Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 1 h 30. 8 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
En affine, sépare les points des vecteurs. En projectif, ajoute les points à l'infini et calcule en coordonnées homogènes. Exemple : les droites $y=x$ et $y=x+1$ sont parallèles dans le plan, mais dans le plan projectif elles se coupent au point à l'infini $[1:1:0]$, qui code leur direction.
Un espace affine est un ensemble de points muni d'un espace vectoriel, sa direction : deux points donnent un vecteur $\overrightarrow{AB}$, mais on n'additionne pas deux points. Le plan projectif réel est l'ensemble des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ ; un point s'y note $[x:y:z]$, à un facteur non nul près (coordonnées homogènes). Sur la droite projective $\widehat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, une homographie $h(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, avec $ad-bc\neq0$, est déterminée par les images de trois points distincts, et elle conserve le birapport (convention de Michel Coste, université de Rennes 1).
Formules à retenir :
- Sous-espace affine passant par $A$, de direction $F$ : $M\in A+F \iff \overrightarrow{AM}\in F$.
- Application affine de partie linéaire $\varphi$ : $f(M)=f(A)+\varphi(\overrightarrow{AM})$.
- Si $z\neq0$, $[x:y:z]$ est le point $\left(\frac xz,\frac yz\right)$ ; si $z=0$, c'est le point à l'infini de direction $(x,y)$.
- Homographie : $h\left(-\frac dc\right)=\infty$ et $h(\infty)=\frac ac$, ou $\infty$ si $c=0$.
- Birapport : $[a,b,c,d]=\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$, image de $d$ par l'homographie qui envoie $a$, $b$, $c$ sur $\infty$, $0$, $1$. Si un point vaut $\infty$, efface les deux facteurs où il figure.
Piège classique : oublier $\infty$. Sur la droite projective, c'est un point comme les autres : il peut être fixe, être une image, ou être la seule solution d'une équation qui n'en a pas dans $\mathbb{R}$. Teste-le toujours à part.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Dans $\mathbb{R}^3$, le plan affine $\mathcal{P}$ passe par $A(1,0,0)$ et a pour direction $\mathrm{Vect}(\vec{u},\vec{v})$, avec $\vec{u}=(1,1,0)$ et $\vec{v}=(0,1,1)$.
a) Donne une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
b) Précise la position de $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$ passant par $O(0,0,0)$, dirigée par $\vec{w}=(1,2,1)$.
c) Même question pour la droite $\mathcal{D}'$ passant par $O$, dirigée par $\vec{e}_1=(1,0,0)$.
Correction :
On écrit que $M\in\mathcal{P}$ si et seulement si $\det(\overrightarrow{AM},\vec{u},\vec{v})=0$.
a) Avec $\overrightarrow{AM}=(x-1,y,z)$, ce déterminant vaut $x-1-y+z$ : $\mathcal{P} : x-y+z=1$.
b) $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ est dans la direction de $\mathcal{P}$, mais $O\notin\mathcal{P}$ car $0\neq1$ : $\mathcal{D}$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$.
c) $\vec{e}_1$ ne vérifie pas $x-y+z=0$, l'équation de la direction : $\mathcal{D}'$ coupe $\mathcal{P}$ en un seul point. $O+t\vec{e}_1\in\mathcal{P}$ donne $t=1$ : ce point est $A$.
Exercice 2 : Dans le plan projectif réel, le point $(x,y)$ du plan affine est identifié à $[x:y:1]$.
a) Quel point du plan affine représente $[2:-4:2]$ ?
b) Que représente $[1:2:0]$ ?
c) Écris l'équation homogène de $\mathcal{D} : x+2y=3$, puis calcule son intersection avec $\mathcal{D}' : x+2y=0$.
Correction :
Quand la dernière coordonnée n'est pas nulle, on divise par elle.
a) $[2:-4:2]=[1:-2:1]$ : c'est le point $(1,-2)$.
b) La dernière coordonnée est nulle : c'est le point à l'infini de direction $(1,2)$, commun à toutes les droites dirigées par ce vecteur.
c) On remplace $x$, $y$ par $\frac xz$, $\frac yz$ et on multiplie par $z$ : $x+2y=3z$. Avec $x+2y=0$, il vient $3z=0$, donc $z=0$ et $x=-2y$ : les deux parallèles se coupent en $[-2:1:0]$, leur point à l'infini.
Exercice 3 : Le birapport de quatre réels distincts est $[a,b,c,d]=\frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}$.
a) Calcule $[0,1,2,3]$.
b) Calcule le birapport des images de ces quatre points par l'homographie $h(x)=\frac{1}{x+1}$. Que constates-tu ?
Correction :
On remplace dans la formule, facteur par facteur.
a) $[0,1,2,3]=\frac{(2-0)(3-1)}{(2-1)(3-0)}$, soit $\frac43$.
b) Les images sont $1$, $\frac12$, $\frac13$, $\frac14$. Les facteurs valent $c-a=-\frac23$, $d-b=-\frac14$, $c-b=-\frac16$ et $d-a=-\frac34$, d'où un birapport de $\frac{1/6}{1/8}$, soit $\frac43$. Il n'a pas changé : l'homographie conserve le birapport.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Dans $\mathbb{R}^2$, on pose $A=(1,0)$, $\vec{u}=(1,1)$ et $\vec{v}=(0,1)$. L'application affine $f$ vérifie $f(A)=(2,3)$, et sa partie linéaire $\varphi$ vérifie $\varphi(\vec{u})=(1,-1)$ et $\varphi(\vec{v})=(0,1)$.
a) Le point $P$ a pour coordonnées $(3,2)$ dans le repère $(A;\vec{u},\vec{v})$. Calcule ses coordonnées usuelles, puis celles de $f(P)$.
b) Exprime $f(x,y)$ en coordonnées usuelles.
Correction :
On applique $f(M)=f(A)+\varphi(\overrightarrow{AM})$, avec la matrice de $\varphi$ dans la base canonique.
a) $\overrightarrow{AP}=3\vec{u}+2\vec{v}=(3,5)$, donc $P=(4,5)$. Puis $\varphi(\overrightarrow{AP})=3(1,-1)+2(0,1)=(3,-1)$ et $f(P)=(5,2)$.
b) Comme $\vec{e}_2=\vec{v}$ et $\vec{e}_1=\vec{u}-\vec{v}$, on a $\varphi(\vec{e}_2)=(0,1)$ et $\varphi(\vec{e}_1)=(1,-2)$. Avec $\overrightarrow{AM}=(x-1,y)$ :
$$f(x,y)=(2,3)+(x-1)(1,-2)+y(0,1).$$
D'où $f(x,y)=(x+1,\,-2x+y+5)$, et l'on retrouve bien $f(4,5)=(5,2)$. L'erreur à éviter : prendre $(3,2)$ pour les coordonnées usuelles de $P$, ou utiliser la matrice de $\varphi$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$ comme si c'était la base canonique.
Exercice 5 : Sur la droite projective $\widehat{\mathbb{R}}$, on considère $h(x)=\frac{2x+1}{x+3}$ et $g(x)=2x+1$.
a) Vérifie que $h$ est une homographie, puis calcule $h(-3)$ et $h(\infty)$.
b) Trouve tous les points fixes de $h$.
c) Trouve tous les points fixes de $g$.
Correction :
On résout $h(x)=x$ dans $\mathbb{R}$, puis on teste $\infty$ à part.
a) $ad-bc=2\times3-1\times1=5\neq0$. Le dénominateur s'annule en $-3$, donc $h(-3)=\infty$, et $h(\infty)=\frac21=2$.
b) Pour $x\neq-3$, $x(x+3)=2x+1$ donne $x^2+x-1=0$, de discriminant $5$. Et $\infty$ n'est pas fixe puisque $h(\infty)=2$. Points fixes : $\frac{-1-\sqrt5}{2}$ et $\frac{-1+\sqrt5}{2}$.
c) $2x+1=x$ donne $x=-1$. Mais ici $c=0$, donc $g(\infty)=\infty$ : $g$ a deux points fixes, $-1$ et $\infty$. Oublier $\infty$, c'est le piège.
Exercice 6 : On cherche des homographies $h(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ de $\widehat{\mathbb{R}}$.
a) Montre que celles qui fixent $0$ et $\infty$ sont les $x\mapsto kx$, avec $k\neq0$. Deux conditions suffisent-elles à déterminer une homographie ?
b) Détermine l'homographie telle que $h(0)=1$, $h(1)=2$ et $h(\infty)=0$.
Correction :
Chaque condition donne une équation sur $a$, $b$, $c$, $d$.
a) $h(0)=0$ impose $b=0$ et $h(\infty)=\infty$ impose $c=0$ : il reste $h(x)=\frac ad\,x$. Il y a une infinité de solutions, donc deux conditions ne suffisent pas : il en faut trois.
b) $h(\infty)=\frac ac=0$ donne $a=0$. $h(0)=\frac bd=1$ donne $d=b$. $h(1)=\frac{b}{c+b}=2$ donne $c=-\frac b2$. Avec $b=2$ : $h(x)=\frac{2}{2-x}$, et $ad-bc=2\neq0$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 7 : Un dessinateur reproduit le sol sur une vitre verticale. Dans un repère du plan vertical (unité : la hauteur de son œil), le sol est la droite $y=0$, l'œil est en $O(0,1)$ et la vitre est la droite $x=1$. Le point $M(t,0)$ du sol est dessiné là où la droite $(OM)$ coupe la vitre.
a) Montre que, pour $t\neq0$, ce dessin est le point $(1,f(t))$ avec $f(t)=\frac{t-1}{t}$.
b) Calcule $f(2)$, $f(3)$ et $f(4)$. Des points régulièrement espacés au sol le restent-ils sur la vitre ?
c) Calcule $f(\infty)$ et interprète-le.
d) Quel point du sol n'a pas de dessin sur la vitre, et pourquoi ?
Correction :
On coupe $(OM)$ par la vitre, puis on reconnaît une homographie.
a) $(OM)$ passe par $(0,1)$ et $(t,0)$ : $y=1-\frac xt$. En $x=1$, $y=1-\frac1t=\frac{t-1}{t}$.
b) $f(2)=\frac12$, $f(3)=\frac23$, $f(4)=\frac34$ : les écarts valent $\frac16$ puis $\frac1{12}$. Non, les dessins se resserrent. Les distances ne sont pas conservées, mais $f$ est une homographie ($a=c=1$, $b=-1$, $d=0$, donc $ad-bc=1\neq0$) : le birapport l'est.
c) $f(\infty)=\frac ac=1$ : les points très lointains se dessinent à hauteur de l'œil, sur la ligne d'horizon.
d) Le point $(0,0)$, sous l'œil : $(OM)$ est alors la verticale $x=0$, parallèle à la vitre. On a bien $f(0)=\infty$, le point à l'infini de la vitre.
Exercice 8 : Dans un plan affine, trois droites distinctes concourent en $O$. Les points $A$, $A'$ sont sur la première, $B$, $B'$ sur la deuxième, $C$, $C'$ sur la troisième, tous distincts de $O$. On suppose $(AB)\parallel(A'B')$ et $(BC)\parallel(B'C')$. On dit que $A$ et $A'$ sont homologues, de même que $(AB)$ et $(A'B')$.
a) Démontre que $(CA)\parallel(C'A')$.
b) Explique pourquoi c'est un cas du théorème de Desargues du plan projectif : si $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ sont concourantes, alors les points $(AB)\cap(A'B')$, $(BC)\cap(B'C')$, $(CA)\cap(C'A')$ sont alignés.
c) La dualité du plan projectif échange points et droites, « alignés » et « concourantes ». Écris l'énoncé dual de Desargues.
Correction :
On cherche la transformation qui envoie un triangle sur l'autre.
a) Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ qui envoie $A$ sur $A'$ (elle existe car $O$, $A$, $A'$ sont alignés). Elle envoie $(AB)$ sur la parallèle à $(AB)$ passant par $A'$, donc sur $(A'B')$, et elle laisse stable $(OB)$ : $h(B)$ est sur les deux, d'où $h(B)=B'$. De même, $h(C)=C'$. Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : $(C'A')=h\big((CA)\big)$ est parallèle à $(CA)$.
b) Les points $(AB)\cap(A'B')$ et $(BC)\cap(B'C')$ sont à l'infini, et la droite qui les joint est la droite à l'infini. Le a) dit que $(CA)\cap(C'A')$ y est aussi : c'est Desargues quand l'axe d'alignement est la droite à l'infini. En envoyant à l'infini la droite qui joint deux de ces points, on ramène le cas général à celui-ci (avec une translation si $O$ part aussi à l'infini).
c) Un triangle est donné par ses sommets ou par ses côtés : il est son propre dual. Si les côtés homologues de deux triangles se coupent en trois points alignés, alors les droites qui joignent les sommets homologues sont concourantes. C'est la réciproque de Desargues, démontrée du même coup.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : en affine, écris $f(M)=f(A)+\varphi(\overrightarrow{AM})$ et vérifie dans quel repère sont tes coordonnées. En projectif, traite $\infty$ comme un point ordinaire et teste-le à part. Une homographie de la droite se détermine par trois points et conserve le birapport.
Si tu prépares l'agrégation externe, la géométrie affine (sous-espaces, applications affines, repères, homothéties) figure au programme de la session 2027 ; la géométrie projective n'y est pas inscrite.
Sources
- Programme de l'agrégation externe de mathématiques, session 2027, titre 5, devenirenseignant.gouv.fr.
- Michel Coste, « Géométrie projective : autour du programme de l'agrégation », université de Rennes 1, novembre 2002.