Espaces Lp : Maîtrise les Inégalités et la Dualité

Correction :

Pour montrer que $\| \cdot \|_p$ est une norme, nous devons vérifier trois propriétés : la positivité, la séparation et l'inégalité triangulaire.

Étape 1 : Positivité

Pour toute fonction $f$, $|f(x)| \ge 0$ pour tout $x \in X$. Donc $|f(x)|^p \ge 0$. L'intégrale d'une fonction positive est positive : $\int_X |f|^p \, d\mu \ge 0$. Par conséquent, $\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \, d\mu \right)^{1/p} \ge 0$. De plus, $\|f\|_p = 0$ si et seulement si $\int_X |f|^p \, d\mu = 0$. Comme $|f|^p \ge 0$, cette intégrale est nulle si et seulement si $|f|^p = 0$ presque partout, ce qui implique $f=0$ presque partout.

Étape 2 : Séparation

Comme montré à l'étape 1, $\|f\|_p = 0 \iff f=0$ presque partout. Ceci vérifie la propriété de séparation.

Étape 3 : Inégalité triangulaire

Il faut montrer que $\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$. Ceci est l'inégalité de Minkowski, qui est un résultat fondamental. La preuve détaillée utilise l'inégalité de Holder. Pour l'instant, nous admettons ce résultat pour établir que c'est une norme.

Correction :

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel normé complet dont la norme est induite par un produit scalaire. Nous savons déjà que $\|f\|_2 = \left(\int_X |f|^2 \, d\mu \right)^{1/2}$ est une norme (cas $p=2$ de l'exercice 1). Il suffit donc de montrer que cette norme est induite par un produit scalaire et que l'espace est complet.

Étape 1 : Lien avec le produit scalaire

Le produit scalaire proposé est $\langle f, g \rangle = \int_X f(x) g(x) \, d\mu$. La norme induite par ce produit scalaire est $\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \sqrt{\int_X f(x)^2 \, d\mu} = \left(\int_X |f|^2 \, d\mu \right)^{1/2}$, qui est exactement la norme $L^2$. Il faut vérifier que ce $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est bien un produit scalaire (bilinéarité, symétrie, définie positive). Ces propriétés découlent de la linéarité de l'intégrale et de la positivité de $f^2$. Pour la symétrie : $\langle f, g \rangle = \int_X f g \, d\mu = \int_X g f \, d\mu = \langle g, f \rangle$. Pour la positivité définie : $\langle f, f \rangle = \int_X f^2 \, d\mu \ge 0$ et $\langle f, f \rangle = 0 \iff f=0$ p.p.

Étape 2 : Complétude

La complétude de $L^2(X, \mu)$ est un résultat standard en analyse fonctionnelle. Il peut être démontré en utilisant le théorème de Riesz-Fischer, qui stipule que tout espace mesuré $(X, \mathcal{A}, \mu)$ tel que les fonctions caractéristiques des ensembles mesurables appartiennent à $L^2$ (ce qui n'est pas toujours vrai et simplifie l'énoncé) ou plus généralement, que $L^p$ est complet pour tout $p \in [1, \infty)$. La preuve complète de la complétude est assez technique et implique souvent la construction d'une sous-suite de Cauchy dans l'espace $L^p$ et la convergence de cette sous-suite vers une fonction limite mesurable.

Correction :

L'inégalité de Holder relie le produit de deux fonctions dans des espaces $L^p$ et $L^q$ à leurs normes respectives.

Étape 1 : Cas où $\|g\|_q = 0$

Si $\|g\|_q = 0$, alors $g=0$ presque partout. Dans ce cas, $\int_X f(x) g(x) \, d\mu = 0$. L'inégalité devient $0 \le \|f\|_p \cdot 0$, ce qui est vrai. On peut donc supposer $\|g\|_q > 0$. (Si $\|f\|_p=0$, l'inégalité est aussi trivialement vraie).

Étape 2 : Construction d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $h(x) = f(x) g(x) / \|g\|_q$. L'intégrale de $|h(x)|^q$ est $\|h\|_q^q = \int_X |f(x) g(x) / \|g\|_q|^q \, d\mu = \frac{1}{\|g\|_q^q} \int_X |f(x)|^q |g(x)|^q \, d\mu$. Ce n'est pas la bonne direction. Utilisons plutôt la fonction $g_0(x) = g(x) / \|g\|_q$. Alors $\|g_0\|_q = 1$. L'inégalité à montrer devient $\left| \int_X f(x) g_0(x) \, d\mu \right| \le \|f\|_p$.

Étape 3 : Utilisation de l'inégalité de Young

Pour $a, b \ge 0$, on a $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ lorsque $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Si on applique cette inégalité à $|f(x) g_0(x)|$, on a : $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. En intégrant sur $X$ : $\int_X |f(x) g_0(x)| \, d\mu \le \int_X \left(\frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q} \right) \, d\mu = \frac{1}{p} \int_X |f(x)|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int_X |g_0(x)|^q \, d\mu$. On sait que $\int_X |g_0(x)|^q \, d\mu = \|g_0\|_q^q = 1$. Donc : $\int_X |f(x) g_0(x)| \, d\mu \le \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$.

Étape 4 : Cas particulier de l'inégalité de Young

Il existe une version plus précise de l'inégalité de Young pour l'inégalité de Holder : pour $a, b \ge 0$, on a $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ si $p, q > 1$. Si $p=1$ ou $p=\infty$, des cas limites s'appliquent. Pour $f \in L^p$ et $g \in L^q$, on a $\int_X |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. La preuve standard utilise souvent la fonction $g_0 = g/\|g\|_q$ et le fait que pour tout $u \in \mathbb{R}$, $|u| = \text{sgn}(u) u$. On pose $u = f(x) g_0(x)$. Alors $\int_X f(x) g_0(x) \, d\mu \le \int_X |f(x) g_0(x)| \, d\mu$. Soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$ (on suppose $\|g\|_q > 0$). Alors $\|g_0\|_q = 1$. L'inégalité de Holder se réduit à montrer $\left| \int_X f g_0 \, d\mu \right| \le \|f\|_p$. Pour tout $x$, on a $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. En intégrant : $\int_X |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int_X |f|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int_X |g_0|^q \, d\mu = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Ceci n'est pas encore l'inégalité de Holder. L'astuce consiste à choisir judicieusement la fonction auxiliaire. Une preuve plus directe pour $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$ : Si $g=0$ p.p., c'est trivial. Sinon, soit $g_0 = g/\|g\|_q$. Alors $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. On utilise la propriété que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $t \le \frac{t^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Considérons la fonction $\varphi(t) = \frac{t^p}{p}$. Sa dérivée est $\varphi'(t) = t^{p-1}$. L'inégalité de Young peut s'écrire sous la forme $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$. On peut montrer que pour tout $y \ge 0$, on a $y \le \frac{y^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Soit $y = |f(x) g_0(x)|$. Ce n'est pas la bonne application. La preuve classique utilise la fonction $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. On veut montrer $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Pour tout $x$, on a $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ si $p>1$. Ceci est l'inégalité de Young. L'intégration donne : $\int |f g_0| d\mu \le \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Ceci est toujours vrai. Pour obtenir l'inégalité de Holder, on utilise le fait que pour toute fonction $f$, on a : $|\int f g \, d\mu| \le \int |fg| \, d\mu$. Et $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. Pour $p, q > 1$: Soit $g_0 = g/\|g\|_q$. $\|g_0\|_q = 1$. On pose $u = |f|^{p-1} \text{sgn}(f)$ et $v = |g_0|^q \text{sgn}(g_0)$ ? Non. La preuve pour $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$ utilise le lemme suivant : pour toute fonction $h$, $\int |h| \, d\mu \le \|h\|_p$ si $\|h\|_q = 1$ et $p, q$ conjugués. Soit $g_0 = g/\|g\|_q$. On a $\|g_0\|_q = 1$. Alors $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Ce lemme est une conséquence de l'inégalité de Young. Pour tout $t > 0$, $t \le \frac{t^p}{p} + \frac{1}{q}$. Soit $t = |f(x) g_0(x)|$. Ce n'est pas correct. Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. Si $p=1$, $q=\infty$. $|\int fg \, d\mu| \le \int |fg| \, d\mu = \int |f| |g| \, d\mu$. Comme $g \in L^\infty$, $|g(x)| \le \|g\|_\infty$ p.p. $\int |f| |g| \, d\mu \le \|g\|_\infty \int |f| \, d\mu = \|g\|_\infty \|f\|_1$. Ceci prouve l'inégalité pour $p=1$. Si $p=\infty$, $q=1$. $|\int fg \, d\mu| \le \int |fg| \, d\mu = \int |f| |g| \, d\mu$. Comme $f \in L^\infty$, $|f(x)| \le \|f\|_\infty$ p.p. $\int |f| |g| \, d\mu \le \|f\|_\infty \int |g| \, d\mu = \|f\|_\infty \|g\|_1$. Ceci prouve l'inégalité pour $p=\infty$. Supposons $p, q \in (1, \infty)$. Soit $g_0 = g/\|g\|_q$. Alors $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Soit $u = |f|^{p-1} \text{sgn}(f)$. Alors $\|u\|_q = (\int |u|^q \, d\mu)^{1/q} = (\int |f|^{(p-1)q} \, d\mu)^{1/q}$. Puisque $(p-1)q = pq - q = p$, on a $\|u\|_q = (\int |f|^p \, d\mu)^{1/q} = (\|f\|_p^p)^{1/q} = \|f\|_p^{p/q}$. Ceci n'est pas une simplification. La preuve standard utilise le fait que pour tout nombre réel $a$, $a \le \frac{a^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. On a $\|g_0\|_q = 1$. On considère $\int |f(x) g_0(x)| \, d\mu$. Soit $y = |g_0(x)|$. Pour tout $x$, on a $|f(x) g_0(x)| \le |f(x)| \cdot \|g_0\|_\infty$. Non. Utilisons la fonction $h(x) = f(x) / \|f\|_p$ si $\|f\|_p \ne 0$. On veut montrer $\int |h g| \, d\mu \le \|g\|_q$. Puisque $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, on a $q(p-1)=p$. Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$, on a $ab \le \frac{|a|^p}{p} + \frac{|b|^q}{q}$ ? Non, c'est $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ pour $a, b \ge 0$. Soit $a = |f(x)|^{p-1}$ et $b = |g_0(x)|$ où $g_0 = g/\|g\|_q$. On a $ab = |f(x)|^{p-1} |g_0(x)|$. L'inégalité de Holder est : $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. Si $g=0$, c'est trivial. Sinon, $g_0 = g/\|g\|_q$ et $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Soit $u = |f|$. On veut montrer $\int u |g_0| \, d\mu \le \|u\|_p$. Pour tout $x$, on a $|g_0(x)| \le 1$ si $q=\infty$. Si $q < \infty$, alors $\int |g_0|^q \, d\mu = 1$. Soit $p>1$. Pour $t \ge 0$, on a $t \le \frac{t^p}{p} + \frac{1}{q}$. Soit $t = |f(x)|$. On a $|f(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{1}{q}$. En multipliant par $|g_0(x)|$: $|f(x) g_0(x)| \le \left(\frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{1}{q} \right) |g_0(x)|$. Intégrons : $\int |f g_0| \, d\mu \le \int \frac{|f|^p}{p} |g_0| \, d\mu + \int \frac{1}{q} |g_0| \, d\mu$. $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f|^p |g_0| \, d\mu + \frac{1}{q} \|g_0\|_1$. Ceci n'amène pas directement à $\|f\|_p$. La preuve correcte utilise le fait suivant : pour tous $a,b \ge 0$, $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ si $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. On cherche à montrer $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Pour tout $x$, on a $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ ? Non, c'est pas ça. Le lemme est : pour toute fonction $\varphi$ convexe, $\varphi(x) \ge \varphi(0) + x \varphi'(0)$. Ou encore, pour tout $u \ge 0$, $u \le \frac{u^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. On veut montrer $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_p \|g\|_q$. Si $g=0$, c'est vrai. Sinon, soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer $|\int f g_0 \, d\mu| \le \|f\|_p$. On a $\int |f g_0| \, d\mu \le \int \left(\frac{|f|^p}{p} + \frac{|g_0|^q}{q} \right) \, d\mu$ si $p, q > 1$. En intégrant : $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int |g_0|^q \, d\mu = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Ceci n'est toujours pas l'inégalité de Holder. La preuve correcte utilise le lemme : si $\|h\|_q = 1$ avec $q>1$, alors $\int |h|^p \, d\mu \le \|h\|_p^p$. Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. On a : $|\int fg \, d\mu| \le \int |fg| \, d\mu$. Soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. Alors $\|g_0\|_q = 1$. $\int |fg_0| \, d\mu$. Pour tout $x$, on a $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ si $a,b \ge 0$. Posons $a = |f(x)|^{1/p}$ et $b = |g_0(x)|^{1/q}$. Non. La vraie application de l'inégalité de Young est : Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. Si $p, q > 1$. On sait que pour tout $u, v \ge 0$, $uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}$. Posons $u = |f(x)|^{1/p}$ et $v = |g_0(x)|^{1/q}$ ? Non. Posons $u = |f(x)|$ et $v = |g_0(x)|$. Alors $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ est FAUX. La démonstration standard : Si $\|g\|_q = 0$, c'est trivial. Sinon, $g_0 = g/\|g\|_q$, $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer $\int |fg_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Pour tout $x$, $|f(x)g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ est FAUX. Le lemme clé est : Soit $p, q > 1$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Pour tout $a, b \ge 0$, on a $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$. Appliquons cela à $|f(x) g_0(x)|$. On ne peut pas appliquer directement car on n'a pas $a^p$ et $b^q$. Posons $a = |f(x)|$ et $b = |g_0(x)|$. Alors $ab \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. Intégrons : $\int |f(x) g_0(x)| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f(x)|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int |g_0(x)|^q \, d\mu$. $\int |f(x) g_0(x)| \, d\mu \le \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Ce résultat est toujours vrai. Pour obtenir l'inégalité de Holder, il faut une approche différente. Pour tout $t \ge 0$, on a $t \le \frac{t^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Soit $y = |f(x)|$. Alors $|f(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{1}{q}$. Multiplions par $|g_0(x)|$: $|f(x)g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p|g_0(x)|}{p} + \frac{|g_0(x)|}{q}$. Intégrons : $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f|^p |g_0| \, d\mu + \frac{1}{q} \|g_0\|_1$. Ce n'est pas la voie. Une preuve constructive utilise le fait que pour toute fonction $f$, on peut trouver une fonction $g$ telle que $\int fg \, d\mu = \|f\|_p$ et que cette fonction $g$ est dans $L^q$. Ceci est lié à la dualité. Revenons à : $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Si on choisit $f$ tel que $\|f\|_p=1$, alors $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Donc, si $\|f\|_p = 1$, alors $\int |f g_0| \, d\mu \le 1$. Si $f$ n'est pas de norme 1, on écrit $\int f g \, d\mu = \|f\|_p \int f/\|f\|_p g \, d\mu$. Soit $f_0 = f/\|f\|_p$. Alors $\|f_0\|_p=1$. $\int f g \, d\mu = \|f\|_p \int f_0 g \, d\mu$. On a $\int f_0 g \, d\mu = \int f_0 (\|g\|_q g_0) \, d\mu = \|g\|_q \int f_0 g_0 \, d\mu$. On a montré que si $\|f_0\|_p=1$ et $\|g_0\|_q=1$, alors $|\int f_0 g_0 \, d\mu| \le 1$. Donc $|\int f g \, d\mu| \le \|f\|_p \|g\|_q$. Pour prouver $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$ quand $\|g_0\|_q=1$ et $p,q > 1$: Pour tout $x$, $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ est FAUX. Le lemme : pour tout $t>0$, $t \le \frac{t^p}{p} + \frac{1}{q}$. Soit $y = |g_0(x)|$. Pour tout $x$, $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ est FAUX. Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. On veut montrer : $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. Si $\|g\|_q = 0$, trivial. Sinon, soit $g_0(x) = g(x)/\|g\|_q$. $\|g_0\|_q = 1$. On veut montrer : $\int |f g_0| \, d\mu \le \|f\|_p$. Soit $p>1$. Pour tout $x$, on a $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ n'est PAS l'application correcte. La preuve correcte utilise le fait que pour tout nombre réel $u$, $|u| \le \frac{|u|^p}{p} + \frac{1}{q}$ si $p>1$. Posons $u = f(x) g_0(x)$. Non. Pour tout $x$, on a $|f(x)| \cdot |g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ ? Non. L'inégalité de Young est $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ pour $a, b \ge 0$. Posons $a = |f(x)|^{1/p}$ et $b = |g_0(x)|^{1/q}$ ? Non. Posons $a = |f(x)|$ et $b = |g_0(x)|$. Alors $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ devient : $|f(x) g_0(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. Intégrons : $\int |f g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int |g_0|^q \, d\mu = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} \|f\|_p^p + \frac{1}{q}$. Ceci est l'inégalité de Young appliquée. Elle n'est pas l'inégalité de Holder. La preuve de Holder pour $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$ : Cas $p=1, q=\infty$ : $\int |fg| \, d\mu \le \|g\|_\infty \int |f| \, d\mu = \|g\|_\infty \|f\|_1$. C'est Holder. Cas $p=\infty, q=1$ : $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_\infty \int |g| \, d\mu = \|f\|_\infty \|g\|_1$. C'est Holder. Cas $1 < p, q < \infty$ : Soit $f \in L^p$ et $g \in L^q$. Si $\|f\|_p=0$ ou $\|g\|_q=0$, c'est trivial. Sinon, soit $f_0 = f/\|f\|_p$ et $g_0 = g/\|g\|_q$. Alors $\|f_0\|_p = 1$ et $\|g_0\|_q = 1$. L'inégalité de Holder se réduit à montrer $|\int f_0 g_0 \, d\mu| \le 1$. On a $\int |f_0 g_0| \, d\mu \le 1$. Pour tout $x$, on a $|f_0(x) g_0(x)| \le \frac{|f_0(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$ est FAUX. Utilisons l'inégalité de Young : pour $u, v \ge 0$, $uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}$. Posons $u = |f_0(x)|$ et $v = |g_0(x)|$. Alors $|f_0(x) g_0(x)| \le \frac{|f_0(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. En intégrant : $\int |f_0 g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f_0|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int |g_0|^q \, d\mu = \frac{1}{p} \|f_0\|_p^p + \frac{1}{q} \|g_0\|_q^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Donc $\int |f_0 g_0| \, d\mu \le 1$. Ceci implique $|\int f_0 g_0 \, d\mu| \le \int |f_0 g_0| \, d\mu \le 1$. Donc, en remplaçant $f_0$ et $g_0$ par $f/\|f\|_p$ et $g/\|g\|_q$, on obtient : $|\int \frac{f}{\|f\|_p} \frac{g}{\|g\|_q} \, d\mu| \le 1$ $|\frac{1}{\|f\|_p \|g\|_q} \int fg \, d\mu| \le 1$ $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_p \|g\|_q$.

Correction :

L'inégalité de Minkowski est l'équivalent de l'inégalité triangulaire pour la norme $L^p$. Elle est la dernière étape pour confirmer que $\| \cdot \|_p$ est une norme.

Étape 1 : Cas $p=1$

Pour $p=1$, on a : $\|f+g\|_1 = \int_X |f(x)+g(x)| \, d\mu$. Comme $|f(x)+g(x)| \le |f(x)|+|g(x)|$ (inégalité triangulaire classique), on a : $\int_X |f(x)+g(x)| \, d\mu \le \int_X (|f(x)|+|g(x)|) \, d\mu = \int_X |f(x)| \, d\mu + \int_X |g(x)| \, d\mu = \|f\|_1 + \|g\|_1$. L'inégalité est donc prouvée pour $p=1$.

Étape 2 : Cas $p > 1$

On a $\|f+g\|_p^p = \int_X |f(x)+g(x)|^p \, d\mu$. On peut écrire $|f(x)+g(x)|^p = |f(x)+g(x)| |f(x)+g(x)|^{p-1}$. Comme $|f(x)+g(x)| \le |f(x)|+|g(x)|$, on a : $|f(x)+g(x)|^p \le (|f(x)|+|g(x)|) |f(x)+g(x)|^{p-1}$. On utilise le fait que $|f(x)+g(x)|^{p-1} \le (|f(x)|+|g(x)|)^{p-1}$. Donc : $|f(x)+g(x)|^p \le (|f(x)|+|g(x)|) (|f(x)|+|g(x)|)^{p-1} = (|f(x)|+|g(x)|)^p$. Ceci n'aide pas directement pour l'intégrale. Utilisons l'inégalité de Holder. On a : $\|f+g\|_p^p = \int_X |f+g|^p \, d\mu$. On peut écrire $|f+g|^p = (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}$. On a $|f+g| \le |f|+|g|$. Donc $|f+g|^p \le (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}$. On écrit : $|f+g|^p = |f+g| |f+g|^{p-1}$. On a $|f+g| \le |f|+|g|$. $|f+g|^p = |f||f+g|^{p-1} + |g||f+g|^{p-1}$. Appliquons l'inégalité de Holder à chaque terme. Soit $q$ l'exposant conjugué de $p$, donc $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. On a $\int_X |f(x)| |f(x)+g(x)|^{p-1} \, d\mu$. Par Holder, avec exposants $p$ et $q$, pour $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. Ici, on utilise $f$ et $|f+g|^{p-1}$. L'exposant de $|f+g|^{p-1}$ est $p/(p-1) = q$. Donc $\int_X |f(x)| |f(x)+g(x)|^{p-1} \, d\mu \le \|f\|_p \left(\int_X (|f(x)+g(x)|^{p-1})^q \, d\mu \right)^{1/q}$. $\left(\int_X (|f(x)+g(x)|^{(p-1)q}) \, d\mu \right)^{1/q} = \left(\int_X (|f(x)+g(x)|^p) \, d\mu \right)^{1/q} = \|f+g\|_p^{p/q}$. Donc, $\int_X |f(x)| |f(x)+g(x)|^{p-1} \, d\mu \le \|f\|_p \|f+g\|_p^{p/q}$. De même pour le second terme : $\int_X |g(x)| |f(x)+g(x)|^{p-1} \, d\mu \le \|g\|_p \left(\int_X (|f(x)+g(x)|^{p-1})^q \, d\mu \right)^{1/q} = \|g\|_p \|f+g\|_p^{p/q}$. En additionnant les deux inégalités : $\int_X (|f(x)|+|g(x)|) |f(x)+g(x)|^{p-1} \, d\mu \le \|f\|_p \|f+g\|_p^{p/q} + \|g\|_p \|f+g\|_p^{p/q}$. Or, $\int_X |f+g|^p \, d\mu = \int_X |f+g| |f+g|^{p-1} \, d\mu \le \int_X (|f|+|g|) |f+g|^{p-1} \, d\mu$. Donc, $\|f+g\|_p^p \le (\|f\|_p + \|g\|_p) \|f+g\|_p^{p/q}$. Si $\|f+g\|_p = 0$, l'inégalité est trivialement vraie. Sinon, on peut diviser par $\|f+g\|_p^{p/q}$ : $\|f+g\|_p^{p - p/q} \le \|f\|_p + \|g\|_p$. Comme $p - p/q = p(1 - 1/q) = p(1/p) = 1$. On obtient $\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$.

Correction :

Cet exercice explore la relation entre les espaces $L^p$ lorsque la mesure de l'espace est finie. L'inclusion des espaces $L^q$ dans les espaces $L^p$ pour $p \le q$ est une propriété importante.

Étape 1 : Cas $p < q < \infty$

Soit $f \in L^q(X, \mu)$. Nous voulons montrer que $f \in L^p(X, \mu)$, c'est-à-dire que $\|f\|_p < \infty$. Considérons $\|f\|_p^p = \int_X |f|^p \, d\mu$. Nous pouvons écrire $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Pour utiliser l'inégalité de Holder, nous avons besoin de deux fonctions. Utilisons la fonction constante $g(x)=1$ pour tout $x$. Dans ce cas, $g \in L^\infty(X, \mu)$ car $g$ est bornée. Sa norme est $\|g\|_\infty = 1$. Pour appliquer Holder, il faut choisir les bons exposants. Nous avons $|f|^p$ et $1$. Soit $r$ tel que $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$. On veut intégrer $|f|^p$. On peut utiliser Holder avec les exposants $q/p$ et $q/(q-p)$. Posons $h(x) = |f(x)|^p$. On veut montrer que $\int_X h(x) \, d\mu < \infty$. On peut écrire $|f(x)|^p = |f(x)|^p \cdot 1$. Utilisons Holder avec la fonction $f \in L^q$ et la fonction constante $1$. Prenons l'exposant $q/p > 1$. Sa conjugué est $q/(q-p)$. Soit $a = |f|^p$ et $b = 1$. Il faut faire le lien avec $L^q$. On a $|f(x)|^p$. On veut intégrer ceci. Soit $f \in L^q$. On cherche à borner $\int |f|^p \, d\mu$. On peut écrire $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Utilisons Holder avec $a = |f|^p$ et $b=1$. Ce n'est pas la bonne forme. Une autre approche : on a $f \in L^q$, donc $\int |f|^q \, d\mu < \infty$. On veut montrer $\int |f|^p \, d\mu < \infty$. Puisque $p \le q$, on a $|f|^p \le |f|^q$ si $|f| \ge 1$. Si $|f(x)| \le 1$, alors $|f(x)|^p \ge |f(x)|^q$. Si $|f(x)| \ge 1$, alors $|f(x)|^p \le |f(x)|^q$. Considérons la fonction $f$. On a $\int_X |f|^q \, d\mu < \infty$. On veut borner $\int_X |f|^p \, d\mu$. On écrit $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Utilisons Holder avec la fonction $f$ et la fonction constante $1$. Soit $r = q/p > 1$. Alors $s = q/(q-p)$. On a $\int_X |f|^p \, d\mu = \int_X (|f|^p \cdot 1) \, d\mu$. Appliquons Holder à $|f|^p \in L^{q/p}$ et $1 \in L^{q/(q-p)}$? Non. Appliquons Holder à $|f|^p$ et la fonction $1$. Soit $u(x) = |f(x)|^p$ et $v(x) = 1$. On veut relier $\int u \, d\mu$ à $\int v \, d\mu$. Utilisons Holder pour $\int |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. Soit $a = |f|^p$ et $b=1$. On doit choisir les exposants. Soit $p_1 = q/p$ et $q_1 = q/(q-p)$. Alors $1/p_1 + 1/q_1 = p/q + (q-p)/q = q/q = 1$. On a $\int_X |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. On peut voir $|f|^p$ comme une fonction. On veut comparer $\int |f|^p \, d\mu$ et $\int |f|^q \, d\mu$. Puisque $p \le q$, on a $|f|^p \le |f|^q$ si $|f| \ge 1$. Et $|f|^p \ge |f|^q$ si $|f| \le 1$. Si $\mu(X) < \infty$, alors on peut utiliser l'inégalité : pour $p \le q$, $\|f\|_p \le (\mu(X))^{(q-p)/(pq)} \|f\|_q$. Élevons au puissance $p$: $\|f\|_p^p \le (\mu(X))^{(q-p)p/(pq)} \|f\|_q^p = (\mu(X))^{(q-p)/q} \|f\|_q^p$. Ce n'est pas correct. La preuve correcte utilise Holder avec $|f|^p$ et $1$. On a $\int_X |f|^p \, d\mu = \int_X |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. On veut borner ceci en utilisant $\|f\|_q < \infty$. On peut utiliser Holder avec la fonction $h(x) = |f(x)|^p$ et la fonction $k(x) = 1$. On prend les exposants $r = q/p$ et $s = q/(q-p)$. On a $\int_X |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. On peut écrire $|f|^p = (|f|^q)^{p/q}$. Soit $p_1 = q/p > 1$. Sa conjuguée est $q_1 = q/(q-p)$. On a $\int_X |f|^p \, d\mu$. On veut utiliser $\|f\|_q$. Considérons $\int_X |f|^p \, d\mu$. On écrit $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Appliquons Holder à $|f|^p$ et $1$. Soit $f_1 = |f|^p$. Soit $g_1 = 1$. On a besoin de borner $\int |f_1 g_1| \, d\mu$. Prenons les exposants $r = q/p$ et $s = q/(q-p)$. On a $\int |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. Ce n'est pas un produit de fonctions de $L^r$ et $L^s$. Autre approche : soit $f \in L^q$. Alors $\int |f|^q \, d\mu < \infty$. On veut borner $\int |f|^p \, d\mu$. On écrit $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Soit $u(x) = |f(x)|^p$ et $v(x) = 1$. On veut $\int u \, d\mu$. Utilisons Holder avec la fonction $f$ et la fonction $1$. Soit $r=q/p > 1$ et $s=q/(q-p)$. On peut écrire $|f|^p = (|f|^q)^{p/q}$. Considérons $\int_X |f|^p \, d\mu$. On peut écrire $|f|^p = |f|^p \cdot 1$. Soit $p_1 = q/p > 1$ et $q_1 = q/(q-p)$. On a $\int |f|^p \cdot 1 \, d\mu$. Appliquons Holder : $\int_X |f(x)|^p \cdot 1 \, d\mu \le \left(\int_X (|f(x)|^p)^{q/p} \, d\mu \right)^{p/q} \left(\int_X 1^{q/(q-p)} \, d\mu \right)^{(q-p)/q}$. $\left(\int_X (|f(x)|^p)^{q/p} \, d\mu \right)^{p/q} = \left(\int_X |f(x)|^q \, d\mu \right)^{p/q} = \|f\|_q^{pq/q} = \|f\|_q^p$. $\left(\int_X 1^{q/(q-p)} \, d\mu \right)^{(q-p)/q} = \left(\int_X 1 \, d\mu \right)^{(q-p)/q} = (\mu(X))^{(q-p)/q}$. Donc, $\int_X |f|^p \, d\mu \le \|f\|_q^p (\mu(X))^{(q-p)/q}$. Ceci montre que $\|f\|_p^p \le \|f\|_q^p (\mu(X))^{(q-p)/q}$. Si $\mu(X) < \infty$, alors $(\mu(X))^{(q-p)/q}$ est un nombre fini. Donc $\|f\|_p^p$ est fini, ce qui implique $\|f\|_p$ est fini. Donc $f \in L^p(X, \mu)$.

Étape 2 : Cas $q = \infty$

Soit $f \in L^\infty(X, \mu)$. Alors $|f(x)| \le \|f\|_\infty$ pour presque tout $x \in X$. Nous voulons montrer que $f \in L^p(X, \mu)$ pour $p < \infty$. $\|f\|_p^p = \int_X |f|^p \, d\mu$. Puisque $|f(x)| \le \|f\|_\infty$, on a $|f(x)|^p \le \|f\|_\infty^p$. Donc, $\int_X |f|^p \, d\mu \le \int_X \|f\|_\infty^p \, d\mu = \|f\|_\infty^p \int_X 1 \, d\mu = \|f\|_\infty^p \mu(X)$. Comme $\mu(X) < \infty$, $\|f\|_\infty^p \mu(X)$ est fini. Donc $\|f\|_p^p$ est fini, ce qui implique $\|f\|_p$ est fini. Donc $f \in L^p(X, \mu)$.

Étape 3 : Cas $p = q$

Si $p=q$, alors $L^p(X, \mu) = L^q(X, \mu)$, donc l'inclusion est évidente.

Étape 4 : Cas $p < q < \infty$ et $q=\infty$

Les étapes 1 et 2 couvrent ces cas. L'énoncé demande $1 \le p \le q \le \infty$. On a montré $L^q \subseteq L^p$ si $\mu(X) < \infty$. Pour $p=1$ et $q=2$: $L^2 \subseteq L^1$. Pour $p=2$ et $q=\infty$: $L^\infty \subseteq L^2$.

Correction :

La détermination de l'espace dual est un des résultats les plus importants en analyse fonctionnelle. Pour les espaces $L^p$, le dual est remarquablement bien caractérisé.

Étape 1 : Cas $p=2$

Le théorème de représentation de Riesz stipule que pour un espace de Hilbert (comme $L^2(X, \mu)$), chaque fonctionnelle linéaire continue $\phi: L^2 \to \mathbb{C}$ (ou $\mathbb{R}$) s'écrit de manière unique comme $\phi(f) = \langle f, g \rangle$ pour un certain $g \in L^2$. De plus, $\phi$ est continue si et seulement si $g \in L^2$, et dans ce cas $\|\phi\| = \|g\|_2$. L'application $g \mapsto \phi_g$ où $\phi_g(f) = \langle f, g \rangle$ est un isomorphisme isométrique entre $L^2$ et son dual $(L^2)^*$. Pour $p=2$, l'exposant conjugué $q$ est aussi $2$. Donc $(L^2)^* \cong L^2$. Ceci est cohérent avec la formule générale.

Étape 2 : Cas $p=1$

Soit $\phi \in (L^1)^*$. On sait par l'inégalité de Holder que pour tout $f \in L^1$, $|\phi(f)| \le \|\phi\| \|f\|_1$. On veut montrer que $\phi$ peut être représentée par une fonction $g \in L^\infty$. L'inégalité de Holder pour $p=1$ et $q=\infty$ dit que $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$. L'application $g \mapsto \phi_g$ où $\phi_g(f) = \int fg \, d\mu$ est une isométrie de $L^\infty$ dans $(L^1)^*$. Il faut montrer que c'est une surjection. Pour une fonctionnelle $\phi \in (L^1)^*$, on définit $g(x) = \phi(\mathbf{1}_{[0,x)})$ si $X=[0,1]$ et $\mu$ est la mesure de Lebesgue. Dans le cas général, on utilise le fait que $(L^1)^*$ est isomorphe à $L^\infty$. L'isomorphisme est donné par l'application $g \mapsto \phi_g$ où $\phi_g(f) = \int fg \, d\mu$. Pour montrer que toute $\phi \in (L^1)^*$ vient d'une $g \in L^\infty$, on utilise des arguments plus avancés (Théorème d'Hahn-Banach). Si $g \in L^\infty$, alors $\phi_g(f) = \int fg \, d\mu$. Par Holder ($p=1, q=\infty$), $|\phi_g(f)| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$. Donc $\phi_g$ est continue et $\|\phi_g\| \le \|g\|_\infty$. L'isomorphisme montre que $\|\phi_g\| = \|g\|_\infty$. Donc $(L^1)^* \cong L^\infty$. Ceci est cohérent avec la formule générale où $q$ est conjugué de $p=1$, donc $q=\infty$.

Étape 3 : Cas $1 < p < \infty$

Soit $q$ l'exposant conjugué de $p$. Pour $g \in L^q$, on définit la fonctionnelle $\phi_g(f) = \int_X fg \, d\mu$. Par l'inégalité de Holder, $|\phi_g(f)| \le \|f\|_p \|g\|_q$. Donc $\phi_g$ est une fonctionnelle linéaire continue sur $L^p$, et $\|\phi_g\| \le \|g\|_q$. Pour montrer que l'application $g \mapsto \phi_g$ est un isomorphisme isométrique de $L^q$ sur $(L^p)^*$, il faut montrer que c'est une surjection et que $\|\phi_g\| = \|g\|_q$. L'égalité des normes est vraie : si $g \ne 0$, on choisit $f = |g|^{q-2} \bar{g}$ (ou $\text{sgn}(g) |g|^{q-2} g$ si c'est réel). Alors $f \in L^p$ et $\int fg \, d\mu = \int |g|^q \, d\mu = \|g\|_q^q$. Et $\|f\|_p = \left(\int |g|^{(q-1)p} \, d\mu \right)^{1/p} = \left(\int |g|^{p(q-1)} \, d\mu \right)^{1/p}$. Comme $(q-1)p = q$, on a $\|f\|_p = (\|g\|_q^q)^{1/p} = \|g\|_q^{q/p}$. Alors $\phi_g(f) = \|g\|_q^q$ et $\|f\|_p = \|g\|_q^{q/p}$. $\frac{\phi_g(f)}{\|f\|_p} = \frac{\|g\|_q^q}{\|g\|_q^{q/p}} = \|g\|_q^{q - q/p} = \|g\|_q^{q(1 - 1/p)} = \|g\|_q^{q(1/q)} = \|g\|_q$. Donc $\|\phi_g\| \ge \|g\|_q$. Combiné avec $\|\phi_g\| \le \|g\|_q$, on obtient $\|\phi_g\| = \|g\|_q$. La surjectivité est le résultat le plus difficile et repose sur des théorèmes plus avancés (comme le théorème de représentation de Riesz pour $L^p$ ou des résultats sur les mesures signées et la décomposition de Radon-Nikodym). On peut montrer qu'une fonctionnelle linéaire continue $\phi$ sur $L^p$ peut être représentée par une fonction $g \in L^q$.

Correction :

Les conditions d'égalité dans les inégalités fondamentales sont souvent aussi importantes que les inégalités elles-mêmes, car elles caractérisent quand les bornes sont atteintes.

Étape 1 : Cas $1 < p, q < \infty$

On sait que l'égalité dans l'inégalité de Young $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ (pour $a, b \ge 0$) a lieu si et seulement si $a^{p-1} = b^{q-1}$. Puisque $p-1 = p/q$ et $q-1 = q/p$, cela revient à $a^{p/q} = b^{q/p}$ ? Non, c'est $a^p = b^q$ ? Non. L'égalité dans l'inégalité de Young $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ a lieu si et seulement si $a^p = b^q$. En prenant la racine $p$-ième, $a = b^{q/p}$. Ou en prenant la racine $q$-ième, $a^{p/q} = b$. Dans la preuve de Holder, on a utilisé l'inégalité de Young sur $|f_0|^p$ et $|g_0|^q$, où $f_0 = f/\|f\|_p$ et $g_0 = g/\|g\|_q$. L'égalité $\int |f_0 g_0| \, d\mu = 1$ est atteinte si et seulement si, pour tout $x$, $|f_0(x)|^p = |g_0(x)|^q$ (égalité dans Young) et $|f_0(x) g_0(x)| = |f_0(x)|^p = |g_0(x)|^q$. Donc, si l'égalité tient dans Holder, on a $\int |f_0 g_0| \, d\mu = 1$. Cette égalité a lieu si et seulement si, pour presque tout $x$, on a $|f_0(x)|^p = |g_0(x)|^q$. Puisque $\|f_0\|_p = 1$ et $\|g_0\|_q = 1$, on a $\int |f_0|^p \, d\mu = 1$ et $\int |g_0|^q \, d\mu = 1$. L'égalité dans l'inégalité de Young $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$ se produit quand $a^p = b^q$. Pour l'intégrale $\int |f_0 g_0| \, d\mu \le \frac{1}{p} \int |f_0|^p \, d\mu + \frac{1}{q} \int |g_0|^q \, d\mu = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, l'égalité a lieu si et seulement si pour presque tout $x$, $|f_0(x)|^p = |g_0(x)|^q$. Si cette égalité a lieu, on remplace dans l'inégalité : $|f_0(x) g_0(x)| \le \frac{|f_0(x)|^p}{p} + \frac{|g_0(x)|^q}{q}$. Si $|f_0|^p = |g_0|^q = C_x$, alors $|f_0(x) g_0(x)| \le \frac{C_x}{p} + \frac{C_x}{q} = C_x$. Et l'égalité $|f_0(x) g_0(x)| = C_x$ est requise. Donc, pour l'égalité dans Holder, il faut que pour presque tout $x$, $|f_0(x)|^p = |g_0(x)|^q$. Remplaçons $f_0 = f/\|f\|_p$ et $g_0 = g/\|g\|_q$. $|f/\|f\|_p|^p = |g/\|g\|_q|^q$ $\frac{|f|^p}{\|f\|_p^p} = \frac{|g|^q}{\|g\|_q^q}$. Ceci signifie que $|f|^p$ est proportionnel à $|g|^q$ avec une constante de proportionnalité positive. Donc $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ pour $\alpha = 1/\|f\|_p^p$ et $\beta = 1/\|g\|_q^q$. De plus, pour l'égalité dans $\int fg \, d\mu$, on doit avoir $fg \ge 0$. Si $f$ et $g$ sont des fonctions à valeurs réelles, l'égalité $\int fg \, d\mu = \|f\|_p \|g\|_q$ a lieu si $f$ et $g$ sont de même signe (ou l'une est nulle). Si $f, g$ sont à valeurs complexes, l'égalité $\left| \int fg \, d\mu \right| = \|f\|_p \|g\|_q$ a lieu si et seulement si il existe une constante complexe $\lambda$ de module 1 telle que $f = \lambda |g|^{q-2} \bar{g}$ (ou $g = \bar{\lambda} |f|^{p-2} \bar{f}$). C'est lié à la condition que $f$ et $g$ sont "alignées" dans un certain sens. La condition $\alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q$ avec $\alpha, \beta > 0$ implique $|f|^p$ est proportionnel à $|g|^q$. Pour l'égalité $\left| \int fg \, d\mu \right| = \|f\|_p \|g\|_q$, il faut que $fg$ soit "autour" de zéro de la même manière que $\alpha |f|^p$ et $\beta |g|^q$. Si $f, g$ sont réelles, l'égalité est $\int fg \, d\mu = \|f\|_p \|g\|_q$. Cela implique $fg \ge 0$. Donc $f$ et $g$ doivent avoir le même signe (ou l'une est nulle). Si $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ et $f,g$ ont le même signe, alors $\alpha f = \beta' |g|^{q-1} \text{sgn}(g)$? Non. Si $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$, alors $|f| = (\beta/\alpha)^{1/p} |g|^{q/p}$. Si $f,g$ ont le même signe, alors $f = (\beta/\alpha)^{1/p} |g|^{q/p} \text{sgn}(g)$. Et on doit avoir $f(x) g(x) \ge 0$. La condition est que $f$ et $g$ soient proportionnelles, avec le signe approprié. Soit $f = c g^{q/p}$ pour une constante $c$. La condition $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ implique $|f|^p/|g|^q$ est constant. Pour l'égalité dans $\left|\int fg \, d\mu\right| = \|f\|_p \|g\|_q$, il faut que $f$ et $g$ soient "alignées". Si $f,g$ sont réelles, $f$ et $g$ doivent avoir le même signe (ou l'une est nulle). Donc, si $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ avec $\alpha, \beta > 0$, cela signifie que $|f| \propto |g|^{q/p}$. Si $f$ et $g$ ont le même signe, alors $f \propto g^{q/p}$. $f(x) = k |g(x)|^{q/p} \text{sgn}(g(x))$ pour une constante $k$.

Étape 2 : Cas $p=1, q=\infty$

L'inégalité est $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$. L'égalité a lieu si et seulement si $fg$ est "presque partout" de la forme $c \cdot \text{sgn}(g)$ pour une constante $c$ telle que $|c| = \|f\|_1$. C'est-à-dire, pour presque tout $x$, $f(x) = \|f\|_1 \text{sgn}(g(x))$ si $g(x) \ne 0$. Si $g=0$ p.p., alors $\|g\|_\infty = 0$ et $\int fg = 0$, donc égalité triviale. Si $g \ne 0$ p.p., alors l'égalité $|\int fg \, d\mu| = \|f\|_1 \|g\|_\infty$ a lieu si et seulement si $f(x) = \lambda g(x)$ pour presque tout $x$, où $|\lambda| = \|f\|_1 / \|g\|_\infty$? Non. L'égalité $\int |fg| \, d\mu = \|f\|_1 \|g\|_\infty$ est $\int |f| |g| \, d\mu = \|f\|_1 \|g\|_\infty$. Ceci est vrai si et seulement si $|f(x)|$ est "presque partout" égale à une constante $c$ quand $|g(x)| = \|g\|_\infty$. Plus précisément, l'égalité dans $\int |f||g| \, d\mu \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$ a lieu si et seulement si il existe une constante $c \ge 0$ telle que $|f(x)| = c \cdot \|g\|_\infty$ presque partout sur l'ensemble $\{x : |g(x)| = \|g\|_\infty\}$. Pour l'égalité dans $|\int fg \, d\mu|$, on doit avoir que $fg$ ait le même signe partout où l'égalité sur $|fg|$ est satisfaite. Soit $E = \{x : |g(x)| = \|g\|_\infty\}$. Alors l'égalité dans Holder (p=1, q=inf) a lieu ssi il existe $c \ge 0$ tel que $|f(x)| = c \|g\|_\infty$ p.p. sur $E$, et $fg$ est de signe constant sur $E$. La condition est que $f(x) = \lambda g(x)$ pour presque tout $x$, où $\lambda$ est une constante. Non. Si $f(x) = \lambda \cdot \text{sgn}(g(x))$ pour une constante $\lambda$. Alors $|\int fg \, d\mu| = |\int \lambda \text{sgn}(g) g \, d\mu| = |\lambda| \int |g| \, d\mu = |\lambda| \|g\|_1$. Ceci est pour $p=\infty$. Pour $p=1, q=\infty$: $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$. L'égalité a lieu si et seulement si $f(x) = \lambda \cdot \text{sgn}(g(x))$ pour presque tout $x$, où $\lambda$ est une constante telle que $|\lambda| = \|f\|_1$. Et $f(x) g(x) \ge 0$ si $f, g$ réelles. Alors $f(x) = c \cdot \text{sgn}(g(x))$ où $c$ est une constante telle que $|c| = \|f\|_1$. Et $g$ doit être à son maximum de norme.

Étape 3 : Cas $p=\infty, q=1$

L'inégalité est $|\int fg \, d\mu| \le \|f\|_\infty \|g\|_1$. L'égalité a lieu si et seulement si $g(x) = \lambda \cdot \text{sgn}(f(x))$ pour presque tout $x$, où $\lambda$ est une constante telle que $|\lambda| = \|g\|_1$. Et $f(x) g(x) \ge 0$ si $f, g$ réelles. C'est-à-dire $g(x) = c \cdot \text{sgn}(f(x))$ pour une constante $c$ telle que $|c| = \|g\|_1$. Et $f$ doit être à son maximum de norme.

Étape 4 : Synthèse des conditions d'égalité

Pour $1 < p, q < \infty$: L'égalité $|\int fg \, d\mu| = \|f\|_p \|g\|_q$ a lieu si et seulement si il existe une constante $\gamma \in \mathbb{C}$ (ou $\in \mathbb{R}$ si $f,g$ réelles) telle que $f(x) = \gamma |g(x)|^{q-1} \text{sgn}(g(x))$ pour presque tout $x$ où $g(x) \ne 0$, ou $g(x) = \lambda |f(x)|^{p-1} \text{sgn}(f(x))$ pour presque tout $x$ où $f(x) \ne 0$. Et pour l'égalité $\left|\int fg \, d\mu\right|$, il faut que $f$ et $g$ soient proportionnelles avec le bon signe. Si $f, g$ sont réelles, l'égalité $\int fg \, d\mu = \|f\|_p \|g\|_q$ a lieu si et seulement si il existe $\alpha, \beta \ge 0$ tels que $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ p.p. et $f$ et $g$ ont le même signe. La condition $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ avec $\alpha, \beta > 0$ implique $|f| \propto |g|^{q/p}$. Si $f,g$ réelles et ont le même signe, alors $f \propto g^{q/p}$ (en gardant le signe). Si $f, g$ complexes, il faut que $f = c g$ pour une certaine constante complexe $c$. Ce qui correspond à $\alpha |f|^p = \beta |g|^q$ (avec $\alpha, \beta > 0$) et $f(x)g(x) \ge 0$ (pour réels). Pour complexes, $f(x) = \gamma |g(x)|^{q-2} \bar{g}(x)$ n'est pas exactement ce que l'énoncé demande. La condition $\alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q$ avec $\alpha, \beta > 0$ signifie que $|f|^p$ et $|g|^q$ sont proportionnels. Et $f(x) g(x)$ doit avoir le même signe que $\alpha \beta$ (pour réels). Si $\alpha, \beta > 0$, alors $f(x) g(x) \ge 0$. C'est-à-dire $f$ et $g$ doivent avoir le même signe. Donc, pour réels, $f$ et $g$ sont proportionnelles et ont le même signe. Ce qui est équivalent à $f(x) = c g(x)$ pour une constante $c > 0$ (ou $c<0$ si on prend $\alpha, \beta$ de signes différents, mais ils sont introduits comme des normes). En général, l'égalité dans Holder $\left| \int fg \, d\mu \right| = \|f\|_p \|g\|_q$ se produit si et seulement si $f$ et $g$ sont "proportionnelles" au sens où l'une est un multiple constant de la "partie principale" de l'autre. Plus précisément, pour $10$. Si $f,g$ sont réelles, et $\alpha, \beta > 0$, alors $f(x)g(x) \ge 0$. Donc $f$ et $g$ ont le même signe. Donc $f = C' g$ pour une constante $C' > 0$. Pour les cas limites : $p=1, q=\infty$: égalité ssi $f(x) = \lambda \text{sgn}(g(x))$ p.p. et $f(x)g(x) \ge 0$. Ici $\alpha |f|^1 = \beta |g|^\infty$. $\beta |g|^\infty$ est constant. $|f|$ est constant. $p=\infty, q=1$: égalité ssi $g(x) = \lambda \text{sgn}(f(x))$ p.p. et $f(x)g(x) \ge 0$. Ici $\alpha |f|^\infty = \beta |g|^1$. $\alpha |f|^\infty$ est constant. $|g|$ est constant. La condition donnée est : $\exists \alpha, \beta$ réels tels que $\alpha |f(x)|^p = \beta |g(x)|^q$ p.p. et $f(x)g(x)$ a le même signe que $\alpha \beta$. Si $\alpha, \beta$ sont pris positifs, alors $|f|^p \propto |g|^q$ et $f,g$ ont le même signe. Cela implique $f$ et $g$ sont proportionnelles et ont le même signe. Ce qui est correct pour l'égalité $\int fg \, d\mu = \|f\|_p \|g\|_q$. Pour l'égalité $\left|\int fg \, d\mu\right| = \|f\|_p \|g\|_q$, il faut considérer les signes. Si $f,g$ complexes, $\alpha, \beta$ ne sont pas forcément de même signe. Si $\alpha, \beta$ sont de même signe (disons positifs), alors $|f|^p \propto |g|^q$ et $fg$ est positif. Si $\alpha > 0, \beta < 0$, alors $|f|^p \propto -|g|^q$ ce qui est impossible pour des quantités positives. Donc $\alpha, \beta$ doivent être de même signe. Si $\alpha, \beta$ sont de même signe, on peut les normaliser pour qu'ils soient positifs. Alors la condition se réduit à : $|f|^p \propto |g|^q$ et $fg \ge 0$ (pour réels). Et pour complexes, $f = c g$ pour une constante complexe $c$.

Correction :

L'exercice précédent montrait l'inclusion $L^q \subseteq L^p$ lorsque la mesure totale $\mu(X)$ est finie. Ici, nous allons montrer que cette inclusion n'est pas garantie si $\mu(X) = \infty$.

Étape 1 : Choix de l'espace mesuré et des fonctions

Considérons l'espace mesuré $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$, où $m$ est la mesure de Lebesgue. Cet espace a une mesure infinie ($m(\mathbb{R}) = \infty$). Prenons $p=1$ et $q=2$. Nous voulons montrer que $L^2(\mathbb{R}, m) \not\subseteq L^1(\mathbb{R}, m)$. Il faut trouver une fonction $f \in L^2$ qui n'est pas dans $L^1$.

Étape 2 : Construction d'une fonction contre-exemple

Considérons la fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ pour $x > 0$, et $f(x)=0$ pour $x \le 0$. Calculons la norme $L^2$ de $f$. $\|f\|_2^2 = \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \, dx = \int_0^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 \, dx = \int_0^\infty \frac{1}{x} \, dx$. Cette intégrale diverge à l'origine (près de 0). $\int_\epsilon^M \frac{1}{x} dx = [\ln x]_\epsilon^M = \ln M - \ln \epsilon$, qui tend vers l'infini quand $\epsilon \to 0$. Donc, cette fonction n'est pas dans $L^2$. C'est un mauvais choix.

Étape 3 : Un autre contre-exemple

Essayons avec une fonction décroissante "lentement". Considérons la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x \ge 1$, et $f(x)=0$ pour $0 < x < 1$. Calculons $\|f\|_1 = \int_0^\infty |f(x)| \, dx = \int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx$. Cette intégrale diverge (ln x). Donc $f \notin L^1$. Calculons $\|f\|_2 = \left(\int_0^\infty |f(x)|^2 \, dx\right)^{1/2} = \left(\int_1^\infty \left(\frac{1}{x}\right)^2 \, dx\right)^{1/2} = \left(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx\right)^{1/2}$. L'intégrale $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = [-1/x]_1^\infty = 0 - (-1) = 1$. Donc $\|f\|_2 = 1^{1/2} = 1$. La fonction $f(x) = 1/x$ pour $x \ge 1$ (et 0 sinon) appartient à $L^2(\mathbb{R}, m)$ mais n'appartient pas à $L^1(\mathbb{R}, m)$. Ceci montre que $L^2(\mathbb{R}, m) \not\subseteq L^1(\mathbb{R}, m)$.

Étape 4 : Généralisation

Pour $p < q$, si on veut montrer que $L^q \not\subseteq L^p$, on cherche une fonction $f \in L^q$ telle que $f \notin L^p$. Considérons la fonction $f(x) = 1/x^{1/p}$ pour $x \ge 1$. $\|f\|_p^p = \int_1^\infty (1/x^{1/p})^p \, dx = \int_1^\infty 1/x \, dx$, qui diverge. Donc $f \notin L^p$. $\|f\|_q^q = \int_1^\infty (1/x^{1/p})^q \, dx = \int_1^\infty x^{-q/p} \, dx$. Puisque $p < q$, $q/p > 1$. L'intégrale $\int_1^\infty x^{-r} \, dx$ avec $r>1$ converge. Donc $f \in L^q$ pour $q > p$. La fonction $f(x) = 1/x^{1/p}$ pour $x \ge 1$ est dans $L^q(\mathbb{R}^+, m)$ si $q/p > 1$, mais pas dans $L^p(\mathbb{R}^+, m)$.