Niveau : supérieur. Durée estimée : 2 h. 10 exercices corrigés, rangés du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Presque tout se résout ainsi : découpe chaque variable en accroissements sur des intervalles de temps qui ne se chevauchent pas, puis utilise leur indépendance et leur loi normale. Exemple : $B_4 = B_1 + (B_4 - B_1)$ est une somme de deux termes indépendants et centrés, donc $\mathbb{E}[B_1 B_4] = \mathbb{E}[B_1^2] + \mathbb{E}[B_1]\,\mathbb{E}[B_4 - B_1] = 1$.
Définition : Un mouvement brownien standard $(B_t)_{t \ge 0}$ part de $B_0 = 0$, a des trajectoires $t \mapsto B_t$ continues, des accroissements indépendants sur des intervalles disjoints, et vérifie $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0,\, t-s)$ pour $0 \le s < t$, loi normale de moyenne $0$ et de variance $t-s$ (chapitre 2 du cours de Rémi Rhodes). Dans toute la page, $B$ désigne un tel processus.
Pour les martingales, $\mathcal{F}_s$ désigne l'information portée par la trajectoire jusqu'à l'instant $s$ (la filtration naturelle), et $B_t - B_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$. Un processus $(M_t)$ intégrable, où chaque $M_t$ ne dépend que de l'information jusqu'à $t$, est une martingale si $\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$ pour tout $s \le t$.
Formules à retenir :
- $B_t$ a la loi de $\sqrt{t}\,Z$, où $Z \sim \mathcal{N}(0,\,1)$ ; $\mathbb{E}[Z^2] = 1$, $\mathbb{E}[Z^4] = 3$ et $\mathbb{E}[e^{\lambda Z}] = e^{\lambda^2/2}$ pour tout réel $\lambda$.
- $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$ ; deux variables indépendantes ont une covariance nulle.
- Avec $\Phi$ la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,\,1)$ : $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ et $\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975$.
Piège classique : $B_s$ et $B_t$ ne sont pas indépendants, car ils partagent le chemin parcouru avant $s$. Seuls des accroissements sur des intervalles disjoints le sont. Écrire $\operatorname{Var}(B_1 + B_3) = 1 + 3$ est donc faux.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Pour chacun des processus $X_t = -B_t$, $Y_t = B_{2t}$ et $Z_t = \frac{1}{2}B_{4t}$, dis s'il est un mouvement brownien standard et justifie.
Correction :
On vérifie chaque point de la définition ; un seul point faux suffit pour répondre non.
$X_0 = 0$, les trajectoires de $X$ sont continues, et $X_t - X_s = -(B_t - B_s)$ suit encore $\mathcal{N}(0,\, t-s)$, loi symétrique, avec la même indépendance : $X$ est un mouvement brownien standard.
$\operatorname{Var}(Y_1) = \operatorname{Var}(B_2) = 2 \ne 1$ : $Y$ n'en est pas un.
$Z_t - Z_s = \frac{1}{2}(B_{4t} - B_{4s})$ a pour variance $\frac{1}{4} \times 4(t-s) = t-s$, et des intervalles disjoints le restent une fois multipliés par $4$. Avec $Z_0 = 0$ et la continuité : $Z$ est un mouvement brownien standard.
L'erreur à éviter : changer l'échelle du temps sans renormaliser. $\frac{1}{\sqrt{c}}B_{ct}$ est brownien, $B_{ct}$ ne l'est que si $c = 1$.
Exercice 2 : a) Donne la loi de $B_4$, puis calcule $\mathbb{E}[B_4]$ et $\mathbb{E}[B_4^2]$.
b) Calcule $\mathbb{P}(|B_4| \le 2)$.
c) Donne la loi de $B_9 - B_5$, puis calcule $\mathbb{P}(B_9 - B_5 \le 2)$.
Correction :
On se ramène à $Z \sim \mathcal{N}(0,\,1)$ en divisant par l'écart type.
a) $B_4 \sim \mathcal{N}(0,\,4)$, donc $\mathbb{E}[B_4] = 0$ et $\mathbb{E}[B_4^2] = \operatorname{Var}(B_4) = 4$.
b) $B_4$ a la loi de $2Z$, donc $\mathbb{P}(|B_4| \le 2) = \mathbb{P}(|Z| \le 1) = 2\Phi(1) - 1$, soit environ $0{,}683$.
c) $B_9 - B_5 \sim \mathcal{N}(0,\,4)$ : seule la durée compte. Donc $\mathbb{P}(B_9 - B_5 \le 2) = \Phi(1)$, soit environ $0{,}841$.
L'erreur à éviter : dans $\mathcal{N}(0,\,4)$, le $4$ est la variance ; l'écart type vaut $2$.
Exercice 3 : a) Pour $0 \le s \le t$, montre que $\operatorname{Cov}(B_s, B_t) = s$.
b) Calcule $\operatorname{Var}(B_1 + B_3)$.
c) Pour $0 < s \le t$, calcule le coefficient de corrélation $\rho$ de $B_s$ et $B_t$, et vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\rho| \le 1$.
Correction :
On écrit $B_t = B_s + (B_t - B_s)$, somme de deux termes indépendants.
a) $\operatorname{Cov}(B_s, B_t) = \operatorname{Var}(B_s) + \operatorname{Cov}(B_s,\, B_t - B_s) = s + 0$. Ainsi, pour tous $s, t \ge 0$, $\operatorname{Cov}(B_s, B_t) = \min(s,t)$.
b) $\operatorname{Var}(B_1 + B_3) = 1 + 3 + 2 \times 1$, soit $6$ et non $4$.
c) $\rho = \frac{s}{\sqrt{st}} = \sqrt{s/t}$, et $\rho \le 1$ puisque $s \le t$ : l'inégalité est bien respectée.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : a) Les variables $B_3$ et $B_5 - B_2$ sont-elles indépendantes ? Justifie par un calcul.
b) Même question pour $B_2$ et $B_5 - B_3$.
Correction :
On compare les intervalles : $B_3$ est l'accroissement sur $[0\,;\,3]$, $B_5 - B_2$ celui sur $[2\,;\,5]$, et ils se chevauchent sur $[2\,;\,3]$.
a) Avec l'exercice 3, $\operatorname{Cov}(B_3, B_5 - B_2) = \operatorname{Cov}(B_3, B_5) - \operatorname{Cov}(B_3, B_2) = 3 - 2 = 1$. Or deux variables indépendantes ont une covariance nulle : $B_3$ et $B_5 - B_2$ ne sont pas indépendantes. Elles partagent l'accroissement $B_3 - B_2$.
b) $[0\,;\,2]$ et $[3\,;\,5]$ sont disjoints : $B_2$ et $B_5 - B_3$ sont indépendantes, par définition.
Exercice 5 : Soit $a > 0$ et $X_t = B_{a+t} - B_a$ pour $t \ge 0$. Montre que $(X_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard, indépendant de $(B_u)_{u \le a}$.
Correction :
Chaque accroissement de $X$ est un accroissement de $B$ décalé de $a$.
$X_0 = B_a - B_a = 0$, les trajectoires de $X$ sont continues, et $X_t - X_s = B_{a+t} - B_{a+s} \sim \mathcal{N}(0,\, t-s)$ pour $s < t$.
Pour $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n$, les accroissements de $X$ sont ceux de $B$ sur les intervalles disjoints $[a+t_{i-1}\,;\,a+t_i]$ : ils sont indépendants entre eux, et indépendants de $(B_u)_{u \le a}$, qui ne dépend que des accroissements avant $a$.
$X$ est un mouvement brownien standard : le brownien repart à neuf à chaque instant fixé (propriété de Markov simple).
Exercice 6 : On modélise le cours d'une action par $S_t = S_0\, e^{\mu t + \sigma B_t}$, $t$ en années, avec $S_0 = 100$ €, $\mu = 0{,}03\ \text{an}^{-1}$ et $\sigma = 0{,}2\ \text{an}^{-1/2}$ (données fictives).
a) Calcule $\mathbb{E}[S_t]$, puis sa valeur pour $t = 1$.
b) Calcule $\operatorname{Var}(S_t)$, puis l'écart type de $S_1$.
Correction :
On écrit $\sigma B_t = \sigma\sqrt{t}\,Z$ et on utilise $\mathbb{E}[e^{\lambda Z}] = e^{\lambda^2/2}$.
a) $\mathbb{E}[e^{\sigma B_t}] = e^{\sigma^2 t/2}$, donc $\mathbb{E}[S_t] = S_0\, e^{(\mu + \sigma^2/2)t}$. Pour $t = 1$ : $100\, e^{0{,}05}$, soit environ $105{,}13$ €.
b) $\mathbb{E}[S_t^2] = S_0^2\, e^{2\mu t}\,\mathbb{E}[e^{2\sigma B_t}] = S_0^2\, e^{(2\mu + 2\sigma^2)t}$, d'où $\operatorname{Var}(S_t) = S_0^2\, e^{(2\mu + \sigma^2)t}\left(e^{\sigma^2 t} - 1\right)$. Pour $t = 1$ : $\operatorname{Var}(S_1) = 10^4\, e^{0{,}1}\left(e^{0{,}04} - 1\right) \approx 451$ euros au carré, soit un écart type d'environ $21{,}24$ €.
L'erreur à éviter : oublier le terme $\sigma^2/2$ et trouver $100\, e^{0{,}03} \approx 103{,}05$ €, car $\mathbb{E}[e^X] \ne e^{\mathbb{E}[X]}$.
Exercice 7 : Une particule en suspension dans l'eau est suivie au microscope. Ses coordonnées $X_t$ et $Y_t$, en micromètres, sont deux mouvements browniens standards indépendants, $t$ en secondes (données fictives). Soit $R_t = \sqrt{X_t^2 + Y_t^2}$ sa distance au point de départ.
a) Calcule $\mathbb{E}[R_t^2]$.
b) Montre que $\mathbb{P}(R_t > r) = e^{-r^2/(2t)}$ pour $r \ge 0$.
c) Calcule la probabilité qu'au bout de 2 s, la particule soit à plus de 2 µm de son point de départ.
Correction :
On utilise l'indépendance des coordonnées, puis les coordonnées polaires.
a) $\mathbb{E}[R_t^2] = \mathbb{E}[X_t^2] + \mathbb{E}[Y_t^2] = t + t$, soit $2t$ µm² (en dimension $d$, on trouverait $d \times t$).
b) Le couple $(X_t, Y_t)$ a pour densité $\frac{1}{2\pi t}\, e^{-(x^2+y^2)/(2t)}$. En polaires, sans oublier le facteur $\rho$ du changement de variables :
$$\mathbb{P}(R_t > r) = \int_0^{2\pi}\!\!\int_r^{+\infty} \frac{\rho}{2\pi t}\, e^{-\rho^2/(2t)}\, d\rho\, d\theta = \left[-e^{-\rho^2/(2t)}\right]_r^{+\infty} = e^{-r^2/(2t)}.$$
c) Avec $r = 2$ et $t = 2$ : $e^{-4/4} = e^{-1}$, soit environ $0{,}368$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Montre que $(B_t^2 - t)_{t \ge 0}$ et, pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\left(e^{\lambda B_t - \lambda^2 t/2}\right)_{t \ge 0}$ sont des martingales pour la filtration naturelle de $B$. Explique pourquoi $(B_t^2)_{t \ge 0}$ n'en est pas une.
Correction :
Pour $s \le t$, on écrit $B_t = B_s + (B_t - B_s)$ : $B_s$ est connu à l'instant $s$, et $B_t - B_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$, de loi $\mathcal{N}(0,\, t-s)$. Les deux processus sont intégrables : $\mathbb{E}[B_t^2] = t$ et $\mathbb{E}[e^{\lambda B_t}] = e^{\lambda^2 t/2}$.
Premier processus : en développant $B_t^2 = B_s^2 + 2B_s(B_t - B_s) + (B_t - B_s)^2$, on obtient $\mathbb{E}[B_t^2 \mid \mathcal{F}_s] = B_s^2 + (t-s)$, donc $\mathbb{E}[B_t^2 - t \mid \mathcal{F}_s] = B_s^2 - s$.
Second processus : $\mathbb{E}[e^{\lambda B_t} \mid \mathcal{F}_s] = e^{\lambda B_s}\,\mathbb{E}[e^{\lambda(B_t - B_s)}] = e^{\lambda B_s + \lambda^2(t-s)/2}$, donc $\mathbb{E}\left[e^{\lambda B_t - \lambda^2 t/2} \mid \mathcal{F}_s\right] = e^{\lambda B_s - \lambda^2 s/2}$.
Enfin, une martingale garde une espérance constante, or $\mathbb{E}[B_t^2] = t$ augmente : $(B_t^2)_{t \ge 0}$ n'est pas une martingale.
Exercice 9 : Soit $T > 0$ et une subdivision $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T$ de pas $\delta = \max_i (t_{i+1} - t_i)$. On pose $Q = \sum_{i=0}^{n-1} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2$.
a) Calcule $\mathbb{E}[Q]$.
b) Montre que $\operatorname{Var}(Q) \le 2T\delta$.
c) Conclus lorsque $\delta \to 0$.
Correction :
On note $h_i = t_{i+1} - t_i$ et $\Delta_i = B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$ : les $\Delta_i$ sont indépendants, et $\Delta_i$ a la loi de $\sqrt{h_i}\,Z$.
a) $\mathbb{E}[\Delta_i^2] = h_i$ et les $h_i$ ont pour somme $T$ : $\mathbb{E}[Q] = T$, quelle que soit la subdivision.
b) $\operatorname{Var}(\Delta_i^2) = \mathbb{E}[\Delta_i^4] - h_i^2 = 3h_i^2 - h_i^2 = 2h_i^2$. Par indépendance, $\operatorname{Var}(Q) = 2\sum h_i^2 \le 2\delta \sum h_i = 2T\delta$.
c) $\mathbb{E}[(Q - T)^2] = \operatorname{Var}(Q) \le 2T\delta \to 0$ : $Q$ tend vers $T$ en moyenne quadratique (proposition 2.4.2 du cours de Rémi Rhodes). Pour une fonction de classe $C^1$, la même somme tendrait vers $0$ : cette limite $T$ traduit l'irrégularité des trajectoires.
Exercice 10 : Soit $t > 0$ et $M_t = \max_{0 \le s \le t} B_s$. On admet le principe de réflexion (théorème 1.2 du cours de Paris-Dauphine) : pour $x \ge 0$, $\mathbb{P}(M_t \ge x,\ B_t \le x) = \mathbb{P}(B_t \ge x)$. Autrement dit, une fois le niveau $x$ touché, le brownien a autant de chances de finir au-dessus qu'en dessous.
a) Montre que $\mathbb{P}(M_t \ge x) = 2\,\mathbb{P}(B_t \ge x)$ pour $x \ge 0$.
b) Déduis-en que $M_t$ a la même loi que $|B_t|$, puis calcule $\mathbb{E}[M_t]$.
c) Calcule $\mathbb{P}(M_1 \ge 1{,}96)$.
Correction :
On sépare selon la position finale $B_t$.
a) Si $B_t > x$, alors $M_t \ge B_t > x$. Donc $\mathbb{P}(M_t \ge x) = \mathbb{P}(B_t > x) + \mathbb{P}(M_t \ge x,\ B_t \le x)$, et comme $B_t$ est à densité, $\mathbb{P}(M_t \ge x) = 2\,\mathbb{P}(B_t \ge x)$.
b) Pour $x \ge 0$, $\mathbb{P}(|B_t| \ge x) = 2\,\mathbb{P}(B_t \ge x)$ par symétrie. Comme $M_t \ge B_0 = 0$, les deux variables sont positives et ont la même fonction de répartition : $M_t$ a la loi de $|B_t|$. Avec $\mathbb{E}[|Z|] = 2\int_0^{+\infty} \frac{z\, e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,dz = \sqrt{2/\pi}$, on obtient $\mathbb{E}[M_t] = \sqrt{2t/\pi}$.
c) $\mathbb{P}(M_1 \ge 1{,}96) = 2\left(1 - \Phi(1{,}96)\right)$, soit environ $0{,}05$ : deux fois la probabilité de finir au-dessus de $1{,}96$.
Bilan et conseils
Devant un exercice sur le mouvement brownien, écris d'abord chaque variable comme une somme d'accroissements sur des intervalles disjoints : le reste devient un calcul sur des lois normales indépendantes.
Avant de conclure à l'indépendance, compare les intervalles. Pour l'espérance d'une exponentielle, pense au terme $\lambda^2 t/2$.
Ce qu'il faut retenir : $\operatorname{Cov}(B_s, B_t) = \min(s,t)$ et $\mathbb{E}[e^{\lambda B_t}] = e^{\lambda^2 t/2}$. La somme des carrés des accroissements sur $[0\,;\,T]$ tend vers $T$, pas vers $0$.
Sources
Définition, covariance, invariances et variation quadratique : Rémi Rhodes, Mouvement brownien et calcul stochastique, notes de cours, université d'Aix-Marseille, chapitre 2.
Principe de réflexion et loi du maximum : université Paris-Dauphine, cours « Processus continus approfondis », chapitre 1, mars 2010.