des termes positifs. Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha = 2$), donc $\sum u_n$ converge.
Exercice 6 : Détermine la nature de $\sum_{n \ge 1} \frac{\sin n}{n^2}$.
Correction :
Le signe de $\sin n$ change : on étudie la convergence absolue. Pour tout $n \ge 1$ :
$$0 \le \left|\frac{\sin n}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}.$$
Comme $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, $\sum \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$ converge par comparaison. La série converge absolument, donc elle converge.
Erreur à éviter : écrire directement $\frac{\sin n}{n^2} \le \frac{1}{n^2}$ et conclure. La comparaison ne vaut que pour des termes positifs.
Exercice 7 : Avec la règle de d'Alembert, étudie la nature de $\sum_{n \ge 1} \frac{n}{2^n}$.
Correction :
Les termes sont strictement positifs : on calcule le quotient de deux termes consécutifs.
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}.$$
Comme $\frac{1}{2} \lt 1$, la série converge.
Sans cette règle, en première année : $n^2 u_n = \frac{n^3}{2^n} \to 0$ par croissances comparées, donc $u_n \le \frac{1}{n^2}$ à partir d'un certain rang, et la série converge par comparaison.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : On considère la série $\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$.
a) Est-elle absolument convergente ?
b) Montre qu'elle converge. Une série convergente mais pas absolument convergente est dite semi-convergente.
c) On note $S$ sa somme. Encadre $S$.
Correction :
a) $\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right| = \frac{1}{n^{1/2}}$ : série de Riemann avec $\alpha = \frac{1}{2} \le 1$, elle diverge. La série n'est pas absolument convergente.
b) La suite $\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ est décroissante et tend vers $0$. Par le théorème des séries alternées, la série converge : elle est semi-convergente.
c) Le même théorème dit que $S$ a le signe de son premier terme, $-1$, et que $|S| \le 1$ : $-1 \le S \le 0$.
Erreur à éviter : croire qu'une série convergente converge forcément absolument. C'est l'inverse qui est vrai.
Exercice 9 : On étudie $\sum_{n \ge 0} \frac{n^2}{n!}$ et on rappelle que $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = e$.
a) Montre que, pour $n \ge 2$, $\frac{n^2}{n!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}$.
b) Déduis-en que la série converge et calcule sa somme.
Correction :
a) On simplifie par $n$, puis on écrit $n = (n-1) + 1$. Pour $n \ge 2$ :
$$\frac{n^2}{n!} = \frac{n}{(n-1)!} = \frac{n-1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} = \frac{1}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!}.$$
b) Avec $k = n-2$ ou $k = n-1$, les séries $\sum_{n \ge 2} \frac{1}{(n-2)!}$ et $\sum_{n \ge 2} \frac{1}{(n-1)!}$ deviennent la série de $e$ et cette même série privée de son premier terme : elles convergent, donc leur somme aussi. Les termes $n = 0$ et $n = 1$ valent $0$ et $1$ :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{n!} = 0 + 1 + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k!} = 1 + e + (e - 1).$$
La série converge et sa somme vaut $2e$, soit environ $5{,}44$.
Erreur à éviter : appliquer la formule de a) dès $n = 0$, ou décaler un indice sans changer la borne de départ.
Bilan et conseils
Devant une série inconnue, garde le même ordre : la limite du terme général, puis son signe, puis une comparaison avec une série de référence ou la convergence absolue. Pour une somme, reviens toujours à $S_N$ et cherche une forme géométrique ou télescopique.
En devoir, écris chaque hypothèse avant d'appliquer un théorème : « termes positifs » pour une comparaison, « décroissante de limite nulle » pour une série alternée.
Ce qu'il faut retenir : un terme général qui tend vers $0$ ne prouve rien. Les comparaisons et les équivalents ne valent que pour des termes positifs, et on ne coupe jamais une somme en deux séries sans savoir qu'elles convergent.
Sources
Programme de mathématiques des classes MPSI et MP2I, ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, 2021, partie « Procédés sommatoires discrets » : programme officiel MPSI et MP2I.
Programme de mathématiques des classes MP et MPI, même ministère, 2021, partie « Séries numériques et vectorielles » : programme officiel MP et MPI.