Exploration des Processus Stochastiques : Mouvement Brownien

Correction :

Un mouvement brownien standard $(B_t)_{t \ge 0}$ est un processus stochastique défini sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ qui satisfait les propriétés suivantes :

1. Continuité des trajectoires : Pour presque tout $\omega \in \Omega$, la fonction $t \mapsto B_t(\omega)$ est continue sur $[0, \infty)$.
2. Stationnarité des accroissements : Pour tous $0 \le s \le t$, la loi de $B_{t+s} - B_t$ ne dépend que de $s$. Elle est égale à la loi de $B_s$.
3. Indépendance des accroissements : Pour tous $0 \le t_1 < t_2 < \dots < t_n$, les variables aléatoires $B_{t_1}, B_{t_2} - B_{t_1}, \dots, B_{t_n} - B_{t_{n-1}}$ sont indépendantes.
4. Distribution des accroissements : Pour tous $s, t \ge 0$, $B_t - B_s$ suit une loi normale de moyenne 0 et de variance $t-s$. Autrement dit, $B_t - B_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$. En particulier, $B_0 = 0$ presque sûrement, et $B_t \sim \mathcal{N}(0, t)$.

Correction :

D'après la propriété 4 du mouvement brownien, pour tout $t \ge 0$, $B_t$ suit une loi normale $\mathcal{N}(0, t)$.

1. Espérance : L'espérance d'une variable aléatoire gaussienne $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ est $\mu$. Donc, $E[B_t] = 0$.

2. Variance : La variance d'une variable aléatoire gaussienne $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ est $\sigma^2$. Donc, $Var(B_t) = t$. Rappelons que $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

3. $E[B_t^2]$ : Puisque $E[B_t] = 0$, on a $Var(B_t) = E[B_t^2] - 0^2 = E[B_t^2]$. Donc, $E[B_t^2] = t$.

Correction :

D'après la propriété 3 (indépendance des accroissements), pour tous $0 \le t_1 < t_2 < \dots < t_n$, les variables aléatoires $B_{t_1}, B_{t_2} - B_{t_1}, \dots, B_{t_n} - B_{t_{n-1}}$ sont indépendantes.

Nous devons montrer que $B_5 - B_2$ et $B_3$ sont indépendantes. Considérons la suite de temps $0 \le 2 < 3 < 5$. Les accroissements correspondants sont :

• $B_2 - B_0 = B_2$ (puisque $B_0 = 0$)
• $B_3 - B_2$
• $B_5 - B_3$

Par la propriété d'indépendance des accroissements, ces trois variables aléatoires $(B_2, B_3 - B_2, B_5 - B_3)$ sont indépendantes.

Nous cherchons à montrer l'indépendance de $B_5 - B_2$ et $B_3$. On peut écrire $B_5 - B_2 = (B_5 - B_3) + (B_3 - B_2)$.

Remarquons que $B_3$ est un accroissement sur l'intervalle $[0, 3]$, et $B_5 - B_2$ est un accroissement sur l'intervalle $[2, 5]$.

Pour montrer l'indépendance, il faut vérifier que la loi conjointe de $(B_3, B_5 - B_2)$ est le produit des lois marginales.

Considérons les accroissements sur les intervalles disjoints : $[0, 2]$ et $[2, 5]$. La variable $B_2$ est l'accroissement sur $[0, 2]$. La variable $B_5 - B_2$ est l'accroissement sur $[2, 5]$. Ces accroissements sont indépendants par définition.

Maintenant, regardons $B_3$. On peut écrire $B_3 = B_3 - B_2 + B_2$. Les variables $B_2$ et $B_3 - B_2$ sont indépendantes.

La variable $B_5 - B_2$ est l'accroissement sur $[2, 5]$. On peut écrire $B_5 - B_2 = (B_5 - B_3) + (B_3 - B_2)$.

Il est plus simple de considérer les accroissements sur des intervalles disjoints :

L'accroissement sur $[0, 3]$ est $B_3$.

L'accroissement sur $[3, 5]$ est $B_5 - B_3$.

Ces deux variables, $B_3$ et $B_5 - B_3$, sont indépendantes.

Nous voulons comparer $B_3$ et $B_5 - B_2$. On a $B_5 - B_2 = (B_5 - B_3) + (B_3 - B_2)$.

Les variables aléatoires $B_3$ et $B_5 - B_2$ sont indépendantes car elles correspondent à des accroissements sur des intervalles de temps qui ne se chevauchent pas de manière problématique. Précisément, $B_3$ est l'accroissement sur $[0, 3]$ et $B_5 - B_2$ est l'accroissement sur $[2, 5]$.

Si $t_1 < t_2 < t_3 < t_4$, alors $B_{t_2}-B_{t_1}$ et $B_{t_4}-B_{t_3}$ sont indépendantes.

Dans notre cas, nous avons $0 < 2 < 3 < 5$. Les variables $B_3$ (accroissement sur $[0, 3]$) et $B_5 - B_2$ (accroissement sur $[2, 5]$) ne sont pas directement des accroissements sur des intervalles disjoints. Cependant, on peut écrire :

$B_3 \sim \mathcal{N}(0, 3)$

$B_5 - B_2 \sim \mathcal{N}(0, 5-2) = \mathcal{N}(0, 3)$

Les accroissements $B_3$ et $B_5 - B_2$ sont indépendants car l'intervalle $[0, 3]$ et l'intervalle $[2, 5]$ ne sont pas disjoints, mais plutôt chevauchants. L'indépendance est garantie pour des accroissements sur des intervalles disjoints $t_i - t_{i-1}$.

Considérons les temps $0, 2, 3, 5$. Les accroissements $B_2$, $B_3-B_2$, $B_5-B_3$ sont indépendants.

Nous voulons montrer l'indépendance de $B_3$ et $B_5 - B_2$. Cela revient à montrer que $\text{Cov}(B_3, B_5 - B_2) = 0$ et que leurs lois conjointes sont le produit des lois marginales.

$\text{Cov}(B_3, B_5 - B_2) = \text{Cov}(B_3, B_5) - \text{Cov}(B_3, B_2)$.

On sait que $\text{Cov}(B_t, B_s) = \min(t, s)$.

Donc, $\text{Cov}(B_3, B_5) = \min(3, 5) = 3$. Et $\text{Cov}(B_3, B_2) = \min(3, 2) = 2$.

$\text{Cov}(B_3, B_5 - B_2) = 3 - 2 = 1$. Le covariance n'est pas nulle, donc elles ne sont pas indépendantes.

Correction de la question : Il est possible que la question porte sur une indépendance mal interprétée. Souvent, on montre l'indépendance de $B_t - B_s$ et $B_u - B_v$ si les intervalles $[s, t]$ et $[v, u]$ sont disjoints. Ici, les intervalles $[0, 3]$ et $[2, 5]$ ne sont pas disjoints.

Reconsidérons : Soit $X = B_3$ et $Y = B_5 - B_2$. Nous avons $B_3 = B_2 + (B_3 - B_2)$.

$Y = (B_5 - B_3) + (B_3 - B_2)$.

Les variables $B_2, B_3-B_2, B_5-B_3$ sont indépendantes.

La variable $X = B_2 + (B_3 - B_2)$.

La variable $Y = (B_3 - B_2) + (B_5 - B_3)$.

Les variables $B_2$, $B_3 - B_2$, $B_5 - B_3$ sont indépendantes.

La variable $X$ est une combinaison linéaire de $B_2$ et $B_3 - B_2$. La variable $Y$ est une combinaison linéaire de $B_3 - B_2$ et $B_5 - B_3$. Ces deux combinaisons linéaires partagent le terme $B_3 - B_2$, ce qui implique qu'elles ne sont pas indépendantes.

Si la question était : montrer l'indépendance de $B_2$ et $B_5 - B_3$, alors oui, ils sont indépendants car les intervalles $[0, 2]$ et $[3, 5]$ sont disjoints.

Conclusion pour cet exercice : $B_3$ et $B_5 - B_2$ ne sont pas indépendantes.

Correction :

Nous devons vérifier les quatre propriétés du mouvement brownien pour le processus $(X_t)_{t \ge 0}$.

1. Continuité des trajectoires : Puisque $B_t$ a des trajectoires continues, $B_{t+a}$ et $B_a$ sont continues en $t$. La différence $X_t = B_{t+a} - B_a$ est donc continue en $t$ pour tout $t \ge 0$.

2. Stationnarité des accroissements : Pour tous $0 \le s \le t$, considérons l'accroissement $X_{t+s} - X_t$.

$X_{t+s} - X_t = (B_{t+s+a} - B_a) - (B_{t+a} - B_a) = B_{t+s+a} - B_{t+a}$.

Puisque $B_u$ a des accroissements stationnaires, $B_{t+s+a} - B_{t+a}$ a la même loi que $B_{(t+s+a) - (t+a)} = B_s$. Donc, la loi de $X_{t+s} - X_t$ ne dépend que de $s$.

3. Indépendance des accroissements : Pour tous $0 \le t_1 < t_2 < \dots < t_n$, considérons les accroissements $X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}$.

$X_{t_i} - X_{t_{i-1}} = (B_{t_i+a} - B_a) - (B_{t_{i-1}+a} - B_a) = B_{t_i+a} - B_{t_{i-1}+a}$.

Soient $u_i = t_i + a$. Alors nous avons les accroissements $B_{u_1}, B_{u_2} - B_{u_1}, \dots, B_{u_n} - B_{u_{n-1}}$ avec $0 < u_1 < u_2 < \dots < u_n$. Ces accroissements sont indépendants par la propriété du mouvement brownien standard.

4. Distribution des accroissements : Pour tout $s, t \ge 0$, considérons l'accroissement $X_t - X_s$.

$X_t - X_s = (B_{t+a} - B_a) - (B_{s+a} - B_a) = B_{t+a} - B_{s+a}$.

Puisque $B_u$ a des accroissements gaussiens, $B_{t+a} - B_{s+a} \sim \mathcal{N}(0, (t+a) - (s+a)) = \mathcal{N}(0, t-s)$.

De plus, $X_0 = B_{0+a} - B_a = B_a - B_a = 0$.

Ainsi, $(X_t)_{t \ge 0}$ est un mouvement brownien standard.

Correction :

Le processus $S_t$ est défini par $S_t = S_0 e^{\mu t + \sigma B_t}$.

a) Calcul de $E[S_t]$ :

$E[S_t] = E[S_0 e^{\mu t + \sigma B_t}] = S_0 e^{\mu t} E[e^{\sigma B_t}]$.

Pour calculer $E[e^{\sigma B_t}]$, nous utilisons le fait que $B_t \sim \mathcal{N}(0, t)$. Rappelons que si $X \sim \mathcal{N}(\text{mean}, \text{variance})$, alors $E[e^{kX}] = e^{k \cdot \text{mean} + \frac{1}{2} k^2 \cdot \text{variance}}$.

Ici, $\text{mean} = 0$, $\text{variance} = t$, et $k = \sigma$. Donc, $E[e^{\sigma B_t}] = e^{\sigma \cdot 0 + \frac{1}{2} \sigma^2 t} = e^{\frac{1}{2} \sigma^2 t}$.

Par conséquent, $E[S_t] = S_0 e^{\mu t} e^{\frac{1}{2} \sigma^2 t} = S_0 e^{(\mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t}$.

b) Calcul de $Var(S_t)$ :

Nous avons $Var(S_t) = E[S_t^2] - (E[S_t])^2$. Calculons d'abord $E[S_t^2]$.

$S_t^2 = (S_0 e^{\mu t + \sigma B_t})^2 = S_0^2 e^{2\mu t + 2\sigma B_t}$.

$E[S_t^2] = E[S_0^2 e^{2\mu t + 2\sigma B_t}] = S_0^2 e^{2\mu t} E[e^{2\sigma B_t}]$.

En utilisant la même formule que précédemment avec $k = 2\sigma$, $\text{mean} = 0$, $\text{variance} = t$ :

$E[e^{2\sigma B_t}] = e^{2\sigma \cdot 0 + \frac{1}{2} (2\sigma)^2 t} = e^{\frac{1}{2} (4\sigma^2) t} = e^{2\sigma^2 t}$.

Donc, $E[S_t^2] = S_0^2 e^{2\mu t} e^{2\sigma^2 t} = S_0^2 e^{(2\mu + 2\sigma^2) t}$.

Maintenant, calculons la variance :

$Var(S_t) = S_0^2 e^{(2\mu + 2\sigma^2) t} - (S_0 e^{(\mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t})^2$

$Var(S_t) = S_0^2 e^{(2\mu + 2\sigma^2) t} - S_0^2 e^{2(\mu + \frac{1}{2} \sigma^2) t}$

$Var(S_t) = S_0^2 e^{(2\mu + 2\sigma^2) t} - S_0^2 e^{(2\mu + \sigma^2) t}$

$Var(S_t) = S_0^2 e^{(2\mu + \sigma^2) t} (e^{\sigma^2 t} - 1)$.

Correction :

a) Pour chaque $i$, l'accroissement $B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$ suit une loi normale $\mathcal{N}(0, t_{i+1} - t_i)$. Donc, $E[(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2] = Var(B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) + (E[B_{t_{i+1}} - B_{t_i}])^2 = (t_{i+1} - t_i) + 0^2 = t_{i+1} - t_i$.

b) $E[QV_T(\Pi)] = E\left[\sum_{i=0}^{n-1} (B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} E[(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})^2]$ par linéarité de l'espérance.

En utilisant le résultat de a), $E[QV_T(\Pi)] = \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1} - t_i)$.

Cette somme est une somme télescopique : $(t_1 - t_0) + (t_2 - t_1) + \dots + (t_n - t_{n-1}) = t_n - t_0 = T - 0 = T$.

Donc, $E[QV_T(\Pi)] = T$.

c) Lorsque la finesse de la partition tend vers 0 (c'est-à-dire que le pas maximum de la partition $\max_i (t_{i+1} - t_i) \to 0$), la somme de carrés des accroissements $QV_T(\Pi)$ converge en probabilité (et même dans $L^2$) vers $T$. Ce résultat est fondamental : il montre que la variation quadratique du mouvement brownien sur un intervalle de temps $T$ est égale à $T$. C'est une différence majeure avec les fonctions de variation bornée dont la variation quadratique est nulle.

Correction :

a) Calcul de $P(M_t \ge x)$ pour $x > 0$ :

Nous utilisons le "principe de réflexion". L'idée est de mettre en bijection les trajectoires telles que $M_t \ge x$ avec des trajectoires qui atteignent le niveau $x$ avant le temps $t$, et qui ont une certaine forme après avoir atteint $x$.

Soit $T_x = \inf\{s \ge 0 : B_s = x\}$. Pour $x > 0$, si $\{M_t \ge x\}$ (c'est-à-dire si le maximum atteint au moins $x$), alors il existe un premier temps $T_x \le t$ tel que $B_{T_x} = x$.

Considérons une trajectoire $(\omega)$ telle que $M_t(\omega) \ge x$. Soit $T_x(\omega)$ le premier temps où $B_{T_x(\omega)}(\omega) = x$. On a $T_x(\omega) \le t$.

La trajectoire est divisée en deux parties : $[0, T_x]$ et $[T_x, t]$. La partie après $T_x$ est $B_s - x$ pour $s \in [T_x, t]$.

Le principe de réflexion stipule que la loi du processus $(B_s - x)_{s \in [T_x, t]}$ conditionnellement à $T_x$ est la même que la loi du processus $(-B_s' + x)_{s \in [T_x, t]}$ où $B'$ est un autre mouvement brownien. Plus précisément, la loi de $(B_s)_{s \in [T_x, t]}$ sachant $B_{T_x} = x$ est la même que la loi de $x - B_{t-T_x}'$ où $B'$ est un mouvement brownien.

Considérons la trajectoire $\tilde{B}_s$ définie par :

• $\tilde{B}_s = B_s$ pour $0 \le s \le T_x$
• $\tilde{B}_s = x - (B_{T_x + (t-s)} - x) = 2x - B_{T_x + (t-s)}$ pour $T_x < s \le t$.

Cette construction crée une "réflexion" au niveau $x$. On peut montrer que la loi du processus $(B_s)_{0 \le s \le t}$ sachant $M_t \ge x$ et $T_x \le t$ est identique à la loi du processus $(\tilde{B}_s)_{0 \le s \le t}$ où la dernière partie est une réflexion.

La probabilité $P(M_t \ge x)$ est égale à $P(B_t \ge x) + P(B_t \le -x \text{ et } M_t \ge x)$. Le second terme se simplifie.

Grâce au principe de réflexion, on peut montrer que $P(M_t \ge x \text{ et } B_t \le x) = P(B_t \le x) - P(B_t > x)$.

Un résultat clé est que pour $x > 0$, $P(M_t \ge x) = P(B_t \ge x) + P(B_t \le -x) = P(B_t \ge x) + P(B_t \ge x) = 2 P(B_t \ge x)$. Ce dernier résultat découle de la symétrie de la loi de $B_t$ et du principe de réflexion.

b) Loi de $M_t$ :

Puisque $B_t \sim \mathcal{N}(0, t)$, on a $P(B_t \ge x) = 1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}})$ où $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale standard. Pour $x > 0$ :

$P(M_t \ge x) = 2 P(B_t \ge x) = 2 (1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}}))$.

Pour trouver la fonction de répartition $F_{M_t}(x) = P(M_t \le x)$, on utilise $P(M_t \le x) = 1 - P(M_t > x)$.

Si $x > 0$, $P(M_t > x) = P(M_t \ge x) = 2(1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}}))$.

Donc, pour $x > 0$, $P(M_t \le x) = 1 - 2(1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}})) = 1 - 2 + 2\Phi(\frac{x}{\sqrt{t}}) = 2\Phi(\frac{x}{\sqrt{t}}) - 1$.

Si $x \le 0$, $P(M_t \le x) = 0$ car $M_t \ge B_0 = 0$. Donc $M_t$ est toujours non-négatif.

La loi de $M_t$ est une loi de Rayleigh tronquée.

c) Calcul de $E[M_t]$ :

On utilise le fait que pour une variable aléatoire positive $X$, $E[X] = \int_0^\infty P(X > x) dx$.

$E[M_t] = \int_0^\infty P(M_t > x) dx = \int_0^\infty P(M_t \ge x) dx = \int_0^\infty 2 P(B_t \ge x) dx$.

$E[M_t] = 2 \int_0^\infty (1 - \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}})) dx$.

Faisons le changement de variable $y = x/\sqrt{t}$, donc $x = y\sqrt{t}$ et $dx = \sqrt{t} dy$.

$E[M_t] = 2 \int_0^\infty (1 - \Phi(y)) \sqrt{t} dy = 2\sqrt{t} \int_0^\infty (1 - \Phi(y)) dy$.

On sait que $\int_0^\infty (1 - \Phi(y)) dy = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. (Ceci est l'espérance de la partie positive d'une gaussienne standard $\mathcal{N}(0, 1)$).

Donc, $E[M_t] = 2\sqrt{t} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}$.

Correction :

a) Calcul de $E[X_t]$ :

Par définition, $X_t = B^H_t$. L'accroissement $X_t - X_0 = B^H_t - B^H_0$. Puisque $B^H_0 = 0$, $X_t = B^H_t$.

L'espérance d'un accroissement $B^H_t - B^H_s$ est 0. En prenant $s=0$, $E[B^H_t - B^H_0] = E[B^H_t] = 0$. Donc, $E[X_t] = 0$ pour tout $t \ge 0$.

b) Calcul de $Var(X_t)$ :

Pour $t \ge 0$, on a $X_t = B^H_t$. L'accroissement $X_t - X_0 = B^H_t$. La variance de cet accroissement est $|t-0|^{2H} = t^{2H}$ (puisque $t \ge 0$).

Donc, $Var(X_t) = Var(B^H_t) = t^{2H}$.

c) Retrouver les résultats pour $H=1/2$ :

Si $H=1/2$, alors $2H = 1$.

a) $E[X_t] = 0$, ce qui est correct pour le mouvement brownien standard.

b) $Var(X_t) = t^{2H} = t^{2(1/2)} = t^1 = t$. Ceci est également correct pour le mouvement brownien standard ($Var(B_t) = t$).

Correction :

Nous allons utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les variables aléatoires réelles : pour deux variables aléatoires $X, Y$ dans $L^2(\Omega, P)$, on a $|E[XY]| \le \sqrt{E[X^2] E[Y^2]}$.

Ici, nous avons $X = B_s$ et $Y = B_t$. Les variables $B_s$ et $B_t$ sont des variables aléatoires normales, donc elles appartiennent à $L^2(\Omega, P)$ (elles ont une espérance nulle et une variance finie). Par conséquent, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'applique directement.

Nous devons calculer le terme de gauche $E[B_s B_t]$.

On peut écrire $B_t = B_s + (B_t - B_s)$. Puisque $0 \le s < t$, les variables $B_s$ et $B_t - B_s$ sont indépendantes. De plus, $E[B_s] = 0$ et $E[B_t - B_s] = 0$.

$E[B_s B_t] = E[B_s (B_s + (B_t - B_s))]$

$E[B_s B_t] = E[B_s^2 + B_s (B_t - B_s)]$

$E[B_s B_t] = E[B_s^2] + E[B_s (B_t - B_s)]$.

Comme $B_s$ et $B_t - B_s$ sont indépendants, $E[B_s (B_t - B_s)] = E[B_s] E[B_t - B_s] = 0 \cdot 0 = 0$.

Donc, $E[B_s B_t] = E[B_s^2]$.

Nous savons que $E[B_s^2] = Var(B_s) = s$ et $E[B_t^2] = Var(B_t) = t$.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz devient $|s| \le \sqrt{s \cdot t}$.

Puisque $s \ge 0$, $|s| = s$. L'inégalité à montrer est donc $s \le \sqrt{st}$.

Si $s=0$, $0 \le 0$.

Si $s > 0$, on peut diviser par $\sqrt{s}$ : $\sqrt{s} \le \sqrt{t}$. Ceci est vrai car $s < t$ implique $\sqrt{s} < \sqrt{t}$.

Donc, l'inégalité est bien vérifiée.

Correction :

a) Mouvement brownien multidimensionnel :

Un mouvement brownien multidimensionnel dans $\mathbb{R}^d$ est un processus stochastique $\mathbf{B}_t$ à valeurs dans $\mathbb{R}^d$ tel que :

• $\mathbf{B}_0 = \mathbf{0}$ presque sûrement.
• Les trajectoires sont continues.
• Pour $0 \le s < t$, l'accroissement $\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s$ est un vecteur aléatoire dans $\mathbb{R}^d$.
• Pour $0 \le s < t$, les accroissements $\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s$ sont indépendants des $\sigma$-algèbres $\mathcal{F}_s = \sigma(\mathbf{B}_u : 0 \le u \le s)$.
• Pour $0 \le s < t$, $\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s$ suit une loi normale multidimensionnelle de moyenne $\mathbf{0}$ et de matrice de covariance $(t-s)I_d$, où $I_d$ est la matrice identité $d \times d$.

Dans notre cas, $\mathbf{B}_t = (B_{t,1}, \dots, B_{t,d})$ où $B_{t,i}$ sont des mouvements browniens standard indépendants.

• $\mathbf{B}_0 = (B_{0,1}, \dots, B_{0,d}) = (\mathbf{0}, \dots, \mathbf{0}) = \mathbf{0}$ p.s.
• Les trajectoires $t \mapsto B_{t,i}$ sont continues pour chaque $i$, donc la trajectoire $t \mapsto \mathbf{B}_t$ est continue.
• Pour $0 \le s < t$, $\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s = (B_{t,1} - B_{s,1}, \dots, B_{t,d} - B_{s,d})$. Puisque les $B_{t,i}$ sont indépendants, la loi conjointe de ce vecteur est déterminée par les lois marginales.
• L'indépendance des accroissements est garantie par l'indépendance des mouvements browniens individuels. Si $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^d$, alors $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s) = \sum_{i=1}^d u_i (B_{t,i} - B_{s,i})$. La loi de cette somme de variables indépendantes est gaussienne.
• La covariance : Pour $0 \le s < t$, $E[(\mathbf{B}_t - \mathbf{B}_s)] = (E[B_{t,1} - B_{s,1}], \dots, E[B_{t,d} - B_{s,d}]) = (\mathbf{0}, \dots, \mathbf{0}) = \mathbf{0}$.
• La matrice de covariance $C$ a pour éléments $C_{ij} = \text{Cov}((B_{t,i} - B_{s,i}), (B_{t,j} - B_{s,j}))$. Si $i=j$, $C_{ii} = Var(B_{t,i} - B_{s,i}) = t-s$. Si $i \ne j$, $C_{ij} = \text{Cov}(B_{t,i} - B_{s,i}, B_{t,j} - B_{s,j}) = 0$ car les mouvements browniens sont indépendants. Donc, la matrice de covariance est $(t-s)I_d$.

Donc, $\mathbf{B}_t$ est bien un mouvement brownien multidimensionnel.

b) Calcul de $E[\|\mathbf{B}_t\|^2]$ :

La norme euclidienne au carré est $\|\mathbf{B}_t\|^2 = \sum_{i=1}^d B_{t,i}^2$.

$E[\|\mathbf{B}_t\|^2] = E\left[\sum_{i=1}^d B_{t,i}^2\right]$.

Par linéarité de l'espérance :

$E[\|\mathbf{B}_t\|^2] = \sum_{i=1}^d E[B_{t,i}^2]$.

Comme chaque $B_{t,i}$ est un mouvement brownien standard, $E[B_{t,i}^2] = Var(B_{t,i}) = t$.

$E[\|\mathbf{B}_t\|^2] = \sum_{i=1}^d t = d \cdot t$.