Maîtrise le Théorème de Stone-Weierstrass et ses Applications

Correction :

Méthode : contrôler les hypothèses une à une. $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre (sommes et produits de fonctions $P(x^2)$ gardent cette forme) qui contient les constantes.

Sur $[0\,;\,1]$, $x \mapsto x^2$ est strictement croissante, donc $x \neq y$ entraîne $x^2 \neq y^2$ : $\mathcal{A}$ sépare les points et elle est dense dans $C([0\,;\,1])$.

Sur $[-1\,;\,1]$, toute fonction de $\mathcal{A}$ est paire, et une limite uniforme de fonctions paires est paire. La fonction $x \mapsto x$ n'est donc pas dans l'adhérence : $\mathcal{A}$ n'est pas dense dans $C([-1\,;\,1])$. Aucune de ses fonctions ne sépare $-1$ et $1$.

Correction :

Méthode : vérifier les hypothèses, puis comparer les deux ensembles. $K$ est fermé et borné dans $\mathbb{R}^2$, donc compact. Les polynômes en $(x, y)$ forment une sous-algèbre qui contient $1$. Si $(x, y) \neq (x', y')$, l'une des projections $(x, y) \mapsto x$ ou $(x, y) \mapsto y$ prend des valeurs différentes en ces deux points : les polynômes sont denses.

Chaque monôme $c\,x^k y^l$ s'écrit $u(x)\,v(y)$ avec $u(x) = c\,x^k$ et $v(y) = y^l$. Les sommes $\sum_i u_i(x)\,v_i(y)$ contiennent donc tous les polynômes : elles sont denses dans $C(K)$.

Correction :

Méthode : regarder ce qui se passe en $0$.

a) Pour tout $P \in \mathcal{A}_0$, $\|1 - P\|_\infty \geq |1 - P(0)| = 1$ : la constante $1$ n'est pas approchable. L'hypothèse qui manque : toutes les fonctions de $\mathcal{A}_0$ s'annulent en $0$.

b) $F$ est fermé : si $f_n \to f$ uniformément avec $f_n(0) = 0$, alors $f(0) = 0$. Donc $\overline{\mathcal{A}_0} \subset F$. Réciproquement, pour $f \in F$ et $\varepsilon > 0$, Weierstrass donne un polynôme $P$ avec $\|f - P\|_\infty < \varepsilon$. Alors $Q = P - P(0) \in \mathcal{A}_0$ et $|P(0)| = |P(0) - f(0)| < \varepsilon$, d'où $\|f - Q\|_\infty < 2\varepsilon$. L'adhérence de $\mathcal{A}_0$ est $F$.

Correction :

Méthode : critère de Cauchy uniforme, puis un polynôme borné sur $\mathbb{R}$ est constant.

a) Il existe $N$ tel que $\|P_n - P_N\|_\infty \leq 1$ pour $n \geq N$. Or un polynôme non constant n'est pas borné sur $\mathbb{R}$, puisque $|P(x)| \to +\infty$ quand $|x| \to +\infty$. Donc $P_n = P_N + c_n$, avec $c_n$ constante.

b) $c_n = P_n(0) - P_N(0)$ tend vers $c = f(0) - P_N(0)$, donc $f = P_N + c$ est un polynôme.

c) $\frac{1}{1+x^2}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$ sans être nulle, ce qu'aucun polynôme ne fait. Sur $\mathbb{R}$, non ; sur $[-1\,;\,1]$, oui, par Weierstrass. Toute la différence vient de la compacité.

Correction :

Méthode : approcher la dérivée, puis intégrer. Approcher $g$ et $g'$ par deux polynômes sans lien ne marche pas : l'un n'a aucune raison d'être la dérivée de l'autre.

Soit $g \in C^1([0\,;\,1])$ et $\varepsilon > 0$. Weierstrass donne un polynôme $Q$ avec $\|g' - Q\|_\infty < \varepsilon$. On pose $P(x) = g(0) + \int_0^x Q(t)\,dt$, polynôme de dérivée $Q$. Pour $x \in [0\,;\,1]$ :

$$|g(x) - P(x)| = \left|\int_0^x \left(g'(t) - Q(t)\right)dt\right| \leq x\,\|g' - Q\|_\infty < \varepsilon.$$

Donc $N(g - P) < 2\varepsilon$ : les polynômes sont denses dans $C^1([0\,;\,1])$ pour $N$.

Correction :

Méthode : transporter le problème sur le cercle, où l'exercice 2 s'applique.

a) $\mathbb{U}$ est fermé et borné, donc compact. On pose $f(\cos t, \sin t) = g(t)$ : la périodicité rend cette définition cohérente, et $f$ est continue. Le raisonnement de l'exercice 2 vaut sur tout compact de $\mathbb{R}^2$ : il existe un polynôme $P$ en $(x, y)$ tel que $|f - P| < \varepsilon$ sur $\mathbb{U}$, donc $|g(t) - P(\cos t, \sin t)| < \varepsilon$ pour tout réel $t$. En linéarisant les $\cos^k t \sin^l t$, $P(\cos t, \sin t)$ devient un polynôme trigonométrique : $g$ est limite uniforme de polynômes trigonométriques.

b) Tout polynôme trigonométrique $T$ vérifie $T(0) = T(2\pi)$ : aucun ne sépare $0$ et $2\pi$. Pour $h(t) = t$, $|h(0) - T(0)| + |h(2\pi) - T(2\pi)| \geq 2\pi$, donc $\|h - T\|_\infty \geq \pi$ pour tout $T$.

Correction :

Méthode : approcher en deux temps, puis inégalité triangulaire.

Soit $f \in L^1([a\,;\,b])$ et $\varepsilon > 0$. Il existe $g$ continue avec $\|f - g\|_1 < \varepsilon$, puis, par Weierstrass, un polynôme $P$ avec $\|g - P\|_\infty < \frac{\varepsilon}{b-a}$, donc $\|g - P\|_1 \leq (b-a)\,\|g - P\|_\infty < \varepsilon$. D'où $\|f - P\|_1 < 2\varepsilon$ : les polynômes sont denses dans $L^1([a\,;\,b])$.

La convergence uniforme sur un segment entraîne celle pour $\|\cdot\|_1$, pas l'inverse : sur $[0\,;\,1]$, $\|x^n\|_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ alors que $\|x^n\|_\infty = 1$.

Correction :

Méthode : approcher $f$ par des polynômes pour montrer que $\int_0^1 f^2 = 0$.

Par linéarité, $\int_0^1 f\,P = 0$ pour tout polynôme $P$. Weierstrass donne des polynômes $P_k$ avec $\|f - P_k\|_\infty \to 0$, et

$$\left|\int_0^1 f^2 - \int_0^1 f\,P_k\right| \leq \int_0^1 |f|\,|f - P_k| \leq \|f\|_\infty\,\|f - P_k\|_\infty \to 0.$$

Donc $\int_0^1 f^2 = 0$. Une fonction continue, positive, d'intégrale nulle sur un segment est nulle : $f^2 = 0$, donc $f = 0$. L'idée à retenir : on choisit des polynômes qui approchent $f$ elle-même.

Correction :

Méthode : linéariser pour le produit, puis construire un neurone qui sépare deux points.

a) Sommes et multiples d'un réseau sont des réseaux (on met les neurones côte à côte). Pour le produit, la formule du rappel transforme $\cos(w \cdot x + b)\cos(w' \cdot x + b')$ en demi-somme de $\cos\left((w + w') \cdot x + b + b'\right)$ et de $\cos\left((w - w') \cdot x + b - b'\right)$ : c'est encore un réseau. Les constantes sont là grâce à $c$.

b) Pour $x \neq y$ dans $K$, on pose $u = x - y$, $w = \frac{u}{\|u\|^2}$ (donc $w \cdot u = 1$) et $b = \frac{\pi}{2} - w \cdot y$. Alors $\cos(w \cdot y + b) = 0$ et $\cos(w \cdot x + b) = \cos\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 1 \neq 0$. L'algèbre sépare les points et $K$ est compact : ces réseaux sont denses dans $C(K)$.

c) Avec la sigmoïde, l'ensemble n'est plus stable par produit ($\sigma^2$, par exemple, ne s'écrit pas ainsi sur $\mathbb{R}$) : il n'y a plus d'algèbre. La densité reste vraie, mais elle se démontre autrement (G. Cybenko, 1989).

Correction :

Méthode : composer $f$ avec des polynômes, puis passer à la limite.

a) Weierstrass donne des polynômes $P_n$ avec $\varepsilon_n = \sup_{|t| \leq M} \left| |t| - P_n(t) \right| \to 0$. $B$ est une algèbre qui contient les constantes, donc $P_n \circ f \in B$. Comme $f(x) \in [-M\,;\,M]$ pour tout $x \in K$, $\left\| \, |f| - P_n \circ f \, \right\|_\infty \leq \varepsilon_n \to 0$, et $B$ est fermée : $|f| \in B$.

b) $f - g \in B$, donc $|f - g| \in B$, et les formules du rappel donnent $\max(f, g) \in B$ et $\min(f, g) \in B$.

C'est l'étape clé de la preuve du théorème : on recolle ensuite par des max et des min des fonctions de $B$ qui prennent des valeurs imposées en deux points, et la compacité limite leur nombre.