Niveau : facile à difficile. Durée estimée : 1 h 30. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Pour montrer qu'une famille $\mathcal{T}$ de parties d'un ensemble $X$ est une tribu (on dit aussi $\sigma$-algèbre), tu vérifies trois points : $X \in \mathcal{T}$, le complémentaire de chaque élément de $\mathcal{T}$ est dans $\mathcal{T}$, et la réunion de toute suite d'éléments de $\mathcal{T}$ est dans $\mathcal{T}$. Pour montrer qu'elle n'en est pas une, un seul contre-exemple suffit. Exemple : si $A \subset X$, la famille $\{\emptyset, A, A^c, X\}$ est une tribu, car les complémentaires et les réunions de ses éléments retombent toujours sur l'un des quatre.
La tribu engendrée par une famille $\mathcal{C}$, notée $\sigma(\mathcal{C})$, est la plus petite tribu qui contient $\mathcal{C}$. La tribu de l'exemple est $\sigma(\{A\})$ ; la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ est celle engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}$. Une tribu est aussi stable par intersection d'une suite et par différence (exercice 4).
Une mesure sur $(X, \mathcal{T})$ est une application $\mu : \mathcal{T} \to [0\,;\,+\infty]$ telle que $\mu(\emptyset) = 0$ et qui est $\sigma$-additive : la mesure de la réunion d'une suite d'ensembles deux à deux disjoints est la somme de leurs mesures. Si $\mu(X) = 1$, $\mu$ est une probabilité (définitions du cours de Gallouët et Herbin, voir les sources).
Formules à retenir :
- $\sigma$-additivité : $\mu\left(\bigcup_{n \ge 1} A_n\right) = \sum_{n \ge 1} \mu(A_n)$ si les $A_n$ sont deux à deux disjoints.
- Monotonie : si $A \subset B$, alors $\mu(A) \le \mu(B)$.
- $\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)$.
- Si $A \subset B$ et $\mu(A) < +\infty$, alors $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$.
- Continuité décroissante : si $A_{n+1} \subset A_n$ pour tout $n$ et si l'un des $A_n$ est de mesure finie, alors $\mu\left(\bigcap_{n \ge 1} A_n\right) = \lim_{n \to +\infty} \mu(A_n)$.
- Mesure de Lebesgue : $\lambda([a\,;\,b]) = b - a$ pour $a \le b$, bornes incluses ou non.
Piège classique : être stable par complémentaire et par réunion finie ne suffit pas. Une telle famille s'appelle une algèbre ; une tribu doit en plus contenir la réunion de toute suite de ses éléments (réunion dénombrable). Sur un ensemble fini, les deux notions se confondent. Sur un ensemble infini, une famille peut passer tous les tests finis et échouer sur une suite.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Soit $X = \{a, b, c, d\}$. Pour chacune des deux familles suivantes, dis si c'est une tribu sur $X$ et justifie.
$\mathcal{A}_1 = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, X\}$
$\mathcal{A}_2 = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, X\}$
Correction :
Sur un ensemble fini, une suite de parties ne prend qu'un nombre fini de valeurs : il suffit de vérifier que $X$ est présent, puis de tester les complémentaires et les réunions de deux éléments.
Les éléments de $\mathcal{A}_1$ sont exactement les $2^3 = 8$ réunions possibles des trois blocs $\{a\}$, $\{b\}$ et $\{c, d\}$. Le complémentaire d'une réunion de blocs est la réunion des autres blocs, et une réunion de telles réunions en est encore une : $\mathcal{A}_1$ est une tribu.
$\mathcal{A}_2$ contient le complémentaire de chacun de ses éléments, mais $\{a\} \cup \{b\} = \{a, b\} \notin \mathcal{A}_2$ : $\mathcal{A}_2$ n'est pas une tribu. Erreur à éviter : s'arrêter aux complémentaires.
Exercice 2 : Soit $X = \{1, 2, 3, 4\}$ et $\mathcal{C} = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}\}$. Détermine la tribu $\sigma(\mathcal{C})$ et son nombre d'éléments.
Correction :
Une tribu qui contient $\{1, 2\}$ et $\{2, 3\}$ contient leurs intersections, différences et complémentaires : on cherche les plus petits morceaux ainsi obtenus.
$\{1, 2\} \cap \{2, 3\} = \{2\}$, $\{1, 2\} \setminus \{2, 3\} = \{1\}$, $\{2, 3\} \setminus \{1, 2\} = \{3\}$ et $X \setminus (\{1, 2\} \cup \{2, 3\}) = \{4\}$.
$\sigma(\mathcal{C})$ contient donc les quatre singletons, puis toutes leurs réunions, c'est-à-dire toutes les parties de $X$. Comme $\mathcal{P}(X)$ est elle-même une tribu : $\sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{P}(X)$, qui compte $2^4 = 16$ éléments.
Erreur à éviter : ajouter les complémentaires $\{3, 4\}$ et $\{1, 4\}$ en oubliant les intersections.
Exercice 3 : Un dé truqué à quatre faces (données fictives) est modélisé par la mesure $\mu$ sur $(X, \mathcal{P}(X))$, avec $X = \{1, 2, 3, 4\}$, $\mu(\{1\}) = 0,2$, $\mu(\{2\}) = 0,3$, $\mu(\{3\}) = 0,1$ et $\mu(\{4\}) = 0,4$. On pose $A = \{1, 2\}$ (« au plus 2 ») et $B = \{2, 4\}$ (« pair »). Calcule $\mu(A)$, $\mu(B)$, $\mu(A \cap B)$ et $\mu(A \cup B)$, vérifie la formule $\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)$, puis dis si $\mu$ est une probabilité.
Correction :
Une partie finie est la réunion disjointe de ses singletons : sa mesure est la somme de leurs mesures.
$\mu(A) = 0,2 + 0,3 = 0,5$ et $\mu(B) = 0,3 + 0,4 = 0,7$. Puis $A \cap B = \{2\}$, donc $\mu(A \cap B) = 0,3$, et $A \cup B = \{1, 2, 4\}$, donc $\mu(A \cup B) = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9$.
Vérification : $0,9 + 0,3 = 1,2 = 0,5 + 0,7$. Enfin $\mu(X) = 0,2 + 0,3 + 0,1 + 0,4 = 1$.
$\mu(A \cup B) = 0,9$, et $\mu$ est une probabilité car $\mu(X) = 1$.
Erreur à éviter : écrire $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) = 1,2$. La face 2 est comptée deux fois, et une probabilité ne dépasse jamais 1.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $X$ et $(A_n)_{n \ge 1}$ une suite d'éléments de $\mathcal{T}$. Montre que $\bigcap_{n \ge 1} A_n \in \mathcal{T}$, puis que $A_1 \setminus A_2 \in \mathcal{T}$.
Correction :
On passe au complémentaire grâce aux lois de De Morgan : $\bigcap_{n \ge 1} A_n = \left(\bigcup_{n \ge 1} A_n^c\right)^c$.
Chaque $A_n^c$ est dans $\mathcal{T}$ (complémentaire), donc leur réunion aussi (réunion d'une suite), donc le complémentaire de cette réunion aussi.
Pour la différence, $A_1 \setminus A_2 = A_1 \cap A_2^c$ : c'est l'intersection de la suite $A_1, A_2^c, X, X, \dots$, dont tous les termes sont dans $\mathcal{T}$.
Une tribu est stable par intersection dénombrable et par différence. Le même argument donne toute intersection finie : on complète la suite par $X$.
Exercice 5 : On note $\mathcal{A}$ la famille des parties $A$ de $\mathbb{N}$ telles que $A$ est finie ou $\mathbb{N} \setminus A$ est finie.
a) Montre que $\mathcal{A}$ est stable par complémentaire et par réunion finie.
b) $\mathcal{A}$ est-elle une tribu sur $\mathbb{N}$ ? Justifie.
Correction :
a) La définition est symétrique : $A \in \mathcal{A}$ si et seulement si $\mathbb{N} \setminus A \in \mathcal{A}$. Soit $A, B \in \mathcal{A}$. Si $A$ et $B$ sont finies, $A \cup B$ l'est aussi. Sinon, l'une d'elles, disons $A$, est infinie, donc de complémentaire fini, et $\mathbb{N} \setminus (A \cup B) \subset \mathbb{N} \setminus A$ est fini. Dans les deux cas $A \cup B \in \mathcal{A}$, et une récurrence donne toutes les réunions finies.
b) Chaque singleton $\{2k\}$ est fini, donc dans $\mathcal{A}$. Leur réunion $P = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} \{2k\}$, l'ensemble des entiers pairs, est infinie, et son complémentaire, l'ensemble des entiers impairs, l'est aussi : $P \notin \mathcal{A}$.
$\mathcal{A}$ n'est pas une tribu : elle est stable par réunion finie, pas par réunion dénombrable. C'est exactement le piège : conclure dès que les réunions de deux éléments fonctionnent.
Exercice 6 : Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur $X$ et $A \in \mathcal{T}$. On pose $\mathcal{T}_A = \{A \cap B : B \in \mathcal{T}\}$, appelée trace de $\mathcal{T}$ sur $A$. Montre que $\mathcal{T}_A$ est une tribu sur $A$ (les complémentaires se prennent dans $A$), puis que $\mathcal{T}_A = \{C \in \mathcal{T} : C \subset A\}$.
Correction :
On écrit chaque élément sous la forme $A \cap B$ avec $B \in \mathcal{T}$, et on ramène chaque opération à une opération dans $\mathcal{T}$.
D'abord $A = A \cap X$ avec $X \in \mathcal{T}$, donc $A \in \mathcal{T}_A$. Ensuite $A \setminus (A \cap B) = A \cap B^c$, avec $B^c \in \mathcal{T}$. Enfin $\bigcup_n (A \cap B_n) = A \cap \bigcup_n B_n$, avec $\bigcup_n B_n \in \mathcal{T}$. Donc $\mathcal{T}_A$ est une tribu sur $A$.
Si $C = A \cap B$, alors $C \in \mathcal{T}$ comme intersection de deux éléments de $\mathcal{T}$ (exercice 4), et $C \subset A$. Inversement, si $C \in \mathcal{T}$ et $C \subset A$, alors $C = A \cap C \in \mathcal{T}_A$.
$\mathcal{T}_A$ est une tribu sur $A$, formée des éléments de $\mathcal{T}$ inclus dans $A$. La première partie reste vraie si $A \notin \mathcal{T}$, la seconde non : $A$ serait dans $\mathcal{T}_A$ sans être dans $\mathcal{T}$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Soit $X = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ un ensemble dont les éléments $x_n$ sont deux à deux distincts, muni de la tribu $\mathcal{P}(X)$. Pour $A \subset X$, on pose $\mu(A) = \sum_{n \,:\, x_n \in A} \frac{1}{2^n}$.
a) Montre que $\mu$ est une mesure.
b) Calcule $\mu(X)$, puis $\mu(P)$ pour $P = \{x_2, x_4, x_6, \dots\}$.
c) Déduis-en, sans calculer de nouvelle série, la mesure de $\{x_1, x_3, x_5, \dots\}$.
Correction :
a) $\mu(\emptyset) = 0$ (somme vide) et $\mu$ est à valeurs positives. Si $(A_k)_{k \ge 1}$ est une suite de parties deux à deux disjointes, de réunion $A$, chaque $x_n \in A$ est dans un seul $A_k$. Les termes $\frac{1}{2^n}$ étant positifs, on peut les regrouper par paquets sans changer la somme : $\mu(A) = \sum_{k \ge 1} \sum_{n \,:\, x_n \in A_k} \frac{1}{2^n} = \sum_{k \ge 1} \mu(A_k)$. Donc $\mu$ est $\sigma$-additive : c'est une mesure.
b) Ce sont des séries géométriques : $\mu(X) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ et $\mu(P) = \sum_{k \ge 1} \frac{1}{2^{2k}} = \sum_{k \ge 1} \frac{1}{4^k} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$.
c) Les indices impairs forment $X \setminus P$, et $\mu(P)$ est finie : $\mu(X \setminus P) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$\mu(X) = 1$, $\mu(P) = \frac{1}{3}$ et $\mu(\{x_1, x_3, x_5, \dots\}) = \frac{2}{3}$.
Exercice 8 : On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
a) Calcule $\lambda([0,2\,;\,0,5])$, puis montre que $\lambda(\{x\}) = 0$ pour tout réel $x$.
b) Montre que $\lambda(\mathbb{Q} \cap [0\,;\,1]) = 0$, puis calcule $\lambda([0\,;\,1] \setminus \mathbb{Q})$.
c) Pour $n \ge 1$, on pose $B_n = [n\,;\,+\infty[$. Calcule $\lambda(B_n)$ et $\bigcap_{n \ge 1} B_n$. La continuité décroissante s'applique-t-elle ?
Correction :
a) $\lambda([0,2\,;\,0,5]) = 0,5 - 0,2 = 0,3$. Pour tout $\varepsilon > 0$, $\{x\} \subset [x\,;\,x + \varepsilon]$, donc par monotonie $0 \le \lambda(\{x\}) \le \varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$.
b) $\mathbb{Q} \cap [0\,;\,1]$ est dénombrable : on range ses éléments en une suite $(q_k)_{k \ge 1}$ de rationnels distincts. C'est la réunion des singletons disjoints $\{q_k\}$, donc par $\sigma$-additivité sa mesure vaut $\sum_{k \ge 1} 0 = 0$. Comme cette mesure est finie, $\lambda([0\,;\,1] \setminus \mathbb{Q}) = 1 - 0 = 1$.
c) $B_n$ contient $[n\,;\,n + k]$ pour tout entier naturel $k$, donc $\lambda(B_n) \ge k$ pour tout $k$ : $\lambda(B_n) = +\infty$. Un réel $x$ sort de $B_n$ dès que $n > x$, donc $\bigcap_{n \ge 1} B_n = \emptyset$. Ainsi $\lambda\left(\bigcap_{n \ge 1} B_n\right) = 0$ alors que $\lim_{n \to +\infty} \lambda(B_n) = +\infty$ : aucun $B_n$ n'est de mesure finie, la continuité décroissante ne s'applique pas.
$\lambda([0,2\,;\,0,5]) = 0,3$, $\lambda([0\,;\,1] \setminus \mathbb{Q}) = 1$, et la continuité décroissante échoue pour les $B_n$.
Erreur à éviter : passer à la limite sans vérifier qu'un des ensembles est de mesure finie.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : pour une tribu, teste le complémentaire puis la réunion d'une suite, et cherche un contre-exemple dès que tu doutes. Pour une mesure, découpe en morceaux disjoints avant d'additionner, et ne soustrais qu'une mesure finie.
Si une preuve bloque, écris chaque élément sous sa forme générale, comme $A \cap B$ à l'exercice 6 : l'opération à faire apparaît souvent d'elle-même. Refais ensuite les exercices 5 et 8 sans regarder la correction, ce sont eux qui tendent les pièges du chapitre.
Sources
Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin, Mesure, intégration, probabilités, version en ligne du 2 décembre 2016, chapitre 2 « Tribus et mesures » (définitions 2.1 à 2.16, proposition 2.27, théorème 2.35).