Intégrales à Paramètre : Continuité et Dérivabilité
Bienvenue dans cette série d'exercices consacrée aux intégrales à paramètre. Ces intégrales, où la fonction à intégrer dépend d'un ou plusieurs paramètres, définissent souvent des fonctions intéressantes dont il faut étudier les propriétés, notamment la continuité et la dérivabilité. Nous allons explorer comment ces propriétés se transmettent de l'intégrale à la fonction résultante.
Compétences travaillées
- Définition et calcul d'intégrales à paramètre.
- Application des théorèmes de continuité des intégrales à paramètre.
- Application des théorèmes de dérivabilité des intégrales à paramètre (dérivation sous le signe intégral).
- Étude du domaine de définition et des propriétés des fonctions résultantes.
Erreurs fréquentes à éviter
- Négliger les conditions d'application des théorèmes de continuité et de dérivabilité.
- Confondre le paramètre avec la variable d'intégration.
- Faire des erreurs de calcul lors de la dérivation sous le signe intégral.
- Mal vérifier la convergence de l'intégrale pour chaque valeur du paramètre.
- Oublier de considérer le comportement aux bornes de l'intégration ou du paramètre.
Exercice 1 : Continuité d'une intégrale à paramètre.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x \in \mathbb{R}$ par : $$ F(x) = \int_{0}^{1} e^{xt} dt $$- Calcule $F(x)$.
- Étudie la continuité de $F(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Barème indicatif : 4 points
Correction :
a) Calcul de $F(x)$ :
Il s'agit d'une intégrale par rapport à $t$, avec $x$ comme paramètre.
Étape 1 : Calculer l'intégrale définie.
Pour $x \ne 0$, la primitive de $e^{xt}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{x} e^{xt}$.
$$ F(x) = \left[ \frac{1}{x} e^{xt} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{x} e^{x \cdot 1} - \frac{1}{x} e^{x \cdot 0} = \frac{e^x - 1}{x} $$
Pour $x = 0$, l'intégrale devient :
$$ F(0) = \int_{0}^{1} e^{0 \cdot t} dt = \int_{0}^{1} e^0 dt = \int_{0}^{1} 1 dt = [t]_{0}^{1} = 1 $$
Donc, $F(x) = \begin{cases} \frac{e^x - 1}{x} & \text{si } x \ne 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$.
b) Continuité de $F(x)$ :
Pour $x \ne 0$, $F(x) = \frac{e^x - 1}{x}$. La fonction $e^x$ est continue, donc $e^x - 1$ est continue. Le dénominateur $x$ est continu et non nul pour $x \ne 0$. Donc $F(x)$ est continue pour tout $x \ne 0$. Il reste à vérifier la continuité en $x=0$.
Étape 1 : Vérifier la limite de $F(x)$ quand $x \to 0$.
Nous devons calculer $\lim_{x \to 0} F(x)$. Pour $x \ne 0$, $F(x) = \frac{e^x - 1}{x}$.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $$
C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On peut utiliser la règle de L'Hôpital ou reconnaître le développement limité de $e^x$ au voisinage de 0 ($e^x = 1 + x + o(x)$).
En utilisant la règle de L'Hôpital :
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 $$
Étape 2 : Comparer la limite avec la valeur de $F(0)$.
Nous avons $\lim_{x \to 0} F(x) = 1$ et $F(0) = 1$. Donc, $\lim_{x \to 0} F(x) = F(0)$.
Conclusion : La fonction $F(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Théorème : Continuité des intégrales à paramètre (cas simple)
Soit $f(t, x)$ une fonction continue par rapport à $t$ sur $[a, b]$ pour tout $x$ dans un intervalle $I$. Si la fonction $x \mapsto f(t, x)$ est continue pour tout $t \in [a, b]$, alors la fonction $F(x) = \int_{a}^{b} f(t, x) dt$ est continue sur $I$. Ici, $f(t, x) = e^{xt}$ est continue par rapport à $t$ et $x$. L'intervalle d'intégration est fini. La fonction $x \mapsto e^{xt}$ est continue pour tout $t$. Donc $F(x)$ est continue.
Exercice 2 : Calcul et continuité d'une intégrale à paramètre.
Soit la fonction $G(x)$ définie pour $x > 0$ par : $$ G(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2} dt $$- Calcule $G(x)$.
- Étudie la continuité de $G(x)$ sur $]0, +\infty[$.
Barème indicatif : 4 points
Correction :
a) Calcul de $G(x)$ :
C'est une intégrale où la borne supérieure est le paramètre $x$. La fonction à intégrer $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : Calculer l'intégrale définie.
La primitive de $\frac{1}{1+t^2}$ est $\arctan(t)$.
$$ G(x) = \left[ \arctan(t) \right]_{0}^{x} = \arctan(x) - \arctan(0) = \arctan(x) $$
Donc, $G(x) = \arctan(x)$.
b) Continuité de $G(x)$ :
La fonction $G(x) = \arctan(x)$ est la fonction arc tangente, qui est connue pour être continue sur tout $\mathbb{R}$. Par conséquent, elle est continue sur $]0, +\infty[$.
Conclusion : $G(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$.
Théorème : Formule de dérivation des intégrales à borne variable
Si $f(t)$ est continue sur $[a, b]$, alors la fonction $H(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ est dérivable sur $[a, b]$ et $H'(x) = f(x)$.
Ici, $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $[0, x]$ pour tout $x > 0$. Donc $G(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ est dérivable et continue.
Exercice 3 : Dérivabilité d'une intégrale à paramètre.
Soit la fonction $H(x)$ définie pour $x \in \mathbb{R}$ par : $$ H(x) = \int_{0}^{1} (x+t)^2 dt $$- Calcule $H(x)$.
- Étudie la dérivabilité de $H(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Barème indicatif : 5 points
Correction :
a) Calcul de $H(x)$ :
Nous intégrons par rapport à $t$. Le paramètre $x$ est traité comme une constante.
Étape 1 : Calculer l'intégrale définie.
$$ H(x) = \int_{0}^{1} (x^2 + 2xt + t^2) dt $$
La primitive de $x^2 + 2xt + t^2$ par rapport à $t$ est $x^2 t + xt^2 + \frac{t^3}{3}$.
$$ H(x) = \left[ x^2 t + xt^2 + \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = (x^2 \cdot 1 + x \cdot 1^2 + \frac{1^3}{3}) - (0) = x^2 + x + \frac{1}{3} $$
Donc, $H(x) = x^2 + x + \frac{1}{3}$.
b) Dérivabilité de $H(x)$ :
La fonction $H(x) = x^2 + x + \frac{1}{3}$ est un polynôme, donc elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 : Calculer la dérivée.
$$ H'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + x + \frac{1}{3}) = 2x + 1 $$
Conclusion : $H(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $H'(x) = 2x + 1$.
Théorème : Dérivabilité des intégrales à paramètre (cas simple)
Soit $f(t, x)$ une fonction telle que pour tout $x$ dans un intervalle $I$, la fonction $t \mapsto f(t, x)$ est intégrable sur $[a, b]$. Si la fonction $x \mapsto f(t, x)$ est dérivable par rapport à $x$ pour tout $t \in [a, b]$, et si la fonction $(t, x) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(t, x)$ est continue sur $[a, b] \times I$, alors la fonction $F(x) = \int_{a}^{b} f(t, x) dt$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) dt$.
Dans ce cas, $f(t, x) = (x+t)^2$. $\frac{\partial f}{\partial x}(t, x) = 2(x+t)$. Cette dérivée partielle est continue. Le calcul direct de $H(x)$ confirme la dérivabilité.
Exercice 4 : Dérivation sous le signe intégral.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x > 0$ par : $$ F(x) = \int_{0}^{1} \frac{e^{-xt^2}}{1+t^2} dt $$ Étudie la dérivabilité de $F(x)$ sur $]0, +\infty[$.Barème indicatif : 5 points
Correction :
Pour étudier la dérivabilité de $F(x) = \int_{0}^{1} \frac{e^{-xt^2}}{1+t^2} dt$, nous allons utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral.
Posons $f(t, x) = \frac{e^{-xt^2}}{1+t^2}$.
1. Intégrabilité : Pour tout $x > 0$, la fonction $t \mapsto f(t, x)$ est continue sur $[0, 1]$ (car $1+t^2 \ne 0$). Donc l'intégrale est bien définie.
2. Dérivabilité par rapport à x : Calculons la dérivée partielle de $f(t, x)$ par rapport à $x$ :
Étape 1 : Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(t, x)$.
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{e^{-xt^2}}{1+t^2} \right) = \frac{-t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2} $$
3. Continuité de la dérivée partielle : Pour $x > 0$ et $t \in [0, 1]$, la fonction $t \mapsto \frac{-t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2}$ est continue (car $1+t^2 \ne 0$).
Pour appliquer le théorème, il faut que cette fonction soit bornée sur $[0, 1]$ uniformément par rapport à $x$ dans un intervalle donné. Considérons un intervalle fermé $[a, b]$ avec $a > 0$. Pour $x \in [a, b]$ et $t \in [0, 1]$ :
- $t^2 \le 1$
- $e^{-xt^2} \le e^{-at^2}$ (car $-xt^2$ est plus petit pour $x$ plus grand, donc l'exponentielle est plus petite). Quand $t=0$, $e^0=1$. Quand $t=1$, $e^{-x} \le e^{-a}$.
- $1+t^2 \ge 1$
Donc, $|\frac{-t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2}| = \frac{t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2}$. Pour $t \in [0, 1]$ et $x \in [a, b]$ avec $a>0$: $xt^2 \ge at^2$. Donc $e^{-xt^2} \le e^{-at^2}$.
Il faut un majorant pour $t^2 e^{-xt^2}$. Quand $t \to 0$, $t^2 e^{-xt^2} \to 0$. Quand $t=1$, $e^{-x} \le e^{-a}$.
Considérons la fonction $g(u) = u e^{-cu}$ pour $u \ge 0$. Son maximum est atteint en $u = 1/c$. Ici $u=t^2$, $c=x$. Le maximum de $t^2 e^{-xt^2}$ (pour $t$ variable) est atteint quand $t^2 = 1/x$, donc $t=1/\sqrt{x}$. Ce maximum vaut $\frac{1}{x} e^{-1}$.
Pour $x \in [a, b]$ avec $a > 0$, $t^2 e^{-xt^2} \le \frac{1}{x} e^{-1} \le \frac{1}{a} e^{-1}$.
Donc, $|\frac{-t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2}| \le \frac{1}{1+t^2} \frac{1}{a} e^{-1}$. Cette fonction est intégrable sur $[0, 1]$.
Donc, le théorème de dérivation sous le signe intégral s'applique.
Conclusion : La fonction $F(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$.
$F'(x) = \int_{0}^{1} \frac{-t^2 e^{-xt^2}}{1+t^2} dt$ pour $x > 0$.
Exercice 5 : Calcul explicite de la dérivée sous le signe intégral.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x \in \mathbb{R}$ par : $$ F(x) = \int_{0}^{\pi} \sin(xt) dt $$- Calcule $F(x)$ pour $x \ne 0$. Que vaut $F(0)$ ?
- Vérifie que $F(x)$ est dérivable et calcule $F'(x)$ en utilisant la dérivation sous le signe intégral.
- Retrouve $F'(x)$ en dérivant directement l'expression de $F(x)$ calculée en a).
Barème indicatif : 6 points
Correction :
a) Calcul de $F(x)$ :
Pour $x \ne 0$ :
Étape 1 : Calculer l'intégrale définie.
$$ F(x) = \int_{0}^{\pi} \sin(xt) dt = \left[ -\frac{\cos(xt)}{x} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(x\pi)}{x} - (-\frac{\cos(0)}{x}) = \frac{1 - \cos(\pi x)}{x} $$
Pour $x = 0$ :
$$ F(0) = \int_{0}^{\pi} \sin(0 \cdot t) dt = \int_{0}^{\pi} \sin(0) dt = \int_{0}^{\pi} 0 dt = 0 $$
Donc, $F(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos(\pi x)}{x} & \text{si } x \ne 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$.
b) Dérivabilité et calcul de $F'(x)$ par dérivation sous le signe intégral :
Posons $f(t, x) = \sin(xt)$.
- Intégrabilité : $f(t, x)$ est continue sur $[0, \pi] \times \mathbb{R}$.
- Dérivabilité par rapport à x : $\frac{\partial f}{\partial x}(t, x) = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xt)) = t \cos(xt)$.
- Continuité de la dérivée partielle : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $t \in [0, \pi]$, la fonction $t \mapsto t \cos(xt)$ est continue.
Le théorème de dérivation sous le signe intégral s'applique. Donc $F(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
Étape 1 : Calculer l'intégrale de la dérivée partielle.
$$ F'(x) = \int_{0}^{\pi} t \cos(xt) dt $$
Il faut intégrer par parties. Soit $u = t$ et $dv = \cos(xt) dt$. Alors $du = dt$ et $v = \frac{\sin(xt)}{x}$ (pour $x \ne 0$).
$$ F'(x) = \left[ t \frac{\sin(xt)}{x} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(xt)}{x} dt $$
$$ F'(x) = \left(\pi \frac{\sin(\pi x)}{x} - 0 \right) - \frac{1}{x} \int_{0}^{\pi} \sin(xt) dt $$
Nous avons déjà calculé $\int_{0}^{\pi} \sin(xt) dt = \frac{1 - \cos(\pi x)}{x}$ pour $x \ne 0$.
$$ F'(x) = \frac{\pi \sin(\pi x)}{x} - \frac{1}{x} \left(\frac{1 - \cos(\pi x)}{x} \right) = \frac{\pi x \sin(\pi x) - 1 + \cos(\pi x)}{x^2} $$
Pour $x=0$, il faudrait faire un calcul séparé ou utiliser les limites.
c) Retrouver $F'(x)$ par dérivation directe :
Pour $x \ne 0$, $F(x) = \frac{1 - \cos(\pi x)}{x}$. On dérive par rapport à $x$ (quotient).
Étape 1 : Calculer la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Soit $u(x) = 1 - \cos(\pi x)$, $u'(x) = \pi \sin(\pi x)$.
Soit $v(x) = x$, $v'(x) = 1$.
Étape 2 : Appliquer la formule de dérivation d'un quotient.
$$ F'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} = \frac{(\pi \sin(\pi x)) x - (1 - \cos(\pi x)) \cdot 1}{x^2} $$
$$ F'(x) = \frac{\pi x \sin(\pi x) - 1 + \cos(\pi x)}{x^2} $$
Conclusion : Les deux méthodes donnent le même résultat pour $x \ne 0$. Le calcul par dérivation directe est souvent plus simple quand $F(x)$ peut être calculée explicitement.
Exercice 6 : Continuité d'une intégrale à paramètre avec borne infinie.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x > 0$ par : $$ F(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-xt} dt $$- Pour quelles valeurs de $x$ l'intégrale converge-t-elle ? Calcule $F(x)$.
- Étudie la continuité de $F(x)$ sur son domaine de définition.
Barème indicatif : 5 points
Correction :
a) Convergence et calcul de $F(x)$ :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce.
Étape 1 : Étudier la convergence de l'intégrale.
$$ \int_{0}^{+\infty} e^{-xt} dt = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-xt} dt $$
Si $x=0$, l'intégrale est $\int_{0}^{+\infty} 1 dt$, qui diverge.
Si $x>0$, la primitive de $e^{-xt}$ par rapport à $t$ est $-\frac{1}{x} e^{-xt}$.
$$ \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} e^{-xt} \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left(-\frac{1}{x} e^{-xb} - (-\frac{1}{x} e^0) \right) = \lim_{b \to +\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x} e^{-xb} \right) $$
Comme $x > 0$, $\lim_{b \to +\infty} e^{-xb} = 0$. Donc la limite est $\frac{1}{x}$.
L'intégrale converge si et seulement si $x > 0$. Le domaine de définition de $F(x)$ est $]0, +\infty[$.
Pour $x>0$, $F(x) = \frac{1}{x}$.
b) Continuité de $F(x)$ :
La fonction $F(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur tout intervalle où $x \ne 0$. Son domaine de définition est $]0, +\infty[$. Sur cet intervalle, $F(x)$ est continue.
Conclusion : $F(x)$ est continue sur $]0, +\infty[$.
Théorème : Continuité des intégrales à paramètre (borne infinie)
Soit $f(t, x)$ une fonction continue sur $[a, +\infty) \times I$. Si $f$ est intégrable sur $[a, +\infty)$ pour tout $x \in I$, et si il existe une fonction $g$ intégrable sur $[a, +\infty)$ telle que $|f(t, x)| \le g(t)$ pour tout $t \ge a$ et tout $x \in I$, alors $F(x) = \int_{a}^{+\infty} f(t, x) dt$ est continue sur $I$.
Ici, $f(t, x) = e^{-xt}$ pour $t \in [0, +\infty)$ et $x \in ]0, +\infty[$. Pour $x \in [a, b]$ avec $a>0$, $|e^{-xt}| = e^{-xt} \le e^{-at}$. La fonction $t \mapsto e^{-at}$ est intégrable sur $[0, +\infty)$ car $a>0$. Donc $F(x)$ est continue sur tout intervalle $[a, b]$ avec $a>0$. Par conséquent, elle est continue sur $]0, +\infty[$.
Exercice 7 : Dérivabilité d'une intégrale à paramètre avec borne infinie.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x > 0$ par : $$ F(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1+xt} dt $$ Étudie la dérivabilité de $F(x)$ sur $]0, +\infty[$.Barème indicatif : 6 points
Correction :
Posons $f(t, x) = \frac{e^{-t}}{1+xt}$. L'intégration se fait par rapport à $t$ sur $[0, +\infty)$. Le paramètre est $x$ sur $]0, +\infty[$.
1. Intégrabilité : Pour $x > 0$ fixé, quand $t \to +\infty$, $e^{-t}$ décroît rapidement. $\frac{e^{-t}}{1+xt} \sim e^{-t}$. Comme $\int_{0}^{+\infty} e^{-t} dt$ converge, l'intégrale $F(x)$ converge pour tout $x>0$. Donc $f(t, x)$ est intégrable par rapport à $t$ pour tout $x>0$.
2. Dérivabilité par rapport à x : Calculons la dérivée partielle de $f(t, x)$ par rapport à $x$ :
Étape 1 : Calculer $\frac{\partial f}{\partial x}(t, x)$.
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(t, x) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{e^{-t}}{1+xt} \right) = e^{-t} \cdot \frac{-(1)(t)}{(1+xt)^2} = -\frac{t e^{-t}}{(1+xt)^2} $$
3. Continuité et majoration de la dérivée partielle : Nous devons vérifier que $\frac{\partial f}{\partial x}(t, x)$ est intégrable sur $[0, +\infty)$ pour $x$ dans un intervalle $[a, b]$ avec $a>0$.
Pour $t \ge 0$ et $x \in [a, b]$ avec $a>0$ :
- $t \ge 0$, $e^{-t} \ge 0$.
- $1+xt \ge 1+at \ge 1$.
- $(1+xt)^2 \ge (1+at)^2 \ge 1$.
Donc, $|\frac{\partial f}{\partial x}(t, x)| = \frac{t e^{-t}}{(1+xt)^2} \le \frac{t e^{-t}}{(1+at)^2}$.
La fonction $g(t) = \frac{t e^{-t}}{(1+at)^2}$ est continue sur $[0, +\infty)$. Il faut vérifier que $g(t)$ est intégrable sur $[0, +\infty)$.
Quand $t \to +\infty$, $\frac{t e^{-t}}{(1+at)^2} \sim \frac{t e^{-t}}{a^2 t^2} = \frac{e^{-t}}{a^2 t}$.
Pour $t$ assez grand, $e^{-t}$ décroît plus vite que $t$. Donc, $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ diverge en 0. Il faut analyser plus finement.
Pour $t \ge 1$, $1+at \ge at$. Donc $(1+at)^2 \ge a^2 t^2$.
$|\frac{\partial f}{\partial x}(t, x)| \le \frac{t e^{-t}}{(1+at)^2}$.
Quand $t \to +\infty$, $\frac{t e^{-t}}{(1+at)^2} \sim \frac{t e^{-t}}{a^2 t^2} = \frac{e^{-t}}{a^2 t}$. Cette fonction est intégrable. En effet, pour $t$ assez grand, $e^{-t}$ décroît plus vite que $t$. Plus rigoureusement, pour tout $\alpha > 0$, $\lim_{t \to \infty} t^\alpha \frac{e^{-t}}{t} = \lim_{t \to \infty} t^{\alpha-1} e^{-t} = 0$. Si on prend $\alpha=2$, $t e^{-t}/t = e^{-t}$ qui est intégrable. Si on prend $\alpha=1$, $t e^{-t}/t=e^{-t}$ qui est intégrable.
Pour $t \to +\infty$, $\frac{t e^{-t}}{(1+at)^2} \approx \frac{t e^{-t}}{a^2 t^2} = \frac{e^{-t}}{a^2 t}$. Sachant que pour tout $n$, $t^n e^{-t} \to 0$ quand $t \to \infty$. Donc pour $n=1$, $t e^{-t} \to 0$. Pour $t$ assez grand, $t e^{-t} \le C$. Donc $\frac{t e^{-t}}{(1+at)^2} \le \frac{C}{a^2 t^2}$, qui est intégrable.
Le théorème de dérivation sous le signe intégral s'applique.
Conclusion : La fonction $F(x)$ est dérivable sur $]0, +\infty[$.
$F'(x) = \int_{0}^{+\infty} -\frac{t e^{-t}}{(1+xt)^2} dt$ pour $x > 0$.
Exercice 8 : Étude de la continuité d'une intégrale à paramètre avec bornes dépendant du paramètre.
Soit la fonction $F(x)$ définie pour $x \in \mathbb{R}$ par : $$ F(x) = \int_{x}^{x+1} e^{-t^2} dt $$ Étudie la continuité de $F(x)$ sur $\mathbb{R}$.Barème indicatif : 5 points
Correction :
Posons $f(t) = e^{-t^2}$. La fonction $f(t)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Soit $G(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $G(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $G'(x) = f(x) = e^{-x^2}$. Puisque $G(x)$ est dérivable, elle est aussi continue.
Nous pouvons écrire $F(x)$ en utilisant $G(x)$ :
Étape 1 : Exprimer $F(x)$ en fonction de $G(x)$.
$$ F(x) = \int_{x}^{x+1} e^{-t^2} dt = \int_{0}^{x+1} e^{-t^2} dt - \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt $$
Donc, $F(x) = G(x+1) - G(x)$.
Puisque $G(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $G(x+1)$ est aussi continue sur $\mathbb{R}$. La différence de deux fonctions continues est une fonction continue.
Conclusion : La fonction $F(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Théorème : Continuité des intégrales à bornes dépendant du paramètre
Si $f(t)$ est continue sur un intervalle $I$, alors la fonction $F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt$ est continue sur tout intervalle où $a(x)$ et $b(x)$ sont continues.
Ici, $f(t) = e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. Les bornes $a(x)=x$ et $b(x)=x+1$ sont continues sur $\mathbb{R}$. Donc $F(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Exemple : La fonction Gamma
La fonction Gamma, souvent notée $\Gamma(z)$, est un exemple classique d'intégrale à paramètre :
$$ \Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt $$Cette fonction est définie pour $\text{Re}(z) > 0$. Elle est continue et même analytique sur ce domaine. L'étude de ses propriétés, comme la continuité et la dérivabilité, utilise les théorèmes sur les intégrales à paramètre.
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