Niveau : supérieur (L3), du facile au difficile. Durée estimée : 90 min. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour dériver une distribution, tu fais passer la dérivée sur la fonction test et tu changes de signe : $\langle T', \varphi\rangle = -\langle T, \varphi'\rangle$. Pour une fonction qui saute, cela donne sa dérivée usuelle plus un Dirac à chaque saut, multiplié par la hauteur du saut. Exemple : la fonction de Heaviside $H$, nulle avant $0$ et égale à $1$ ensuite, a une dérivée usuelle nulle et saute de $1$ en $0$, donc $H' = \delta$.
Une fonction test est une fonction $\varphi$ de classe $C^\infty$, nulle hors d'un segment. Une distribution $T$ associe à chaque fonction test un nombre $\langle T, \varphi\rangle$, linéairement et continûment ; leur ensemble se note $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Une fonction $f$ intégrable sur tout segment en définit une : $\langle f, \varphi\rangle = \int_{\mathbb{R}} f\varphi$. La valeur de $f$ en un point isolé ne change donc rien. Le Dirac en $a$, noté $\delta_a$ (ou $\delta(x-a)$ en physique), n'est pas une fonction : c'est la règle $\langle \delta_a, \varphi\rangle = \varphi(a)$, avec $\delta = \delta_0$. Les formules ci-dessous suivent le TD de L3 de l'université de Caen cité en bas.
Formules à retenir :
- Dérivée d'ordre $n$ : $\langle T^{(n)}, \varphi\rangle = (-1)^n\langle T, \varphi^{(n)}\rangle$, d'où $\langle \delta_a^{(n)}, \varphi\rangle = (-1)^n\varphi^{(n)}(a)$.
- Produit par $\psi$ de classe $C^\infty$ : $\langle \psi T, \varphi\rangle = \langle T, \psi\varphi\rangle$, $\psi\,\delta_a = \psi(a)\,\delta_a$ et $(\psi T)' = \psi' T + \psi T'$.
- Formule des sauts : si $f$ est $C^1$ par morceaux, avec un nombre fini de sauts sur chaque segment, $f' = \{f'\} + \sum_k \sigma_k\,\delta_{a_k}$, où $\{f'\}$ est la dérivée usuelle et $\sigma_k = f(a_k^+) - f(a_k^-)$ le saut en $a_k$ (limite à droite moins limite à gauche).
- Si $T' = 0$, alors $T$ est une constante.
Piège classique : dériver une fonction qui saute comme d'habitude et oublier les Dirac, ou les mettre avec le mauvais signe. Le saut se lit de gauche à droite : une montée de $1$ donne $+\delta_a$, une descente de $1$ donne $-\delta_a$.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $\varphi$ une fonction test égale à $x^3 - x$ sur $[-3\,;\,3]$ (il en existe : on multiplie $x^3 - x$ par une fonction test qui vaut $1$ sur ce segment). Calcule $\langle T, \varphi\rangle$ pour $T = 3\delta_2 - \delta_{-1} + 5\delta$.
Correction :
Par linéarité, chaque Dirac évalue $\varphi$ en son point : $\langle T, \varphi\rangle = 3\varphi(2) - \varphi(-1) + 5\varphi(0)$.
Or $\varphi(2) = 6$, $\varphi(-1) = 0$ et $\varphi(0) = 0$, donc $\langle T, \varphi\rangle = 18$.
Exercice 2 : Avec la même fonction $\varphi$, calcule $\langle \delta', \varphi\rangle$, $\langle \delta_2', \varphi\rangle$ et $\langle \delta_1'', \varphi\rangle$ à partir de la définition de la dérivée.
Correction :
Chaque dérivation passe sur $\varphi$ avec un signe moins : $\langle \delta_a', \varphi\rangle = -\langle \delta_a, \varphi'\rangle = -\varphi'(a)$ et $\langle \delta_a'', \varphi\rangle = \langle \delta_a, \varphi''\rangle = \varphi''(a)$.
Sur $[-3\,;\,3]$, $\varphi'(x) = 3x^2 - 1$ et $\varphi''(x) = 6x$, donc $\langle \delta', \varphi\rangle = 1$, $\langle \delta_2', \varphi\rangle = -11$ et $\langle \delta_1'', \varphi\rangle = 6$.
Erreur à éviter : oublier le signe moins devant $\varphi'(a)$.
Exercice 3 : La fonction de Heaviside vaut $H(x) = 1$ si $x \geq 0$ et $H(x) = 0$ sinon. Montre que $H' = \delta$ à partir de la définition, sans la formule des sauts, puis donne la dérivée de $x \mapsto H(x-a)$ pour $a$ réel.
Correction :
On calcule l'action de $H'$ sur une fonction test quelconque, nulle pour $x$ assez grand :
$$\langle H', \varphi\rangle = -\int_0^{+\infty}\varphi'(x)\,dx = -\big(0 - \varphi(0)\big) = \varphi(0) = \langle \delta, \varphi\rangle.$$Le même calcul sur $[a\,;\,+\infty[$ donne $\varphi(a)$. Donc $H' = \delta$ et $\big(H(x-a)\big)' = \delta_a$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : La fonction porte $\Pi$ vaut $1$ sur $[-\tfrac12\,;\,\tfrac12]$ et $0$ ailleurs. Un camarade affirme que $\Pi' = \delta_{1/2} - \delta_{-1/2}$. Calcule $\Pi'$ par la définition, vérifie avec la formule des sauts, puis dis s'il a raison.
Correction :
Par la définition : $\langle \Pi', \varphi\rangle = -\int_{-1/2}^{1/2}\varphi'(x)\,dx = \varphi(-\tfrac12) - \varphi(\tfrac12)$.
Par les sauts : $\Pi$ monte de $0$ à $1$ en $-\tfrac12$ (saut $+1$), redescend de $1$ à $0$ en $\tfrac12$ (saut $-1$), et sa dérivée usuelle est nulle. Les deux calculs donnent $\Pi' = \delta_{-1/2} - \delta_{1/2}$ : le camarade a inversé le signe.
Exercice 5 : Une barre occupe le segment $[0\,;\,3]$, en mètres. Sa masse linéique (masse par mètre) est uniforme, égale à $2$ kg/m, et une petite masse de $0{,}5$ kg est soudée au point d'abscisse $1$. On note $M(x)$ la masse, en kg, de la partie de la barre d'abscisse inférieure ou égale à $x$. Écris $M$ par morceaux, calcule $M'$ au sens des distributions et interprète le résultat.
Correction :
On écrit $M$ par morceaux, puis on applique la formule des sauts : $M(x) = 0$ si $x \lt 0$, $M(x) = 2x$ si $0 \leq x \lt 1$, $M(x) = 2x + 0{,}5$ si $1 \leq x \leq 3$ et $M(x) = 6{,}5$ si $x \gt 3$.
$M$ est continue en $0$ et en $3$, et saute de $0{,}5$ en $1$. Sa dérivée usuelle vaut $2$ sur $]0\,;\,3[$ (sauf en $1$) et $0$ hors de $[0\,;\,3]$. Donc $M' = 2\,\mathbf{1}_{[0\,;\,3]} + 0{,}5\,\delta_1$, en kg/m.
$M'$ est la masse linéique de la barre : la masse soudée, concentrée en un point, y apparaît comme $0{,}5$ fois un Dirac.
Exercice 6 : Calcule les dérivées première et seconde de $x \mapsto |x|$ au sens des distributions. Explique pourquoi un Dirac n'apparaît qu'à la seconde.
Correction :
On intègre par parties sur chaque demi-droite :
$$\langle |x|', \varphi\rangle = \int_{-\infty}^{0} x\,\varphi'(x)\,dx - \int_{0}^{+\infty} x\,\varphi'(x)\,dx = -\int_{-\infty}^{0}\varphi + \int_{0}^{+\infty}\varphi.$$Les termes de bord, en $x\varphi(x)$, s'annulent en $0$ : comme $|x|$ est continue, aucun Dirac n'apparaît. On reconnaît la fonction signe $\operatorname{sgn}$, qui vaut $-1$ avant $0$ et $1$ après. Elle saute de $2$ en $0$ avec une dérivée usuelle nulle, donc $|x|' = \operatorname{sgn}$ et $|x|'' = 2\delta$.
Exercice 7 : Soit $\psi$ une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Montre que $\psi\,\delta' = \psi(0)\,\delta' - \psi'(0)\,\delta$, puis calcule $x\,\delta'$ et $x^2\,\delta'$.
Correction :
On applique la définition du produit, puis celle de la dérivée :
$$\langle \psi\,\delta', \varphi\rangle = \langle \delta', \psi\varphi\rangle = -(\psi\varphi)'(0) = -\psi'(0)\,\varphi(0) - \psi(0)\,\varphi'(0).$$C'est l'action de $\psi(0)\,\delta' - \psi'(0)\,\delta$, puisque $\langle \delta', \varphi\rangle = -\varphi'(0)$. Pour $\psi(x) = x$, $\psi(0) = 0$ et $\psi'(0) = 1$ ; pour $\psi(x) = x^2$, les deux sont nuls. Donc $x\,\delta' = -\delta$ et $x^2\,\delta' = 0$.
Erreur à éviter : écrire $x\,\delta' = 0$ parce que $x$ s'annule en $0$. C'est vrai pour $x\,\delta$, pas pour $x\,\delta'$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Soit $g(x) = x^2$ si $|x| \leq 1$ et $g(x) = 0$ sinon. Calcule $g'$ puis $g''$ au sens des distributions.
Correction :
On applique deux fois la formule des sauts. $g$ saute de $+1$ en $-1$ et de $-1$ en $1$ ; sa dérivée usuelle vaut $2x$ sur $]-1\,;\,1[$ et $0$ ailleurs :
$$g' = 2x\,\mathbf{1}_{[-1\,;\,1]} + \delta_{-1} - \delta_1.$$La fonction $2x\,\mathbf{1}_{[-1\,;\,1]}$ passe de $0$ à $-2$ en $-1$, puis de $2$ à $0$ en $1$ : deux sauts de $-2$. Sa dérivée usuelle vaut $2$ sur $]-1\,;\,1[$. En dérivant aussi les Dirac, $g'' = 2\,\mathbf{1}_{[-1\,;\,1]} - 2\delta_{-1} - 2\delta_1 + \delta_{-1}' - \delta_1'$.
Contrôle : deux intégrations par parties dans $\langle g'', \varphi\rangle = \int_{-1}^{1} x^2\varphi''(x)\,dx$ donnent $2\int_{-1}^{1}\varphi - 2\varphi(-1) - 2\varphi(1) - \varphi'(-1) + \varphi'(1)$, la même action.
Exercice 9 : Un redresseur simple alternance idéal ne garde que les alternances positives du signal $\sin t$ : il produit $f(t) = \max(\sin t, 0)$, qui suit $\sin t$ sur $[0\,;\,\pi]$, vaut $0$ sur $[\pi\,;\,2\pi]$ et se répète avec la période $2\pi$.
a) Calcule $f'$ au sens des distributions.
b) Montre que $f'' + f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{k\pi}$.
Correction :
On applique la formule des sauts à $f$, puis à $f'$.
a) $f$ est continue, car les deux morceaux valent $0$ en chaque $k\pi$, et $C^1$ par morceaux : la formule des sauts n'ajoute aucun Dirac. $f'$ est la fonction égale à $\cos t$ sur les intervalles $]2k\pi\,;\,(2k+1)\pi[$ et à $0$ sur les intervalles $](2k+1)\pi\,;\,(2k+2)\pi[$.
b) Cette fois, $f'$ saute. En $2k\pi$, elle passe de $0$ à $\cos 0 = 1$ ; en $(2k+1)\pi$, de $\cos\pi = -1$ à $0$. Chaque multiple de $\pi$ porte donc un saut de $+1$. Sa dérivée usuelle vaut $-\sin t = -f(t)$ sur les arches et $0 = -f(t)$ entre elles. D'où $f'' = -f + \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{k\pi}$, soit $f'' + f = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{k\pi}$.
Erreur à éviter : mettre un Dirac dans $f'$ alors que $f$ ne saute pas. Les Dirac naissent dans la dérivée d'une fonction qui saute.
Exercice 10 : Résous l'équation $u' + u = \delta$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$, puis trouve la solution nulle sur $]-\infty\,;\,0[$.
Correction :
On multiplie par $e^x$ pour faire apparaître la dérivée d'un produit : $(e^x u)' = e^x(u' + u) = e^x\,\delta = \delta$, car $e^x\,\delta = e^0\,\delta$.
Ainsi $(e^x u - H)' = \delta - \delta = 0$, donc $e^x u - H$ est une constante $C$. Les solutions sont les $u = (H + C)\,e^{-x}$, et chacune convient en refaisant le calcul à l'envers.
Sur $]-\infty\,;\,0[$, $u = C e^{-x}$ : elle y est nulle seulement si $C = 0$. La solution cherchée est $u = e^{-x}H(x)$.
Vérification : $(e^{-x}H)' = -e^{-x}H + e^{-x}\,\delta = -u + \delta$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : devant un résultat douteux, reviens à $\langle T', \varphi\rangle = -\langle T, \varphi'\rangle$ et teste-le sur une fonction test quelconque. Pour une fonction par morceaux, la formule des sauts va plus vite : dérivée usuelle, plus un Dirac par saut, signé « droite moins gauche ». Enfin, un produit $\psi\,\delta'$ garde un terme en $\delta$ dès que $\psi'(0) \neq 0$.
Avant un partiel, refais sans aide les exercices 4, 7 et 9 : chacun tend un piège du chapitre.
Sources
C. Chesneau, « TD n° 1 : Distributions », L3, Université de Caen : énoncé et correction (formule des sauts, $H' = \delta$, $\psi\,\delta' = \psi(0)\,\delta' - \psi'(0)\,\delta$, équation $T' - \lambda T = \delta$).