Maîtrise des Suites Arithmétiques et Géométriques en Prépa

Correction :

1. Pour calculer les premiers termes, il suffit de remplacer $n$ par les valeurs correspondantes :
   • $u_0 = 3(0) - 5 = -5$
   • $u_1 = 3(1) - 5 = -2$
   • $u_2 = 3(2) - 5 = 1$

   Résultat a) : $u_0 = -5$, $u_1 = -2$, $u_2 = 1$.

2. Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, tu dois montrer que la différence entre deux termes consécutifs est constante. C'est-à-dire, $u_{n+1} - u_n = r$ (une constante). On a $u_{n+1} = 3(n+1) - 5 = 3n + 3 - 5 = 3n - 2$. Alors, $u_{n+1} - u_n = (3n - 2) - (3n - 5) = 3n - 2 - 3n + 5 = 3$. La différence est constante et égale à $3$.

   Résultat b) : La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $u_0 = -5$.

   Astuce : Une suite définie par $u_n = an+b$ est toujours arithmétique de raison $a$.

Correction :

1. Utilise la définition $v_{n+1} = q \times v_n$ :
   • $v_0 = 4$
   • $v_1 = v_0 \times q = 4 \times (1/2) = 2$
   • $v_2 = v_1 \times q = 2 \times (1/2) = 1$

   Résultat a) : $v_0 = 4$, $v_1 = 2$, $v_2 = 1$.

2. La formule du terme général d'une suite géométrique est $v_n = v_p \times q^{n-p}$. Ici, avec $p=0$, on a $v_n = v_0 \times q^n$. Donc, $v_n = 4 \times (1/2)^n$.

   Résultat b) : $v_n = 4 \times (1/2)^n$.

3. En utilisant l'expression de $v_n$ : $v_5 = 4 \times (1/2)^5 = 4 \times (1/32) = 4/32 = 1/8$.

   Résultat c) : $v_5 = 1/8$.

Correction :

La somme des $N$ premiers termes d'une suite arithmétique $(u_n)$ est donnée par la formule $S_N = N \times \frac{u_0 + u_{N-1}}{2}$ si on commence à $u_0$, ou $S_N = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}$. Ici, nous voulons la somme des 10 premiers termes, de $u_0$ à $u_9$. Le nombre de termes est donc $10$.

• Le premier terme est $u_0 = 2(0) + 1 = 1$.
• Le dernier terme est $u_9 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19$.

La somme est $S_{10} = 10 \times \frac{u_0 + u_9}{2} = 10 \times \frac{1 + 19}{2} = 10 \times \frac{20}{2} = 10 \times 10 = 100$.

Correction :

Soit $P_n$ la population de bactéries après $n$ heures.

À $t=0$, la population est $P_0 = 50$.

Comme la population double toutes les heures, cela signifie que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 2. Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison $q=2$.

L'expression de la suite est $P_n = P_0 \times q^n = 50 \times 2^n$.

Pour trouver la population après 6 heures, calcule $P_6$ :

$P_6 = 50 \times 2^6 = 50 \times 64 = 3200$.

Correction :

1. Pour une suite arithmétique, on sait que $u_n = u_p + (n-p)r$. En utilisant les termes donnés : $u_7 = u_3 + (7-3)r$. $26 = 10 + 4r$. $16 = 4r$. $r = 16/4 = 4$.

   Résultat a) : La raison de la suite est $r=4$.

2. Maintenant que tu as la raison, utilise l'un des termes pour trouver $u_0$. Par exemple avec $u_3 = u_0 + 3r$. $10 = u_0 + 3(4)$. $10 = u_0 + 12$. $u_0 = 10 - 12 = -2$.

   Résultat b) : Le premier terme est $u_0 = -2$.

3. La formule générale est $u_n = u_0 + nr$. Avec $u_0 = -2$ et $r=4$, on obtient $u_n = -2 + 4n$.

   Résultat c) : $u_n = 4n - 2$.

Correction :

La somme est $S = 3 \times (2)^{1-1} + 3 \times (2)^{2-1} + \dots + 3 \times (2)^{10-1}$. Soit $u_k = 3 \times (2)^{k-1}$. Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $u_1 = 3 \times 2^0 = 3$ et de raison $q=2$.

Le nombre de termes de la somme est de $10-1+1 = 10$ termes (de $k=1$ à $k=10$).

La formule de la somme des $N$ premiers termes d'une suite géométrique est $S_N = u_1 \frac{1-q^N}{1-q}$ (si le premier terme est $u_1$).

Ici, $u_1 = 3$, $q=2$, et $N=10$.

$S = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 1024}{-1} = 3 \times \frac{-1023}{-1} = 3 \times 1023 = 3069$.

Correction :

1. • $u_0 = 1$
   • $u_1 = 2u_0 + 3 = 2(1) + 3 = 5$
   • $u_2 = 2u_1 + 3 = 2(5) + 3 = 13$

   Résultat a) : $u_0 = 1$, $u_1 = 5$, $u_2 = 13$.

2. Pour que $(v_n)$ soit géométrique, il faut que $v_{n+1} = q v_n$ pour une constante $q$. On sait que $v_n = u_n + c$, donc $u_n = v_n - c$. Et $v_{n+1} = u_{n+1} + c$. Remplace $u_{n+1}$ dans l'expression : $v_{n+1} = (2u_n + 3) + c$. Maintenant remplace $u_n$ par $v_n - c$ : $v_{n+1} = 2(v_n - c) + 3 + c$ $v_{n+1} = 2v_n - 2c + 3 + c$ $v_{n+1} = 2v_n + 3 - c$. Pour que $(v_n)$ soit géométrique de raison $q=2$, on doit avoir $v_{n+1} = 2v_n$. Cela signifie que $3 - c$ doit être égal à $0$. $3 - c = 0 \Rightarrow c = 3$.

   Résultat b) : $c=3$.

3. Maintenant que tu as $c=3$, la suite $(v_n)$ est définie par $v_n = u_n + 3$. On sait que $v_n$ est géométrique de raison $q=2$. Calculons son premier terme $v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4$. Donc, $v_n = v_0 \times q^n = 4 \times 2^n$. Puis, pour trouver $u_n$, utilise $u_n = v_n - 3$. $u_n = 4 \times 2^n - 3$.

   Résultat c) : $v_n = 4 \times 2^n$ et $u_n = 4 \times 2^n - 3$.

   Point méthode : Ce type d'exercice est classique. L'idée est de transformer une suite arithmético-géométrique en une suite géométrique par un changement de variable astucieux.

Correction :

1. Étudions le rapport $a_{n+1}/a_n$ pour voir si la suite est géométrique : $a_{n+1} = \frac{2^{(n+1)+1}}{3^{n+1}} = \frac{2^{n+2}}{3^{n+1}}$. $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+2}/3^{n+1}}{2^{n+1}/3^n} = \frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} \times \frac{3^n}{3^{n+1}} = 2^{n+2-(n+1)} \times 3^{n-(n+1)} = 2^1 \times 3^{-1} = 2/3$. Le rapport est constant, donc $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2/3$. Le premier terme est $a_0 = \frac{2^{0+1}}{3^0} = \frac{2^1}{1} = 2$.

   Résultat a) : $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $q=2/3$ et de premier terme $a_0 = 2$.

2. Étudions la différence $b_{n+1} - b_n$ pour voir si la suite est arithmétique : $b_n = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1$. Maintenant, calculons $b_{n+1} - b_n$ : $b_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1$. $b_{n+1} - b_n = (2n + 1) - (2n - 1) = 2n + 1 - 2n + 1 = 2$. La différence est constante, donc $(b_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$. Le premier terme demandé est $b_1$ (car $n \in \mathbb{N}^*$). $b_1 = 2(1) - 1 = 1$.

   Résultat b) : $(b_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $b_1 = 1$.

   Astuce : Toujours simplifier l'expression du terme général quand c'est possible avant d'étudier sa nature.