Explorer la Théorie de la Mesure : Tribus et Mesures Corrigées

Correction :

Pour qu'un ensemble de sous-ensembles de $X$ soit une tribu, il doit satisfaire trois propriétés :

1. Il doit contenir l'ensemble vide $\emptyset$.
2. Il doit être stable par passage au complémentaire.
3. Il doit être stable par union dénombrable.

Considérons l'ensemble $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$.

1. Contient l'ensemble vide ?

Oui, $\emptyset \in \mathcal{T}$.

2. Stable par complémentaire ?

Le complémentaire de $\emptyset$ dans $X$ est $X$. $X \in \mathcal{T}$.

Le complémentaire de $X$ dans $X$ est $\emptyset$. $\emptyset \in \mathcal{T}$.

Donc, $\mathcal{T}$ est stable par complémentaire.

3. Stable par union dénombrable ?

Les unions possibles de sous-ensembles de $\mathcal{T}$ sont :

• Union d'une seule famille : $\emptyset$ et $X$. Ces deux ensembles sont dans $\mathcal{T}$.
• Union de deux familles : $\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$, $\emptyset \cup X = X$, $X \cup X = X$. Tous sont dans $\mathcal{T}$.
• Union d'une famille infinie dénombrable de sous-ensembles de $\mathcal{T}$ : par exemple, $\bigcup_{n=1}^\infty \emptyset = \emptyset \in \mathcal{T}$. Ou $\bigcup_{n=1}^\infty X = X \in \mathcal{T}$. Ou une union alternant $\emptyset$ et $X$. Par exemple, $\emptyset \cup X \cup \emptyset \cup X \cup \dots = X \in \mathcal{T}$.

Dans tous les cas, l'union dénombrable de sous-ensembles de $\mathcal{T}$ est soit $\emptyset$, soit $X$. Ces deux ensembles sont dans $\mathcal{T}$.

Correction :

Vérifions les trois propriétés d'une tribu pour $\mathcal{A} = \{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$.

1. Contient l'ensemble vide ?

Oui, $\emptyset \in \mathcal{A}$.

2. Stable par complémentaire ?

Le complémentaire de $\emptyset$ est $X = \{a, b, c\}$, qui est dans $\mathcal{A}$.

Le complémentaire de $\{a\}$ est $\{b, c\}$, qui est dans $\mathcal{A}$.

Le complémentaire de $\{b, c\}$ est $\{a\}$, qui est dans $\mathcal{A}$.

Le complémentaire de $\{a, b, c\}$ est $\emptyset$, qui est dans $\mathcal{A}$.

Donc, $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire.

3. Stable par union dénombrable ?

Puisque $\mathcal{A}$ est fini, nous pouvons vérifier la stabilité par union finie. Si une famille est stable par union finie et par complémentaire, elle est stable par union dénombrable.

Vérifions les unions de deux éléments :

• $\{a\} \cup \{b, c\} = \{a, b, c\} \in \mathcal{A}$.
• $\{a\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c\} \in \mathcal{A}$.
• $\{b, c\} \cup \{a, b, c\} = \{a, b, c\} \in \mathcal{A}$.
• $\emptyset \cup A = A$ pour tout $A \in \mathcal{A}$.

Toutes les unions finies (et donc les unions dénombrables car on ne peut faire que des unions finies avec un nombre fini d'ensembles) donnent un élément de $\mathcal{A}$.

Point méthode : Pour un ensemble fini, la stabilité par complémentaire et par union finie est équivalente à la stabilité par union dénombrable, ce qui rend la vérification plus simple.

Correction :

Soit $\mathcal{F}$ la famille de tous les intervalles de la forme $[a, b[$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.

1. Contient l'ensemble vide ?

Oui, on peut choisir $a=b$. Par exemple, $[1, 1[ = \emptyset$. Donc $\emptyset \in \mathcal{F}$.

2. Stable par complémentaire ?

Prenons l'intervalle $I = [0, 1[ \in \mathcal{F}$. Son complémentaire dans $\mathbb{R}$ est $I^c = (-\infty, 0[ \cup [1, \infty)$. Cet ensemble n'est pas de la forme $[a, b[$. Il s'agit d'une union de deux intervalles ouverts/semi-ouverts disjoints.

Donc, la famille $\mathcal{F}$ n'est pas stable par complémentaire.

Astuce : La famille des intervalles de la forme $[a, b[$ engendre la tribu borélienne de $\mathbb{R}$, mais n'est pas une tribu en elle-même.

Correction :

a) Stabilité de $\mathcal{B}$ par intersection dénombrable.

La tribu $\mathcal{B}$ est par définition stable par union dénombrable et par complémentaire. Nous voulons montrer qu'elle est stable par intersection dénombrable.

Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'ensembles dans $\mathcal{B}$.

Par les lois de Morgan pour les ensembles, l'intersection dénombrable peut s'écrire comme une union dénombrable de complémentaires :

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c \right)^c$.

Puisque $\mathcal{B}$ est une tribu :

• Chaque $A_n \in \mathcal{B}$.
• Le complémentaire $A_n^c$ est donc aussi dans $\mathcal{B}$ (stabilité par complémentaire).
• L'union dénombrable $\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c$ est dans $\mathcal{B}$ (stabilité par union dénombrable).
• Le complémentaire de cette union, $\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c \right)^c$, est donc aussi dans $\mathcal{B}$ (stabilité par complémentaire).

b) La famille de tous les sous-ensembles de $\mathbb{R}$ est-elle une tribu ?

La famille de tous les sous-ensembles de $\mathbb{R}$ est l'ensemble puissance $\mathcal{P}(\mathbb{R})$.

1. Contient l'ensemble vide ?

Oui, $\emptyset \subseteq \mathbb{R}$, donc $\emptyset \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$.

2. Stable par complémentaire ?

Pour tout sous-ensemble $A \subseteq \mathbb{R}$, son complémentaire $A^c = \mathbb{R} \setminus A$ est aussi un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Donc, $A^c \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$. Oui, $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est stable par complémentaire.

3. Stable par union dénombrable ?

Pour toute collection dénombrable de sous-ensembles $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{R}$, leur union $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ est aussi un sous-ensemble de $\mathbb{R}$. Donc, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$. Oui, $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est stable par union dénombrable.

Correction :

Soit $\mathcal{G} = \{A \cap B \mid B \in \mathcal{F}\}$. Nous devons montrer que $\mathcal{G}$ est une tribu sur $A$. Pour cela, nous considérons les éléments de $\mathcal{G}$ comme des sous-ensembles de $A$. Les ensembles de $\mathcal{G}$ sont donc de la forme $C = A \cap B$ où $B \in \mathcal{F}$.

1. Contient $A$ ?

Puisque $\mathcal{F}$ est une tribu sur $X$, elle contient $X$. Prenons $B=X$. Alors $A \cap X = A$. Donc $A \in \mathcal{G}$.

2. Stable par complémentaire par rapport à $A$ ?

Soit $C \in \mathcal{G}$. Alors $C = A \cap B$ pour un certain $B \in \mathcal{F}$.

Le complémentaire de $C$ par rapport à $A$ est $A \setminus C = A \setminus (A \cap B)$.

En utilisant les propriétés des ensembles, $A \setminus (A \cap B) = A \cap (A \cap B)^c = A \cap (A^c \cup B^c)$.

Comme $A \in \mathcal{F}$ et $\mathcal{F}$ est une tribu, son complémentaire $A^c \in \mathcal{F}$.

De plus, $B \in \mathcal{F}$, donc $B^c \in \mathcal{F}$.

L'union $A^c \cup B^c$ est dans $\mathcal{F}$ car $\mathcal{F}$ est stable par union dénombrable (et donc finie).

Donc, $A \cap (A^c \cup B^c)$ est un produit d'un élément de $\mathcal{F}$ ($A$) et d'un élément de $\mathcal{F}$ ($A^c \cup B^c$).

Donc $A \cap (A^c \cup B^c) \in \mathcal{G}$.

Ce qui fait que $A \setminus C \in \mathcal{G}$.

3. Stable par union dénombrable ?

Soit $(C_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{G}$.

Alors pour chaque $n$, $C_n = A \cap B_n$ pour un certain $B_n \in \mathcal{F}$.

L'union $\bigcup_{n=1}^\infty C_n = \bigcup_{n=1}^\infty (A \cap B_n)$.

Par distributivité, $\bigcup_{n=1}^\infty (A \cap B_n) = A \cap \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)$.

Puisque $\mathcal{F}$ est une tribu, et que chaque $B_n \in \mathcal{F}$, leur union dénombrable $\bigcup_{n=1}^\infty B_n$ est dans $\mathcal{F}$.

Comme $A \in \mathcal{F}$, l'intersection $A \cap \left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)$ est aussi dans $\mathcal{F}$.

Donc $\bigcup_{n=1}^\infty C_n \in \mathcal{G}$.

Correction :

La mesure $\mu$ est définie sur la tribu $\mathcal{P}(X)$, qui est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $X$. La mesure est définie sur les singletons, et par $\sigma$-additivité, elle est définie sur tous les ensembles de la tribu.

a) Calculs de mesures.

La $\sigma$-additivité stipule que pour toute suite dénombrable d'ensembles disjoints $(A_n)$, $\mu(\bigcup A_n) = \sum \mu(A_n)$. Dans le cas d'un ensemble fini, c'est la finie additivité.

$\mu(\{1, 2\}) = \mu(\{1\}) + \mu(\{2\})$ car $\{1\}$ et $\{2\}$ sont disjoints.

$\mu(\{1, 2\}) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.

$\mu(\{2, 3, 4\}) = \mu(\{2\}) + \mu(\{3\}) + \mu(\{4\})$ car $\{2\}, \{3\}, \{4\}$ sont disjoints.

$\mu(\{2, 3, 4\}) = 0.3 + 0.1 + 0.4 = 0.8$.

$\mu(\{1, 3\}) = \mu(\{1\}) + \mu(\{3\})$ car $\{1\}$ et $\{3\}$ sont disjoints.

$\mu(\{1, 3\}) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

b) Mesures de $\emptyset$ et $X$.

Par définition d'une mesure, $\mu(\emptyset) = 0$.

La mesure de l'ensemble total $X$ est la somme des mesures des singletons qui le composent (puisqu'ils sont disjoints et leur union est $X$):

$\mu(X) = \mu(\{1\}) + \mu(\{2\}) + \mu(\{3\}) + \mu(\{4\}) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.4 = 1.0$.

c) Mesure de probabilité ?

Une mesure $\mu$ sur un espace mesurable $(X, \mathcal{F})$ est une probabilité si $\mu(X) = 1$ et $\mu(A) \ge 0$ pour tout $A \in \mathcal{F}$.

Ici, toutes les valeurs $\mu(\{i\})$ sont positives, donc $\mu(A) \ge 0$ pour tout $A \in \mathcal{P}(X)$ par $\sigma$-additivité. De plus, $\mu(X) = 1.0$.

Correction :

L'espace mesurable est $(X, \mathcal{P}(X))$ où $X = \{x_1, x_2, \dots\}$. La mesure est définie par $\mu(\{x_n\}) = \frac{1}{2^n}$ pour les singletons.

a) Vérification que $\mu$ est une mesure.

Non-négativité : Pour tout singleton $\{x_n\}$, $\mu(\{x_n\}) = \frac{1}{2^n} > 0$. Comme toute partie $A$ de $X$ peut être écrite comme une union disjointe de singletons ($A = \bigcup_{x \in A} \{x\}$), et que la mesure est définie par sommation des mesures des singletons, $\mu(A) \ge 0$ pour tout $A \in \mathcal{P}(X)$.

$\sigma$-additivité : Soit $(A_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite d'ensembles dans $\mathcal{P}(X)$ qui sont deux à deux disjoints. Soit $A = \bigcup_{k=1}^\infty A_k$. Pour chaque $A_k$, on peut l'écrire comme une union disjointe de singletons : $A_k = \bigcup_{x \in A_k} \{x\}$. Donc $A$ peut aussi être écrit comme une union disjointe de singletons : $A = \bigcup_{x \in X, \exists k: x \in A_k} \{x\}$.

La mesure $\mu$ sur un espace discret est définie par la somme des mesures des singletons qui le composent. Donc, pour tout $E \in \mathcal{P}(X)$, $\mu(E) = \sum_{x \in E} \mu(\{x\})$ si $E$ est fini, ou la somme de la série si $E$ est infini.

Pour une suite d'ensembles disjoints $(A_k)$, l'union $A = \bigcup_{k=1}^\infty A_k$ est une collection d'éléments de $X$. L'ensemble des singletons constituant $A$ est l'union disjointe des ensembles de singletons constituant chaque $A_k$.

Donc, $\mu(A) = \mu(\bigcup_{k=1}^\infty A_k) = \sum_{x \in \bigcup A_k} \mu(\{x\}) = \sum_{k=1}^\infty \sum_{x \in A_k} \mu(\{x\}) = \sum_{k=1}^\infty \mu(A_k)$.

Cela démontre la $\sigma$-additivité.

b) Calcul de $\mu(X)$.

$X = \{x_1, x_2, \dots\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{x_n\}$. Les singletons $\{x_n\}$ sont disjoints.

Par $\sigma$-additivité :

$\mu(X) = \sum_{n=1}^\infty \mu(\{x_n\}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$.

Ceci est la somme d'une série géométrique de premier terme $a = 1/2$ et de raison $r = 1/2$. La somme est $\frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

c) Calcul de $\mu(A)$.

$A = \{x_2, x_4, x_6, \dots\} = \{x_{2k} \mid k \in \mathbb{N}, k \ge 1\}$.

Comme les singletons sont disjoints :

$\mu(A) = \sum_{k=1}^\infty \mu(\{x_{2k}\}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{2k}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k}$.

C'est la somme d'une série géométrique de premier terme $a = 1/4$ et de raison $r = 1/4$. La somme est $\frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

Correction :

La mesure de Lebesgue $\mu$ sur $[0,1]$ est une mesure $\sigma$-additive sur la tribu borélienne $\mathcal{B}([0,1])$. Pour un intervalle $[a,b]$, sa mesure est $\mu([a,b]) = b-a$. Pour un intervalle ouvert $(a,b)$, $\mu((a,b)) = b-a$. Pour un intervalle semi-ouvert $[a,b[$, $\mu([a,b[) = b-a$. La mesure d'un singleton est toujours nulle.

a) Calculs de mesures d'intervalles.

$\mu([0.2, 0.5]) = 0.5 - 0.2 = 0.3$.

$\mu([0.7, 1]) = 1 - 0.7 = 0.3$.

b) Mesure d'un singleton.

Pour la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ (et donc sur $[0,1]$), la mesure d'un ensemble dénombrable est nulle. Un singleton est un ensemble dénombrable.

Donc, $\mu(\{0.3\}) = 0$.

c) Mesure de $[0, 1]$.

$\mu([0, 1]) = 1 - 0 = 1$.

d) Montrer que $\mu$ est $\sigma$-additive.

La $\sigma$-additivité de la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ (et donc restreinte à $[0,1]$) est une propriété fondamentale qui est généralement acceptée comme définition ou démontrée via la construction de la mesure de Lebesgue (en utilisant les mesures extérieures et l'approximation par des unions d'intervalles).

Pour un intervalle $[a,b]$, la mesure est définie comme $\sup \{ \mu(I) : I \subset [a,b], I \text{ est un intervalle ouvert} \}$.

Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'ensembles mesurables disjoints dans $\mathcal{B}([0,1])$. On veut montrer que $\mu(\bigcup A_n) = \sum \mu(A_n)$.

Pour toute $\epsilon > 0$, chaque $A_n$ peut être recouvert par une suite dénombrable d'intervalles ouverts $I_{n,k}$ tels que $\sum_k \mu(I_{n,k}) < \mu(A_n) + \epsilon / 2^n$.

L'union de tous ces intervalles $\bigcup_{n,k} I_{n,k}$ recouvre $\bigcup A_n$. Les ensembles $A_n$ sont disjoints.

On peut approximer la mesure de Lebesgue d'un ensemble mesurable par des unions d'intervalles ouverts. La propriété de $\sigma$-additivité est une conséquence directe de la définition de la mesure de Lebesgue et de son processus de construction (par exemple, via la mesure extérieure de Carathéodory).

Pour un intervalle fini $[a,b]$, si on le décompose en une union d'intervalles mesurables disjoints $(A_n)$, alors $\mu([a,b]) = \sum \mu(A_n)$. Par exemple, si $[a,b] = [a,c] \cup [c,b]$ avec $a