Niveau : supérieur (prépa scientifique, licence de mathématiques). Durée estimée : 1 h 30 pour les 10 exercices corrigés, du plus facile au plus difficile.
Rappel des notions clés
Pour montrer qu'une partie $H$ d'un groupe $(G, \cdot)$ est un sous-groupe, tu vérifies que $H$ contient le neutre $e$ et que $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$ (en notation additive : $0 \in H$ et $x - y \in H$). Exemple : $\mathbb{R}_+^*$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*, \times)$, car $1 > 0$ et $x/y > 0$ dès que $x > 0$ et $y > 0$.
Un morphisme de groupes $f : G \to G'$ respecte les lois : $f(xy) = f(x)f(y)$. Son noyau $\operatorname{Ker} f$ regroupe les éléments envoyés sur le neutre $e'$ de $G'$, son image $\operatorname{Im} f$ les valeurs prises. Par exemple, $x \mapsto x^2$ est un morphisme de $(\mathbb{R}^*, \times)$ dans lui-même, de noyau $\{-1, 1\}$ et d'image $\mathbb{R}_+^*$. Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Formules à retenir :
- Sous-groupe : $e \in H$ et $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$.
- Morphisme : $f(xy) = f(x)f(y)$, d'où $f(e) = e'$ et $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$.
- $\operatorname{Ker} f = \{x \in G : f(x) = e'\}$ et $\operatorname{Im} f = \{f(x) : x \in G\}$ sont des sous-groupes de $G$ et de $G'$ (preuve : exercice 4).
- $f$ injective $\iff \operatorname{Ker} f = \{e\}$ (preuve : exercice 5).
- $\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C} : z^n = 1\} = \{e^{2ik\pi/n} : 0 \le k \le n-1\}$, sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$ à $n$ éléments.
Piège classique : la réunion de deux sous-groupes n'est en général pas un sous-groupe. Elle contient le neutre et les inverses, ce qui donne envie de conclure trop vite, mais elle peut ne pas être stable par la loi. L'intersection, elle, est toujours un sous-groupe.
Exercices : niveau facile
Exercice 1 : Montre que $3\mathbb{Z} = \{3k : k \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$. La partie $\mathbb{N}$ est stable par addition : est-elle aussi un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$ ? Justifie.
Correction :
On applique la caractérisation en notation additive. D'abord $0 = 3 \times 0 \in 3\mathbb{Z}$. Ensuite, pour $a = 3k$ et $b = 3l$ dans $3\mathbb{Z}$, $a - b = 3(k - l)$ avec $k - l \in \mathbb{Z}$, donc $a - b \in 3\mathbb{Z}$.
$3\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, mais pas $\mathbb{N}$ : $1 \in \mathbb{N}$ alors que son opposé $-1 \notin \mathbb{N}$. Être stable par la loi ne suffit pas, il faut aussi les inverses.
Exercice 2 : On note $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$. Montre que $\mathbb{U}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
Correction :
Même méthode, en notation multiplicative. Un complexe de module $1$ n'est pas nul, donc $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^*$, et $|1| = 1$ donne $1 \in \mathbb{U}$.
Pour $z, w \in \mathbb{U}$ : $|zw^{-1}| = \dfrac{|z|}{|w|} = \dfrac{1}{1} = 1$, donc $zw^{-1} \in \mathbb{U}$.
$\mathbb{U}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.
Exercice 3 : a) Montre que $f : x \mapsto e^x$ est un morphisme de $(\mathbb{R}, +)$ dans $(\mathbb{R}_+^*, \times)$, puis détermine son noyau. b) L'application $g : n \mapsto n + 1$ est-elle un morphisme de $(\mathbb{Z}, +)$ dans lui-même ? Justifie.
Correction :
a) On part d'une somme et on arrive à un produit : $f(x + y) = e^{x+y} = e^x e^y = f(x)f(y)$ pour tous réels $x, y$, donc $f$ est un morphisme. Le neutre d'arrivée est $1$, et $e^x = 1 \iff x = 0$ : $\operatorname{Ker} f = \{0\}$. Comme $f$ est bijective, de réciproque $\ln$, c'est même un isomorphisme.
b) Un morphisme envoie le neutre sur le neutre. Or $g(0) = 1 \neq 0$, donc $g$ n'est pas un morphisme. Pour éliminer une application, calcule d'abord l'image du neutre.
Exercices : niveau moyen
Exercice 4 : Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes, de neutres $e$ et $e'$. Montre que $\operatorname{Ker} f$ est un sous-groupe de $G$.
Correction :
On applique la caractérisation avec les règles de calcul d'un morphisme. Comme $f(e) = e'$, on a $e \in \operatorname{Ker} f$.
Pour $x, y \in \operatorname{Ker} f$ : $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e'$, puisque $f(x) = f(y) = e'$. Donc $xy^{-1} \in \operatorname{Ker} f$.
$\operatorname{Ker} f$ est un sous-groupe de $G$. La même méthode montre que $\operatorname{Im} f$ est un sous-groupe de $G'$.
Exercice 5 : Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes. Montre que $f$ est injective si et seulement si $\operatorname{Ker} f = \{e\}$.
Correction :
On montre les deux implications, en ramenant l'égalité $f(x) = f(y)$ au noyau.
Si $f$ est injective et $x \in \operatorname{Ker} f$, alors $f(x) = e' = f(e)$, donc $x = e$. Comme $e \in \operatorname{Ker} f$, on obtient $\operatorname{Ker} f = \{e\}$.
Réciproquement, si $\operatorname{Ker} f = \{e\}$ et $f(x) = f(y)$, alors $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e'$. Donc $xy^{-1} = e$, c'est-à-dire $x = y$.
$f$ est injective si et seulement si son noyau est réduit au neutre. C'est le test d'injectivité le plus rapide pour un morphisme.
Exercice 6 : Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$. a) Montre que $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$. b) La réunion $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$ est-elle un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$ ? Justifie.
Correction :
a) On applique la caractérisation dans $H$, puis dans $K$. Le neutre $e$ est dans $H$ et dans $K$, donc dans $H \cap K$. Si $x, y \in H \cap K$, alors $xy^{-1} \in H$ et $xy^{-1} \in K$, puisque ce sont deux sous-groupes. $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$.
b) La réunion contient $0$ et l'opposé de chacun de ses éléments : c'est le piège. Mais $2$ et $3$ y sont, alors que $2 + 3 = 5$ n'est multiple ni de $2$ ni de $3$. $2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}$ n'est pas un sous-groupe : elle n'est pas stable par addition.
Exercice 7 : Trois cartes sont posées sur une table, aux places $1$, $2$ et $3$. Un mélange est une permutation $s \in S_3$ : la carte de la place $i$ va à la place $s(i)$, et enchaîner deux mélanges revient à les composer. Soit $H$ l'ensemble des mélanges qui laissent en place la carte de la place $3$.
a) Écris les éléments de $H$ et montre que $H$ est un sous-groupe de $S_3$.
b) Pour $\sigma = (1\ 3)$ et $\tau = (1\ 2)$, calcule $\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1}$. Un sous-groupe $H$ est dit distingué si $g \circ h \circ g^{-1} \in H$ pour tous $g \in S_3$ et $h \in H$. $H$ est-il distingué ?
Correction :
a) On décrit $H$ par la condition $s(3) = 3$ : $H = \{s \in S_3 : s(3) = 3\} = \{\mathrm{id}, (1\ 2)\}$. Il contient $\mathrm{id}$. Si $s(3) = 3$ et $t(3) = 3$, alors $t^{-1}(3) = 3$, donc $s \circ t^{-1}(3) = s(3) = 3$. $H$ est un sous-groupe de $S_3$.
b) Une transposition est sa propre inverse, donc $\sigma^{-1} = (1\ 3)$. On suit chaque nombre de droite à gauche : $1 \mapsto 3 \mapsto 3 \mapsto 1$, $2 \mapsto 2 \mapsto 1 \mapsto 3$ et $3 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 2$.
$\sigma \circ \tau \circ \sigma^{-1} = (2\ 3)$, qui ne fixe pas $3$ : $H$ n'est pas distingué dans $S_3$. Une composée se lit de droite à gauche : on applique d'abord $\sigma^{-1}$.
Exercices : niveau difficile
Exercice 8 : On pose $\omega = e^{i\pi/3}$, de sorte que $\mathbb{U}_6 = \{\omega^k : 0 \le k \le 5\}$. Soit $f : \mathbb{U}_6 \to \mathbb{U}_6$, $z \mapsto z^4$. Montre que $f$ est un morphisme de groupes, puis détermine $\operatorname{Ker} f$ et $\operatorname{Im} f$.
Correction :
On vérifie que $f$ est bien à valeurs dans $\mathbb{U}_6$, puis on calcule $f(\omega^k) = \omega^{4k}$ pour chaque $k$. D'abord $(z^4)^6 = (z^6)^4 = 1$, et la multiplication des complexes est commutative, donc $f(zw) = (zw)^4 = z^4w^4 = f(z)f(w)$ : $f$ est un morphisme.
Noyau : $\omega^{4k} = e^{4ik\pi/3} = 1$ si et seulement si $6$ divise $4k$, c'est-à-dire $3$ divise $2k$, ou encore $3$ divise $k$ ($2$ et $3$ sont premiers entre eux). Pour $0 \le k \le 5$, il reste $k = 0$ et $k = 3$, avec $\omega^3 = e^{i\pi} = -1$.
Image : comme $\omega^6 = 1$, les valeurs $\omega^{4k}$ pour $k = 0, \dots, 5$ sont $1, \omega^4, \omega^2, 1, \omega^4, \omega^2$.
$\operatorname{Ker} f = \{-1, 1\}$ et $\operatorname{Im} f = \{1, \omega^2, \omega^4\} = \mathbb{U}_3$. Note que $6 = 2 \times 3$ : l'exercice 10 explique pourquoi. Si tu connais $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, c'est le même calcul que pour $x \mapsto 4x$, en notation additive.
Exercice 9 : Soit $n \ge 2$. Montre que $\det$ est un morphisme surjectif de $(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \times)$ dans $(\mathbb{R}^*, \times)$. Son noyau est noté $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ : décris-le, puis dis si $\det$ est injectif.
Correction :
On utilise la formule du déterminant d'un produit, puis les exercices 4 et 5. Une matrice inversible a un déterminant non nul, et pour $A, B \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ : $\det$ est un morphisme.
Surjectivité : pour $a \in \mathbb{R}^*$, la matrice diagonale $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$ est inversible, de déterminant $a$.
Noyau : $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) = \{A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) : \det A = 1\}$, sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ par l'exercice 4. Il contient $\operatorname{diag}(2, \tfrac{1}{2}, 1, \dots, 1) \neq I_n$.
$\det$ est un morphisme surjectif, mais pas injectif : son noyau n'est pas réduit à $\{I_n\}$ (exercice 5).
Exercice 10 : Soit $f : G \to G'$ un morphisme de groupes, avec $G$ fini. On note $|X|$ le nombre d'éléments d'un ensemble fini $X$.
a) Soit $y = f(a)$ un élément de $\operatorname{Im} f$. Montre que les antécédents de $y$ sont exactement les $ak$, avec $k \in \operatorname{Ker} f$.
b) En déduire que $|G| = |\operatorname{Ker} f| \times |\operatorname{Im} f|$.
c) Montre que tout morphisme de $\mathbb{U}_7$ dans $\mathbb{U}_3$ envoie chaque élément sur $1$.
Correction :
a) On ramène l'équation $f(x) = y$ au noyau : $f(x) = f(a) \iff f(a)^{-1}f(x) = e' \iff f(a^{-1}x) = e' \iff a^{-1}x \in \operatorname{Ker} f$. Donc $f(x) = y$ si et seulement si $x = ak$ avec $k \in \operatorname{Ker} f$.
b) L'application $k \mapsto ak$ est injective (multiplie $ak = ak'$ à gauche par $a^{-1}$), donc chaque $y \in \operatorname{Im} f$ a exactement $|\operatorname{Ker} f|$ antécédents. Chaque élément de $G$ est l'antécédent d'un seul $y \in \operatorname{Im} f$ : en comptant $G$ paquet par paquet, $|G| = |\operatorname{Ker} f| \times |\operatorname{Im} f|$.
c) Pour un tel morphisme $f$, la question b) donne $7 = |\operatorname{Ker} f| \times |\operatorname{Im} f|$, et $7$ est premier, donc $|\operatorname{Im} f|$ vaut $1$ ou $7$. Or $\operatorname{Im} f \subset \mathbb{U}_3$ a au plus $3$ éléments, donc $\operatorname{Im} f = \{1\}$ : $f$ envoie tout sur $1$.
Bilan et conseils
Ce qu'il faut retenir : pour un sous-groupe, vérifie le neutre puis $xy^{-1} \in H$ ; devant une réunion, teste la stabilité avant de conclure. Pour un morphisme, calcule d'abord l'image du neutre, puis cherche le noyau : il décide de l'injectivité. Dans un groupe fini, $|G| = |\operatorname{Ker} f| \times |\operatorname{Im} f|$ te permet de contrôler un calcul de noyau ou d'image.
Groupes, sous-groupes, morphismes, noyau, image, $\mathbb{U}_n$, $S_n$ et $\mathrm{GL}_n$ figurent au programme de mathématiques de première année MPSI et MP2I (2021). Écris à chaque fois quelle loi tu utilises et quel neutre tu vises : avec deux groupes différents, comme à l'exercice 3, c'est ce qui évite les confusions.
Sources
Ministère de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, programme de mathématiques des classes MPSI et MP2I, annexe 1, 2021 : parties « Structures algébriques usuelles », « Calcul matriciel et systèmes linéaires » et « Groupe symétrique et déterminants ».