Loi des Grands Nombres : Convergence des Variables Aléatoires

Correction :

Méthode : espérance et variance de la moyenne, puis Bienaymé-Tchebychev.

Par linéarité, $E(\overline{X}_n) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} E(X_k) = m$. Les $X_k$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances : $V(\overline{X}_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} V(X_k) = \frac{\sigma^2}{n}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\overline{X}_n$ donne $$P(|\overline{X}_n - m| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

$E(\overline{X}_n) = m$, $V(\overline{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$, et $\overline{X}_n$ converge en probabilité vers $m$ : c'est la loi faible des grands nombres.

Le $\frac{1}{n}$ sort de la variance au carré : l'oublier donne $V(\overline{X}_n) = \sigma^2$, et plus aucune convergence.

Correction :

Méthode : une variable indicatrice par lancer, c'est-à-dire une variable qui vaut 1 si l'événement se produit et 0 sinon.

Pose $Y_k = 1$ si le $k$-ième lancer donne 6, et $Y_k = 0$ sinon. Les $Y_k$ sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli $\mathcal{B}\left(\frac{1}{6}\right)$ : $E(Y_k) = \frac{1}{6}$ et $V(Y_k) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$, finie.

Le nombre de 6 est $\sum_{k=1}^{n} Y_k$, donc $F_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} Y_k$. L'exercice 1 donne $$P\left(\left|F_n - \tfrac{1}{6}\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{5}{36\,n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

$F_n$ converge en probabilité vers $\frac{1}{6}$ : la fréquence d'un événement tend vers sa probabilité.

Correction :

Méthode : séparer l'écart des moyennes, $\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2}$, de l'écart des sommes, $S_n - \frac{n}{2}$.

a) $S_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n, \frac{1}{2}\right)$, donc $E(S_n) = \frac{n}{2}$ et $V(S_n) = \frac{n}{4}$. D'où $E\left(S_n - \frac{n}{2}\right) = 0$ et $V\left(S_n - \frac{n}{2}\right) = \frac{n}{4}$ : son écart type, $\frac{\sqrt{n}}{2}$, grandit avec $n$.

b) $S_n$ est entier et $\frac{n}{2}$ ne l'est pas, donc $P\left(S_n = \frac{n}{2}\right) = 0$ : l'écart ne s'annule jamais, il reste au moins égal à $\frac{1}{2}$ en valeur absolue.

c) La loi des grands nombres porte sur $\frac{S_n}{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{n}\left(S_n - \frac{n}{2}\right)$ : c'est la division par $n$ qui écrase l'écart. Et les lancers étant indépendants, pile garde la probabilité $\frac{1}{2}$ après n'importe quelle série. On démontre même que la différence entre le nombre de pile et le nombre de face prend presque sûrement des valeurs aussi grandes que l'on veut, dans un sens comme dans l'autre (Le Gall, chapitre 10).

Le joueur se trompe : la moyenne converge par dilution, pas par compensation.

Correction :

Méthode : Bienaymé-Tchebychev, puis une majoration de $p(1-p)$ qui ne dépend pas de $p$.

$F_n$ est la moyenne de $n$ variables de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ indépendantes : $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \frac{p(1-p)}{n}$. Or $p(1-p) = \frac{1}{4} - \left(p - \frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4}$, donc $$P(|F_n - p| \geq 0{,}05) \leq \frac{p(1-p)}{n \times 0{,}05^2} \leq \frac{1}{4n \times 0{,}0025} = \frac{100}{n}.$$

Et $\frac{100}{n} \leq 0{,}05 \iff n \geq 2\,000$.

Interroger $n = 2\,000$ personnes suffit.

Bienaymé-Tchebychev majore large : $2\,000$ est une taille suffisante, pas la plus petite possible.

Correction :

Méthode : Markov appliquée à $(X_n - 1)^2$, car Bienaymé-Tchebychev mesure l'écart à $E(X_n)$, pas à 1.

a) En écrivant $X_n - 1 = \left(X_n - E(X_n)\right) + \frac{1}{n}$ et en développant, le terme croisé a une espérance nulle : $$E\left((X_n - 1)^2\right) = V(X_n) + \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}.$$

b) Pour $\varepsilon > 0$, $|X_n - 1| \geq \varepsilon \iff (X_n - 1)^2 \geq \varepsilon^2$. Markov appliquée à la variable positive $(X_n - 1)^2$ donne $$P(|X_n - 1| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{\varepsilon^2}\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

$X_n$ converge en probabilité vers 1.

Correction :

Méthode : la loi de $U$ est connue, donc tu calcules la probabilité d'écart au lieu de la majorer.

a) La fonction $t \mapsto t^{1/n}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $U^n \geq \varepsilon \iff U \geq \varepsilon^{1/n}$, et $$P(X_n \geq \varepsilon) = P\left(U \geq \varepsilon^{1/n}\right) = 1 - \varepsilon^{1/n} =1 - e^{\frac{\ln \varepsilon}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 - e^0 = 0.$$ Comme $X_n \geq 0$, c'est aussi $P(|X_n| \geq \varepsilon)$. Pour $\varepsilon \geq 1$, $P(X_n \geq \varepsilon) \leq P(U = 1) = 0$.

b) Sur l'événement $\{U < 1\}$, de probabilité 1, la suite géométrique $U^n$ tend vers 0. Donc $P(X_n \to 0) = 1$.

$X_n$ converge vers 0 presque sûrement, donc aussi en probabilité.

Retiens que b) suffisait pour la convergence en probabilité : la convergence presque sûre l'entraîne.

Correction :

Méthode : $\{M_n \leq x\} = \bigcap_{k=1}^{n} \{X_k \leq x\}$, puis l'indépendance.

a) $P(M_n \leq x) = \prod_{k=1}^{n} P(X_k \leq x) = \left(\frac{x+1}{2}\right)^n$.

b) Comme $M_n \leq 1$, pour $0 < \varepsilon < 2$ : $$P(|M_n - 1| \geq \varepsilon) = P(M_n \leq 1 - \varepsilon) = \left(1 - \frac{\varepsilon}{2}\right)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ car $0 < 1 - \frac{\varepsilon}{2} < 1$. Pour $\varepsilon \geq 2$, $P(|M_n - 1| \geq \varepsilon) \leq P(M_n \leq -1) = 0$.

c) Il se trompe : la limite est 1. La loi des grands nombres concerne la moyenne $\overline{X}_n$, qui tend bien vers 0 ; le maximum, lui, tend vers la borne droite des valeurs possibles.

$M_n$ converge en probabilité vers 1, et non vers $E(X_k) = 0$.

Correction :

Méthode : le logarithme transforme le produit en moyenne, la loi forte s'applique, puis l'exponentielle, continue, ramène à $G_n$.

a) $E(\ln U_1) = \int_0^1 \ln t \, dt = \big[t \ln t - t\big]_0^1 = -1$, car $t \ln t \to 0$ en 0. L'intégrale converge absolument, donc $\ln U_1$ a une espérance finie.

b) $\ln G_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \ln U_k$, moyenne de variables i.i.d. d'espérance finie. La loi forte donne $\ln G_n \to -1$ presque sûrement, et par continuité de l'exponentielle, $G_n \to e^{-1}$ presque sûrement.

c) La loi forte donne $\overline{U}_n \to E(U_1) = \frac{1}{2}$ presque sûrement. Les deux limites diffèrent : $e^{-1} \approx 0{,}37 < \frac{1}{2}$.

$G_n \to e^{-1} \approx 0{,}37$ presque sûrement, alors que $\overline{U}_n \to \frac{1}{2}$.

Ne fais pas passer le logarithme à travers l'espérance : $E(\ln U_1) = -1$, alors que $\ln E(U_1) = \ln \frac{1}{2} \approx -0{,}69$.