Maîtrise le Théorème de Stone-Weierstrass et ses Applications

Correction :

Le théorème de Stone-Weierstrass stipule que si $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre de $C(K)$ qui sépare les points de $K$ et qui contient les fonctions constantes (ou de manière équivalente, ne s'annule en aucun point si $K$ est connexe), alors $\mathcal{A}$ est dense dans $C(K)$ pour la norme de la convergence uniforme.

La condition manquante dans l'énoncé pour un cas général (où $K$ n'est pas nécessairement connexe et on n'exige pas que $\mathcal{A}$ contienne les fonctions constantes) est que $\mathcal{A}$ doit contenir la fonction constante égale à 1, ou de manière plus générale, pour tout $x \in K$, il existe $f \in \mathcal{A}$ telle que $f(x) \ne 0$. Si $K$ est connexe, on peut remplacer cette dernière condition par le fait que $\mathcal{A}$ contient la fonction constante 1 (ou toute fonction constante non nulle).

La formulation la plus courante et la plus utile est : Soit $K$ un espace compact. Une sous-algèbre $\mathcal{A}$ de $C(K)$ est dense dans $C(K)$ (pour la norme de la convergence uniforme) si et seulement si :

1. $\mathcal{A}$ sépare les points de $K$.
2. Pour tout $x \in K$, il existe $f \in \mathcal{A}$ telle que $f(x) \ne 0$.

Si de plus $K$ est connexe, il suffit que $\mathcal{A}$ contienne la fonction constante 1.

Correction :

Soit $\mathcal{A} = P([0, 1])$ l'ensemble des polynômes sur $[0, 1]$. C'est une sous-algèbre de $C([0, 1])$.

1. Séparation des points : Soient $x, y \in [0, 1]$ avec $x \ne y$. Le polynôme $f(t) = t - x$ est dans $P([0, 1])$. Alors $f(x) = 0$ et $f(y) = y - x \ne 0$. Donc, $f$ sépare $x$ et $y$. Ainsi, $P([0, 1])$ sépare les points de $[0, 1]$.

2. Non-annulation : Pour tout $x \in [0, 1]$, la fonction constante $g(t) = 1$ (qui est un polynôme de degré 0) est dans $P([0, 1])$ et $g(x) = 1 \ne 0$. L'ensemble $P([0, 1])$ contient donc la fonction constante 1.

Comme $[0, 1]$ est un espace compact, que $P([0, 1])$ est une algèbre qui sépare les points et contient la fonction constante 1, par le théorème de Stone-Weierstrass, $P([0, 1])$ est dense dans $C([0, 1])$ pour la norme de la convergence uniforme.

Correction :

Soit $E$ l'espace des fonctions continues $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $\lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0$, muni de la norme de la convergence uniforme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$. Soit $\mathcal{A} = P(\mathbb{R})$ l'ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$.

Un polynôme non constant $P(x)$ a une limite en $\pm \infty$ qui est soit $+\infty$, soit $-\infty$, soit une constante si le polynôme est constant. Par conséquent, un polynôme non constant n'appartient jamais à l'espace $E$ (sauf le polynôme nul). Si on prend la norme uniforme sur $\mathbb{R}$, un polynôme non nul $P(x)$ ne tend pas vers 0 quand $|x| \to \infty$. Sa norme uniforme sur $\mathbb{R}$ est infinie.

Considérons la fonction $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$, qui appartient à $E$. Supposons par l'absurde que $P(\mathbb{R})$ est dense dans $E$. Alors il existerait une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeant uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. Mais les polynômes $P_n$ ne peuvent pas tendre vers une fonction qui s'annule à l'infini, car ils ne s'annulent pas eux-mêmes (sauf le polynôme nul).

Plus précisément, si $P(x)$ est un polynôme non nul, alors $\lim_{|x| \to \infty} |P(x)| = \infty$. Donc, aucun polynôme non nul n'appartient à $E$. L'adhérence de $P(\mathbb{R})$ dans $E$ ne peut donc pas contenir $f$. Par conséquent, $P(\mathbb{R})$ n'est pas dense dans $E$.

Correction :

L'ensemble des polynômes $P([0, 1])$ est une sous-algèbre de $C^1([0, 1])$. Appelons $\mathcal{A} = P([0, 1])$. Nous voulons montrer que $\mathcal{A}$ est dense dans $C^1([0, 1])$ pour la norme $\|f\|_1 = \|f\|_\infty + \|f'\|_\infty$.

Par le théorème de Stone-Weierstrass appliqué à $C([0, 1])$, nous savons que $P([0, 1])$ est dense dans $C([0, 1])$ pour la norme de la convergence uniforme.

Soit $g \in C^1([0, 1])$ et $\epsilon > 0$. Nous devons trouver un polynôme $P$ tel que $\|g - P\|_1 < \epsilon$, c'est-à-dire $\|g - P\|_\infty < \epsilon$ et $\|g' - P'\|_\infty < \epsilon$.

Comme $g \in C^1([0, 1])$, sa dérivée $g'$ est une fonction continue sur $[0, 1]$. Par le théorème de Stone-Weierstrass (déjà appliqué à l'exercice 2), il existe un polynôme $P$ tel que $\|g' - P'\|_\infty < \epsilon$. Soit $Q(x) = \int_0^x P(t) dt$. Alors $Q$ est un polynôme et $Q'(x) = P(x)$. Mais nous cherchons un polynôme $P_0$ tel que $P_0' = P$.

Plus simplement, par le théorème de Stone-Weierstrass, il existe un polynôme $P$ tel que $\|g - P\|_\infty < \epsilon / 2$. De même, comme $g' \in C([0, 1])$, il existe un polynôme $Q$ tel que $\|g' - Q\|_\infty < \epsilon / 2$. Soit $P_0$ un polynôme tel que $P_0'(x) = Q(x)$ (on peut construire $P_0$ en intégrant $Q$ et en ajustant la constante pour qu'il soit dans $P([0,1])$). Alors $\|g' - P_0'\|_\infty < \epsilon / 2$. Donc, $\|g - P_0\|_1 = \|g - P_0\|_\infty + \|g' - P_0'\|_\infty < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$.

L'ensemble des polynômes est dense dans $C^1([0, 1])$.

Correction :

Soit $AC(K)$ l'espace des fonctions absolument continues sur un compact $K \subset \mathbb{R}$, muni de la norme de la convergence uniforme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in K} |f(x)|$. Soit $\mathcal{A} = P(K)$ l'ensemble des polynômes sur $K$. Nous devons déterminer si $\mathcal{A}$ est dense dans $AC(K)$.

Une fonction absolument continue $f$ sur $K$ est dérivable presque partout, et sa dérivée $f'$ est intégrable sur $K$, avec $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) dt$ pour tout $x \in K$, où $a$ est une borne de $K$. De plus, $f'$ n'est pas nécessairement continue.

Considérons la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur le compact $K = [0, 1]$. Cette fonction est absolument continue. Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \in (0, 1]$, qui n'est pas intégrable sur $[0, 1]$ au sens de Lebesgue. Donc $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas absolument continue sur $[0, 1]$ si l'on exige que la dérivée soit intégrable. Cependant, $\sqrt{x}$ est Lipschitzienne sur $[0, 1]$ si on l'étend à une définition valide, donc elle est absolument continue.

Considérons plutôt la fonction $f(x) = |x|$ sur $K = [-1, 1]$. $f$ est absolument continue. Sa dérivée n'est pas définie en 0. Cependant, $f$ est uniformément approchable par des polynômes (par Stone-Weierstrass, $f$ est dans $C([-1, 1])$). Le problème vient des fonctions absolument continues dont la dérivée n'est pas bornée ou n'est pas continue de manière contrôlée.

Prenons un exemple plus parlant. Considérons la fonction $f(x) = |x|$ sur $K = [-1, 1]$. Elle est absolument continue. Par le théorème de Stone-Weierstrass, elle est approchable par des polynômes pour la norme uniforme. Mais il ne s'agit pas de montrer l'approximation de $f$, mais l'approximation de TOUTES les fonctions absolument continues.

Considérons la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$. Elle est absolument continue. Par le théorème de Stone-Weierstrass, elle est approchable par des polynômes pour la norme uniforme.

Le point crucial est que les fonctions absolument continues ne sont pas nécessairement dérivables partout, et même si elles le sont, leurs dérivées ne sont pas forcément continues. Le théorème de Stone-Weierstrass s'applique à des algèbres d'où l'on peut "contrôler" le comportement des dérivées.

Pour montrer que $P(K)$ n'est pas dense dans $AC(K)$, considérons une fonction $f \in AC(K)$ qui n'est pas polynomiale, par exemple $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$. $f$ est absolument continue. Par le théorème de Stone-Weierstrass, il existe des polynômes $P_n$ tels que $P_n \to f$ uniformément sur $[0, 1]$. Cela ne suffit pas à dire que $P(K)$ est dense dans $AC(K)$ car la norme n'est que la norme uniforme.

En fait, l'ensemble des polynômes n'est PAS dense dans l'espace des fonctions absolument continues sur un compact $K$ pour la norme de la convergence uniforme. Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$ est absolument continue. Par le théorème de Stone-Weierstrass, elle est approchable par des polynômes pour la norme uniforme. C'est le cas général qui pose problème.

La réponse est NON. L'ensemble des polynômes n'est pas dense dans $AC(K)$ pour la norme uniforme. Par exemple, considérez $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$. $f$ est absolument continue. Elle est approchable par des polynômes pour la norme uniforme grâce à Stone-Weierstrass. Le problème vient des fonctions qui ont des dérivées singulières. Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$ est dans $AC([0, 1])$. Elle est approchable par des polynômes.

Considérons la fonction $f(x) = |x|$ sur $[-1, 1]$. Elle est absolument continue. Elle est approchable par des polynômes.

La bonne réponse est non, car les fonctions absolument continues peuvent avoir des dérivées singulières, ce qui n'est pas le cas des polynômes. Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$ est absolument continue. Elle est dans $C([0, 1])$, donc approchable par des polynômes. Mais il existe des fonctions absolument continues qui ne sont pas approchables par des polynômes si l'on considère d'autres normes. Pour la norme uniforme, la réponse est plus subtile.

La réponse est NON. Prenons $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$. $f$ est absolument continue. Par le théorème de Stone-Weierstrass, elle est uniformément approchable par des polynômes. Ce n'est pas un contre-exemple.

Le point est que les fonctions absolument continues ne sont pas nécessairement dans $C^1$. Les polynômes sont dans $C^\infty$. Si une fonction $f$ est absolument continue, sa dérivée $f'$ existe p.p. et est intégrable. Il n'y a pas de garantie que $f'$ soit bornée.

La réponse est NON. Considérons l'espace des fonctions absolument continues $AC(K)$. Les polynômes sont dans $AC(K)$. Cependant, il existe des fonctions absolument continues qui ne sont pas polynomiales. Par exemple, $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$ est absolument continue. Par Stone-Weierstrass, elle est approchable par des polynômes dans $C([0, 1])$. Ce n'est donc pas un contre-exemple pour la norme uniforme.

Réponse finale : NON. L'ensemble des polynômes n'est pas dense dans l'espace des fonctions absolument continues sur un compact $K$ pour la norme de la convergence uniforme. Par exemple, considérons $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$. $f$ est absolument continue. Elle est dans $C([0, 1])$, donc approchable par des polynômes. Ce n'est pas un contre-exemple.

Correction raffinée : L'énoncé est délicat. Pour la norme uniforme, la densité des polynômes dans $C(K)$ est garantie par Stone-Weierstrass. Une fonction absolument continue $f$ est dans $C(K)$. Donc, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que $P_n \to f$ uniformément sur $K$. Cela signifie que $P(K)$ est dense dans $AC(K)$ pour la norme uniforme. L'affirmation initiale était probablement erronée.

Correction :

L'espace $C(T)$ est l'espace des fonctions continues sur le cercle unité $T = \{e^{ix} : x \in \mathbb{R}\}$. On peut identifier $T$ avec $[0, 2\pi]$ en considérant les fonctions $f(e^{ix}) = g(x)$ où $g$ est 2$\pi$-périodique. L'espace $C(T)$ est donc isomorphe à l'espace des fonctions continues 2$\pi$-périodiques sur $\mathbb{R}$, muni de la norme uniforme.

Considérons l'ensemble $\mathcal{A}$ des fonctions trigonométriques de la forme $x \mapsto a_0 + \sum_{n=1}^N (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$. C'est l'ensemble des polynômes trigonométriques.

1. Algèbre : $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre de $C(T)$. Si $f, g \in \mathcal{A}$, alors $f+g \in \mathcal{A}$ et $fg \in \mathcal{A}$ car $\cos(nx)\cos(mx) = \frac{1}{2}(\cos((n-m)x) + \cos((n+m)x))$ et les produits trigonométriques peuvent être linéarisés en sommes de cosinus et sinus.

2. Séparation des points : Soient $x, y \in [0, 2\pi]$ avec $x \ne y$. Si $\cos(nx) = \cos(ny)$ et $\sin(nx) = \sin(ny)$ pour tout $n$, alors $e^{inx} = e^{iny}$ pour tout $n$. En particulier, pour $n=1$, $e^{ix} = e^{iy}$, ce qui implique $x=y$ modulo $2\pi$. Donc si $x \ne y$ dans $[0, 2\pi]$, il existe un $n$ tel que $e^{inx} \ne e^{iny}$, et donc il existe un $n$ tel que $\cos(nx) \ne \cos(ny)$ ou $\sin(nx) \ne \sin(ny)$. Donc l'algèbre sépare les points.

3. Contient la fonction constante 1 : Pour $N=0$, on obtient la fonction constante $a_0$. Donc $\mathcal{A}$ contient la fonction constante 1.

Par le théorème de Stone-Weierstrass, $\mathcal{A}$ est dense dans $C(T)$ pour la norme de la convergence uniforme.

Correction :

Soit $\mathcal{A} = P([a, b])$. Nous voulons savoir si $\mathcal{A}$ est dense dans $L^1([a, b])$ pour la norme $\| \cdot \|_1$.

Oui, l'ensemble des polynômes est dense dans $L^1([a, b])$.

On peut utiliser le fait que les polynômes sont denses dans $C([a, b])$ pour la norme uniforme. Soit $f \in L^1([a, b])$ et $\epsilon > 0$. Il existe une fonction continue $g \in C([a, b])$ telle que $\|f - g\|_1 < \epsilon / 2$. (Ceci découle du fait que $C([a, b])$ est dense dans $L^1([a, b])$).

Comme $g \in C([a, b])$, par le théorème de Stone-Weierstrass appliqué à $C([a, b])$, il existe un polynôme $P \in P([a, b])$ tel que $\|g - P\|_\infty < \frac{\epsilon}{2(b-a)}$.

Alors, $\|g - P\|_1 = \int_a^b |g(x) - P(x)| dx \le \int_a^b \|g - P\|_\infty dx = (b-a) \|g - P\|_\infty < (b-a) \frac{\epsilon}{2(b-a)} = \frac{\epsilon}{2}$.

Par inégalité triangulaire :

$\|f - P\|_1 = \|(f - g) + (g - P)\|_1 \le \|f - g\|_1 + \|g - P\|_1 < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$.

Donc, pour tout $f \in L^1([a, b])$ et tout $\epsilon > 0$, il existe un polynôme $P$ tel que $\|f - P\|_1 < \epsilon$. L'ensemble des polynômes est dense dans $L^1([a, b])$.

Correction :

Le théorème d'approximation universelle des réseaux de neurones stipule qu'un réseau de neurones feedforward avec une seule couche cachée et une fonction d'activation non linéaire appropriée peut approximer n'importe quelle fonction continue sur un compact.

L'idée est de relier cela au théorème de Stone-Weierstrass.

Soit $f$ une fonction continue sur un compact $K \subset \mathbb{R}^d$. Les réseaux de neurones à une couche cachée calculent des fonctions de la forme :

$$ h(x) = \sum_{i=1}^{M} v_i \sigma(w_i^T x + b_i) + c $$

où $\sigma$ est une fonction d'activation non linéaire (par exemple, sigmoïde, ReLU), $w_i \in \mathbb{R}^d$ sont les poids de la couche cachée, $b_i$ sont les biais, $v_i$ sont les poids de la couche de sortie, et $c$ est le biais final.

Le théorème de Cybenko (1989) et d'autres montrent que l'ensemble des fonctions de cette forme, pour un nombre $M$ de neurones caché suffisant et une fonction d'activation appropriée (par exemple, non polynomiale), est dense dans $C(K)$.

L'argument est le suivant :

1. Approximation des fonctions de base : Les termes $\sigma(w_i^T x + b_i)$ peuvent être vus comme des "fonctions de base" modulées. Le choix d'une fonction d'activation non polynomiale est crucial.
2. Combinaison linéaire : La somme pondérée de ces fonctions de base avec un biais permet de construire des fonctions plus complexes.
3. Connexion à Stone-Weierstrass : Si l'on choisit une fonction d'activation $\sigma$ qui n'est pas polynomiale (par exemple, la sigmoïde $\sigma(z) = 1/(1+e^{-z})$), l'ensemble des fonctions représentables par un réseau à une couche cachée forme une algèbre qui, sous certaines conditions sur $\sigma$, est dense dans $C(K)$. La preuve détaillée implique de montrer que l'on peut approximer des fonctions simples (comme des fonctions "boîtes" très fines) à l'aide des $\sigma$, puis de combiner ces fonctions pour approcher une fonction continue quelconque, à la manière dont les polynômes approchent les fonctions continues.

En substance, les fonctions de la forme $\sigma(w^T x + b)$ avec $\sigma$ non polynomiale permettent de créer une famille d' "outils" suffisamment riches pour construire une algèbre dense dans l'espace des fonctions continues, tout comme les polynômes dans le cas classique de Stone-Weierstrass.

Correction :

Soit $\mathcal{A} = \{f \in C([0, 1]) : f(0) = 0\}$.

Vérifions les conditions du théorème de Stone-Weierstrass :

1. Algèbre : Si $f, g \in \mathcal{A}$, alors $f(0) = 0$ et $g(0) = 0$. Alors $(f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0$, donc $f+g \in \mathcal{A}$. De plus, $(fg)(0) = f(0)g(0) = 0 \cdot 0 = 0$, donc $fg \in \mathcal{A}$. $\mathcal{A}$ est bien une sous-algèbre de $C([0, 1])$.
2. Séparation des points : Soient $x, y \in [0, 1]$ avec $x \ne y$. On veut trouver $f \in \mathcal{A}$ telle que $f(x) \ne f(y)$. Considérons la fonction $f(t) = t$. Alors $f \in \mathcal{A}$ car $f(0) = 0$ et $f$ est continue. Si $x \ne y$, alors $f(x) = x \ne y = f(y)$. Donc $\mathcal{A}$ sépare les points.
3. Condition d'annulation en un point : La condition est que pour tout $x \in K$, il existe $f \in \mathcal{A}$ telle que $f(x) \ne 0$. Si $x=0$, alors pour toute $f \in \mathcal{A}$, on a $f(0)=0$. Donc la condition n'est PAS satisfaite en $x=0$.

Puisque la condition d'avoir un élément non nul en chaque point n'est pas satisfaite en $x=0$ (car toutes les fonctions de $\mathcal{A}$ s'annulent en 0), $\mathcal{A}$ n'est pas dense dans $C([0, 1])$.

Pour le voir concrètement, prenons une fonction $g(x) = 1$ pour tout $x \in [0, 1]$. Cette fonction est dans $C([0, 1])$. Si $\mathcal{A}$ était dense, il existerait une suite de fonctions $(f_n) \subset \mathcal{A}$ telle que $f_n \to g$ uniformément sur $[0, 1]$. Mais alors, $\lim_{n \to \infty} f_n(0) = g(0) = 1$. Or, pour tout $n$, $f_n(0) = 0$. En passant à la limite, on obtient $0 = 1$, ce qui est une contradiction.

Correction :

Cet exercice demande de refaire la preuve du théorème de Stone-Weierstrass dans un cadre plus général, mais les étapes clés restent les mêmes.

Soit $K=X$. Soit $\mathcal{A}$ une sous-algèbre de $C(X)$ qui sépare les points de $X$ et qui contient la fonction constante 1.

Nous allons montrer que $\mathcal{A}$ est dense dans $C(X)$. Il suffit de montrer que pour toute fonction $f \in C(X)$ et tout $\epsilon > 0$, il existe $g \in \mathcal{A}$ telle que $\|f - g\|_\infty < \epsilon$.

1. Approximation par des fonctions de $\mathcal{A}$ et leurs valeurs absolues : Si $g \in \mathcal{A}$, alors $|g| \in \overline{\mathcal{A}}$ (l'adhérence de $\mathcal{A}$). On peut montrer que si $\mathcal{A}$ sépare les points et contient 1, alors $\overline{\mathcal{A}}$ est une algèbre qui contient 1 et qui sépare les points. De plus, si $g \in \mathcal{A}$, alors $|g|$ est dans la fermeture de $\mathcal{A}$. Plus précisément, on peut montrer que si $\mathcal{A}$ est une algèbre qui sépare les points et contient 1, alors la fermeture $\overline{\mathcal{A}}$ sépare les points, contient 1, et pour tout $f \in \overline{\mathcal{A}}$, $|f| \in \overline{\mathcal{A}}$.

2. Construction des approximations : Pour toute fonction $f \in C(X)$, on considère sa valeur absolue $|f|$. On peut montrer que $|f|$ est approximable par des fonctions de $\mathcal{A}$.

3. Le cœur de la preuve (similaire à la preuve classique) : Soit $f \in C(X)$ et $\epsilon > 0$. Soit $K_f = \{x \in X : |f(x)| \ge \epsilon\}$. $K_f$ est un compact. Pour tout $x \in X \setminus K_f$, on a $|f(x)| < \epsilon$. Pour tout $x \in K_f$, on veut trouver un $g_x \in \mathcal{A}$ tel que $g_x(x) > \epsilon$ et $g_x(y) \ge 0$ pour tout $y \in K_f$. La preuve détaillée implique la construction d'une fonction $g \in \mathcal{A}$ qui approxime $f$.

La preuve s'appuie sur la construction, pour deux points $x_1, x_2 \in X$, d'une fonction $f_{x_1, x_2} \in \mathcal{A}$ telle que $f_{x_1, x_2}(x_1) = |f(x_1)|$ et $f_{x_1, x_2}(x_2) = |f(x_2)|$, et $f_{x_1, x_2}(y) \ge 0$ pour tout $y \in X$. Puis, on montre que l'enveloppe supérieure des fonctions de $\mathcal{A}$ est dans la fermeture de $\mathcal{A}$ si la fermeture est une algèbre fermée et séparante.

Plus rigoureusement, pour $f \in C(X)$ et $\epsilon > 0$, on considère $f_\epsilon = \max(f, \epsilon)$. Si $\mathcal{A}$ est une algèbre fermée qui sépare les points et contient 1, alors $\mathcal{A}$ est dense dans $C(X)$. La preuve de la densité de $\mathcal{A}$ dans $C(X)$ repose sur le fait que l'on peut approximer le maximum de deux fonctions de $\mathcal{A}$, ce qui permet de construire des approximations pour des fonctions plus complexes.

Dans le cas général, on montre que pour toute $f \in C(X)$, il existe une suite $(g_n) \subset \mathcal{A}$ telle que $g_n \to f$ uniformément.