Niveau : licence, du facile au difficile. Durée estimée : 2 h. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Une forme différentielle de degré $k$ (une $k$-forme) est une somme de termes $f\,dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_k}$, où le produit extérieur $\wedge$ change de signe quand on échange deux facteurs (donc $dx\wedge dx=0$). Pour la dériver, tu remplaces chaque coefficient $f$ par sa différentielle $df$, placée devant : $d(f\,dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_k})=df\wedge dx_{i_1}\wedge\dots\wedge dx_{i_k}$. Exemple : $d(xy\,dz)=(y\,dx+x\,dy)\wedge dz=y\,dx\wedge dz+x\,dy\wedge dz$. Pour intégrer, la formule de Stokes échange l'intérieur contre le bord, $\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$, et une $k$-forme s'intègre sur un objet de dimension $k$ en paramétrant (sur une courbe, $x=x(t)$ et $dx=x'(t)\,dt$).
Une forme est fermée si $d\omega=0$, exacte s'il existe $F$ avec $\omega=dF$ ; alors $\int_\gamma\omega=F(B)-F(A)$ pour tout chemin de $A$ à $B$. Le bord porte l'orientation induite : dans le plan, tu le parcours en gardant le domaine à ta gauche ; sur une surface orientée par une normale $\vec{n}$, tu marches la tête du côté de $\vec{n}$, la surface à ta gauche ; un volume a son bord orienté par la normale sortante. Une sphère n'a pas de bord. Ces énoncés suivent le cours de L2 de J. Royer (Université Toulouse 3).
Formules à retenir :
- $d(P\,dx+Q\,dy+R\,dz)=(\partial_xQ-\partial_yP)\,dx\wedge dy+(\partial_yR-\partial_zQ)\,dy\wedge dz+(\partial_zP-\partial_xR)\,dz\wedge dx$, avec $\partial_xQ=\frac{\partial Q}{\partial x}$.
- $d(A\,dy\wedge dz+B\,dz\wedge dx+C\,dx\wedge dy)=(\partial_xA+\partial_yB+\partial_zC)\,dx\wedge dy\wedge dz$.
- $d\circ d=0$, et $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^p\,\alpha\wedge d\beta$ (formule de Leibniz) si $\alpha$ est de degré $p$.
- Lemme de Poincaré : sur un ouvert étoilé (il contient un point $a$ relié à chacun de ses points par un segment qui reste dans l'ouvert), toute forme fermée de classe $C^1$ est exacte.
- Stokes : $\int_{\partial M}\omega=\int_M d\omega$, pour $M$ compacte orientée de dimension $p$ (une courbe si $p=1$, une surface si $p=2$, un volume si $p=3$) et $\omega$ de degré $p-1$.
- Green-Riemann : $\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(\partial_xQ-\partial_yP)\,dx\,dy$ ; aire : $\mathcal{A}(D)=\frac12\oint_{\partial D}x\,dy-y\,dx$.
Piège classique : « fermée donc exacte » est faux sur un domaine troué. Sur $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$, qui n'est pas étoilé, la forme $\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}$ est fermée mais pas exacte (exercice 6). Avant d'invoquer Poincaré, regarde le domaine.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Sur $\mathbb{R}^3$, on pose $\omega=x^2y\,dx+yz\,dy+zx\,dz$. Calcule $d\omega$, puis dis si $\omega$ est fermée.
Correction :
On dérive chaque coefficient et on ne garde que les produits sans facteur répété.
$d(x^2y)\wedge dx=(2xy\,dx+x^2\,dy)\wedge dx=-x^2\,dx\wedge dy$, puis $d(yz)\wedge dy=y\,dz\wedge dy=-y\,dy\wedge dz$ et $d(zx)\wedge dz=z\,dx\wedge dz=-z\,dz\wedge dx$.
$d\omega=-x^2\,dx\wedge dy-y\,dy\wedge dz-z\,dz\wedge dx$. Elle n'est pas nulle : $\omega$ n'est pas fermée.
Exercice 2 : Sur $\mathbb{R}^3$, on pose $\eta=xy\,dx\wedge dy+yz\,dx\wedge dz$. Calcule $d\eta$. La forme $\eta$ est-elle fermée ?
Correction :
Même méthode, avec $d(f\,dx_i\wedge dx_j)=df\wedge dx_i\wedge dx_j$.
Premier terme : $(y\,dx+x\,dy)\wedge dx\wedge dy=0$, car chaque produit répète $dx$ ou $dy$. Second terme : $(z\,dy+y\,dz)\wedge dx\wedge dz=z\,dy\wedge dx\wedge dz=-z\,dx\wedge dy\wedge dz$.
$d\eta=-z\,dx\wedge dy\wedge dz$, donc $\eta$ n'est pas fermée. Avec la formule du rappel, écris d'abord $yz\,dx\wedge dz=-yz\,dz\wedge dx$ : oublier ce signe donne $+z$.
Exercice 3 : Sur $\mathbb{R}^3$, on pose $\alpha=yz\,dx+zx\,dy+xy\,dz$. a) Montre que $\alpha$ est fermée. b) Trouve une fonction $F$ telle que $dF=\alpha$. c) Calcule $\int_\gamma\alpha$ pour un chemin quelconque $\gamma$ de $A(0,0,0)$ à $B(1,2,3)$.
Correction :
On vérifie que $d\alpha=0$, puis on cherche $F$ variable par variable.
a) Les trois différences de la formule du rappel valent $z-z$, $x-x$ et $y-y$ : $d\alpha=0$.
b) $\mathbb{R}^3$ est étoilé, donc $\alpha$ est exacte (Poincaré). De $\partial_xF=yz$ on tire $F=xyz+C(y,z)$ ; $\partial_yF=xz$ impose $\partial_yC=0$, puis $\partial_zF=xy$ impose $\partial_zC=0$. On prend $F=xyz$.
c) L'intégrale ne dépend que des extrémités : $\int_\gamma\alpha=F(B)-F(A)=1\times2\times3-0$, soit $6$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Sur $\mathbb{R}^2$, on pose $\omega=y\,dx+2x\,dy$. Calcule l'intégrale de $\omega$ de $O(0,0)$ à $A(1,1)$ : a) le long du segment $y=x$ ; b) le long de la parabole $y=x^2$. c) Que peux-tu en conclure sur $\omega$ ?
Correction :
On paramètre chaque chemin par $t\in[0\,;\,1]$ et on remplace $x$, $y$, $dx$ et $dy$.
a) $x=y=t$ : $\int_0^1(t+2t)\,dt=\frac32$. b) $x=t$, $y=t^2$, $dy=2t\,dt$ : $\int_0^1(t^2+4t^2)\,dt=\frac53$.
$\frac32$ et $\frac53$ : deux chemins, deux résultats, donc $\omega$ n'est pas exacte. C'est cohérent avec $d\omega=(2-1)\,dx\wedge dy\neq0$.
Exercice 5 : Un géomètre relève le bord d'un terrain : c'est l'ellipse $x=40\cos t$, $y=25\sin t$ ($x$ et $y$ en mètres, $t\in[0\,;\,2\pi]$), parcourue dans le sens direct (données fictives). Calcule l'aire du terrain avec la formule de Green-Riemann.
Correction :
On applique $\mathcal{A}=\frac12\oint x\,dy-y\,dx$, qui découle de Green-Riemann avec $P=-\frac y2$ et $Q=\frac x2$.
$x\,dy=40\cos t\times25\cos t\,dt$ et $y\,dx=-25\sin t\times40\sin t\,dt$, donc $x\,dy-y\,dx=1\,000(\cos^2t+\sin^2t)\,dt=1\,000\,dt$.
$\mathcal{A}=\frac12\times1\,000\times2\pi$, soit $1\,000\pi\ \text{m}^2\approx3\,142\ \text{m}^2$. Tu retrouves l'aire $\pi ab$ d'une ellipse de demi-axes $a$ et $b$.
Exercice 6 : Sur $U=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$, on pose $\omega=\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}$. a) Montre que $\omega$ est fermée sur $U$. b) Calcule $\int_C\omega$, où $C$ est le cercle unité parcouru dans le sens direct. c) $\omega$ est-elle exacte sur $U$ ?
Correction :
On compare les dérivées croisées, puis on intègre en paramétrant.
a) Avec $P=\frac{-y}{x^2+y^2}$ et $Q=\frac{x}{x^2+y^2}$, on trouve $\partial_xQ=\partial_yP=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$, donc $d\omega=0$.
b) $x=\cos t$, $y=\sin t$ : $x\,dy-y\,dx=(\cos^2t+\sin^2t)\,dt=dt$ et $x^2+y^2=1$, d'où $\int_C\omega=2\pi$.
c) Si $\omega=dF$ sur $U$, son intégrale sur une courbe fermée serait nulle, puisque le départ et l'arrivée coïncident. Donc $\omega$ n'est pas exacte sur $U$ : Poincaré ne s'applique pas, car $U$ n'est pas étoilé. Sur le demi-plan $x>0$, qui l'est, $\omega=d\big(\arctan\frac yx\big)$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Sur $\mathbb{R}^3$, on pose $\omega=-y\,dx+x\,dy+xz\,dz$. Soit $S$ la demi-sphère $x^2+y^2+z^2=1$, $z\geq0$, orientée par la normale qui sort de la boule. a) Calcule $\int_S d\omega$ avec la formule de Stokes. b) Retrouve ce résultat en intégrant $d\omega$ sur le disque $D$ : $x^2+y^2\leq1$, $z=0$, orienté par la normale $(0,0,1)$.
Correction :
Le bord de $S$ est le cercle unité du plan $z=0$ : on l'oriente avant tout calcul.
a) La tête du côté de la normale, la demi-sphère à ta gauche : vu d'en haut, tu tournes dans le sens direct. Avec $x=\cos t$, $y=\sin t$ et $z=0$, donc $dz=0$, il reste $-y\,dx+x\,dy=dt$, et $\int_S d\omega=\int_{\partial S}\omega=\int_0^{2\pi}dt=$ $2\pi$.
b) $d\omega=2\,dx\wedge dy+z\,dx\wedge dz$. Sur $D$, $z=0$ et $dz=0$, donc $\int_D d\omega=2\times\text{aire}(D)=$ $2\pi$. Même résultat, car $D$ et $S$ ont le même bord, orienté de la même façon. Avec l'orientation inverse, tu trouverais $-2\pi$.
Exercice 8 : Soit $C=[0\,;\,1]^3$ le cube unité, dont le bord $\partial C$ (ses six faces) est orienté par la normale sortante, et $\eta=x^2\,dy\wedge dz+y^2\,dz\wedge dx+z^2\,dx\wedge dy$. Calcule $\int_{\partial C}\eta$ sans paramétrer les faces.
Correction :
Une 2-forme s'intègre sur la surface $\partial C$, et Stokes la ramène à une 3-forme sur le volume $C$.
$d\eta=(2x+2y+2z)\,dx\wedge dy\wedge dz$, et $\iiint_C 2x\,dx\,dy\,dz=1$ ; de même pour $y$ et $z$.
$\int_{\partial C}\eta=3$. Contrôle : seules les faces $x=1$, $y=1$ et $z=1$ apportent quelque chose, $1$ chacune.
Exercice 9 : Sur $U=\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$, on note $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $\eta=\frac{x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy}{r^3}$. Soit $S$ la sphère unité, orientée vers l'extérieur. a) Montre que $\eta$ est fermée sur $U$. b) Calcule $\int_S\eta$. c) Montre que $\int_S d\omega=0$ pour toute 1-forme $\omega$ de classe $C^1$ sur $U$, et conclus : $\eta$ est-elle exacte sur $U$ ?
Correction :
C'est le piège de l'exercice 6, une dimension plus haut : Stokes sur une boule, puis sur une sphère sans bord.
a) $\partial_x\big(\frac{x}{r^3}\big)=\frac{1}{r^3}-\frac{3x^2}{r^5}$ ; en ajoutant $\partial_y\big(\frac{y}{r^3}\big)$ et $\partial_z\big(\frac{z}{r^3}\big)$, calculés de même, on obtient $\frac{3}{r^3}-\frac{3r^2}{r^5}=0$, donc $d\eta=0$.
b) Sur $S$, $r=1$ : $\eta$ y coïncide avec $\eta_0=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy$, définie sur toute la boule unité $B$. Stokes sur $B$ donne $\int_S\eta_0=\int_B 3\,dx\wedge dy\wedge dz=3\times\frac43\pi$, d'où $\int_S\eta=4\pi$.
c) $S$ n'a pas de bord, donc $\int_S d\omega=\int_{\partial S}\omega=0$. Si $\eta$ était exacte sur $U$, on aurait $\int_S\eta=0$ : $\eta$ est fermée mais pas exacte sur $U$. On ne pouvait pas appliquer Stokes à $\eta$ sur $B$ : elle n'est pas définie en $0$.
Exercice 10 : Soit $M$ une sous-variété de $\mathbb{R}^n$ de dimension $m$ (une courbe ou une surface lisse si $m=1$ ou $2$), compacte, orientée et sans bord, comme une sphère. Soit $\alpha$ une $p$-forme et $\beta$ une $q$-forme de classe $C^1$ sur $M$, avec $p+q=m-1$. a) Montre que $\int_M d\alpha\wedge\beta=(-1)^{p+1}\int_M\alpha\wedge d\beta$. b) Déduis-en que $\int_S df\wedge dg=0$ pour la sphère unité $S$ de $\mathbb{R}^3$ et deux fonctions $f$ et $g$ de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^3$.
Correction :
C'est une intégration par parties : formule de Leibniz, puis Stokes sur une variété sans bord.
a) $\alpha\wedge\beta$ est de degré $m-1$ et $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^p\,\alpha\wedge d\beta$. Comme $\partial M$ est vide, Stokes donne $\int_M d(\alpha\wedge\beta)=0$, d'où $\int_M d\alpha\wedge\beta=(-1)^{p+1}\int_M\alpha\wedge d\beta$.
b) On prend $m=2$, $\alpha=f$ ($p=0$) et $\beta=dg$ ($q=1$) : $\int_S df\wedge dg=-\int_S f\,d(dg)=$ $0$, car $d\circ d=0$. L'erreur à éviter : oublier le signe $(-1)^p$ de la formule de Leibniz.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : avant d'intégrer, vérifie que le degré de la forme égale la dimension de l'objet ; avant d'appliquer Stokes, oriente le bord, car une orientation inversée change le signe du résultat.
Garde aussi le réflexe du domaine : le lemme de Poincaré suppose un ouvert étoilé. Sur un domaine troué, une forme fermée peut ne pas être exacte, et une intégrale non nulle sur une courbe ou une surface qui entoure le trou le prouve, comme aux exercices 6 et 9.
Sources
J. Royer, cours de L2 « Calcul différentiel et intégral », Université Toulouse 3, 2015-2016 : chapitre 12 (lemme de Poincaré, formule de Green-Riemann, calcul d'aire) et chapitre 14 (formule de Stokes, formes fermées et exactes, formule d'Ostrogradski).