Intégrales Impropres et Convergence : Exercices Progressifs
Bienvenue dans cette série d'exercices dédiée aux intégrales impropres. Ces intégrales, définies sur des intervalles infinis ou impliquant des fonctions non bornées, sont un pilier de l'analyse mathématique. L'objectif principal sera de déterminer si ces intégrales convergent (admettent une valeur finie) ou divergent. Nous allons travailler sur différentes techniques de calcul et de comparaison pour étudier cette convergence.
Compétences travaillées
- Définition des intégrales impropres de première espèce (intervalle infini).
- Définition des intégrales impropres de deuxième espèce (fonction non bornée).
- Calcul d'intégrales impropres en utilisant les limites.
- Application des critères de convergence (comparaison, équivalents, intégrale de Riemann).
- Reconnaissance des cas limites et des pièges courants.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre une intégrale impropre avec une intégrale définie classique.
- Oublier de passer à la limite lors du calcul ou de l'étude de convergence.
- Appliquer un critère de convergence sans vérifier ses conditions d'application.
- Faire des erreurs de calcul d'intégrales ou de limites.
- Ne pas distinguer correctement les deux espèces d'intégrales impropres.
Exercice 1 : Calcul et convergence d'une intégrale de première espèce.
Étudie la convergence et calcule l'intégrale impropre suivante si elle converge : $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx $$Barème indicatif : 3 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce car l'intervalle d'intégration est infini.
Étape 1 : Définir l'intégrale impropre comme une limite.
$$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx $$
Étape 2 : Calculer l'intégrale définie.
La primitive de $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ est $-\frac{1}{x}$.
$$ \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{b} $$
Étape 3 : Calculer la limite.
$$ \lim_{b \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{b} \right) = 1 - 0 = 1 $$
Conclusion : L'intégrale converge et sa valeur est 1.
$$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1 $$
Théorème : Intégrale de Riemann
Pour $\alpha > 0$, $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Dans notre cas, $\alpha = 2 > 1$, donc la convergence était prévisible.
Exercice 2 : Étude de convergence d'une intégrale de première espèce.
Étudie la convergence de l'intégrale impropre suivante : $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx $$Barème indicatif : 3 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce.
Étape 1 : Définir l'intégrale impropre comme une limite.
$$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx $$
Étape 2 : Calculer l'intégrale définie.
La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln|x|$.
$$ \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{b} = \ln(b) - \ln(1) = \ln(b) $$
Étape 3 : Calculer la limite.
$$ \lim_{b \to +\infty} \ln(b) = +\infty $$
Conclusion : L'intégrale diverge car la limite est infinie.
$$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = +\infty $$
Théorème : Intégrale de Riemann
Pour $\alpha > 0$, $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Dans notre cas, $\alpha = 1$, donc l'intégrale diverge, ce qui est confirmé par le calcul.
Exercice 3 : Calcul et convergence d'une intégrale de deuxième espèce.
Étudie la convergence et calcule l'intégrale impropre suivante si elle converge : $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$Barème indicatif : 3 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de deuxième espèce car la fonction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ n'est pas définie en $x=0$ (tend vers $+\infty$).
Étape 1 : Définir l'intégrale impropre comme une limite.
$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$
Étape 2 : Calculer l'intégrale définie.
La primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ est $\frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$.
$$ \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{a}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{a} = 2 - 2\sqrt{a} $$
Étape 3 : Calculer la limite.
$$ \lim_{a \to 0^+} (2 - 2\sqrt{a}) = 2 - 0 = 2 $$
Conclusion : L'intégrale converge et sa valeur est 2.
$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 $$
Théorème : Intégrale de Riemann généralisée
Pour $\alpha > 0$, $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^\alpha} dx$ converge si et seulement si $\alpha < 1$. Dans notre cas, $\alpha = 1/2 < 1$, donc la convergence était prévisible.
Exercice 4 : Étude de convergence avec critère de comparaison.
Étudie la convergence de l'intégrale impropre suivante : $$ \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx $$Barème indicatif : 4 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce. La fonction $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ est positive sur $[2, +\infty)$. Nous pouvons utiliser le critère de comparaison.
Étape 1 : Examiner le comportement de la fonction à l'infini.
Pour $x$ grand, $\ln(x)$ croît plus lentement que $x$. On peut essayer de comparer avec $\frac{1}{x}$ ou $\frac{1}{x^\alpha}$.
On sait que pour $x \ge 2$, $\ln(x) \ge \ln(2) > 0$. Et pour $x \ge 2$, $\ln(x)$ tend vers $+\infty$.
Essayons de comparer avec $\frac{1}{x}$. Comme $\ln(x) \ge 1$ pour $x \ge e$, pour $x \ge e$, on a $\frac{\ln(x)}{x} \ge \frac{1}{x}$. Or, $\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ diverge. Donc, cette comparaison n'est pas suffisante.
Essayons de trouver une fonction $g(x)$ telle que $0 \le f(x) \le g(x)$ et $\int g(x) dx$ converge.
Regardons le comportement pour $x$ très grand. $\ln(x)$ croit très lentement. Comparons avec $x^2$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0$. Cela signifie que pour $x$ assez grand, $\frac{\ln(x)}{x^2} \le 1$, donc $\frac{\ln(x)}{x} \le x$. Ceci ne nous aide pas non plus car $\int x dx$ diverge.
Essayons de comparer avec $x^\alpha$ où $\alpha < 1$. Par exemple, $\frac{1}{x^{0.9}}$.
Considérons $x \ge 4$. Alors $\ln(x) \ge \ln(4) = 2\ln(2) > 1$. Et $\ln(x)$ croît.
Soit $\alpha$ tel que $1 < \alpha < 2$. Par exemple $\alpha = 1.5$. On cherche à voir si $\frac{\ln(x)}{x}$ est borné par $\frac{C}{x^{1.5}}$.
Il est souvent plus simple de calculer directement cette intégrale.
Étape 2 : Calculer directement l'intégrale.
On utilise le changement de variable $u = \ln(x)$, donc $du = \frac{1}{x} dx$. Pour les bornes : quand $x=2$, $u=\ln(2)$; quand $x \to +\infty$, $u \to +\infty$.
$$ \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx = \int_{\ln(2)}^{+\infty} u du $$
Cette nouvelle intégrale est une intégrale impropre de première espèce.
Étape 3 : Étudier la convergence de la nouvelle intégrale.
$$ \int_{\ln(2)}^{+\infty} u du = \lim_{b \to +\infty} \int_{\ln(2)}^{b} u du $$
La primitive de $u$ est $\frac{u^2}{2}$.
$$ \lim_{b \to +\infty} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{\ln(2)}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left(\frac{b^2}{2} - \frac{(\ln(2))^2}{2} \right) = +\infty $$
Conclusion : L'intégrale diverge.
$$ \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx = +\infty $$
Point méthode : Parfois, le critère de comparaison est difficile à appliquer directement. Un changement de variable judicieux peut transformer l'intégrale en une forme plus simple à étudier.
Exercice 5 : Convergence d'une intégrale avec un comportement asymptotique.
Étudie la convergence de l'intégrale impropre : $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx $$Barème indicatif : 4 points
Correction :
Cette intégrale est impropre à la fois à cause de la borne supérieure infinie et du comportement de la fonction à l'origine (même si $e^{-x^2}$ est bien définie en 0, le traitement d'une intégrale sur $[0, +\infty)$ se fait en deux parties).
On va la découper en deux intégrales : $\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$ et $\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
Partie 1 : $\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$.
La fonction $e^{-x^2}$ est continue sur $[0, 1]$. C'est donc une intégrale impropre de deuxième espèce où la fonction est bornée. Son intégrale est finie.
Partie 2 : $\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$.
Pour $x \ge 1$, on a $x^2 \ge x$. Donc $-x^2 \le -x$. Comme la fonction exponentielle est croissante, $e^{-x^2} \le e^{-x}$.
Nous savons que $\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx$ converge.
Étape 1 : Calculer $\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx$.
$$ \int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} [-e^{-x}]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} - (-e^{-1})) = 0 + e^{-1} = \frac{1}{e} $$
Étape 2 : Appliquer le critère de comparaison.
Puisque $0 \le e^{-x^2} \le e^{-x}$ pour $x \ge 1$, et que $\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx$ converge, alors par le critère de comparaison, $\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ converge.
Conclusion : Les deux parties de l'intégrale convergent. Par conséquent, $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ converge. Sa valeur est connue comme étant $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, mais ce calcul nécessite des techniques plus avancées (intégrale de Gauss).
Théorème : Critère de comparaison pour les intégrales impropres
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a, +\infty)$. Si $0 \le f(x) \le g(x)$ pour tout $x \ge a$, alors :
- Si $\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$ converge, alors $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ converge.
- Si $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ diverge, alors $\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$ diverge.
Exercice 6 : Calcul d'une intégrale impropre avec une fonction sinus.
Étudie la convergence et calcule l'intégrale impropre suivante si elle converge : $$ \int_{0}^{+\infty} \sin(x) dx $$Barème indicatif : 3 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce.
Étape 1 : Définir l'intégrale impropre comme une limite.
$$ \int_{0}^{+\infty} \sin(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \sin(x) dx $$
Étape 2 : Calculer l'intégrale définie.
La primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$.
$$ \int_{0}^{b} \sin(x) dx = \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{b} = -\cos(b) - (-\cos(0)) = 1 - \cos(b) $$
Étape 3 : Calculer la limite.
$$ \lim_{b \to +\infty} (1 - \cos(b)) $$
La fonction $\cos(b)$ oscille entre -1 et 1. Sa limite lorsque $b \to +\infty$ n'existe pas. Par conséquent, la limite de $1 - \cos(b)$ n'existe pas non plus.
Conclusion : L'intégrale diverge car la limite n'existe pas.
$$ \int_{0}^{+\infty} \sin(x) dx \text{ diverge} $$
Attention : Une intégrale impropre ne diverge que si la limite est infinie ou n'existe pas. Ici, la non-existence de la limite entraîne la divergence.
Exercice 7 : Convergence d'une intégrale avec un produit de fonctions.
Étudie la convergence de l'intégrale impropre : $$ \int_{0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx $$Barème indicatif : 4 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de deuxième espèce car $\cos(x)$ est non nul en $x=0$ (il vaut 1) et $\sqrt{x}$ tend vers 0 en $x=0$. La fonction $\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}$ tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$. La fonction est positive sur $[0, 1]$.
Étape 1 : Examiner le comportement de la fonction près de 0.
Quand $x \to 0^+$, $\cos(x) \to \cos(0) = 1$. Donc, $\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ quand $x \to 0^+$.
Étape 2 : Appliquer le critère d'équivalence.
Nous savons que $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ converge (voir Exercice 3, car $\alpha=1/2 < 1$).
Comme $\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$ et que $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ converge, alors par le critère d'équivalence, $\int_{0}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx$ converge.
Conclusion : L'intégrale converge.
Théorème : Critère d'équivalence pour les intégrales impropres
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues positives sur $[a, b)$ (où $b$ peut être fini ou infini), et supposons que $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = L$ avec $L \in \mathbb{R}, L > 0$. Alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ et $\int_{a}^{b} g(x) dx$ ont la même nature (elles convergent ou divergent ensemble).
Exercice 8 : Intégrale impropre avec fonction trigonométrique oscillante et décroissante.
Étudie la convergence de l'intégrale impropre : $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx $$Barème indicatif : 5 points
Correction :
Il s'agit d'une intégrale impropre de première espèce. La fonction $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ n'est pas de signe constant, donc on ne peut pas utiliser directement les critères de comparaison de fonctions positives.
On va utiliser le critère d'Abel-Dirichlet pour la convergence d'une intégrale impropre de la forme $\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) dx$. Ici, $f(x) = \sin(x)$ et $g(x) = \frac{1}{x}$.
Les conditions pour le critère d'Abel-Dirichlet sont :
- La primitive de $f(x) = \sin(x)$ est $F(x) = -\cos(x)$. Cette primitive est bornée : $|F(x)| = |-\cos(x)| \le 1$ pour tout $x$.
- La fonction $g(x) = \frac{1}{x}$ est positive, décroissante sur $[1, +\infty)$ et tend vers 0 quand $x \to +\infty$.
Les conditions sont remplies.
Étape 1 : Appliquer le critère d'Abel-Dirichlet.
Comme les conditions du critère d'Abel-Dirichlet sont satisfaites, l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$ converge.
Conclusion : L'intégrale converge.
Théorème : Critère d'Abel-Dirichlet pour les intégrales impropres
Soit $\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$ une intégrale impropre dont la primitive $F(x)$ est bornée sur $[a, +\infty)$. Si $g(x)$ est une fonction positive, décroissante sur $[a, +\infty)$ et telle que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$, alors l'intégrale $\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x) dx$ converge.
Point méthode : Pour les intégrales avec des fonctions trigonométriques oscillantes, il faut souvent utiliser des critères spécifiques comme celui d'Abel-Dirichlet, car le calcul direct de la limite est impossible.
Exercice 9 : Convergence absolue vs convergence simple.
Étudie la convergence simple et la convergence absolue de l'intégrale impropre : $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} dx $$Barème indicatif : 5 points
Correction :
Convergence simple :
C'est une intégrale impropre de première espèce. Soit $f(x) = \frac{\sin(x)}{x^2}$. La fonction $f(x)$ n'est pas de signe constant.
On utilise le critère d'Abel-Dirichlet avec $F(x) = -\cos(x)$ (primitive de $\sin(x)$), qui est bornée, et $g(x) = \frac{1}{x^2}$.
La fonction $g(x) = \frac{1}{x^2}$ est positive, décroissante sur $[1, +\infty)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.
Les conditions du critère d'Abel-Dirichlet sont remplies, donc l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} dx$ converge simplement.
Convergence absolue :
Pour étudier la convergence absolue, on étudie la convergence de $\int_{1}^{+\infty} |\frac{\sin(x)}{x^2}| dx$.
Comme $|\sin(x)| \le 1$, on a $|\frac{\sin(x)}{x^2}| \le \frac{1}{x^2}$ pour tout $x \ge 1$.
Étape 1 : Examiner la fonction $|f(x)|$.
On a $0 \le |\frac{\sin(x)}{x^2}| \le \frac{1}{x^2}$ pour tout $x \ge 1$.
Étape 2 : Appliquer le critère de comparaison.
Nous savons que $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge (voir Exercice 1, car $\alpha=2 > 1$).
Par le critère de comparaison, $\int_{1}^{+\infty} |\frac{\sin(x)}{x^2}| dx$ converge.
Conclusion : L'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^2} dx$ converge absolument (et donc simplement).
Règle générale : Si une intégrale converge absolument, alors elle converge simplement. La convergence absolue est donc une condition plus forte.
Exercice 10 : Intégrale impropre avec fonction $x^\alpha e^{-x}$.
Pour quelle(s) valeur(s) de $\alpha \in \mathbb{R}$ l'intégrale impropre suivante converge-t-elle ? $$ \int_{0}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx $$Barème indicatif : 6 points
Correction :
Cette intégrale est impropre aux deux bornes : en 0 si $\alpha < 0$, et en $+\infty$ pour tout $\alpha$. On la découpe en deux parties : $\int_{0}^{1} x^\alpha e^{-x} dx$ et $\int_{1}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx$.
Partie 1 : $\int_{0}^{1} x^\alpha e^{-x} dx$.
Pour que cette intégrale soit définie en 0, il faut que la fonction soit localement intégrable près de 0. Si $\alpha < 0$, $x^\alpha$ tend vers l'infini en 0. Si $\alpha \ge 0$, $x^\alpha$ est bien défini en 0.
Comportement de $x^\alpha e^{-x}$ quand $x \to 0^+$ : $e^{-x} \to e^0 = 1$. Donc $x^\alpha e^{-x} \sim x^\alpha$ quand $x \to 0^+$.
L'intégrale $\int_{0}^{1} x^\alpha dx$ converge si et seulement si $\alpha > -1$. Par critère d'équivalence, $\int_{0}^{1} x^\alpha e^{-x} dx$ converge si et seulement si $\alpha > -1$.
Partie 2 : $\int_{1}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx$.
Pour $x$ grand, $e^{-x}$ décroît beaucoup plus vite que n'importe quelle puissance $x^\alpha$. Prenons $\beta > 0$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha e^{-x}}{e^{-\beta x}} = 0$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.
Choisissons $\beta = 1$. On a $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha e^{-x}}{e^{-x}} = \lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty$. Ceci ne nous aide pas.
Essayons de comparer $x^\alpha e^{-x}$ avec une fonction dont l'intégrale converge. Pour tout $\alpha$, on peut trouver $\beta > 0$ tel que $x^\alpha e^{-x}$ soit majorée par $e^{-\beta x}$ pour $x$ assez grand.
Plus précisément, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-x} = 0$. Cela implique qu'il existe $M$ tel que pour $x \ge M$, $x^\alpha e^{-x} \le 1$. Cela ne garantit pas la convergence.
Considérons $\int_{1}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx$. Pour tout $\alpha$, et pour tout $\gamma > 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha e^{-x}}{e^{-(\gamma)x}} = \lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-(1-\gamma)x} = 0$ si $1-\gamma > 0$, c'est-à-dire $\gamma < 1$.
Prenons $\gamma = 1/2$. Alors $1-\gamma = 1/2 > 0$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha e^{-x}}{e^{-x/2}} = \lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-x/2} = 0$ pour tout $\alpha$.
Cela signifie qu'il existe $A$ tel que pour $x \ge A$, $\frac{x^\alpha e^{-x}}{e^{-x/2}} \le 1$, donc $x^\alpha e^{-x} \le e^{-x/2}$.
L'intégrale $\int_{A}^{+\infty} e^{-x/2} dx$ converge car c'est de la forme $\int e^{-kx} dx$ avec $k=1/2 > 0$. Par critère de comparaison, $\int_{A}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx$ converge pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.
Comme l'intégrale $\int_{1}^{A} x^\alpha e^{-x} dx$ est une intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fini, elle est finie.
Conclusion :
La première partie converge si $\alpha > -1$. La seconde partie converge pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.
Pour que l'intégrale entière $\int_{0}^{+\infty} x^\alpha e^{-x} dx$ converge, il faut que les deux parties convergent.
Conclusion finale : L'intégrale converge si et seulement si $\alpha > -1$. La fonction Gamma est définie par cette intégrale : $\Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$. Pour que $\Gamma(z)$ soit finie, il faut $z-1 > -1$, donc $z > 0$. Ici, notre $\alpha$ est $z-1$, donc $\alpha > -1$.
L'intégrale converge pour $\alpha > -1$.
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