Niveau : moyen. Durée estimée : 90 min. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Devant l'intégrale d'un produit, pense Hölder : $\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q$ dès que $\frac1p+\frac1q=1$. Devant la norme d'une somme, pense Minkowski. Exemple : sur $[0;1]$, avec $g=1$ et $p=q=2$, tu obtiens $\int_0^1|f|\,dx\le\left(\int_0^1 f^2\,dx\right)^{1/2}$.
Le cadre : $(X,\mathcal{A},\mu)$ est un espace mesuré. Pour $1\le p<\infty$, $\|f\|_p=\left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}$. La norme $\|f\|_\infty$ est le sup essentiel de $|f|$ : le plus petit $M$ tel que $|f|\le M$ presque partout (p.p., c'est-à-dire hors d'un ensemble de mesure nulle). L'espace $L^p$ réunit les fonctions mesurables telles que $\|f\|_p<\infty$, deux fonctions égales p.p. étant confondues. Les exposants $p$ et $q=\frac{p}{p-1}$ sont dits conjugués ; $1$ et $\infty$ le sont aussi.
Formules à retenir :
- Young, pour $a,b\ge0$ et $1<p<\infty$ : $ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.
- Hölder, pour $p$ et $q$ conjugués : $\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q$.
- Minkowski, pour $1\le p\le\infty$ : $\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p$.
- Mesure finie, pour $1\le p\le q\le\infty$ : $\|f\|_p\le\mu(X)^{\frac1p-\frac1q}\,\|f\|_q$.
- Dualité : si $\mu$ est $\sigma$-finie et $1\le p<\infty$, toute forme linéaire continue $\varphi$ sur $L^p$ s'écrit $\varphi(f)=\int_X fg\,d\mu$ pour un unique $g\in L^q$, et $\|\varphi\|=\|g\|_q$.
Une mesure est $\sigma$-finie quand $X$ est une réunion dénombrable d'ensembles de mesure finie, comme $\mathbb{R}$ avec la mesure de Lebesgue. La norme d'une forme linéaire continue est $\|\varphi\|=\sup\{|\varphi(f)|:\|f\|_p=1\}$. Ce théorème de dualité, dit aussi de représentation de Riesz, est énoncé ainsi dans le corrigé du TD 10 d'intégration de l'ENS ; il ne dit rien pour $p=\infty$.
Piège classique : « plus l'exposant est grand, plus l'espace est petit » n'est vrai que si $\mu(X)<\infty$. Sur $[0;1]$, $L^2\subset L^1$. Sur $\mathbb{R}$ avec la mesure de Lebesgue, aucune inclusion ne tient entre $L^1$ et $L^2$. Pour les suites, notées $\ell^p$ (mesure de comptage, qui donne la masse $1$ à chaque entier), c'est même l'inverse : $\ell^1\subset\ell^2$, car une suite sommable tend vers $0$, donc $|a_n|^2\le|a_n|$ à partir d'un rang.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Sur $[0;1]$ muni de la mesure de Lebesgue, on pose $f(x)=x$. Calcule $\|f\|_1$, $\|f\|_2$, puis $\|f\|_p$ pour $1\le p<\infty$, et $\|f\|_\infty$. Montre que $\|f\|_p$ tend vers $\|f\|_\infty$ quand $p\to\infty$.
Correction :
On intègre $|f|^p$, puis on prend la racine $p$-ième : $\int_0^1 x^p\,dx=\frac{1}{p+1}$, donc $\|f\|_p=(p+1)^{-1/p}$. D'où $\|f\|_1=\frac12$ et $\|f\|_2=\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$.
Le sup essentiel : $f\le1$ partout, et pour $0\le M<1$, l'ensemble $]M;1]$ où $f>M$ est de mesure $1-M>0$. Donc $\|f\|_\infty=1$.
Enfin $\ln\|f\|_p=-\frac{\ln(p+1)}{p}\to0$, donc $\|f\|_p\to1=\|f\|_\infty$.
Exercice 2 : a) Donne l'exposant conjugué de $p=\frac32$, de $p=4$ et de $p=1$.
b) Soient $1<p<\infty$, $q$ son conjugué et $a,b>0$. En écrivant $ab=\exp\left(\frac1p\ln a^p+\frac1q\ln b^q\right)$, démontre l'inégalité de Young grâce à la convexité de $\exp$.
Correction :
a) On résout $\frac1q=1-\frac1p$, soit $q=\frac{p}{p-1}$ : $q=3$ pour $p=\frac32$, $q=\frac43$ pour $p=4$, et $q=\infty$ pour $p=1$.
b) Les poids $\frac1p$ et $\frac1q$ sont positifs, de somme $1$, donc la convexité donne $\exp\left(\frac{u}{p}+\frac{v}{q}\right)\le\frac{e^u}{p}+\frac{e^v}{q}$. Avec $u=\ln a^p$ et $v=\ln b^q$, on obtient $ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$. Si $a$ ou $b$ est nul, l'inégalité est évidente.
Exercice 3 : Un capteur délivre la tension $u(t)=U_m\sin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$, avec $U_m=10$ V, observée sur une période $T$. Sa valeur moyenne redressée est $\bar{u}=\frac1T\int_0^T|u(t)|\,dt$ et sa valeur efficace $U_{\text{eff}}=\left(\frac1T\int_0^T u(t)^2\,dt\right)^{1/2}$.
a) Avec Hölder pour $p=q=2$ (l'inégalité de Cauchy-Schwarz), justifie que $\bar{u}\le U_{\text{eff}}$ pour toute tension de carré intégrable sur $[0;T]$.
b) Calcule $\bar{u}$ et $U_{\text{eff}}$ pour ce capteur, puis compare.
Correction :
a) Hölder avec $|u|$ et la fonction constante $1$ : $\int_0^T|u|\,dt\le\left(\int_0^T u^2\,dt\right)^{1/2}\sqrt{T}$. On divise par $T$ : $\bar{u}\le U_{\text{eff}}$.
b) Avec $s=\frac{2\pi t}{T}$, $\int_0^T\left|\sin\frac{2\pi t}{T}\right|dt=\frac{T}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\sin s|\,ds=\frac{T}{2\pi}\times4=\frac{2T}{\pi}$, donc $\bar{u}=\frac{2U_m}{\pi}$. De même $\int_0^T\sin^2\frac{2\pi t}{T}\,dt=\frac{T}{2}$, donc $U_{\text{eff}}=\frac{U_m}{\sqrt2}$.
$\bar{u}\approx6{,}37$ V et $U_{\text{eff}}\approx7{,}07$ V : l'inégalité est bien vérifiée, et stricte.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soient $1<p<\infty$, $q$ son conjugué, $f\in L^p$ et $g\in L^q$.
a) On suppose $\|f\|_p=\|g\|_q=1$. Applique Young à $a=|f(x)|$ et $b=|g(x)|$ pour montrer que $\int_X|fg|\,d\mu\le1$.
b) Déduis-en l'inégalité de Hölder dans le cas général.
c) Démontre-la pour $p=1$ et $q=\infty$.
Correction :
a) Pour presque tout $x$, $|f(x)g(x)|\le\frac{|f(x)|^p}{p}+\frac{|g(x)|^q}{q}$. On intègre : $\int_X|fg|\,d\mu\le\frac{\|f\|_p^p}{p}+\frac{\|g\|_q^q}{q}=\frac1p+\frac1q=1$.
b) Si $\|f\|_p=0$ ou $\|g\|_q=0$, alors $fg=0$ p.p. et tout est nul. Sinon, on applique a) à $\frac{f}{\|f\|_p}$ et $\frac{g}{\|g\|_q}$, puis on multiplie par $\|f\|_p\|g\|_q$ : $\int_X|fg|\,d\mu\le\|f\|_p\,\|g\|_q$.
c) $|g|\le\|g\|_\infty$ p.p., donc $\int_X|fg|\,d\mu\le\|g\|_\infty\int_X|f|\,d\mu=\|f\|_1\,\|g\|_\infty$.
L'erreur à éviter : appliquer Young sans normaliser. Tu obtiens alors $\frac{\|f\|_p^p}{p}+\frac{\|g\|_q^q}{q}$, qui n'est pas un produit de normes.
Exercice 5 : Soient $1<p<\infty$, $q$ son conjugué et $f,g\in L^p$.
a) Justifie que $f+g\in L^p$ à l'aide de l'inégalité $(a+b)^p\le2^{p-1}(a^p+b^p)$ pour $a,b\ge0$, qui vient de la convexité de $t\mapsto t^p$.
b) En partant de $|f+g|^p\le|f|\,|f+g|^{p-1}+|g|\,|f+g|^{p-1}$, démontre l'inégalité de Minkowski.
Correction :
a) $|f+g|^p\le(|f|+|g|)^p\le2^{p-1}(|f|^p+|g|^p)$, qui est intégrable : $\|f+g\|_p$ est fini.
b) Comme $(p-1)q=p$, on a $\left\||f+g|^{p-1}\right\|_q=\left(\int_X|f+g|^p\,d\mu\right)^{1/q}=\|f+g\|_p^{p/q}$. Hölder appliqué à chaque terme donne $\|f+g\|_p^p\le\left(\|f\|_p+\|g\|_p\right)\|f+g\|_p^{p/q}$.
Si $\|f+g\|_p=0$, il n'y a rien à montrer. Sinon, on divise par $\|f+g\|_p^{p/q}$, fini grâce à a), et $p-\frac{p}{q}=1$ : $\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p$.
Exercice 6 : On suppose $\mu(X)<\infty$ et $1\le p<q<\infty$.
a) Applique Hölder à $|f|^p$ et à la fonction constante $1$, avec l'exposant $r=\frac{q}{p}$ et son conjugué, pour montrer que $\|f\|_p\le\mu(X)^{\frac1p-\frac1q}\,\|f\|_q$.
b) Conclus que $L^q\subset L^p$, puis traite le cas $q=\infty$.
Correction :
a) $r=\frac{q}{p}>1$ a pour conjugué $r'=\frac{q}{q-p}$. Hölder donne $\int_X|f|^p\,d\mu\le\left(\int_X|f|^q\,d\mu\right)^{p/q}\mu(X)^{\frac{q-p}{q}}$. On prend la racine $p$-ième, avec $\frac{q-p}{pq}=\frac1p-\frac1q$ : $\|f\|_p\le\mu(X)^{\frac1p-\frac1q}\,\|f\|_q$.
b) Si $\|f\|_q$ est fini, $\|f\|_p$ aussi : $L^q\subset L^p$. Pour $q=\infty$, $|f|^p\le\|f\|_\infty^p$ p.p., donc $\|f\|_p\le\mu(X)^{1/p}\,\|f\|_\infty$.
Sur $[0;1]$, où $\mu(X)=1$, la fonction $p\mapsto\|f\|_p$ est donc croissante : c'est ce qu'illustrait l'exercice 1.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Soient $1\le p<q<\infty$. Sur $\mathbb{R}$ muni de la mesure de Lebesgue $\lambda$, on pose $f(x)=x^{-1/p}$ si $x\ge1$, $f(x)=0$ sinon, et $g(x)=x^{-1/q}$ si $0<x\le1$, $g(x)=0$ sinon.
a) Montre que $f\in L^q$ mais $f\notin L^p$.
b) Montre que $g\in L^p$ mais $g\notin L^q$.
c) Que conclus-tu sur les inclusions entre $L^p(\mathbb{R})$ et $L^q(\mathbb{R})$ ? Quelle hypothèse de l'exercice 6 manque ici ?
Correction :
On compare aux intégrales de Riemann : $\int_1^{+\infty}x^{-\alpha}\,dx$ converge si et seulement si $\alpha>1$, et $\int_0^1 x^{-\alpha}\,dx$ si et seulement si $\alpha<1$.
a) $|f|^p=x^{-1}$ sur $[1;+\infty[$ : l'intégrale diverge, $f\notin L^p$. $|f|^q=x^{-q/p}$ avec $\frac{q}{p}>1$ : elle converge, $f\in L^q$.
b) $|g|^q=x^{-1}$ sur $]0;1]$ : divergence, $g\notin L^q$. $|g|^p=x^{-p/q}$ avec $\frac{p}{q}<1$ : convergence, $g\in L^p$.
c) Aucune des deux inclusions n'est vraie sur $\mathbb{R}$. $f$ décroît trop lentement à l'infini pour être dans $L^p$, $g$ monte trop vite en $0$ pour être dans $L^q$. L'hypothèse $\mu(X)<\infty$ manque : $\lambda(\mathbb{R})=+\infty$.
Exercice 8 : Soient $\mu$ une mesure $\sigma$-finie, $1<p<\infty$, $q$ son conjugué et $g\in L^q$ une fonction réelle non nulle. Pour $f\in L^p$, on pose $\varphi_g(f)=\int_X fg\,d\mu$.
a) Montre que $\varphi_g$ est une forme linéaire continue sur $L^p$, avec $\|\varphi_g\|\le\|g\|_q$.
b) Soit $f_0=\operatorname{sgn}(g)\,|g|^{q-1}$, où $\operatorname{sgn}(g)$ vaut $1$, $-1$ ou $0$ selon le signe de $g$. Calcule $\|f_0\|_p$ et $\varphi_g(f_0)$, puis déduis-en $\|\varphi_g\|=\|g\|_q$.
c) Avec le théorème de représentation de Riesz (admis), montre que $g\mapsto\varphi_g$ identifie $L^q$ au dual de $L^p$.
d) Contre-exemple pour $p=1$ : sur $E=\{a,b\}$, on pose $\mu(\{a\})=1$ et $\mu(\{b\})=+\infty$. Décris $L^1$ et $L^\infty$, puis montre que $g\mapsto\varphi_g$, de $L^\infty$ dans le dual de $L^1$, n'est pas injective. Pourquoi le théorème ne s'applique-t-il pas ?
Correction :
a) La linéarité vient de celle de l'intégrale. Hölder donne $|\varphi_g(f)|\le\|f\|_p\,\|g\|_q$ : $\varphi_g$ est continue et $\|\varphi_g\|\le\|g\|_q$.
b) Comme $(q-1)p=q$, $|f_0|^p=|g|^q$, donc $\|f_0\|_p=\|g\|_q^{q/p}$, fini et non nul. Et $f_0g=|g|^q$, donc $\varphi_g(f_0)=\|g\|_q^q$. Le quotient vaut $\frac{\varphi_g(f_0)}{\|f_0\|_p}=\|g\|_q^{q-q/p}=\|g\|_q$, puisque $q-\frac{q}{p}=1$. Donc $\|\varphi_g\|\ge\|g\|_q$ et, avec a), $\|\varphi_g\|=\|g\|_q$. Ce $f_0$ réalise l'égalité dans Hölder : $|f_0|^p$ est proportionnel à $|g|^q$ et $f_0g\ge0$.
c) L'application $g\mapsto\varphi_g$ est linéaire et conserve la norme d'après b), donc elle est injective. Riesz dit que toute forme linéaire continue sur $L^p$ est un $\varphi_g$ : elle est surjective. C'est une isométrie bijective, $(L^p)'\simeq L^q$.
d) $f$ est intégrable si et seulement si $|f(b)|\,\mu(\{b\})<\infty$, soit $f(b)=0$ : $L^1=\{f:f(b)=0\}$. Le seul ensemble de mesure nulle est $\emptyset$, donc $L^\infty$ contient toutes les fonctions. Pour $g=\mathbf{1}_{\{b\}}$, non nulle dans $L^\infty$, $\varphi_g(f)=f(b)\,\mu(\{b\})=0$ pour tout $f\in L^1$, avec la convention $0\times\infty=0$ : $g\mapsto\varphi_g$ n'est pas injective. La mesure n'est pas $\sigma$-finie, car $\{b\}$ n'est contenu dans aucune réunion dénombrable d'ensembles de mesure finie. Ce contre-exemple figure dans le même corrigé de l'ENS.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : normalise avant d'appliquer Young, et vérifie tes exposants avec $(p-1)q=p$. Avant d'écrire une inclusion entre espaces $L^p$, regarde si $\mu(X)$ est finie. Pour calculer la norme d'une forme $\varphi_g$, teste $\operatorname{sgn}(g)\,|g|^{q-1}$.
En contrôle, une preuve de Hölder ou de Minkowski tient en quelques lignes. Si la tienne s'allonge, vérifie d'abord la normalisation.
Sources
Théorème de dualité $L^p$-$L^q$ et contre-exemple non $\sigma$-fini : École normale supérieure (PSL), corrigé du TD 10 d'intégration « Mesures signées, théorème de Radon-Nikodym, dualité $L^p$-$L^q$ ».