Niveau : moyen. Durée estimée : 90 min. 10 exercices avec corrections détaillées, du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Pour étudier une courbe $\gamma(t)$ de l'espace, tu calcules $\gamma'$, $\gamma''$ et $\gamma'''$, puis tu appliques deux formules : la courbure $\kappa = \frac{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}$ et la torsion $\tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^2}$. Par exemple, pour $\gamma(t) = (t, t^2, t^3)$ en $t = 0$ : $\gamma'(0) = (1, 0, 0)$, $\gamma''(0) = (0, 2, 0)$ et $\gamma'''(0) = (0, 0, 6)$, donc $\gamma'\wedge\gamma'' = (0, 0, 2)$, $\kappa(0) = 2$ et $\tau(0) = \frac{12}{4} = 3$, comme dans le cours de F. Dubois au Cnam.
La courbure dit à quel point la courbe tourne : $R = \frac{1}{\kappa}$ est le rayon de courbure, celui du cercle osculateur (le cercle qui colle le mieux à la courbe en ce point). La torsion dit à quelle vitesse la courbe quitte son plan osculateur, celui de la tangente et de la normale ; elle n'existe que si $\kappa \neq 0$. Tout suppose la courbe régulière : $\gamma'(t) \neq 0$. Parcourue à vitesse $1$, elle est paramétrée par l'abscisse curviligne $s$ (la longueur parcourue), et son repère de Frenet $(T, N, B)$ (tangente, normale, binormale) est une base orthonormée directe. Enfin, courbure et torsion déterminent la courbe à un déplacement près (une rotation suivie d'une translation).
Formules à retenir :
- Repère de Frenet : $T = \frac{\gamma'}{\|\gamma'\|}$, $B = \frac{\gamma'\wedge\gamma''}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}$ et $N = B\wedge T$.
- Courbure : $\kappa = \frac{\|\gamma'\wedge\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}$ ; pour une courbe plane, $\kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$ ; en abscisse curviligne, $\kappa = \|\gamma''(s)\|$.
- Torsion : $\tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\|\gamma'\wedge\gamma''\|^2}$.
- Formules de Frenet, en dérivant par rapport à $s$ : $T' = \kappa N$, $N' = -\kappa T + \tau B$ et $B' = -\tau N$.
Piège classique : $\|\gamma''(t)\|$ et $\|T'(t)\|$ ne donnent la courbure que si $\|\gamma'(t)\| = 1$. Avec un paramètre quelconque, $T'(t) = \|\gamma'(t)\|\,\kappa\,N$ : il faut diviser par la vitesse.
Remarque : certains cours, dont celui de Bordeaux cité en bas de page, posent $B' = \tau N$ : la torsion y change de signe. Suis la convention de ton cours.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : On considère la courbe plane $\gamma(t) = (t^2, t^3)$, $t \in \mathbb{R}$.
a) Calcule $\gamma'(t)$ et trouve les points où la courbe n'est pas régulière.
b) Calcule le vecteur tangent unitaire $T(t)$ pour $t > 0$, puis pour $t < 0$. Que se passe-t-il quand $t$ traverse $0$ ?
Correction :
Méthode : un point est régulier si $\gamma'(t) \neq 0$, et $T$ est $\gamma'$ divisé par sa norme.
a) $\gamma'(t) = (2t, 3t^2)$ ne s'annule qu'en $t = 0$ : le point $(0, 0)$ est le seul point non régulier.
b) $\|\gamma'(t)\| = |t|\sqrt{4 + 9t^2}$, donc $T(t) = \frac{(2, 3t)}{\sqrt{4 + 9t^2}}$ si $t > 0$ et $T(t) = -\frac{(2, 3t)}{\sqrt{4 + 9t^2}}$ si $t < 0$. En $0$, $T$ a pour limites $(-1, 0)$ à gauche et $(1, 0)$ à droite : la tangente se retourne, c'est un point de rebroussement.
L'erreur à éviter : écrire $\sqrt{t^2} = t$ au lieu de $|t|$.
Exercice 2 : Vu du ciel, un virage de route est modélisé par la parabole $y = \frac{x^2}{200}$, avec $x$ et $y$ en mètres (données fictives).
a) Calcule la courbure $\kappa(x)$ en tout point.
b) Où le virage est-il le plus serré ? Donne le rayon de courbure en ce point.
c) Une voiture y roule à $v = 20\ \text{m/s}$, soit $72\ \text{km/h}$. Son accélération normale vaut $a_N = v^2\kappa$ : calcule-la en ce point.
Correction :
Méthode : on paramètre par $x$, avec $\gamma(x) = \left(x, \frac{x^2}{200}\right)$, et on applique la formule des courbes planes.
a) $x' = 1$, $y' = \frac{x}{100}$, $x'' = 0$ et $y'' = \frac{1}{100}$, donc $\kappa(x) = \dfrac{1/100}{\left(1 + x^2/10\,000\right)^{3/2}}$.
b) Le dénominateur est minimal pour $x = 0$. Au sommet, $\kappa(0) = 0{,}01\ \text{m}^{-1}$, soit un rayon de courbure de $100\ \text{m}$.
c) $a_N = 20^2 \times 0{,}01$, soit $a_N = 4\ \text{m/s}^2$.
Exercice 3 : a) Calcule la courbure de la droite $\gamma(t) = A + t\vec{v}$, où $A$ est un point et $\vec{v}$ un vecteur non nul.
b) Réciproquement, une courbe paramétrée par abscisse curviligne a une courbure nulle en tout point. Montre que c'est une portion de droite.
c) Que vaut la torsion d'une droite ?
Correction :
Méthode : une courbure nulle signifie que la tangente ne tourne pas.
a) $\gamma' = \vec{v}$ et $\gamma'' = \vec{0}$, donc $\gamma'\wedge\gamma'' = \vec{0}$ : $\kappa = 0$.
b) En abscisse curviligne, $\|\gamma''(s)\| = \kappa(s) = 0$, donc $\gamma'$ est un vecteur unitaire constant $T_0$. En intégrant, $\gamma(s) = \gamma(0) + sT_0$ : c'est une portion de droite.
c) Elle n'est pas définie : sans courbure, pas de normale $N$, donc ni $B$ ni $\tau$. Répondre « $\tau = 0$ » est une erreur.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit l'hélice $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t)$, $t \in \mathbb{R}$.
a) Calcule le vecteur tangent unitaire $T(t)$.
b) Calcule $T'(t)$ et sa norme. Un camarade en déduit que $\kappa = \|T'(t)\|$ : a-t-il raison ? Donne la courbure.
c) Déduis-en la normale $N(t)$, puis la binormale $B(t) = T(t)\wedge N(t)$.
Correction :
Méthode : $T'(t)$ a la direction de $N$, mais sa norme vaut $\|\gamma'(t)\|\,\kappa$.
a) $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ a pour norme $\sqrt{2}$, donc $T(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\sin t, \cos t, 1)$.
b) $T'(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\cos t, -\sin t, 0)$, de norme $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Le camarade a tort : la vitesse vaut $\sqrt{2}$, donc $t$ n'est pas l'abscisse curviligne. On divise : $\kappa = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
c) $N(t) = \frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}$, soit $N(t) = (-\cos t, -\sin t, 0)$, dirigée vers l'axe de l'hélice. Puis $B(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin t, -\cos t, 1)$.
Exercice 5 : a) Une courbe birégulière ($\kappa \neq 0$) est tracée dans le plan $z = 0$ : $\gamma(t) = (x(t), y(t), 0)$. Montre que sa torsion est nulle.
b) Réciproquement, une courbe birégulière paramétrée par abscisse curviligne vérifie $\tau(s) = 0$ pour tout $s$. Montre qu'elle est plane.
Correction :
Méthode : en a), regarder le déterminant ; en b), partir de $B' = -\tau N$.
a) $\gamma'$, $\gamma''$ et $\gamma'''$ ont une troisième coordonnée nulle : le déterminant a une rangée nulle, donc $\tau = 0$.
b) $B' = \vec{0}$, donc $B$ est un vecteur constant $B_0$. La fonction $f(s) = (\gamma(s) - \gamma(0))\cdot B_0$ a pour dérivée $T(s)\cdot B_0 = 0$ et vaut $0$ en $s = 0$ : elle est nulle. La courbe reste dans le plan passant par $\gamma(0)$ et orthogonal à $B_0$.
Exercice 6 : Une courbe paramétrée par abscisse curviligne a pour vecteur tangent $T(s) = (\cos s, \sin s, 0)$ et passe par $\gamma(0) = (1, 0, 0)$.
a) Retrouve $\gamma(s)$.
b) Reconnais la courbe, puis vérifie que $\kappa = 1$ et $\tau = 0$.
Correction :
Méthode : $\gamma' = T$, donc on intègre coordonnée par coordonnée.
a) $\gamma(s) = (\sin s + C_1, -\cos s + C_2, C_3)$ et $\gamma(0) = (C_1, C_2 - 1, C_3) = (1, 0, 0)$ donnent $C_1 = C_2 = 1$ et $C_3 = 0$ : $\gamma(s) = (1 + \sin s, 1 - \cos s, 0)$.
b) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \sin^2 s + \cos^2 s = 1$ et $z = 0$ : c'est le cercle de centre $(1, 1, 0)$ et de rayon $1$. En abscisse curviligne, $\kappa = \|\gamma''(s)\| = \|(-\sin s, \cos s, 0)\| = 1$, et $\tau = 0$ car la courbe est plane (exercice 5).
Exercice 7 : Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase.
a) Plus la courbure est grande en un point, plus le cercle osculateur y est petit.
b) Si on parcourt la courbe deux fois plus vite, avec $\delta(t) = \gamma(2t)$, la courbure en chaque point double.
c) La torsion est toujours positive ou nulle.
d) Si $|\tau|$ est grand, la courbe quitte vite son plan osculateur.
Correction :
Méthode : revenir à une formule du rappel pour chaque affirmation.
a) Vrai : le rayon du cercle osculateur vaut $\frac{1}{\kappa}$.
b) Faux : $\delta'(t) = 2\gamma'(2t)$ et $\delta''(t) = 4\gamma''(2t)$, donc $\|\delta'\wedge\delta''\|$ et $\|\delta'\|^3$ sont tous deux multipliés par $8$. La courbure ne dépend pas de la vitesse de parcours.
c) Faux : pour l'hélice $(\cos t, \sin t, -t)$, le déterminant vaut $-1$ et $\|\gamma'\wedge\gamma''\|^2 = 2$, donc $\tau = -\frac{1}{2}$.
d) Vrai : $B' = -\tau N$, donc $B$, orthogonal au plan osculateur, tourne d'autant plus vite que $|\tau|$ est grand.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit l'hélice $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t, ct)$, avec $R > 0$ et $c \in \mathbb{R}$.
a) Calcule sa courbure et sa torsion.
b) Que devient la courbe pour $c = 0$ ? Donne alors $\kappa$ et $\tau$.
Correction :
Méthode : trois dérivées, un produit vectoriel, un déterminant.
a) $\gamma' = (-R\sin t, R\cos t, c)$, $\gamma'' = (-R\cos t, -R\sin t, 0)$ et $\gamma''' = (R\sin t, -R\cos t, 0)$. On trouve $\|\gamma'\|^2 = R^2 + c^2$ et $\gamma'\wedge\gamma'' = (cR\sin t, -cR\cos t, R^2)$, de norme $R\sqrt{R^2 + c^2}$. Le déterminant vaut $(\gamma'\wedge\gamma'')\cdot\gamma''' = cR^2$. D'où :
$$\kappa = \frac{R}{R^2 + c^2}$$
$$\tau = \frac{c}{R^2 + c^2}$$
Les deux sont constantes. Pour $R = c = 1$, tu retrouves $\kappa = \frac{1}{2}$ de l'exercice 4.
b) Pour $c = 0$, c'est le cercle de rayon $R$ du plan $z = 0$, avec $\kappa = \frac{1}{R}$ et $\tau = 0$. Ici $\|\gamma''(t)\| = R$ : répondre $\kappa = R$ est le piège classique, car $t$ n'est l'abscisse curviligne que si $R = 1$.
Exercice 9 : On cherche une courbe de courbure constante $\kappa_0 > 0$ et de torsion constante $\tau_0$.
a) À l'aide de l'exercice 8, trouve $R > 0$ et $c$ pour que l'hélice $(R\cos t, R\sin t, ct)$ convienne.
b) Application : $\kappa_0 = \tau_0 = 1$.
c) Justifie que toute courbe de courbure $1$ et de torsion $1$ est cette hélice, à un déplacement près.
Correction :
Méthode : calculer $\kappa^2 + \tau^2$ pour faire apparaître $R^2 + c^2$.
a) D'après l'exercice 8, $\kappa_0^2 + \tau_0^2 = \frac{R^2 + c^2}{(R^2 + c^2)^2} = \frac{1}{R^2 + c^2}$. Comme $R = \kappa_0(R^2 + c^2)$ et $c = \tau_0(R^2 + c^2)$, on obtient $R = \frac{\kappa_0}{\kappa_0^2 + \tau_0^2}$ et $c = \frac{\tau_0}{\kappa_0^2 + \tau_0^2}$.
b) $R = c = \frac{1}{2}$ : c'est l'hélice $\left(\frac{1}{2}\cos t, \frac{1}{2}\sin t, \frac{t}{2}\right)$.
c) Courbure et torsion déterminent une courbe birégulière à un déplacement près (théorème démontré dans le cours de Bordeaux). Une courbe de courbure $1$ et de torsion $1$ a la même courbure et la même torsion que cette hélice : elle s'en déduit par un déplacement.
Exercice 10 : Soit $\gamma(t) = (t^3, t^2, t)$, $t \in \mathbb{R}$.
a) Calcule $\kappa(t)$ et $\tau(t)$, puis leurs valeurs en $t = 0$.
b) L'exemple du rappel, $(t, t^2, t^3)$, donne $\kappa(0) = 2$ et $\tau(0) = 3$. Explique pourquoi on trouve ici la même courbure mais une torsion opposée.
Correction :
Méthode : celle du rappel, pour un $t$ quelconque.
a) $\gamma' = (3t^2, 2t, 1)$, $\gamma'' = (6t, 2, 0)$ et $\gamma''' = (6, 0, 0)$. Alors $\gamma'\wedge\gamma'' = (-2, 6t, -6t^2)$, de norme $2\sqrt{9t^4 + 9t^2 + 1}$, et $\|\gamma'\|^2 = 9t^4 + 4t^2 + 1$. Le déterminant vaut $(\gamma'\wedge\gamma'')\cdot\gamma''' = -12$. Donc :
$$\kappa(t) = \frac{2\sqrt{9t^4 + 9t^2 + 1}}{(9t^4 + 4t^2 + 1)^{3/2}}$$
$$\tau(t) = -\frac{3}{9t^4 + 9t^2 + 1}$$
En $t = 0$ : $\kappa(0) = 2$ et $\tau(0) = -3$.
b) Cette courbe est l'image de $(t, t^2, t^3)$ par la symétrie qui échange $x$ et $z$. Elle conserve les longueurs, donc la courbure. Mais son déterminant vaut $-1$ : elle change le signe de $\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')$, donc celui de la torsion.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : vérifie d'abord que $\gamma' \neq 0$, puis que $\kappa \neq 0$ avant de parler de torsion. Avec un paramètre quelconque, passe par $\gamma'\wedge\gamma''$, jamais par $\|\gamma''\|$ seul. Contrôle enfin ton résultat sur un cas connu : $\kappa = 0$ pour une droite, $\kappa = \frac{1}{R}$ pour un cercle de rayon $R$, $\tau = 0$ pour une courbe plane.
Pour réviser, refais l'exercice 8 sans regarder la correction : il mobilise presque toutes les formules de la page.
Sources
- François Dubois (Cnam), Algèbre linéaire et géométrie, cours 9 : normale, courbure, torsion, avril 2022.
- Laurent Bessières, rédaction Hugo Clouet, université de Bordeaux, Cours de licence 3 : géométrie différentielle, version du 9 novembre 2025.