Niveau : supérieur, du facile au difficile. Durée estimée : 3 h. 10 exercices avec corrections détaillées.
Rappel des notions clés
Séparer les variables, c'est chercher $u=X(x)\,T(t)$ puis ranger ce qui dépend de $x$ d'un côté, ce qui dépend de $t$ de l'autre : les deux côtés valent alors une même constante $-\lambda$. Exemple : $u_t=u_{xx}-u$, où $u_t$ et $u_{xx}$ désignent les dérivées partielles $\frac{\partial u}{\partial t}$ et $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$, donne $\frac{T'}{T}+1=\frac{X''}{X}=-\lambda$, soit $X''=-\lambda X$ et $T'=-(\lambda+1)\,T$.
Des conditions aux bords homogènes, c'est-à-dire à second membre nul ($u=0$, $u_x=0$ ou $u_x+h\,u=0$), deviennent des conditions sur $X$ seul : quelques valeurs de $\lambda$ seulement, les valeurs propres, laissent un $X$ non nul, appelé mode propre. Teste toujours les trois signes de $\lambda$. On additionne ensuite les modes ; la donnée restante fixe leurs coefficients, car deux modes distincts sont orthogonaux : $\int_0^LX_nX_m\,dx=0$ pour $n\ne m$ (voir la feuille d'exercices de l'université de Bordeaux en Sources).
Formules à retenir :
- $X''=-\lambda X$ : $A\cos(kx)+B\sin(kx)$ si $\lambda=k^2>0$, $Ax+B$ si $\lambda=0$, $A\cosh(\mu x)+B\sinh(\mu x)$ si $\lambda=-\mu^2<0$.
- $\cosh s=\frac{e^s+e^{-s}}{2}$ et $\sinh s=\frac{e^s-e^{-s}}{2}$ (cosinus et sinus hyperboliques) : $\cosh>0$, et $\sinh$ ne s'annule qu'en $0$.
- Bords nuls en $0$ et en $L$ : $X_n=\sin\frac{n\pi x}{L}$ et $\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{L^2}$, pour $n\ge1$.
- Coefficient de $f$ sur le mode $X_n$ : $c_n=\frac{\int_0^Lf\,X_n\,dx}{\int_0^LX_n^2\,dx}$.
- Laplacien en coordonnées polaires : $\Delta u=u_{rr}+\frac1r\,u_r+\frac1{r^2}\,u_{\theta\theta}$.
Piège classique : séparer directement un problème dont un bord n'est pas homogène. Si $X(0)\,T(t)=20$ pour tout $t$, $T$ est constant et la solution reste figée. Retire d'abord la solution stationnaire $w$ (qui ne dépend pas du temps et porte les bords), puis sépare $v=u-w$, dont les bords sont nuls.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Pour chaque équation ($t>0$), dis si la recherche de $u=X(x)\,T(t)$ sépare les variables. Si oui, écris les deux équations différentielles, avec une constante $-\lambda$.
a) $u_t=t\,u_{xx}$ ; b) $u_t=u_{xx}+x\,u$ ; c) $u_t=u_{xx}+xt\,u$.
Correction :
On divise par $X\,T$, puis on regarde si chaque membre ne dépend que d'une variable.
a) En divisant par $t\,X\,T$ : $\frac{T'}{tT}=\frac{X''}{X}=-\lambda$, d'où $T'=-\lambda t\,T$ et $X''=-\lambda X$.
b) $\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}+x=-\lambda$, d'où $T'=-\lambda T$ et $X''+(x+\lambda)\,X=0$.
c) $\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}+xt$ : dérivé en $x$ puis en $t$, le membre de gauche donne $0$, celui de droite $1$. Impossible.
a) et b) se séparent, c) non. Le coefficient de $u$ doit s'écrire $f(t)+g(x)$, et $xt$ ne le peut pas.
Exercice 2 : Une barre de longueur $L$ a son bout $x=0$ à $0\ ^\circ\text{C}$ et son bout $x=L$ isolé. La séparation de $u_t=\alpha^2u_{xx}$ mène à $X''=-\lambda X$, avec $X(0)=0$ et $X'(L)=0$.
a) Montre que $\lambda\le0$ ne donne que $X=0$.
b) Trouve les valeurs propres et les modes propres.
Correction :
On teste les trois signes de $\lambda$ avec les deux conditions.
a) Si $\lambda=-\mu^2<0$, $X(0)=0$ laisse $X=B\sinh(\mu x)$, et $X'(L)=B\mu\cosh(\mu L)=0$ impose $B=0$. Si $\lambda=0$, $X=Ax$ et $X'(L)=A=0$.
b) Si $\lambda=k^2>0$, $X=B\sin(kx)$ et $X'(L)=Bk\cos(kL)=0$, donc $kL=\frac{(2n-1)\pi}{2}$.
$\lambda_n=\frac{(2n-1)^2\pi^2}{4L^2}$ et $X_n=\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L}$, pour $n\ge1$. Recopier $\frac{n\pi}{L}$ par réflexe donnerait $X'(L)=\pm\frac{n\pi}{L}\ne0$.
Exercice 3 : On résout $u_t=\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)$ sur le carré $]0\,;\,\pi[^2$, avec $u=0$ sur les quatre côtés.
a) Cherche les solutions de la forme $u=X(x)\,Y(y)\,T(t)$.
b) Quel mode s'éteint le plus lentement ? Donne deux modes distincts qui s'éteignent au même rythme.
Correction :
On sépare deux fois. $\frac{X''}{X}$, fonction de $x$ seul, vaut $\frac{T'}{\alpha^2T}-\frac{Y''}{Y}$, qui ne dépend pas de $x$ : c'est une constante, et de même pour $\frac{Y''}{Y}$. Les bords nuls donnent $X_m=\sin(mx)$ et $Y_n=\sin(ny)$, avec $m,n\ge1$, puis $T'=-\alpha^2(m^2+n^2)\,T$.
$u_{m,n}=\sin(mx)\sin(ny)\,e^{-\alpha^2(m^2+n^2)t}$. Le plus lent est $(1,1)$, en $e^{-2\alpha^2t}$ ; $(1,2)$ et $(2,1)$ s'éteignent tous deux en $e^{-5\alpha^2t}$.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Une barre de longueur $L$ est à $20\ ^\circ\text{C}$. À $t=0$, on porte son bout $x=L$ à $80\ ^\circ\text{C}$ et on garde l'autre à $20\ ^\circ\text{C}$ : $u_t=\alpha^2u_{xx}$, $u(0,t)=20$, $u(L,t)=80$ et $u(x,0)=20$, en $^\circ\text{C}$.
a) Pourquoi ne peut-on pas séparer $u$ directement ?
b) Calcule $u(x,t)$, puis sa limite quand $t\to+\infty$.
Correction :
a) $X(0)\,T(t)=20$ pour tout $t$ force $T$ constant : la solution resterait figée, alors que la barre se réchauffe.
b) On retire la solution stationnaire, puis on sépare le reste. $w''=0$, $w(0)=20$ et $w(L)=80$ donnent $w=20+60\,\frac xL$, et $v=u-w$ a des bords nuls, avec $v(x,0)=-60\,\frac xL$. En posant $s=\frac xL$ puis en intégrant par parties, $b_n=2\int_0^1(-60s)\sin(n\pi s)\,ds=\frac{120(-1)^n}{n\pi}$.
$u(x,t)=20+60\,\frac xL+\frac{120}{\pi}\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n}\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\alpha^2n^2\pi^2t/L^2}$, qui tend vers $20+60\,\frac xL$, en $^\circ\text{C}$.
Exercice 5 : Des bactéries diffusent dans un tube de longueur $L$ et s'y multiplient ; les deux bouts les tuent. Leur densité vérifie $u_t=D\,u_{xx}+r\,u$, $u(0,t)=u(L,t)=0$ et $u(x,0)=f(x)$, avec $D=0{,}04\ \text{cm}^2/\text{h}$ et $r=0{,}25\ \text{h}^{-1}$ (données fictives).
a) Montre que le mode $\sin\frac{n\pi x}{L}$ évolue comme $e^{(r-Dn^2\pi^2/L^2)t}$.
b) Sous quelle longueur $L_c$ la population disparaît-elle, quel que soit $f$ ? Calcule $L_c$.
Correction :
Le terme $r\,u$ ne touche que le facteur en temps. $\frac{T'}{T}=D\,\frac{X''}{X}+r$, et le mode $\sin\frac{n\pi x}{L}$ vérifie $\frac{X''}{X}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}$, d'où le facteur annoncé.
Tout s'éteint si le mode le plus lent, $n=1$, s'éteint : $r<\frac{D\pi^2}{L^2}$, soit $L<\pi\sqrt{D/r}$, avec $\sqrt{D/r}=\sqrt{0{,}16}=0{,}4\ \text{cm}$.
$L_c=\pi\sqrt{D/r}\approx1{,}26\ \text{cm}$. Au-delà, le mode $1$ croît dès que son coefficient n'est pas nul.
Exercice 6 : Une corde de longueur $L=1\ \text{m}$, fixée aux deux bouts, vibre dans un milieu qui la freine : $u_{tt}+2\gamma\,u_t=c^2u_{xx}$, avec $c=1\ \text{m/s}$ et $\gamma=5\ \text{s}^{-1}$ (données fictives).
a) Écris l'équation du facteur $T_n$ associé au mode $\sin\frac{n\pi x}{L}$.
b) Quels modes oscillent ? Calcule la pseudo-pulsation (pulsation de l'oscillation amortie) du premier d'entre eux.
Correction :
Seul le facteur en temps change. $\frac{T''+2\gamma T'}{c^2T}=\frac{X''}{X}=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}$ donne $T_n''+2\gamma\,T_n'+\omega_n^2T_n=0$, avec $\omega_n=\frac{n\pi c}{L}=n\pi\ \text{rad/s}$.
Le mode oscille si $s^2+2\gamma s+\omega_n^2=0$ a des racines complexes, c'est-à-dire si $\omega_n>\gamma$ : $n\pi>5$, faux pour $n=1$, vrai dès $n=2$.
Le mode $1$ s'amortit sans osciller ; le mode $2$ oscille avec $\Omega_2=\sqrt{\omega_2^2-\gamma^2}=\sqrt{4\pi^2-25}\approx3{,}8\ \text{rad/s}$.
Exercice 7 : Dans le disque de rayon $a$, on cherche $u$ bornée telle que $\Delta u=0$ et $u(a,\theta)=\cos^2\theta$.
a) Avec $u=R(r)\,\Theta(\theta)$, montre que $r^2R''+rR'=\mu R$ et $\Theta''=-\mu\,\Theta$, où $\Theta$ est de période $2\pi$.
b) Trouve les valeurs possibles de $\mu$, puis $R$ sous la forme $r^p$.
c) Calcule $u$, puis sa valeur au centre.
Correction :
Ici, c'est la périodicité en $\theta$ qui choisit les modes. Multiplier $\Delta u=0$ par $\frac{r^2}{R\,\Theta}$ donne $\frac{r^2R''+rR'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\mu$.
Après un tour, $\Theta$ reprend sa valeur : cela exclut $\mu<0$, et pour $\mu=0$ ne garde que les constantes. Donc $\mu=n^2$ et $\Theta=A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta)$, $n$ entier. Ensuite $p(p-1)+p-n^2=0$ donne $p=\pm n$ ; $u$ bornée garde $r^n$ (pour $n=0$, $R=A+B\ln r$ perd son $\ln r$). Enfin $\cos^2\theta=\frac12+\frac12\cos(2\theta)$ n'utilise que $n=0$ et $n=2$.
$u(r,\theta)=\frac12+\frac{r^2}{2a^2}\cos(2\theta)$, et $u=\frac12$ au centre, la moyenne des valeurs au bord.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : Sur le carré $]0\,;\,\pi[^2$, on résout $u_{xx}+u_{yy}=0$ avec $u(0,y)=0$, $u(x,0)=0$, $u_y(x,\pi)=0$ (côté du haut isolé) et $u(\pi,y)=\sin y$.
a) Sur quelle variable faut-il placer les modes propres ? Lesquels ?
b) Écris $u$ sous forme de série, avec ses coefficients.
Correction :
Les modes vont sur la variable dont les deux bords sont homogènes : ici $y$, avec $Y(0)=0$ et $Y'(\pi)=0$. L'exercice 2 avec $L=\pi$ donne $Y_n=\sin(\mu_ny)$, où $\mu_n=n-\frac12$. Puis $X''=\mu_n^2X$ et $X(0)=0$ donnent $X_n=\sinh(\mu_nx)$.
Donc $u=\sum_{n\ge1}c_n\,\frac{\sinh(\mu_nx)}{\sinh(\mu_n\pi)}\sin(\mu_ny)$, avec $\sin y=\sum_{n\ge1}c_n\sin(\mu_ny)$ sur $]0\,;\,\pi[$. Attention, $\sin y$ n'est pas un mode : sa dérivée vaut $-1$ en $\pi$. On utilise $\int_0^\pi\sin^2(\mu_ny)\,dy=\frac\pi2$, $\sin y\,\sin(\mu_ny)=\frac12\left[\cos((\mu_n-1)y)-\cos((\mu_n+1)y)\right]$ et $\sin((\mu_n\pm1)\pi)=(-1)^n$.
$c_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin y\,\sin(\mu_ny)\,dy=\frac{8(-1)^n}{\pi(2n-3)(2n+1)}$, soit $c_1=\frac{8}{3\pi}$ et $c_2=\frac{8}{5\pi}$. Placer les modes en $x$ échoue, car le côté $x=\pi$ porte la donnée.
Exercice 9 : Une barre de longueur $L$ a son bout $x=0$ à $0\ ^\circ\text{C}$ ; son bout $x=L$ cède sa chaleur à l'air, lui aussi à $0\ ^\circ\text{C}$ : $u_x(L,t)+h\,u(L,t)=0$, avec $h>0$ (condition de Robin). On sépare $u_t=\alpha^2u_{xx}$.
a) Montre que les valeurs propres sont les $k^2$, où $k>0$ vérifie $\tan(kL)=-\frac kh$.
b) On prend $hL=1$ et $z=kL$. Montre que $\tan z=-z$ a une seule racine $z_n$ dans chaque intervalle $](n-\frac12)\pi\,;\,n\pi[$, puis donne $z_1$ à $0{,}01$ près.
Correction :
On élimine $\lambda\le0$ comme à l'exercice 2, puis on traduit la condition de Robin. Si $\lambda=-\mu^2<0$, $X=B\sinh(\mu x)$ et $X'(L)+hX(L)=B\left(\mu\cosh(\mu L)+h\sinh(\mu L)\right)$, où la parenthèse est positive : $B=0$. Si $\lambda=0$, $X=Ax$ et $A(1+hL)=0$. Si $\lambda=k^2>0$, $X=B\sin(kx)$ et $k\cos(kL)+h\sin(kL)=0$ ; $\cos(kL)$ ne peut pas s'annuler, sinon $\sin(kL)$ aussi, d'où $\tan(kL)=-\frac kh$.
Avec $hL=1$, $\frac kh=kL=z$. Sur chaque intervalle, $g(z)=\tan z+z$ croît strictement de $-\infty$ à $n\pi>0$ : une seule racine. Ailleurs, pour $z>0$, $\tan z\ge0$ donne $g(z)>0$. À la calculatrice, $g(2{,}02)<0<g(2{,}03)$.
$z_1\approx2{,}03$, donc $\lambda_1\approx\frac{4{,}12}{L^2}$. Cette valeur tombe entre celle du bout $x=L$ isolé, $\frac{\pi^2}{4L^2}$, et celle du bout $x=L$ à $0\ ^\circ\text{C}$, $\frac{\pi^2}{L^2}$.
Exercice 10 : On résout $u_t=x^2u_{xx}+x\,u_x$ pour $1<x<e$ et $t>0$, avec $u(1,t)=u(e,t)=0$ et $u(x,0)=\sin(\pi\ln x)-2\sin(3\pi\ln x)$.
a) Sépare les variables.
b) Avec $s=\ln x$, trouve les valeurs propres et les modes propres.
c) Écris $u(x,t)$.
Correction :
Le coefficient variable déforme les modes, et $s=\ln x$ les ramène à des sinus. $\frac{T'}{T}=\frac{x^2X''+xX'}{X}=-\lambda$ donne $T'=-\lambda T$ et $x^2X''+xX'+\lambda X=0$.
Avec $Z(s)=X(e^s)$, on a $Z'=xX'$ et $Z''=x^2X''+xX'$. Le problème devient $Z''+\lambda Z=0$, $Z(0)=Z(1)=0$, donc $\lambda_n=n^2\pi^2$ et $X_n=\sin(n\pi\ln x)$.
$u(x,t)=\sin(\pi\ln x)\,e^{-\pi^2t}-2\sin(3\pi\ln x)\,e^{-9\pi^2t}$. L'erreur à éviter : chercher des $\sin(kx)$, qui ne vérifient pas l'équation de $X$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : avant de séparer, vérifie que l'équation se sépare et que les bords qui porteront les modes sont homogènes ; sinon, retire la solution stationnaire. Les modes vont sur la variable aux deux bords homogènes, et la nature de ces bords fixe $k_n=\sqrt{\lambda_n}$ : $\frac{n\pi}{L}$, $\frac{(2n-1)\pi}{2L}$, ou une racine de $\tan(kL)=-\frac kh$.
Face à une équation nouvelle, cherche le changement d'inconnue ou de variable qui la ramène à $X''=-\lambda X$ : $v=u-w$ à l'exercice 4, $s=\ln x$ à l'exercice 10.
Sources
Université de Bordeaux, master MIMSE, cours « Approximation des EDP 1 », feuille 1 : calcul de solutions exactes d'EDP, 2014-2015 (équation de la chaleur par séparation des variables).