Niveau : progressif, du facile au difficile. Durée estimée : 1 h 30. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une équation différentielle linéaire se résout en deux temps. Tu résous d'abord l'équation homogène associée, c'est-à-dire la même avec le second membre (le terme sans $y$) remplacé par $0$, puis tu ajoutes une solution particulière : toutes les solutions s'écrivent $y = y_h + y_p$. Exemple : pour $y' + y = 1$, on a $y_h = Ce^{-x}$ et la constante $y_p = 1$ convient, donc $y = Ce^{-x} + 1$ avec $C$ réel. Les constantes se fixent à la toute fin, sur la solution complète, grâce aux conditions initiales.
À l'ordre 1, l'équation s'écrit $y' + a(x)y = b(x)$ sur un intervalle où $a$ et $b$ sont continues. S'il y a un coefficient devant $y'$, divise d'abord par lui, sur un intervalle où il ne s'annule pas : on dit qu'on normalise. Quand aucune solution particulière ne se devine, la variation de la constante consiste à chercher $y = C(x)e^{-A(x)}$, où $A$ est une primitive de $a$ : il reste $C'(x)e^{-A(x)} = b(x)$, qu'on intègre. À l'ordre 2 à coefficients constants, tout part de l'équation caractéristique.
Formules à retenir :
- Ordre 1 : les solutions de $y' + a(x)y = 0$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{-A(x)}$, où $A' = a$ et $C$ est une constante.
- Ordre 2 : pour $y'' + ay' + by = 0$ avec $a$, $b$ réels, l'équation caractéristique est $r^2 + ar + b = 0$.
- Deux racines réelles $r_1 \neq r_2$ : $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$.
- Une racine double $r_0$ : $y = (C_1x + C_2)e^{r_0x}$.
- Deux racines complexes $\alpha \pm i\beta$ : $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$.
- Second membre polynôme $P$ : $y_p = x^mQ(x)$ avec $\deg Q = \deg P$. Second membre $Ae^{\lambda x}$ : $y_p = kx^me^{\lambda x}$. L'entier $m$ vaut $0$, $1$ ou $2$ selon que $0$ (ou $\lambda$) n'est pas racine de l'équation caractéristique, en est racine simple ou racine double.
- Second membre $\cos\omega x$ ou $\sin\omega x$ : passe par $e^{i\omega x}$ (cas $\lambda = i\omega$), puis prends la partie réelle ou imaginaire.
- Variation des constantes pour $y'' + ay' + by = f(x)$ : si $y_1$ et $y_2$ sont deux solutions homogènes non proportionnelles, on cherche $y = u(x)y_1 + v(x)y_2$ avec $u'y_1 + v'y_2 = 0$ et $u'y_1' + v'y_2' = f$.
Piège classique : quand $\lambda$ est racine de l'équation caractéristique, l'essai $ke^{\lambda x}$ échoue. Pour $y'' - y = e^x$, chercher $y_p = ke^x$ donne $0 = e^x$, impossible, car $1$ est racine de $r^2 - 1 = 0$. Il faut multiplier par $x$ (par $x^2$ si la racine est double) : $y_p = kxe^x$. Avec un second membre polynôme, le même piège guette dès que $0$ est racine.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Résous sur $\mathbb{R}$ l'équation $y' + y = x$, puis trouve la solution qui vérifie $y(0) = 1$.
Correction :
On résout l'équation homogène, puis on cherche une solution particulière polynomiale de degré 1, comme le second membre.
Les solutions homogènes sont les $Ce^{-x}$. Avec $y_p = ax + b$, l'équation donne $a + ax + b = x$, donc $a = 1$ et $b = -1$. Les solutions sont $y = Ce^{-x} + x - 1$.
Enfin $y(0) = C - 1 = 1$ donne $C = 2$ : $y = 2e^{-x} + x - 1$.
Exercice 2 : Résous $y'' - 3y' + 2y = 0$, puis trouve la solution telle que $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$.
Correction :
On passe par l'équation caractéristique, puis les deux conditions fixent les deux constantes.
L'équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$ s'écrit $(r - 1)(r - 2) = 0$ : deux racines réelles, $1$ et $2$, donc $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$.
Les conditions donnent $C_1 + C_2 = 0$ et $C_1 + 2C_2 = 1$, d'où $C_2 = 1$ et $C_1 = -1$ : $y = e^{2x} - e^{x}$.
Exercice 3 : Donne les solutions réelles de $y'' + 4y' + 4y = 0$.
Correction :
On cherche les racines de l'équation caractéristique : ici, une racine double.
$r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ s'annule seulement en $r_0 = -2$. La seconde solution de base est alors $xe^{-2x}$ : $y = (C_1x + C_2)e^{-2x}$, avec $C_1$ et $C_2$ réels.
L'erreur à éviter : écrire $C_1e^{-2x} + C_2e^{-2x}$, qui ne contient en réalité qu'une seule constante.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Donne les solutions réelles de $y'' + 2y' + 5y = 0$.
Correction :
Le discriminant est négatif : les solutions réelles s'écrivent avec un cosinus et un sinus.
Pour $r^2 + 2r + 5 = 0$, $\Delta = 4 - 20 = -16$, d'où $r = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$. Avec $\alpha = -1$ et $\beta = 2$ : $y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$, avec $C_1$ et $C_2$ réels.
L'erreur à éviter : inverser les rôles. La partie réelle va dans l'exponentielle, la partie imaginaire dans le cosinus et le sinus.
Exercice 5 : Sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$, résous $xy' - 2y = x^2$ par la variation de la constante, puis donne la solution telle que $y(1) = 1$.
Correction :
On normalise, on résout l'équation homogène, puis on fait varier la constante.
Comme $x$ ne s'annule pas sur cet intervalle, l'équation devient $y' - \frac{2}{x}y = x$. Une primitive de $-\frac{2}{x}$ est $-2\ln x$, donc $y_h = Ce^{2\ln x} = Cx^2$.
On pose $y = C(x)x^2$ : il reste $C'(x)x^2 = x$, soit $C'(x) = \frac{1}{x}$ et $C(x) = \ln x + K$. Les solutions sont $y = x^2\ln x + Kx^2$.
Comme $y(1) = K = 1$ : $y = x^2(\ln x + 1)$.
L'erreur à éviter : oublier de diviser par $x$, et prendre à tort $A(x) = -2x$.
Exercice 6 : Résous $y'' + y' = x^2$ sur $\mathbb{R}$.
Correction :
Solutions homogènes, puis solution particulière polynomiale dont on relève le degré, car $0$ est racine de l'équation caractéristique.
$r^2 + r = r(r + 1)$ a pour racines $0$ et $-1$, donc $y_h = C_1 + C_2e^{-x}$.
Un polynôme de degré 2 ne suffit pas : dans $y'' + y'$, son terme en $x^2$ disparaît. On cherche donc $y_p = ax^3 + bx^2 + cx$, et $y_p'' + y_p' = 3ax^2 + (6a + 2b)x + 2b + c = x^2$ donne $a = \frac{1}{3}$, $b = -1$ et $c = 2$.
Les solutions sont $y = C_1 + C_2e^{-x} + \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Trouve la solution de $y'' - 2y' + y = e^x$ telle que $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.
Correction :
Comme $r^2 - 2r + 1 = (r - 1)^2$, $1$ est racine double : on cherche $y_p = kx^2e^x$, puis on applique les conditions à la solution complète.
Avec $y_p' = k(x^2 + 2x)e^x$ et $y_p'' = k(x^2 + 4x + 2)e^x$, l'équation se réduit à $2ke^x = e^x$, soit $k = \frac{1}{2}$. Les solutions sont $y = \left(\frac{x^2}{2} + C_1x + C_2\right)e^x$.
Puis $y(0) = C_2 = 1$ et $y'(0) = C_1 + C_2 = 0$, donc $C_1 = -1$ : $y = \left(\frac{x^2}{2} - x + 1\right)e^x$.
Exercice 8 : Résous $y'' + y = \sin x$ sur $\mathbb{R}$, puis trouve les solutions telles que $y(0) = 0$ et $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Correction :
On passe par l'exponentielle complexe, puis on applique les deux conditions à la solution complète.
Ici $y_h = C_1\cos x + C_2\sin x$. Comme $\sin x = \operatorname{Im}(e^{ix})$ et que $i$ est racine simple de $r^2 + 1 = 0$, on résout $z'' + z = e^{ix}$ avec $z = kxe^{ix}$. On trouve $z'' + z = 2ik\,e^{ix}$, donc $k = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}$, et $y_p = \operatorname{Im}(z) = -\frac{x}{2}\cos x$.
Les solutions sont $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{x}{2}\cos x$. La condition $y(0) = 0$ donne $C_1 = 0$, puis $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_2 = 0$. Il y a une seule solution : $y = -\frac{x}{2}\cos x$.
L'erreur à éviter : oublier $y_p$ en appliquant les conditions. On conclurait à $y = 0$, qui ne vérifie même pas l'équation.
Exercice 9 : Une masse $m = 1$ kg, accrochée à un ressort de raideur $k = 10$ N/m, subit un frottement fluide de coefficient $c = 2$ kg/s. Sa position $x(t)$, en mètres, comptée depuis la position d'équilibre, vérifie $mx'' + cx' + kx = 0$, avec $t$ en secondes. On l'écarte de $0{,}1$ m et on la lâche sans vitesse : $x(0) = 0{,}1$ et $x'(0) = 0$. Détermine $x(t)$, puis la pseudo-période $T$ du mouvement, c'est-à-dire la période du cosinus et du sinus qui apparaissent dans $x(t)$.
Correction :
On remplace les données, on résout l'équation caractéristique, puis on applique les conditions initiales.
Avec les valeurs de l'énoncé, $x'' + 2x' + 10x = 0$. Pour $r^2 + 2r + 10 = 0$, $\Delta = -36$, d'où $r = -1 \pm 3i$ et $x(t) = e^{-t}(C_1\cos 3t + C_2\sin 3t)$.
D'abord $x(0) = C_1 = 0{,}1$. En dérivant, $x'(0) = -C_1 + 3C_2 = 0$, donc $C_2 = \frac{1}{30}$.
On obtient $x(t) = e^{-t}\left(0{,}1\cos 3t + \frac{1}{30}\sin 3t\right)$ m et $T = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$ s. Le facteur $e^{-t}$ fait décroître l'amplitude : les oscillations s'amortissent.
Exercice 10 : Sur $I = \left]-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$, résous $y'' + y = \frac{1}{\cos x}$ par la variation des constantes.
Correction :
Aucune forme de solution particulière ne se devine : on fait varier les deux constantes de $y_h = C_1\cos x + C_2\sin x$.
On cherche $y = u(x)\cos x + v(x)\sin x$ avec
$$\begin{cases} u'\cos x + v'\sin x = 0 \\ -u'\sin x + v'\cos x = \dfrac{1}{\cos x} \end{cases}$$
Le déterminant de ce système, appelé wronskien, vaut $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. On en tire $u' = -\frac{\sin x}{\cos x}$ et $v' = 1$. Sur $I$, $\cos x > 0$, donc on peut prendre $u = \ln(\cos x)$ et $v = x$.
Les solutions sont $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\ln(\cos x) + x\sin x$, avec $C_1$ et $C_2$ réels.
L'erreur à éviter : écrire $\ln(\cos x)$ sans vérifier le signe de $\cos x$ ; sur un intervalle où $\cos x < 0$, on prendrait $\ln|\cos x|$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : l'équation homogène d'abord, une solution particulière ensuite, les constantes en dernier, sur la solution complète. Avant de choisir la forme de $y_p$, regarde si $\lambda$, ou $0$ pour un polynôme, est racine de l'équation caractéristique.
Pour contrôler un résultat, réinjecte-le dans l'équation et vérifie les conditions : deux lignes de calcul suffisent souvent à repérer une erreur de signe.
Les exercices 1 à 9 relèvent du programme de mathématiques de MPSI ; la variation des constantes à l'ordre 2 (exercice 10) est au programme de deuxième année de MP, dans les textes officiels publiés en 2021.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MPSI et MP2I, 2021, partie « Primitives et équations différentielles linéaires ».
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MP et MPI, 2021, partie « Équations différentielles linéaires ».