Maîtrise la Théorie des Groupes : Sous-Groupes et Morphismes

Correction :

Pour montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, nous devons vérifier trois conditions :

1. $H$ est non vide.
2. Pour tous $a, b \in H$, on a $a+b \in H$. (Clôture par l'opération)
3. Pour tout $a \in H$, on a $-a \in H$. (Existence de l'inverse)

Étape 1 : Vérifier que $H$ est non vide.

L'élément neutre de $G$ est $0$. $0 = 3 \times 0$, donc $0 \in H$. Ainsi, $H$ est non vide.

Étape 2 : Vérifier la clôture par l'addition.

Soient $a = 3k_1$ et $b = 3k_2$ deux éléments de $H$, où $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$.

Alors $a+b = 3k_1 + 3k_2 = 3(k_1 + k_2)$. Comme $k_1 + k_2 \in \mathbb{Z}$, on a $a+b \in H$. La condition de clôture est vérifiée.

Étape 3 : Vérifier l'existence de l'inverse.

Soit $a = 3k$ un élément de $H$, où $k \in \mathbb{Z}$.

L'inverse de $a$ dans $G$ est $-a$. On a $-a = -(3k) = 3(-k)$. Comme $-k \in \mathbb{Z}$, on a $-a \in H$. La condition d'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : Comme les trois conditions sont remplies, $H = 3\mathbb{Z}$ est bien un sous-groupe de $G = (\mathbb{Z}, +)$.

Barème indicatif : 3 points (1 point par condition)

Correction :

Vérifions les trois conditions pour que $H$ soit un sous-groupe de $G$ :

1. $H$ est non vide.
2. Pour tous $a, b \in H$, on a $a \times b \in H$.
3. Pour tout $a \in H$, on a $a^{-1} \in H$.

Étape 1 : $H = \{1, -1\}$ contient deux éléments, donc il est non vide.

Étape 2 : Testons toutes les combinaisons pour la multiplication :

• $1 \times 1 = 1 \in H$.
• $1 \times (-1) = -1 \in H$.
• $(-1) \times 1 = -1 \in H$.
• $(-1) \times (-1) = 1 \in H$.

La condition de clôture est vérifiée.

Étape 3 : Trouvons les inverses dans $H$ :

• L'inverse de $1$ est $1$, et $1 \in H$.
• L'inverse de $-1$ est $-1$, et $-1 \in H$.

La condition d'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : $H = \{1, -1\}$ est un sous-groupe de $G = (\mathbb{R}^*, \times)$.

Barème indicatif : 3 points (1 point par condition)

Correction :

Vérifions les trois conditions :

1. $U$ est non vide.
2. Pour tous $z_1, z_2 \in U$, on a $z_1 \times z_2 \in U$.
3. Pour tout $z \in U$, on a $z^{-1} \in U$.

Étape 1 : L'élément neutre de $G$ est $1$. On a $|1| = 1$, donc $1 \in U$. $U$ est non vide.

Étape 2 : Soient $z_1, z_2 \in U$. Cela signifie que $|z_1| = 1$ et $|z_2| = 1$. On sait que pour les nombres complexes, $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$.

Donc, $|z_1 \times z_2| = 1 \times 1 = 1$. Par conséquent, $z_1 \times z_2 \in U$. La clôture est vérifiée.

Étape 3 : Soit $z \in U$. Donc $|z| = 1$. L'inverse de $z$ est $z^{-1} = \frac{1}{z}$.

Calculons le module de l'inverse : $|z^{-1}| = \left|\frac{1}{z}\right| = \frac{|1|}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$. Ainsi, $z^{-1} \in U$. L'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : $U$ est un sous-groupe de $G = (\mathbb{C}^*, \times)$.

Barème indicatif : 3 points (1 point par condition)

Correction :

Le noyau de $f$ est défini par $\ker(f) = \{g \in G \mid f(g) = e_H\}$, où $e_H$ est l'élément neutre de $H$. Nous devons montrer que $\ker(f)$ est un sous-groupe de $G$.

1. Non vide : L'élément neutre $e_G$ de $G$ est toujours dans le noyau. En effet, $f(e_G) = e_H$ car $f$ est un morphisme. Donc, $e_G \in \ker(f)$, et $\ker(f)$ est non vide.
2. Clôture : Soient $a, b \in \ker(f)$. Cela signifie que $f(a) = e_H$ et $f(b) = e_H$. On veut montrer que $a \times b \in \ker(f)$, c'est-à-dire que $f(a \times b) = e_H$.

Comme $f$ est un morphisme, $f(a \times b) = f(a) \times f(b)$.

Donc, $f(a \times b) = e_H \times e_H = e_H$. La clôture est vérifiée.

3. Existence de l'inverse : Soit $a \in \ker(f)$. Cela signifie que $f(a) = e_H$. On veut montrer que $a^{-1} \in \ker(f)$, c'est-à-dire que $f(a^{-1}) = e_H$.

On sait que $f(a^{-1}) = (f(a))^{-1}$.

Donc, $f(a^{-1}) = (e_H)^{-1} = e_H$. L'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : $\ker(f)$ est un sous-groupe de $G$.

Barème indicatif : 4 points (1.5 points pour la clôture, 1.5 points pour l'inverse, 1 point pour le non vide)

Correction :

L'image de $f$ est définie par $\text{Im}(f) = \{h \in H \mid \exists g \in G, f(g) = h\}$. Nous devons montrer que $\text{Im}(f)$ est un sous-groupe de $H$.

1. Non vide : L'élément neutre $e_H$ de $H$ est toujours dans l'image. En effet, il existe $e_G \in G$ tel que $f(e_G) = e_H$. Donc, $e_H \in \text{Im}(f)$, et $\text{Im}(f)$ est non vide.
2. Clôture : Soient $h_1, h_2 \in \text{Im}(f)$. Cela signifie qu'il existe $g_1, g_2 \in G$ tels que $f(g_1) = h_1$ et $f(g_2) = h_2$. On veut montrer que $h_1 \times h_2 \in \text{Im}(f)$, c'est-à-dire qu'il existe $g \in G$ tel que $f(g) = h_1 \times h_2$.

Considérons le produit $g_1 \times g_2 \in G$. Comme $f$ est un morphisme, $f(g_1 \times g_2) = f(g_1) \times f(g_2) = h_1 \times h_2$. Donc, il existe bien un élément dans $G$ (en l'occurrence $g_1 \times g_2$) dont l'image par $f$ est $h_1 \times h_2$. La clôture est vérifiée.

3. Existence de l'inverse : Soit $h \in \text{Im}(f)$. Cela signifie qu'il existe $g \in G$ tel que $f(g) = h$. On veut montrer que $h^{-1} \in \text{Im}(f)$, c'est-à-dire qu'il existe $g' \in G$ tel que $f(g') = h^{-1}$.

Considérons l'inverse $g^{-1} \in G$. Comme $f$ est un morphisme, $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1} = h^{-1}$. Donc, il existe bien un élément dans $G$ (en l'occurrence $g^{-1}$) dont l'image par $f$ est $h^{-1}$. L'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : $\text{Im}(f)$ est un sous-groupe de $H$.

Barème indicatif : 4 points (1.5 points pour la clôture, 1.5 points pour l'inverse, 1 point pour le non vide)

Correction :

Soit $G = S_3 = \{e, (12), (13), (23), (123), (132)\}$. Soit $H = \{e, (12)\}$.

1. Vérification que $H$ est un sous-groupe :

• $H$ est non vide car il contient $e$.
• Clôture : $e \circ e = e \in H$, $e \circ (12) = (12) \in H$, $(12) \circ e = (12) \in H$, $(12) \circ (12) = e \in H$. La clôture est vérifiée.
• Inverse : L'inverse de $e$ est $e \in H$. L'inverse de $(12)$ est $(12) \in H$. L'existence de l'inverse est vérifiée.

Donc, $H$ est un sous-groupe de $G$.

2. Vérification si $H$ est distingué :

Un sous-groupe $H$ est distingué dans $G$ si pour tout $g \in G$ et tout $h \in H$, on a $g h g^{-1} \in H$. Ici, $g^{-1}$ est l'inverse de $g$ dans $S_3$. Pour les transpositions comme $(12)$, leur inverse est elles-mêmes, donc $g^{-1} = g$ si $g$ est une transposition. L'inverse de $e$ est $e$.

Testons avec $g = (13) \in G$ et $h = (12) \in H$ :

$g h g^{-1} = (13) \circ (12) \circ (13)$.

Calculons le produit :

$(13) \circ (12) \circ (13)$ applique :

• $1 \to 3 \to 3 \to 1$
• $2 \to 2 \to 1 \to 3$
• $3 \to 1 \to 2 \to 2$

Donc, $(13) \circ (12) \circ (13) = (23)$.

Or, $(23) \notin H$. Donc, $H$ n'est pas un sous-groupe distingué de $S_3$.

Conclusion : $H$ est un sous-groupe de $S_3$, mais il n'est pas distingué.

Barème indicatif : 4 points (2 points pour la vérification de sous-groupe, 2 points pour la distinction)

Correction :

Nous devons montrer que $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$ en vérifiant les trois conditions.

1. Non vide : Soit $e_G$ l'élément neutre de $G$. Comme $H$ et $K$ sont des sous-groupes, $e_G \in H$ et $e_G \in K$. Par conséquent, $e_G \in H \cap K$. Donc, $H \cap K$ est non vide.
2. Clôture : Soient $a, b \in H \cap K$. Par définition de l'intersection, cela signifie que $a \in H$ et $a \in K$, et $b \in H$ et $b \in K$.

Puisque $H$ est un sous-groupe, et que $a, b \in H$, alors $a \times b \in H$.

Puisque $K$ est un sous-groupe, et que $a, b \in K$, alors $a \times b \in K$.

Comme $a \times b$ appartient à la fois à $H$ et à $K$, il appartient à leur intersection : $a \times b \in H \cap K$. La clôture est vérifiée.

3. Existence de l'inverse : Soit $a \in H \cap K$. Par définition, $a \in H$ et $a \in K$.

Puisque $H$ est un sous-groupe et $a \in H$, son inverse $a^{-1}$ appartient à $H$ ($a^{-1} \in H$).

Puisque $K$ est un sous-groupe et $a \in K$, son inverse $a^{-1}$ appartient à $K$ ($a^{-1} \in K$).

Comme $a^{-1}$ appartient à la fois à $H$ et à $K$, il appartient à leur intersection : $a^{-1} \in H \cap K$. L'existence de l'inverse est vérifiée.

Conclusion : L'intersection $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$.

Barème indicatif : 4 points (1.5 points pour la clôture, 1.5 points pour l'inverse, 1 point pour le non vide)

Correction :

Le groupe $(\mathbb{Z}_6, +)$ a pour élément neutre $0$. L'opération est l'addition modulo 6.

1. Montrer que $f$ est un morphisme :

Il faut vérifier que pour tous $x, y \in \mathbb{Z}_6$, $f(x+y) = f(x) + f(y) \pmod{6}$.

$f(x+y) = 4(x+y) \pmod{6} = 4x + 4y \pmod{6}$.

$f(x) + f(y) = 4x + 4y \pmod{6}$.

Les deux expressions sont égales. Donc, $f$ est bien un morphisme de groupes.

2. Déterminer le noyau $\ker(f)$ :

Le noyau est l'ensemble des éléments $x \in \mathbb{Z}_6$ tels que $f(x) = 0 \pmod{6}$.

$f(x) = 4x \equiv 0 \pmod{6}$.

Nous cherchons $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ tel que $4x$ est un multiple de 6.

• Si $x=0$, $4 \times 0 = 0 \equiv 0 \pmod{6}$. Donc $0 \in \ker(f)$.
• Si $x=1$, $4 \times 1 = 4 \not\equiv 0 \pmod{6}$.
• Si $x=2$, $4 \times 2 = 8 \equiv 2 \pmod{6}$.
• Si $x=3$, $4 \times 3 = 12 \equiv 0 \pmod{6}$. Donc $3 \in \ker(f)$.
• Si $x=4$, $4 \times 4 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$.
• Si $x=5$, $4 \times 5 = 20 \equiv 2 \pmod{6}$.

Donc, $\ker(f) = \{0, 3\}$.

3. Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ :

L'image est l'ensemble des valeurs que prend $f(x)$ pour $x \in \mathbb{Z}_6$. Calculons $f(x)$ pour chaque $x$ :

• $f(0) = 4 \times 0 = 0 \pmod{6}$.
• $f(1) = 4 \times 1 = 4 \pmod{6}$.
• $f(2) = 4 \times 2 = 8 \equiv 2 \pmod{6}$.
• $f(3) = 4 \times 3 = 12 \equiv 0 \pmod{6}$.
• $f(4) = 4 \times 4 = 16 \equiv 4 \pmod{6}$.
• $f(5) = 4 \times 5 = 20 \equiv 2 \pmod{6}$.

Les valeurs obtenues sont $\{0, 4, 2\}$. Donc, $\text{Im}(f) = \{0, 2, 4\}$.

Conclusion : $f$ est un morphisme. $\ker(f) = \{0, 3\}$ et $\text{Im}(f) = \{0, 2, 4\}$.

Barème indicatif : 5 points (2 points pour le morphisme, 1.5 points pour le noyau, 1.5 points pour l'image)

Correction :

Le groupe $(\mathbb{Z}_{10}, +)$ a pour élément neutre $0$. Le groupe $(\mathbb{Z}_5, +)$ a pour élément neutre $0$. L'opération est l'addition modulo 5 pour l'image et modulo 10 pour le domaine.

1. Montrer que $f$ est un morphisme :

Il faut vérifier que pour tous $x, y \in \mathbb{Z}_{10}$, $f(x+y) = f(x) + f(y) \pmod{5}$.

Calculons $f(x+y) \pmod{5}$ :

$f(x+y) = 2(x+y) \pmod{5}$.

Calculons $f(x) + f(y) \pmod{5}$ :

$f(x) + f(y) = (2x \pmod{5}) + (2y \pmod{5})$.

Il faut être prudent ici. La définition de $f(x)$ est $2x \pmod{5}$. Donc si $x \in \mathbb{Z}_{10}$, $2x$ peut être supérieur à 5.

Soit $x, y \in \mathbb{Z}_{10}$. On veut montrer $2(x+y) \equiv (2x) + (2y) \pmod{5}$.

Par distributivité dans $\mathbb{Z}$ : $2(x+y) = 2x + 2y$.

Maintenant, considérons ces nombres modulo 5.

Soit $X = 2x$ et $Y = 2y$. Alors $f(x) = X \pmod{5}$ et $f(y) = Y \pmod{5}$.

$f(x+y) = 2(x+y) \pmod{5}$.

Et $f(x) + f(y) \pmod{5} = (2x \pmod{5}) + (2y \pmod{5})$.

Il est plus simple de considérer l'opération dans $\mathbb{Z}_{10}$ puis d'appliquer $f$.

Soit $x, y \in \mathbb{Z}_{10}$.

$f(x+y) = 2(x+y) \pmod{5}$.

On sait que $2(x+y) = 2x + 2y$. Donc $f(x+y) = (2x+2y) \pmod{5}$.

Maintenant, regardons $f(x) + f(y) = (2x \pmod{5}) + (2y \pmod{5})$.

Soit $x=3, y=4 \in \mathbb{Z}_{10}$. $x+y = 7 \in \mathbb{Z}_{10}$.

$f(x+y) = f(7) = 2 \times 7 \pmod{5} = 14 \pmod{5} = 4$.

$f(x) = f(3) = 2 \times 3 \pmod{5} = 6 \pmod{5} = 1$.

$f(y) = f(4) = 2 \times 4 \pmod{5} = 8 \pmod{5} = 3$.

$f(x) + f(y) = 1 + 3 \pmod{5} = 4$.

Donc $f(x+y) = f(x) + f(y) \pmod{5}$. $f$ est un morphisme.

2. Montrer que $f$ est surjectif :

Pour que $f$ soit surjectif, son image doit être égale à l'ensemble d'arrivée $\mathbb{Z}_5$. L'image de $f$ est $\text{Im}(f) = \{2x \pmod{5} \mid x \in \mathbb{Z}_{10}\}$.

Calculons les valeurs de $2x \pmod{5}$ pour $x \in \{0, 1, ., 9\}$ :

• $x=0: f(0) = 2 \times 0 = 0 \pmod{5}$.
• $x=1: f(1) = 2 \times 1 = 2 \pmod{5}$.
• $x=2: f(2) = 2 \times 2 = 4 \pmod{5}$.
• $x=3: f(3) = 2 \times 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$.
• $x=4: f(4) = 2 \times 4 = 8 \equiv 3 \pmod{5}$.
• $x=5: f(5) = 2 \times 5 = 10 \equiv 0 \pmod{5}$.
• $x=6: f(6) = 2 \times 6 = 12 \equiv 2 \pmod{5}$.
• $x=7: f(7) = 2 \times 7 = 14 \equiv 4 \pmod{5}$.
• $x=8: f(8) = 2 \times 8 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
• $x=9: f(9) = 2 \times 9 = 18 \equiv 3 \pmod{5}$.

Les valeurs obtenues sont $\{0, 2, 4, 1, 3\}$. L'ensemble des valeurs est $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, qui est exactement $\mathbb{Z}_5$. Donc, $f$ est surjectif.

Conclusion : $f$ est un morphisme surjectif de $\mathbb{Z}_{10}$ vers $\mathbb{Z}_5$.

Barème indicatif : 5 points (3 points pour le morphisme, 2 points pour la surjectivité)

Correction :

Le groupe $(\mathbb{Z}_{12}, +)$ a pour élément neutre $0$. Le groupe $(\mathbb{Z}_4, +)$ a pour élément neutre $0$. L'opération est l'addition modulo 4 pour l'image et modulo 12 pour le domaine.

1. Montrer que $f$ est un morphisme :

Il faut vérifier que pour tous $x, y \in \mathbb{Z}_{12}$, $f(x+y) = f(x) + f(y) \pmod{4}$.

$f(x+y) = 3(x+y) \pmod{4}$.

Puisque $3(x+y) = 3x + 3y$, on a $f(x+y) = (3x+3y) \pmod{4}$.

Maintenant, calculons $f(x) + f(y) \pmod{4}$ :

$f(x) + f(y) = (3x \pmod{4}) + (3y \pmod{4})$.

Il faut montrer que $(3x+3y) \pmod{4} = (3x \pmod{4}) + (3y \pmod{4})$. Ceci est une propriété de l'arithmétique modulaire : $(a+b) \pmod m = ((a \pmod m) + (b \pmod m)) \pmod m$. Ici, $a=3x$ et $b=3y$, et $m=4$. Donc, cela est vrai.

$f(x+y) = 3(x+y) \pmod{4} = (3x+3y) \pmod{4}$.

Et $f(x)+f(y) = (3x \pmod{4}) + (3y \pmod{4})$. L'égalité de ces deux expressions est assurée par la propriété de l'addition modulo 4.

Donc, $f$ est un morphisme de groupes.

2. Déterminer le noyau $\ker(f)$ :

Le noyau est l'ensemble des éléments $x \in \mathbb{Z}_{12}$ tels que $f(x) = 0 \pmod{4}$.

$f(x) = 3x \equiv 0 \pmod{4}$.

Nous cherchons $x \in \{0, 1, ., 11\}$ tel que $3x$ est un multiple de 4.

• $x=0: 3 \times 0 = 0 \equiv 0 \pmod{4}$. Donc $0 \in \ker(f)$.
• $x=1: 3 \times 1 = 3 \not\equiv 0 \pmod{4}$.
• $x=2: 3 \times 2 = 6 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $x=3: 3 \times 3 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$.
• $x=4: 3 \times 4 = 12 \equiv 0 \pmod{4}$. Donc $4 \in \ker(f)$.
• $x=5: 3 \times 5 = 15 \equiv 3 \pmod{4}$.
• $x=6: 3 \times 6 = 18 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $x=7: 3 \times 7 = 21 \equiv 1 \pmod{4}$.
• $x=8: 3 \times 8 = 24 \equiv 0 \pmod{4}$. Donc $8 \in \ker(f)$.
• $x=9: 3 \times 9 = 27 \equiv 3 \pmod{4}$.
• $x=10: 3 \times 10 = 30 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $x=11: 3 \times 11 = 33 \equiv 1 \pmod{4}$.

Donc, $\ker(f) = \{0, 4, 8\}$.

3. Déterminer l'image $\text{Im}(f)$ :

L'image est l'ensemble des valeurs que prend $f(x)$ pour $x \in \mathbb{Z}_{12}$.

• $f(0)=0$.
• $f(1)=3$.
• $f(2)=6 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $f(3)=9 \equiv 1 \pmod{4}$.
• $f(4)=12 \equiv 0 \pmod{4}$.
• $f(5)=15 \equiv 3 \pmod{4}$.
• $f(6)=18 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $f(7)=21 \equiv 1 \pmod{4}$.
• $f(8)=24 \equiv 0 \pmod{4}$.
• $f(9)=27 \equiv 3 \pmod{4}$.
• $f(10)=30 \equiv 2 \pmod{4}$.
• $f(11)=33 \equiv 1 \pmod{4}$.

Les valeurs obtenues sont $\{0, 3, 2, 1\}$. L'ensemble des valeurs est $\{0, 1, 2, 3\}$, qui est $\mathbb{Z}_4$. Donc, $\text{Im}(f) = \mathbb{Z}_4$.

Conclusion : $f$ est un morphisme. $\ker(f) = \{0, 4, 8\}$ et $\text{Im}(f) = \mathbb{Z}_4$. (Le morphisme est surjectif car son image est $\mathbb{Z}_4$).

Barème indicatif : 5 points (2 points pour le morphisme, 1.5 points pour le noyau, 1.5 points pour l'image)