Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Le degré $[L:K]$ d'une extension $L$ de $K$ (un corps qui contient $K$) est la dimension de $L$ comme espace vectoriel sur $K$. Pour $K(\alpha)$, le plus petit corps contenant $K$ et $\alpha$, ce degré est celui du polynôme minimal $m_\alpha$, quand il existe : le polynôme unitaire de plus petit degré de $K[X]$ qui s'annule en $\alpha$. Exemple : $\sqrt{5}$ annule $X^2-5$, sans racine rationnelle, donc $[\mathbb{Q}(\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2$, de base $(1,\sqrt{5})$.
Un élément est algébrique sur $K$ s'il annule un polynôme non nul de $K[X]$, transcendant sinon. Pour prouver qu'un polynôme unitaire qui annule $\alpha$ est bien $m_\alpha$, montre qu'il est irréductible : il n'est pas le produit de deux polynômes de $K[X]$ de degré au moins 1. Quand c'est difficile, obtiens le degré autrement, par exemple avec la base télescopique.
Formules à retenir :
- $\alpha$ algébrique : $[K(\alpha):K]=\deg{m_\alpha}=n$, de base $(1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1})$ ; $m_\alpha$ divise tout polynôme qui annule $\alpha$.
- Base télescopique : si $K\subset{L}\subset{M}$, alors $[M:K]=[M:L]\,[L:K]$ ; si ces degrés sont finis, $[L:K]$ divise $[M:K]$.
- Degré 2 ou 3 : $P$ est irréductible sur $K$ si et seulement s'il n'a pas de racine dans $K$.
- Racine rationnelle : si la fraction irréductible $\frac{a}{b}$ annule un polynôme de $\mathbb{Z}[X]$, $a$ divise son coefficient constant et $b$ son coefficient dominant.
- Corps de caractéristique $p$ premier (où $p\cdot1=0$, comme $\mathbb{F}_p$) : $(x+y)^p=x^p+y^p$, c'est le morphisme de Frobenius.
Piège classique : « pas de racine dans $K$, donc irréductible » ne vaut qu'en degré 2 ou 3. Dès le degré 4, un polynôme sans racine peut être le produit de deux facteurs de degré 2. Et un polynôme qui annule $\alpha$ sans être irréductible ne donne pas le degré de $K(\alpha)$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Calcule $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]$, où $i^2=-1$, et donne une base de $\mathbb{Q}(i)$ sur $\mathbb{Q}$.
Correction :
On cherche $m_i$, le polynôme minimal de $i$. Le polynôme $X^2+1$ est unitaire et annule $i$. Il n'a aucune racine réelle, car $x^2+1\geq1$ ; de degré 2, il est donc irréductible sur $\mathbb{Q}$, et $m_i=X^2+1$.
$[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2$, de base $(1,i)$.
Exercice 2 : Montre que $X^3-2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, puis déduis-en $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ et une base.
Correction :
En degré 3, il suffit de montrer qu'il n'y a pas de racine rationnelle. Une racine $\frac{a}{b}$ irréductible vérifierait $a\mid2$ et $b\mid1$, donc serait dans $\{-2,-1,1,2\}$. Ces valeurs donnent $-10$, $-3$, $-1$ et $6$ : aucune n'est nulle.
Unitaire, irréductible et annulant $\sqrt[3]{2}$, $X^3-2$ est son polynôme minimal.
$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$, de base $(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$.
Exercice 3 : On pose $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ et $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Calcule $[L:K]$, puis $[L:\mathbb{Q}]$.
Correction :
On a $L=K(\sqrt{3})$, et $\sqrt{3}$ annule $X^2-3$ : en degré 2, il suffit de prouver que $\sqrt{3}\notin{K}$.
Suppose $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ avec $a,b\in\mathbb{Q}$. Au carré : $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$. Si $ab\neq0$, on isole $\sqrt{2}=\frac{3-a^2-2b^2}{2ab}\in\mathbb{Q}$ : impossible. Si $b=0$, $\sqrt{3}=a$ serait rationnel. Si $a=0$, $2b^2=3$ et $\sqrt{6}=2|b|$ serait rationnel.
Donc $[L:K]=2$. Comme $[K:\mathbb{Q}]=2$ ($X^2-2$ n'a pas de racine rationnelle), la base télescopique donne $[L:\mathbb{Q}]=2\times2$.
$[L:K]=2$ et $[L:\mathbb{Q}]=4$.
Erreur à éviter : diviser par $2ab$ sans traiter le cas $a=0$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. a) Trouve un polynôme unitaire de degré 4 de $\mathbb{Q}[X]$ qui annule $\alpha$. b) Calcule $\alpha^3$ et montre que $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$. c) Déduis-en le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$.
Correction :
On élimine les racines carrées pour trouver un polynôme, puis on conclut par le degré.
a) $\alpha^2=5+2\sqrt{6}$, donc $(\alpha^2-5)^2=24$, soit $\alpha^4-10\alpha^2+1=0$.
b) $\alpha^3=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(5+2\sqrt{6})=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$, donc $\alpha^3-9\alpha=2\sqrt{2}$. Ainsi $\sqrt{2}=\frac{\alpha^3-9\alpha}{2}$ et $\sqrt{3}=\alpha-\sqrt{2}$ sont dans $\mathbb{Q}(\alpha)$. L'autre inclusion vient de $\alpha\in\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.
c) Par l'exercice 3, $\deg{m_\alpha}=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=4$. Or $m_\alpha$ divise $X^4-10X^2+1$, unitaire et de même degré : ils sont égaux.
$m_\alpha=X^4-10X^2+1$.
Exercice 5 : Un étudiant écrit : « $\alpha=1+i$ annule $X^4+4$, qui n'a aucune racine rationnelle, donc $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=4$. » a) Vérifie que $\alpha^4=-4$. b) Développe $(X^2+2X+2)(X^2-2X+2)$ et trouve l'erreur. c) Calcule le vrai degré.
Correction :
Avant de conclure sur un degré, on vérifie que le polynôme est irréductible.
a) $\alpha^2=1+2i+i^2=2i$, donc $\alpha^4=(2i)^2=-4$.
b) Le produit vaut $(X^2+2)^2-(2X)^2=X^4+4$. Ce polynôme sans racine est donc réductible : « pas de racine » ne prouve rien en degré 4.
c) $\alpha^2-2\alpha+2=2i-2-2i+2=0$. Le polynôme $X^2-2X+2$, de discriminant $-4$, n'a pas de racine réelle : de degré 2, il est irréductible sur $\mathbb{Q}$, c'est $m_\alpha$.
$[\mathbb{Q}(1+i):\mathbb{Q}]=2$, ce qui colle avec $\mathbb{Q}(1+i)=\mathbb{Q}(i)$.
Exercice 6 : On veut construire à la règle et au compas l'arête d'un cube de volume 2, double de celui d'un cube d'arête 1 : c'est la duplication du cube. On admet que si un réel $x$ est constructible à partir d'un segment de longueur 1, alors $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}]$ est une puissance de 2. a) Cette construction est-elle possible ? b) Montre que $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.
Correction :
Dans les deux questions, on compare des degrés.
a) L'arête $a$ vérifie $a^3=2$, donc $a=\sqrt[3]{2}$, de degré 3 sur $\mathbb{Q}$ (exercice 2). Or 3 n'est pas une puissance de 2.
La duplication du cube à la règle et au compas est impossible.
b) Sinon, $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, et la base télescopique imposerait que 2 divise 3.
$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.
Attention : la réciproque du théorème admis est fausse.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Soit $L$ une extension de $K$ de degré fini $n$, et $\beta\in{L}$. a) Montre que $\beta$ est algébrique sur $K$. b) Montre que $[K(\beta):K]$ divise $n$.
Correction :
La dimension finie force une relation linéaire entre les puissances de $\beta$.
a) Les $n+1$ éléments $1,\beta,\dots,\beta^n$ vivent dans un espace de dimension $n$ : ils sont liés. Il existe donc $c_0,\dots,c_n\in{K}$ non tous nuls tels que $c_0+c_1\beta+\dots+c_n\beta^n=0$ : le polynôme $\sum_{k=0}^{n}c_kX^k$ est non nul et annule $\beta$.
b) Avec $K\subset{K(\beta)}\subset{L}$, la base télescopique donne $n=[L:K(\beta)]\,[K(\beta):K]$.
$\beta$ est algébrique sur $K$, de degré divisant $n$.
Extension finie ne veut pas dire corps fini : pense à $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
Exercice 8 : Soit $K$ un corps fini à $q$ éléments et $L$ un corps à $q^m$ éléments qui contient $K$. a) Montre que $[L:K]=m$. b) Soit $\alpha$ une racine de $P=X^3+X+1\in\mathbb{F}_2[X]$ dans une extension de $\mathbb{F}_2$. Montre que $\mathbb{F}_2(\alpha)$ a 8 éléments, puis écris $\alpha^{-1}$ dans la base $(1,\alpha,\alpha^2)$.
Correction :
On compte les éléments grâce à une base.
a) $L$ est un espace vectoriel sur $K$, de dimension finie $d$ puisqu'il est fini. Dans une base $(e_1,\dots,e_d)$, chaque élément s'écrit de façon unique $\lambda_1e_1+\dots+\lambda_de_d$ avec les $\lambda_k$ dans $K$ : $L$ a donc $q^d$ éléments. Comme $q\geq2$, l'égalité $q^d=q^m$ donne $d=m$.
b) $P(0)=1$ et $P(1)=1$ dans $\mathbb{F}_2$ : sans racine et de degré 3, $P$ est irréductible, donc $[\mathbb{F}_2(\alpha):\mathbb{F}_2]=3$ et, par le comptage du a), $\mathbb{F}_2(\alpha)$ a $2^3=8$ éléments. Comme $-1=1$, on a $\alpha^3=\alpha+1$, d'où $\alpha(\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha=2\alpha+1=1$.
$\alpha^{-1}=\alpha^2+1$.
Exercice 9 : Soit $\mathbb{Q}(t)$ le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$. a) Montre que $t$ est transcendant sur $\mathbb{Q}$ et que $[\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}]$ est infini. b) Montre que $[\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}(t^2)]=2$ (pense à remplacer $t$ par $-t$).
Correction :
On revient à la définition, puis on cherche le polynôme minimal de $t$ sur $\mathbb{Q}(t^2)$.
a) Si $P=\sum_{k}a_kX^k\in\mathbb{Q}[X]$ vérifie $P(t)=0$, le polynôme $\sum_{k}a_kt^k$ est nul, donc tous les $a_k$ sont nuls : $t$ est transcendant. La famille $(1,t,\dots,t^n)$ est donc libre pour tout $n$, et la dimension est infinie.
b) $t$ annule $X^2-t^2\in\mathbb{Q}(t^2)[X]$ : il est algébrique sur $\mathbb{Q}(t^2)$, de degré 1 ou 2. Tout élément de $\mathbb{Q}(t^2)$ s'écrit $\frac{A(t^2)}{B(t^2)}$, donc ne change pas quand on remplace $t$ par $-t$, alors que $t$ change de signe ($t\neq-t$ car $2t\neq0$). Ainsi $t\notin\mathbb{Q}(t^2)$ et le degré n'est pas 1.
$t$ est transcendant sur $\mathbb{Q}$, et $[\mathbb{Q}(t):\mathbb{Q}(t^2)]=2$.
Le même $t$ est algébrique sur $\mathbb{Q}(t^2)$ : être algébrique dépend du corps de base.
Exercice 10 : Soit $p$ un nombre premier, $K=\mathbb{F}_p(t)$ le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb{F}_p$ et $P=X^p-t\in{K[X]}$. a) Montre que $P$ n'a pas de racine dans $K$. b) Soit $\alpha$ une racine de $P$ dans une extension de $K$. Montre que $P=(X-\alpha)^p$. c) Déduis-en que $P$ est irréductible sur $K$ et donne $[K(\alpha):K]$.
Correction :
On montre qu'aucun diviseur strict de $P$ ne peut avoir ses coefficients dans $K$.
a) Si $\left(\frac{A}{B}\right)^p=t$ avec $A,B\in\mathbb{F}_p[t]$ non nuls, alors $A^p=tB^p$ et les degrés donnent $p\deg{A}=1+p\deg{B}$ : $p$ diviserait 1, c'est absurde.
b) Par le morphisme de Frobenius, $(X-\alpha)^p=X^p+(-\alpha)^p=X^p-\alpha^p=X^p-t$ (pour $p=2$, utilise $-1=1$).
c) Soit $Q$ un diviseur unitaire de $P$ dans $K[X]$, de degré $k$ avec $1\leq{k}\leq{p-1}$. Dans $K(\alpha)[X]$, $Q$ divise $(X-\alpha)^p$, donc $Q=(X-\alpha)^k$. Son coefficient de $X^{k-1}$, égal à $-k\alpha$, est dans $K$ ; or $k$ est inversible dans $\mathbb{F}_p$, donc $\alpha\in{K}$, ce qui contredit a).
$P$ est irréductible, c'est $m_\alpha$, et $[K(\alpha):K]=p$.
Ce polynôme irréductible a une seule racine, de multiplicité $p$ : c'est impossible sur $\mathbb{Q}$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : pour un degré, trouve un polynôme qui annule $\alpha$ et prouve qu'il est irréductible, ou passe par la base télescopique. L'absence de racine ne prouve l'irréductibilité qu'en degré 2 ou 3.
En examen, rédige dans cet ordre : un polynôme qui annule l'élément, son irréductibilité, puis le degré. Ces notions figurent au programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027.
Sources
Programme du concours externe de l'agrégation, section mathématiques, session 2027, partie 3 (c) et (f) : devenirenseignant.gouv.fr.