Exercices Corrigés : Critères de Convergence des Séries Numériques
Compétences travaillées : Compréhension de la définition d'une série convergente et de sa somme. Application des critères de convergence (comparaison, d'équivalence, d'Alembert, de Cauchy, de Leibniz). Reconnaissance de séries usuelles.
Erreurs fréquentes : Confusion entre suite et série. Oubli de vérifier les conditions d'application des critères. Erreurs dans le calcul des limites pour les critères d'équivalence ou d'Alembert. Application erronée du critère des séries alternées.
Cette série d'exercices t'amènera à explorer les différentes méthodes pour déterminer si une série numérique converge ou diverge. Nous commencerons par des cas simples pour ensuite aborder des séries plus complexes nécessitant l'application combinée de plusieurs critères.
Exercice 1 : Soit la série de terme général $u_n = \frac{1}{2^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
a) Reconnais le type de série et indique si elle est convergente.
b) Si elle converge, calcule sa somme.
Correction :
a) Nature de la série :
Le terme général $u_n = \frac{1}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Il s'agit du terme général d'une série géométrique de raison $r = \frac{1}{2}$.
Une série géométrique $\sum ar^n$ converge si et seulement si $|r| < 1$. Ici, $|1/2| = 1/2 < 1$, donc la série est convergente.
b) Calcul de la somme :
La somme d'une série géométrique convergente $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ est donnée par $\frac{a}{1-r}$.
Ici, le terme général est $u_n = (1/2)^n$, donc $a=1$ (pour $n=0$) et $r=1/2$. La summation commence à $n=0$.
La somme est donc $\frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Résultat : La série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ converge et sa somme est 2.
Point méthode : Toujours reconnaître les séries usuelles (géométriques, de Riemann) pour gagner du temps.
Exercice 2 : Étudie la convergence de la série de terme général $v_n = \frac{1}{n^2}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général $v_n = \frac{1}{n^2}$. Il s'agit du terme général d'une série de Riemann de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$.
Une série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. Ici, $\alpha = 2$. Comme $2 > 1$, la série est convergente.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge.
Point méthode : Les séries de Riemann sont fondamentales. Connaître leurs critères de convergence est indispensable.
Exercice 3 : Étudie la convergence de la série de terme général $w_n = \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général $w_n = \frac{1}{n}$. Il s'agit d'une série de Riemann avec $\alpha = 1$. Comme $\alpha \le 1$, la série diverge.
C'est la série harmonique.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge.
Exercice 4 : Étudie la convergence de la série de terme général $a_n = \frac{n^2+1}{n^3+2}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général $a_n = \frac{n^2+1}{n^3+2}$. Pour $n$ grand, le comportement de $a_n$ est dominé par les plus hautes puissances de $n$ : $a_n \sim \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n}$.
Nous pouvons utiliser le critère d'équivalence. Soit $b_n = \frac{1}{n}$. La série $\sum b_n$ est la série harmonique, qui diverge.
Vérifions la limite du rapport $\frac{a_n}{b_n}$ :
$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n^2+1)/(n^3+2)}{1/n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(n^2+1)}{n^3+2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3+n}{n^3+2}$
En divisant numérateur et dénominateur par $n^3$ :
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1+1/n^2}{1+2/n^3} = \frac{1+0}{1+0} = 1$.
Comme la limite est un réel strictement positif (1) et que la série $\sum b_n$ diverge, la série $\sum a_n$ diverge également.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+1}{n^3+2}$ diverge.
Point méthode : Le critère d'équivalence est très puissant pour les séries dont le terme général est une fraction rationnelle en $n$. Il suffit d'identifier le terme dominant.
Exercice 5 : Étudie la convergence de la série de terme général $c_n = \frac{n}{2^n}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général est $c_n = \frac{n}{2^n}$. Il n'est pas évident de le comparer à une série de Riemann ou géométrique simple.
Essayons le critère de d'Alembert. On calcule la limite de $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ :
$c_{n+1} = \frac{n+1}{2^{n+1}}$
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{n} \times \frac{2^n}{2^{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{2}$
La limite lorsque $n \to +\infty$ est :
$\lim_{n \to +\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \times \frac{1}{2} = (1+0) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Le critère de d'Alembert stipule que si cette limite est strictement inférieure à 1, alors la série converge. Ici, la limite est $1/2 < 1$.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ converge.
Point méthode : Le critère de d'Alembert est efficace quand le terme général fait intervenir des factorielles ou des exponentielles.
Exercice 6 : Étudie la convergence de la série de terme général $d_n = (-1)^n \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général $d_n = (-1)^n \frac{1}{n}$. Il s'agit d'une série alternée.
Nous pouvons appliquer le critère des séries alternées (critère de Leibniz) si les conditions sont remplies :
- Le signe des termes alterne : Oui, $(-1)^n$.
- La valeur absolue du terme général tend vers 0 : $|d_n| = \frac{1}{n}$. $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. C'est vérifié.
- La suite des valeurs absolues $(|d_n|)$ est décroissante : $|d_n| = \frac{1}{n}$. Pour $n \ge 1$, on a $n+1 > n$, donc $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. La suite $(|d_n|)$ est strictement décroissante.
Les trois conditions du critère de Leibniz sont remplies.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ converge.
Point méthode : Le critère de Leibniz est spécifique aux séries alternées et est très utile. Attention à bien vérifier TOUTES les conditions.
Exercice 7 : Étudie la convergence de la série de terme général $e_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général est $e_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.
Pour $n$ grand, $\frac{1}{n}$ est petit. On peut utiliser le développement limité de $\ln(1+x)$ quand $x \to 0$ : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.
Ici, $x = \frac{1}{n}$. Quand $n \to +\infty$, $x \to 0$. Donc :
$e_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}$ quand $n \to +\infty$.
Nous pouvons utiliser le critère d'équivalence avec $b_n = \frac{1}{n}$. La série $\sum b_n$ (série harmonique) diverge.
La limite du rapport est $\lim_{n \to +\infty} \frac{e_n}{b_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(1+1/n)}{1/n} = 1$ (résultat connu des développements limités ou limite de référence).
Puisque la limite est 1 (un réel strictement positif) et que $\sum \frac{1}{n}$ diverge, la série $\sum e_n$ diverge.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$ diverge.
Astuce : Les développements limités sont une autre forme du critère d'équivalence, particulièrement utile quand le terme général n'est pas une simple fraction rationnelle.
Exercice 8 : Étudie la convergence de la série de terme général $f_n = \frac{1}{n^2 - n + 1}$ pour $n \ge 1$.
Correction :
Le terme général est $f_n = \frac{1}{n^2 - n + 1}$.
Pour $n$ grand, le comportement est dominé par $n^2$. Donc, $f_n \sim \frac{1}{n^2}$.
Utilisons le critère d'équivalence avec $g_n = \frac{1}{n^2}$. La série $\sum g_n$ est une série de Riemann avec $\alpha=2 > 1$, donc elle converge.
Vérifions la limite du rapport :
$\lim_{n \to +\infty} \frac{f_n}{g_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1/(n^2 - n + 1)}{1/n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 - n + 1}$
En divisant numérateur et dénominateur par $n^2$ :
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1 - 1/n + 1/n^2} = \frac{1}{1 - 0 + 0} = 1$.
Comme la limite est 1 (un réel strictement positif) et que la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série $\sum f_n$ converge également.
Résultat : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - n + 1}$ converge.
Point méthode : Le dénominateur $n^2 - n + 1$ est toujours positif pour $n \ge 1$ (car le discriminant est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ et le coefficient de $n^2$ est positif). Ce genre de détails est important pour s'assurer que les termes sont bien définis.