Maîtrise le Calcul des Variations : Exercices Guidés

Correction :

L'intégrale est de la forme $I[y] = \int_a^b F(x, y, y') dx$, où $F(x, y, y') = y^2 + y'^2$. La fonction $F$ ne dépend pas explicitement de $x$. L'équation d'Euler-Lagrange s'écrit :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2y'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ 2y - \frac{d}{dx}(2y') = 0 $$ $$ 2y - 2y'' = 0 $$ $$ y'' - y = 0 $$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique est $r^2 - 1 = 0$, dont les racines sont $r_1 = 1$ et $r_2 = -1$. La solution générale est donc :

$$ y(x) = Ae^x + Be^{-x} $$

Appliquons maintenant les conditions aux limites :

$y(0) = 0 \implies Ae^0 + Be^0 = 0 \implies A + B = 0 \implies B = -A$.

$y(1) = 1 \implies Ae^1 + Be^{-1} = 1 \implies Ae - Be^{-1} = 1$.

En substituant $B = -A$ dans la deuxième équation :

$Ae - (-A)e^{-1} = 1 \implies Ae + Ae^{-1} = 1 \implies A(e + e^{-1}) = 1$.

Donc, $A = \frac{1}{e + e^{-1}}$. Et $B = -\frac{1}{e + e^{-1}}$.

La fonction qui minimise l'intégrale est :

$$ y(x) = \frac{1}{e + e^{-1}} (e^x - e^{-x}) $$

Point méthode : Lorsque $F$ ne dépend pas explicitement de $x$, l'équation d'Euler-Lagrange peut être simplifiée en $F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C$. Ici, cela donne : $(y^2 + y'^2) - y'(2y') = C \implies y^2 - y'^2 = C$. Il faut ensuite résoudre cette équation différentielle du premier ordre, ce qui peut être plus complexe que la méthode générale dans ce cas précis, mais c'est une alternative à connaître.

Correction :

Ici, la fonction à intégrer est $F(y, y') = \sqrt{\frac{1 + (y')^2}{y^2}}$. Elle ne dépend pas explicitement de $x$. On utilise donc la forme simplifiée de l'équation d'Euler-Lagrange :

$$ F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C $$

Calculons $\frac{\partial F}{\partial y'}$ :

$$ \frac{\partial F}{\partial y'} = \sqrt{\frac{1}{y^2}} \frac{1}{2\sqrt{1+(y')^2}} (2y') = \frac{y'}{y\sqrt{1+(y')^2}} $$

L'équation devient :

$$ \sqrt{\frac{1 + (y')^2}{y^2}} - y' \left(\frac{y'}{y\sqrt{1+(y')^2}}\right) = C $$

Multiplions par $y\sqrt{1+(y')^2}$ :

$$ y\sqrt{1+(y')^2} - y'(y') = C y\sqrt{1+(y')^2} $$ $$ y \sqrt{1+(y')^2} - y'^2 = C y \sqrt{1+(y')^2} $$

En isolant le terme avec la racine :

$$ (y - C y) \sqrt{1+(y')^2} = y'^2 $$ $$ y(1-C) \sqrt{1+(y')^2} = y'^2 $$

Élevons au carré :

$$ y^2 (1-C)^2 (1+(y')^2) = y'^4 $$ $$ y^2 (1-C)^2 + y^2 (1-C)^2 y'^2 = y'^4 $$

Cette équation est difficile à résoudre directement. Reprenons l'équation $F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C$ et simplifions différemment :

$$ \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{y} - \frac{y'^2}{y\sqrt{1+(y')^2}} = C $$

Mettre au même dénominateur :

$$ \frac{1+(y')^2 - y'^2}{y\sqrt{1+(y')^2}} = C $$ $$ \frac{1}{y\sqrt{1+(y')^2}} = C $$

Donc, $y\sqrt{1+(y')^2} = \frac{1}{C}$. Appelons $k = 1/C$ une constante positive.

$y^2 (1+(y')^2) = k^2 \implies y^2 + y^2 (y')^2 = k^2 \implies y^2 (y')^2 = k^2 - y^2$.

$(y')^2 = \frac{k^2 - y^2}{y^2} \implies y' = \pm \sqrt{\frac{k^2 - y^2}{y^2}} = \pm \frac{\sqrt{k^2 - y^2}}{y}$.

Séparons les variables :

$$ \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \pm dx $$

Intégrons les deux côtés :

$$ \int \frac{y}{\sqrt{k^2 - y^2}} dy = \int \pm dx $$

Pour l'intégrale de gauche, posons $u = k^2 - y^2$, alors $du = -2y dy$, donc $y dy = -\frac{1}{2} du$.

$\int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} (2 u^{1/2}) = -\sqrt{u} = -\sqrt{k^2 - y^2}$.

Donc, $-\sqrt{k^2 - y^2} = \pm x + C_2$. Appelons la constante d'intégration $C_3 = \mp C_2$.

$\sqrt{k^2 - y^2} = -(\pm x + C_2) = C_3 - x$.

Élevons au carré : $k^2 - y^2 = (C_3 - x)^2 \implies y^2 = k^2 - (C_3 - x)^2$.

Cela décrit des cercles. La forme de la courbe est celle d'un arc de cercle centré sur l'axe des x.

Astuce : Le problème de trouver la courbe la plus courte entre deux points dans un espace avec une métrique donnée est un problème géodésique. L'équation d'Euler-Lagrange appliquée à la longueur de courbe permet de trouver ces géodésiques.

Correction :

La fonction est $F(y, y') = y \sqrt{1 + y'^2}$. Elle ne dépend pas explicitement de $x$. Utilisons la forme simplifiée de l'équation d'Euler-Lagrange :

$$ F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C $$

Calculons $\frac{\partial F}{\partial y'}$ :

$$ \frac{\partial F}{\partial y'} = y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+y'^2}} \cdot 2y' = \frac{yy'}{\sqrt{1+y'^2}} $$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ y \sqrt{1 + y'^2} - y' \left(\frac{yy'}{\sqrt{1+y'^2}}\right) = C $$

Multiplions par $\sqrt{1+y'^2}$ :

$$ y(1+y'^2) - yy'^2 = C \sqrt{1+y'^2} $$ $$ y + yy'^2 - yy'^2 = C \sqrt{1+y'^2} $$ $$ y = C \sqrt{1+y'^2} $$

Élevons au carré :

$$ y^2 = C^2 (1+y'^2) = C^2 + C^2 y'^2 $$ $$ y^2 - C^2 = C^2 y'^2 $$ $$ y'^2 = \frac{y^2 - C^2}{C^2} $$

Prenons la racine carrée :

$$ y' = \pm \frac{\sqrt{y^2 - C^2}}{C} $$

Séparons les variables :

$$ \frac{C}{\sqrt{y^2 - C^2}} dy = \pm dx $$

Intégrons :

$$ \int \frac{C}{\sqrt{y^2 - C^2}} dy = \int \pm dx $$

Pour l'intégrale de gauche, on reconnaît la dérivée de $\text{arccosh}(y/C)$ ou $\text{arcsinh}(y/C)$. Posons $u = y/C$, $du = dy/C$. L'intégrale devient $\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} du = \text{arccosh}(u) = \text{arccosh}(y/C)$.

Donc, $\text{arccosh}(y/C) = \pm x + C_2$. Appelons $C_3 = \pm C_2$.

$\text{arccosh}(y/C) = x + C_3$ (en supposant un signe positif pour la simplicité, le signe peut être absorbé dans la constante).

En utilisant la définition de $\text{arccosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z^2-1})$ :

$y/C = \cosh(x+C_3)$.

$y(x) = C \cosh(x+C_3)$.

Cette équation décrit une caténaire (ou cycloïde dans certains contextes spécifiques de paramétrisation, mais la forme est celle d'une caténaire).

Point méthode : Ce problème illustre bien l'application de l'équation d'Euler-Lagrange pour des problèmes physiques issus de la mécanique (minimisation de l'énergie potentielle).

Correction :

Ici, $F(x, y, y') = x y'^2 + y^2$. L'équation d'Euler-Lagrange est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2xy'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ 2y - \frac{d}{dx}(2xy') = 0 $$ $$ 2y - (2y' + 2xy'') = 0 $$ $$ y - y' - xy'' = 0 $$ $$ xy'' + y' - y = 0 $$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre. Pour la résoudre, on peut essayer une série entière, ou chercher à la transformer. Essayons une substitution : soit $u = y'$, alors $u' = y''$. L'équation devient $xu' + u - y = 0$. Cela ne simplifie pas beaucoup car $y$ est présent.

Considérons l'équation $xy'' + y' - y = 0$. On peut la voir comme une équation d'ordre 1 en $y'$. Si on pose $v = y'$, alors $v' = y''$. L'équation devient $xv' + v - y = 0$. Ceci n'est pas une équation d'ordre 1 standard pour $v$.

Essayons de trouver une solution de la forme $y = x^k$. Alors $y' = kx^{k-1}$ et $y'' = k(k-1)x^{k-2}$.

$x (k(k-1)x^{k-2}) + kx^{k-1} - x^k = 0$

$k(k-1)x^{k-1} + kx^{k-1} - x^k = 0$

$(k^2 - k + k) x^{k-1} - x^k = 0$

$k^2 x^{k-1} - x^k = 0$. Pour que cela soit vrai pour tout $x$, il faudrait que les exposants soient égaux, ce qui n'est pas le cas. Donc, il n'y a pas de solution simple de la forme $y = x^k$.

Regardons l'équation : $xy'' + y' - y = 0$. On peut remarquer que $\frac{d}{dx}(xy') = xy'' + y'$. Donc l'équation s'écrit :

$$ \frac{d}{dx}(xy') - y = 0 $$

Ceci est une équation différentielle linéaire. Les solutions sont des fonctions telles que leur dérivée, multipliée par $x$, a une dérivée dont la partie $y$ est nulle. Essayons de trouver des solutions analytiques. Les fonctions de Bessel modifiées de première espèce $I_\nu(x)$ sont des solutions de $x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2) y = 0$. Notre équation est plus simple.

Considérons l'équation $xy'' + y' - y = 0$. Si on cherche des solutions de la forme $y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. On obtient une relation de récurrence complexe.

Les solutions de $xy'' + y' - y = 0$ sont de la forme $y(x) = c_1 I_1(2\sqrt{x}) + c_2 K_1(2\sqrt{x})$, où $I_1$ et $K_1$ sont des fonctions de Bessel modifiées. Cependant, ces fonctions ne sont pas définies en $x=0$ (pour $K_1$) ou ont une forme compliquée.

Il y a une erreur dans ma compréhension ou dans la nature de cette équation pour une application directe. Revenons à la méthode générale.

L'équation est $xy'' + y' - y = 0$. On peut chercher des solutions de la forme $y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$.

Une autre approche est de chercher une solution générale de l'équation homogène $xy'' + y' - y = 0$. Les solutions sont des fonctions comme $I_1(2\sqrt{x})$ et $K_1(2\sqrt{x})$.

Il est possible que l'énoncé soit trop complexe pour une résolution directe sans outils de calcul symbolique avancés, ou qu'il y ait une astuce pour transformer l'équation.

Re-vérifions la dérivation de l'équation d'Euler-Lagrange : $\frac{d}{dx}(2xy') = 2y' + 2xy''$. C'est correct. L'équation est bien $xy'' + y' - y = 0$.

Les fonctions $I_1(z)$ et $K_1(z)$ sont des solutions de $z^2 y'' + z y' - (z^2 + 1) y = 0$. Si on pose $z = 2\sqrt{x}$, alors $dz/dx = 1/\sqrt{x} = 2/z$. En utilisant la règle de dérivation en chaîne, on peut montrer que les solutions sont effectivement liées à ces fonctions.

Cependant, pour un exercice standard, on s'attendrait à une équation plus élémentaire. Il se peut qu'il y ait une simplification par une transformation des variables ou une forme de solution particulière.

Essayons de vérifier les conditions aux limites : $y(0)=0$. Si on utilise $I_1(2\sqrt{x})$, $I_1(0)=0$. Si on utilise $K_1(2\sqrt{x})$, $K_1(z)$ a une singularité en $z=0$, donc $K_1(2\sqrt{x})$ a une singularité en $x=0$. Par conséquent, $y(x)$ ne peut pas être une combinaison linéaire avec $K_1(2\sqrt{x})$ si on veut que la solution soit définie en $x=0$ et finie.

Donc, la solution candidate doit être de la forme $y(x) = A I_1(2\sqrt{x})$.

Maintenant, appliquons la condition $y(1)=1$ :

$y(1) = A I_1(2\sqrt{1}) = A I_1(2) = 1$.

Donc, $A = \frac{1}{I_1(2)}$.

La solution serait $y(x) = \frac{I_1(2\sqrt{x})}{I_1(2)}$.

Le calcul des fonctions de Bessel modifiées n'est généralement pas attendu sans une calculatrice symbolique ou une base de données de fonctions spéciales.

Point méthode : Pour des fonctionnelles impliquant des coefficients dépendant de $x$ dans le terme d'intégration, l'équation d'Euler-Lagrange peut conduire à des équations différentielles plus complexes. Il est important de savoir reconnaître les équations qui peuvent être résolues par des méthodes standard (séries, changement de variables) ou de connaître les fonctions spéciales qui en sont solutions.

Correction :

La fonction est $F(y, y') = y'^2 - y^2$. L'équation d'Euler-Lagrange est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial y} = -2y$

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2y'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ -2y - \frac{d}{dx}(2y') = 0 $$ $$ -2y - 2y'' = 0 $$ $$ y'' + y = 0 $$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique est $r^2 + 1 = 0$, dont les racines sont $r_1 = i$ et $r_2 = -i$. La solution générale est donc :

$$ y(x) = A \cos(x) + B \sin(x) $$

Appliquons les conditions aux limites :

$y(0) = 0 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = 0 \implies A(1) + B(0) = 0 \implies A = 0$.

$y(\pi) = 1 \implies A \cos(\pi) + B \sin(\pi) = 1 \implies A(-1) + B(0) = 1 \implies -A = 1$.

On a $A=0$ et $-A=1$, ce qui implique $0=1$. C'est une contradiction !

Cela signifie qu'il n'existe pas de fonction $y(x)$ qui soit un extremum (minimum ou maximum) de cette fonctionnelle dans l'espace des fonctions suffisamment régulières satisfaisant ces conditions aux limites.

Dans ce cas, on dit que le problème n'a pas de solution au sens classique, ou que la borne inférieure est non atteinte. C'est un cas où la minimisation ne conduit pas à une solution régulière.

Point méthode : Il est possible que l'équation d'Euler-Lagrange n'ait pas de solution, ou que la solution ne satisfasse pas les conditions aux limites. Cela peut indiquer que la borne inférieure (ou supérieure) de la fonctionnelle n'est pas atteinte par une fonction "douce" (suffisamment dérivable). Il faut parfois considérer des fonctions plus générales (distributions, fonctions avec des sauts) ou conclure que le minimum n'existe pas dans l'espace considéré.

Correction :

La fonction est $F(x, y') = x^2 y'^2$. L'équation d'Euler-Lagrange est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

Ici, $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$. Calculons $\frac{\partial F}{\partial y'}$ :

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2x^2 y'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ 0 - \frac{d}{dx}(2x^2 y') = 0 $$ $$ \frac{d}{dx}(2x^2 y') = 0 $$

Cela implique $2x^2 y'$ est une constante, disons $C_1$.

$x^2 y' = \frac{C_1}{2} = C$ (une autre constante).

$y' = \frac{C}{x^2}$

Intégrons pour trouver $y(x)$ :

$y(x) = \int \frac{C}{x^2} dx = C \int x^{-2} dx = C (-x^{-1}) + C_2 = -\frac{C}{x} + C_2$.

Appliquons les conditions aux limites :

$y(0) = 0$. La fonction $y(x) = -\frac{C}{x} + C_2$ a une singularité en $x=0$ à moins que $C=0$. Si $C=0$, alors $y(x) = C_2$.

Si $C=0$, alors $y(x) = C_2$. La condition $y(0)=0$ implique $C_2=0$. Donc $y(x)=0$.

Mais si $y(x)=0$, alors $y(1)=0$, ce qui contredit $y(1)=1$.

Cela indique qu'il y a un problème avec l'application directe des conditions aux limites à une fonction qui devient singulière.

Revenons à $y' = C/x^2$. L'intégrale de $y'$ pour trouver $y$ est $y(x) = -C/x + C_2$. La condition $y(0)=0$ suggère que la fonction ne peut pas avoir de terme en $1/x$. Ce qui forcerait $C=0$. Mais cela mène à une contradiction.

Il faut considérer la nature de l'intégrale et des fonctions autorisées. Si on autorise des fonctions qui ne sont pas continues en $x=0$, on peut avoir des solutions.

L'équation $x^2 y' = C$ est la condition nécessaire. Si $C \neq 0$, alors $y(x)$ n'est pas définie en $x=0$.

Considérons le cas où $y(x)$ n'est pas nécessairement dérivable en $x=0$.

Si on pose $C=0$, on obtient $y(x) = C_2$. La condition $y(0)=0$ donne $C_2=0$. Donc $y(x)=0$. Mais $y(1)=1$ n'est pas satisfait.

Si $C \ne 0$, alors $y(x) \to \pm \infty$ lorsque $x \to 0^+$. Une telle fonction ne satisfait pas $y(0)=0$ dans le sens usuel de la continuité.

C'est un cas où le minimum pourrait être atteint par une fonction qui n'est pas continûment dérivable partout.

Pour que $y(0)=0$, il faut que la solution soit de la forme $y(x) = ax$ pour une certaine limite. Mais alors $y'(x)=a$.

L'intégrale est $\int_0^1 x^2 a^2 dx = a^2 \int_0^1 x^2 dx = a^2 [x^3/3]_0^1 = a^2/3$.

Avec $y(1)=1$, on a $a=1$. Donc $y(x)=x$. L'intégrale serait $1/3$.

Vérifions si $y(x)=x$ satisfait l'équation d'Euler-Lagrange : $y'=1$, $y''=0$. L'équation $0 - \frac{d}{dx}(2x^2 \cdot 1) = 0$ donne $-2x^2 = 0$, ce qui n'est vrai qu'en $x=0$. Donc $y(x)=x$ n'est pas la solution.

Il semble que l'on doive admettre des solutions singulières. Si l'on interprète $y(0)=0$ comme une limite, on pourrait avoir une solution de la forme $y(x) = -C/x + C_2$ avec $C=0$, ce qui mène à $y(x)=0$ et contradiction. Ou il faut que $C$ tende vers 0 d'une certaine manière.

Considérons $y(x) = ax^p$. $y'(x) = apx^{p-1}$.

$\int_0^1 x^2 (apx^{p-1})^2 dx = \int_0^1 x^2 a^2 p^2 x^{2p-2} dx = a^2 p^2 \int_0^1 x^{2p} dx$.

Pour que cette intégrale converge en 0, il faut $2p > -1$, soit $p > -1/2$.

$a^2 p^2 [\frac{x^{2p+1}}{2p+1}]_0^1 = \frac{a^2 p^2}{2p+1}$.

Pour $y(1)=1$, $a(1)^p = 1 \implies a=1$.

Donc $I[y] = \frac{p^2}{2p+1}$. Pour minimiser cela, on dérive par rapport à $p$ :

$\frac{d}{dp} \left(\frac{p^2}{2p+1} \right) = \frac{2p(2p+1) - p^2(2)}{(2p+1)^2} = \frac{4p^2+2p - 2p^2}{(2p+1)^2} = \frac{2p^2+2p}{(2p+1)^2}$.

Cette dérivée est nulle pour $2p^2+2p=0 \implies 2p(p+1)=0$. Les solutions sont $p=0$ ou $p=-1$.

Puisque $p > -1/2$, la seule solution valide est $p=0$. Si $p=0$, $y(x)=1$. $y'(x)=0$. L'intégrale est $\int_0^1 x^2 (0)^2 dx = 0$. Mais $y(0)=0$ n'est pas satisfait.

Il y a une subtilité ici. L'équation $x^2 y' = C$ est valide pour $x \neq 0$.

Si $y(x) = \sqrt{x}$? $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $y(0)=0$, $y(1)=1$. L'intégrale est $\int_0^1 x^2 (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2 dx = \int_0^1 x^2 \frac{1}{4x} dx = \frac{1}{4} \int_0^1 x dx = \frac{1}{4} [x^2/2]_0^1 = \frac{1}{8}$.

Si $y(x) = x$? $y'(x)=1$. L'intégrale est $\int_0^1 x^2 (1)^2 dx = 1/3$.

La fonction $y(x) = \sqrt{x}$ donne une valeur plus petite.

Essayons $y(x) = x^p$ avec $p$ proche de 1/2.

L'équation d'Euler-Lagrange $0 - \frac{d}{dx}(x^2 y') = 0$ implique $x^2 y' = C$. La solution est $y(x) = -C/x + C_2$. Pour que $y(0)=0$, il faudrait que $C=0$, ce qui donne $y(x)=C_2$. Et $y(1)=1$ donne $C_2=1$. Donc $y(x)=1$. Mais $y(0)=1 \ne 0$. Contradiction.

La vraie solution pour ce problème est $y(x) = x^{3/2}$.

Vérifions : $y'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2}$.

$y(0) = 0^{3/2} = 0$. $y(1) = 1^{3/2} = 1$. Les conditions aux limites sont satisfaites.

Calculons l'intégrale : $I[y] = \int_0^1 x^2 (\frac{3}{2} x^{1/2})^2 dx = \int_0^1 x^2 \frac{9}{4} x dx = \frac{9}{4} \int_0^1 x^3 dx = \frac{9}{4} [\frac{x^4}{4}]_0^1 = \frac{9}{16}$.

Ceci est plus petit que $1/8$ (pour $\sqrt{x}$) ou $1/3$ (pour $x$).

Pourquoi $y(x) = x^{3/2}$ est la solution ? L'équation d'Euler-Lagrange $\frac{d}{dx}(x^2 y') = 0$ implique $x^2 y' = C$. Si on intègre $y' = C/x^2$, on obtient $y(x) = -C/x + C_2$. La seule façon d'avoir $y(0)=0$ est d'avoir $C=0$, mais cela mène à $y(x)=C_2$, et $y(1)=1 \implies C_2=1$, $y(x)=1$. Mais $y(0)=1 \ne 0$. Ceci montre que la fonction $F=x^2y'^2$ a une singularité et que l'on doit être prudent avec l'application de l'EL.

Dans ce cas, le minimum est atteint lorsque la dérivée $y'$ est infinie en $x=0$. Le minimum est atteint pour $y(x)=x^{3/2}$.

Astuce : L'existence de $x^2$ devant $y'^2$ dans la fonctionnelle implique les petites valeurs de $y'$ près de $x=0$ sont pénalisées par un facteur $x^2$ qui tend vers 0. Cela favorise les dérivées plus grandes, potentiellement infinies, en $x=0$ pour satisfaire les conditions aux limites.

Correction :

Ce problème impliqu'une contrainte, on utilise donc la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Soient $J_1[y] = \int_0^1 y(x)^2 dx$ et $J_2[y] = \int_0^1 y'(x)^2 dx$. La contrainte est $J_2[y] = 1$. On cherche à minimiser $J_1[y]$.

On introduit un multiplicateur de Lagrange $\lambda$. On forme la fonctionnelle augmentée :

$L[y] = J_1[y] - \lambda (J_2[y] - 1) = \int_0^1 (y(x)^2 - \lambda y'(x)^2) dx$.

L'équation d'Euler-Lagrange pour $L[y]$ est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

où $F(y, y') = y^2 - \lambda y'^2$.

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial F}{\partial y'} = -2\lambda y'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ 2y - \frac{d}{dx}(-2\lambda y') = 0 $$ $$ 2y + 2\lambda y'' = 0 $$ $$ y'' + \frac{1}{\lambda} y = 0 $$

Pour que cette équation ait des solutions non triviales et que le problème ait du sens, il faut que $\lambda > 0$. Posons $\omega^2 = \frac{1}{\lambda}$. Alors $\omega = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}$.

$y'' + \omega^2 y = 0$.

L'équation caractéristique est $r^2 + \omega^2 = 0$, avec les racines $r = \pm i\omega$. La solution générale est :

$$ y(x) = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x) $$

Appliquons les conditions aux limites $y(0)=0$ et $y(1)=1$ :

$y(0) = 0 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = 0 \implies A = 0$.

Donc, $y(x) = B \sin(\omega x)$.

$y(1) = 1 \implies B \sin(\omega) = 1$. Donc $B = \frac{1}{\sin(\omega)}$.

La solution est $y(x) = \frac{\sin(\omega x)}{\sin(\omega)}$.

Maintenant, il faut utiliser la contrainte $J_2[y] = \int_0^1 y'(x)^2 dx = 1$.

Calculons $y'(x) = B \omega \cos(\omega x) = \frac{\omega \cos(\omega x)}{\sin(\omega)}$.

$y'(x)^2 = \frac{\omega^2 \cos^2(\omega x)}{\sin^2(\omega)}$.

Intégrons :

$$ \int_0^1 y'(x)^2 dx = \int_0^1 \frac{\omega^2 \cos^2(\omega x)}{\sin^2(\omega)} dx = \frac{\omega^2}{\sin^2(\omega)} \int_0^1 \cos^2(\omega x) dx $$

On utilise l'identité $\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$.

$\int_0^1 \cos^2(\omega x) dx = \int_0^1 \frac{1 + \cos(2\omega x)}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin(2\omega x)}{2\omega} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\sin(2\omega)}{2\omega} \right)$.

Donc, la contrainte devient :

$$ \frac{\omega^2}{\sin^2(\omega)} \cdot \frac{1}{2} \left(1 + \frac{\sin(2\omega)}{2\omega} \right) = 1 $$ $$ \frac{\omega^2}{2\sin^2(\omega)} \left(1 + \frac{2\sin(\omega)\cos(\omega)}{2\omega} \right) = 1 $$ $$ \frac{\omega^2}{2\sin^2(\omega)} \left(1 + \frac{\sin(\omega)\cos(\omega)}{\omega} \right) = 1 $$

En multipliant par $2\sin^2(\omega)$ :

$\omega^2 \left(1 + \frac{\sin(\omega)\cos(\omega)}{\omega} \right) = 2\sin^2(\omega)$

$\omega^2 + \omega \sin(\omega)\cos(\omega) = 2\sin^2(\omega)$.

Utilisons $\sin(2\omega) = 2\sin(\omega)\cos(\omega)$ et $\cos(2\omega) = 2\cos^2(\omega) - 1 = 1 - 2\sin^2(\omega)$, donc $2\sin^2(\omega) = 1 - \cos(2\omega)$.

$\omega^2 + \frac{\omega}{2} \sin(2\omega) = 1 - \cos(2\omega)$.

Cette équation transcendante en $\omega$ doit être résolue numériquement. Une fois $\omega$ trouvé, on peut calculer $\lambda = 1/\omega^2$ et la fonction $y(x)$.

L'énoncé ne demande pas la résolution numérique, mais la mise en place de la solution.

Point méthode : Pour les problèmes de calcul des variations avec contraintes, la méthode des multiplicateurs de Lagrange est essentielle. Elle transforme le problème en un problème sans contrainte sur une fonctionnelle modifiée.

Correction :

C'est un problème classique de géodésique dans un espace euclidien unidimensionnel. La fonctionnelle $I[y] = \int_0^1 y'(x)^2 dx$ est le carré de la longueur de la courbe $y(x)$ entre $x=0$ et $x=1$. Minimiser le carré de la longueur revient à minimiser la longueur.

La fonction est $F(y') = y'^2$. Elle ne dépend pas de $y$ ou $x$. L'équation d'Euler-Lagrange est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

$\frac{\partial F}{\partial y} = 0$.

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2y'$.

L'équation devient :

$$ 0 - \frac{d}{dx}(2y') = 0 $$ $$ \frac{d}{dx}(y') = 0 $$

Cela implique $y'$ est une constante, disons $C$.

$y'(x) = C$.

Intégrons pour trouver $y(x)$ :

$y(x) = \int C dx = Cx + D$.

Appliquons les conditions aux limites :

$y(0) = 0 \implies C(0) + D = 0 \implies D = 0$.

$y(1) = 1 \implies C(1) + D = 1 \implies C + 0 = 1 \implies C = 1$.

Donc, la fonction qui minimise l'intégrale est $y(x) = x$.

Point méthode : La minimisation de l'intégrale de $y'(x)^2$ correspond à trouver la ligne droite entre deux points dans un espace plat. Les conditions aux limites définissent précisément cette ligne droite.

Correction :

La fonction est $F(y, y') = y^2 + y'^2$. L'équation d'Euler-Lagrange est :

$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 $$

Calculons les dérivées partielles :

$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial F}{\partial y'} = 2y'$

L'équation d'Euler-Lagrange devient :

$$ 2y - \frac{d}{dx}(2y') = 0 $$ $$ 2y - 2y'' = 0 $$ $$ y'' - y = 0 $$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique est $r^2 - 1 = 0$, dont les racines sont $r_1 = 1$ et $r_2 = -1$. La solution générale est :

$$ y(x) = Ae^x + Be^{-x} $$

Appliquons les conditions aux limites :

1. Condition sur $y(x)$ : $y(0) = 0$.

$y(0) = Ae^0 + Be^0 = A + B = 0 \implies B = -A$.

Donc, $y(x) = Ae^x - Ae^{-x} = A(e^x - e^{-x})$.

2. Condition sur $y'(x)$ : $y'(1) = 1$.

Calculons $y'(x) = A(e^x + e^{-x})$.

$y'(1) = A(e^1 + e^{-1}) = A(e + e^{-1}) = 1$.

Donc, $A = \frac{1}{e + e^{-1}}$.

La fonction qui minimise l'intégrale est :

$$ y(x) = \frac{1}{e + e^{-1}}(e^x - e^{-x}) $$

Point méthode : Ce problème utilise des conditions aux limites mixtes (une sur $y$ et une sur $y'$). L'équation d'Euler-Lagrange reste la même, mais l'application des conditions finales est différente.

Correction :

La fonction à intégrer est $F(y, y') = 2\pi y \sqrt{1 + y'^2}$. Elle ne dépend pas explicitement de $x$. On utilise donc la forme simplifiée de l'équation d'Euler-Lagrange :

$$ F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C $$

Calculons $\frac{\partial F}{\partial y'}$ :

$$ \frac{\partial F}{\partial y'} = 2\pi y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+y'^2}} \cdot 2y' = \frac{2\pi y y'}{\sqrt{1+y'^2}} $$

L'équation devient :

$$ 2\pi y \sqrt{1 + y'^2} - y' \left(\frac{2\pi y y'}{\sqrt{1+y'^2}}\right) = C $$

Divisons par $2\pi$ (puisque $C$ est une constante arbitraire, on peut la redéfinir) :

$$ y \sqrt{1 + y'^2} - \frac{y y'^2}{\sqrt{1+y'^2}} = C' $$

Multiplions par $\sqrt{1+y'^2}$ :

$$ y(1+y'^2) - y y'^2 = C' \sqrt{1+y'^2} $$ $$ y + y y'^2 - y y'^2 = C' \sqrt{1+y'^2} $$ $$ y = C' \sqrt{1+y'^2} $$

C'est la même équation que dans l'Exercice 3. Élevons au carré :

$y^2 = C'^2 (1+y'^2) = C'^2 + C'^2 y'^2$.

$y^2 - C'^2 = C'^2 y'^2$.

$y'^2 = \frac{y^2 - C'^2}{C'^2}$.

$y' = \pm \frac{\sqrt{y^2 - C'^2}}{C'}$.

Séparons les variables :

$$ \frac{C'}{\sqrt{y^2 - C'^2}} dy = \pm dx $$

Intégrons :

$$ \int \frac{C'}{\sqrt{y^2 - C'^2}} dy = \int \pm dx $$

L'intégrale de gauche donne $\text{arccosh}(y/C')$ (en choisissant le signe adéquat et la constante). Posons $C'$ comme une constante positive $R$. Alors $y \ge R$.

$\text{arccosh}(y/R) = \pm x + C_2$.

$y/R = \cosh(\pm x + C_2)$.

$y(x) = R \cosh(x + C_2)$.

Cette équation décrit une caténaire. La minimisation de la surface de révolution d'une lentille sphérique conduit donc à une forme de caténaire.

Point méthode : Ce problème, connu sous le nom de problème de la "lampe de Naples", montre que la forme minimisant la surface de révolution pour des points donnés est une caténaire. Il est similaire à la chaîne suspendue, mais ici la rotation autour de l'axe $x$ est implicite dans le terme $2\pi y$.