Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 1 h 30. 10 exercices corrigés. Les données des énoncés sont fictives ; prévois une calculatrice.
Rappel des notions clés
Pour choisir la loi, regarde ce que compte ta variable $X$. Le nombre de succès sur $n$ épreuves indépendantes de même probabilité $p$ : loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. Le nombre d'événements sur une durée donnée, quand tu connais leur nombre moyen $\lambda$ : loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. Une mesure continue (taille, durée, masse) répartie en cloche autour de sa moyenne $\mu$ : loi normale $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$. Exemple : le nombre $X$ de 6 obtenus en 10 lancers de dé suit $\mathcal{B}\left(10\,;\,\tfrac{1}{6}\right)$, et $P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^2\left(\tfrac{5}{6}\right)^8\approx0{,}2907$.
Pour une loi normale, tu centres et tu réduis : $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit $\mathcal{N}(0\,;\,1)$, dont la fonction de répartition $\Phi(z)=P(Z\le z)$ se lit à la calculatrice. Quand $n$ est grand, on approche $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ par $\mathcal{P}(np)$ si $p$ est petit, ou par la loi normale de même espérance et de même variance. Dans ce second cas, on fait une correction de continuité : chaque entier $k$ est représenté par l'intervalle $[k-0{,}5\,;\,k+0{,}5]$, donc $P(X\ge k)$ devient $P(Y\ge k-0{,}5)$.
Formules à retenir :
- $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.
- $\mathcal{P}(\lambda)$ : $P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$, $E(X)=V(X)=\lambda$.
- $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$ : $P(a\le X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ et $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$.
- Événement contraire : $P(X\ge1)=1-P(X=0)$ et, pour une loi discrète, $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.
Piège classique : selon les auteurs, la loi normale se note $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)$, avec la variance, ou $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma)$, avec l'écart type (Wikipédia, « Loi normale »). Ici, le second nombre est la variance. Pour centrer et réduire, tu divises toujours par l'écart type $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$, jamais par la variance.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Une usine produit des composants dont 2 % sont défectueux. On prélève 10 composants au hasard, et on assimile ce prélèvement à 10 tirages indépendants. On note $X$ le nombre de composants défectueux. Justifie la loi de $X$, puis calcule $P(X=1)$ et $P(X\ge1)$ à $10^{-4}$ près.
Correction :
On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (défectueux ou non) avec la même probabilité $p=0{,}02$ : $X\sim\mathcal{B}(10\,;\,0{,}02)$.
$P(X=1)=10\times0{,}02\times0{,}98^9\approx0{,}2\times0{,}8337$, donc $P(X=1)\approx$ $0{,}1667$.
Par l'événement contraire, $P(X\ge1)=1-0{,}98^{10}\approx1-0{,}8171$, soit $0{,}1829$.
Exercice 2 : Un standard téléphonique reçoit en moyenne 3 appels par minute, et le nombre $Y$ d'appels reçus en une minute suit une loi de Poisson. Calcule la probabilité de recevoir exactement 5 appels en une minute, à $10^{-4}$ près.
Correction :
Le paramètre d'une loi de Poisson est sa moyenne : $Y\sim\mathcal{P}(3)$.
$P(Y=5)=e^{-3}\dfrac{3^5}{5!}=\dfrac{243}{120}e^{-3}\approx2{,}025\times0{,}04979$, soit $P(Y=5)\approx$ $0{,}1008$.
Exercice 3 : La taille $H$, en cm, d'un homme adulte pris au hasard dans une population suit la loi normale $\mathcal{N}(175\,;\,7^2)$. Calcule la probabilité qu'il mesure entre 170 cm et 180 cm, à $10^{-3}$ près.
Correction :
On centre et on réduit les deux bornes : $\frac{170-175}{7}=-\frac{5}{7}$ et $\frac{180-175}{7}=\frac{5}{7}$.
Par symétrie, $P(170\lt H\lt180)=2\Phi\left(\tfrac{5}{7}\right)-1\approx2\times0{,}7625-1$, soit $0{,}525$.
Erreur à éviter : arrondir $\frac{5}{7}$ à $0{,}71$ avant de lire $\Phi$ donne $0{,}522$. Garde la valeur exacte jusqu'au bout.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Une ampoule sortie d'une chaîne est défectueuse avec la probabilité $0{,}05$, indépendamment des autres. Dans un lot de 100 ampoules, $X$ compte les ampoules défectueuses. a) Calcule $E(X)$, $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$. b) Calcule $P(X=3)$ à $10^{-4}$ près. c) On admet qu'on peut approcher la loi de $X$ par la loi de Poisson de même espérance. Calcule la valeur approchée de $P(X=3)$ et compare-la au résultat exact.
Correction :
a) $X\sim\mathcal{B}(100\,;\,0{,}05)$, donc $E(X)=100\times0{,}05=$ 5 ampoules en moyenne par lot, $V(X)=5\times0{,}95=$ $4{,}75$ et $\sigma(X)=\sqrt{4{,}75}\approx$ $2{,}18$ ampoules.
b) $P(X=3)=\binom{100}{3}0{,}05^3\times0{,}95^{97}=161\,700\times0{,}05^3\times0{,}95^{97}\approx$ $0{,}1396$.
c) On prend $\lambda=E(X)=5$ : $P(X=3)\approx e^{-5}\dfrac{5^3}{3!}\approx$ $0{,}1404$. L'écart est inférieur à $10^{-3}$ : ici, l'approximation est très bonne.
Exercice 5 : La masse $M$ d'une pomme d'un verger, en grammes, suit la loi normale $\mathcal{N}(150\,;\,400)$, où 400 est la variance. Calcule la probabilité qu'une pomme pèse plus de 190 g, à $10^{-4}$ près.
Correction :
L'écart type vaut $\sigma=\sqrt{400}=20$ g. On centre et on réduit : $\frac{190-150}{20}=2$.
$P(M\gt190)=1-\Phi(2)\approx1-0{,}9772$, soit $0{,}0228$.
Erreur à éviter : diviser par la variance donne $\frac{40}{400}=0{,}1$, puis $1-\Phi(0{,}1)\approx0{,}4602$, une probabilité vingt fois trop grande.
Exercice 6 : Un capteur relève en moyenne $0{,}5$ défaut par heure sur une chaîne de production. Le nombre de défauts relevés sur une durée donnée suit une loi de Poisson. Calcule la probabilité de relever exactement 2 défauts en 3 heures, à $10^{-4}$ près.
Correction :
Le paramètre est le nombre moyen de défauts sur la durée étudiée : $\lambda=0{,}5\times3=1{,}5$, donc le nombre $N$ de défauts en 3 heures suit $\mathcal{P}(1{,}5)$.
$P(N=2)=e^{-1{,}5}\dfrac{1{,}5^2}{2!}=1{,}125\,e^{-1{,}5}\approx$ $0{,}2510$.
Erreur à éviter : garder $\lambda=0{,}5$, qui ne vaut que pour une heure.
Exercice 7 : À un partiel noté sur 20, la note d'un étudiant pris au hasard suit la loi normale $\mathcal{N}(12\,;\,2{,}5^2)$. Au total, 500 étudiants passent ce partiel, et on suppose leurs notes indépendantes. Calcule le nombre moyen d'étudiants qui obtiendront 15 ou plus.
Correction :
On calcule la probabilité pour un étudiant, puis l'espérance du nombre d'étudiants concernés. $\frac{15-12}{2{,}5}=1{,}2$, donc $p=1-\Phi(1{,}2)\approx0{,}1151$.
Le nombre $K$ d'étudiants qui ont 15 ou plus suit $\mathcal{B}(500\,;\,p)$, d'espérance $500p\approx57{,}5$, soit environ 58 étudiants.
Erreur à éviter : répondre $0{,}1151$. On te demande un nombre d'étudiants, pas une probabilité.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : La durée de vie $D$ d'un composant, en heures, suit la loi normale $\mathcal{N}(5\,000\,;\,300^2)$. a) Calcule $P(D\lt4\,500)$ à $10^{-4}$ près. b) Le fabricant veut une durée de garantie $t$ telle que 1 % seulement des composants tombent en panne avant $t$. Détermine $t$, arrondie à l'heure.
Correction :
a) On centre et on réduit la borne : $\frac{4\,500-5\,000}{300}=-\frac{5}{3}$, donc $P(D\lt4\,500)=1-\Phi\left(\tfrac{5}{3}\right)\approx$ $0{,}0478$.
b) C'est le problème inverse : on connaît la probabilité, on cherche la borne. Il faut $\Phi\left(\frac{t-5\,000}{300}\right)=0{,}01$ ; la calculatrice donne $\frac{t-5\,000}{300}\approx-2{,}3263$, d'où $t\approx5\,000-697{,}9$, soit $4\,302$ heures.
Contrôle : $t$ est bien sous la moyenne, ce qui est logique pour une proportion de 1 %.
Exercice 9 : On lance 20 fois une pièce équilibrée, et $X$ compte les « pile ». a) Calcule $P(X\ge12)$ à la calculatrice, à $10^{-4}$ près. b) On admet qu'on peut approcher la loi de $X$ par la loi normale de même espérance et de même variance. Calcule la valeur approchée de $P(X\ge12)$ avec la correction de continuité, puis sans. Conclus.
Correction :
a) $X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}5)$ et $P(X\ge12)=1-P(X\le11)\approx$ $0{,}2517$.
b) $E(X)=10$ et $V(X)=5$ : on prend $Y\sim\mathcal{N}(10\,;\,5)$, d'écart type $\sqrt{5}$.
Avec correction, $P(Y\ge11{,}5)=1-\Phi\left(\frac{1{,}5}{\sqrt{5}}\right)\approx$ $0{,}2512$. Sans correction, $P(Y\ge12)=1-\Phi\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\approx$ $0{,}1855$.
La correction de continuité fait passer l'erreur de $0{,}066$ à moins de $10^{-3}$ : ne l'oublie jamais quand une loi continue remplace une loi discrète.
Exercice 10 : Dans une ville, le nombre $A$ d'accidents en une journée suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(2)$, et les journées sont indépendantes. a) Calcule $P(A=3)$. b) Calcule la probabilité d'avoir au moins 2 accidents un jour donné. c) Calcule la probabilité que, sur 7 jours, au moins un jour se passe sans accident. Donne chaque résultat à $10^{-4}$ près.
Correction :
a) $P(A=3)=e^{-2}\dfrac{2^3}{3!}=\dfrac{4}{3}e^{-2}\approx$ $0{,}1804$.
b) Par l'événement contraire, $P(A\ge2)=1-P(A=0)-P(A=1)=1-3e^{-2}\approx$ $0{,}5940$. Erreur à éviter : calculer $1-P(A\le2)$, qui retire aussi le cas $A=2$.
c) Un jour est sans accident avec la probabilité $q=P(A=0)=e^{-2}$. Le nombre $J$ de jours sans accident suit $\mathcal{B}(7\,;\,q)$, donc $P(J\ge1)=1-(1-e^{-2})^7\approx1-0{,}3614$, soit $0{,}6386$.
Bilan et conseils
Avant tout calcul, écris la loi de ta variable et ses paramètres : la plupart des pièges de cette page se jouent à cette ligne. Contrôle ensuite l'ordre de grandeur : une loi binomiale ou de Poisson donne ses plus fortes probabilités autour de son espérance, et une loi normale place environ 68 % de ses valeurs entre $\mu-\sigma$ et $\mu+\sigma$.
Ce qu'il faut retenir : le paramètre d'une loi de Poisson est le nombre moyen d'événements sur la durée étudiée. Pour centrer et réduire, on divise par $\sigma$, jamais par $\sigma^2$. « Au moins $k$ » se calcule par $1-P(X\le k-1)$. Une loi normale qui remplace une loi discrète demande une correction de continuité.
Sources
Wikipédia, article « Loi normale » (notations de la loi normale).